浙教版八年级下册第4章 4.2平行四边形 同步练习
一、单选题
1．（2015八下·绍兴期中）已知在平行四边形ABCD中，∠A=36°，则∠C为（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
2．（2016八下·余干期中）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：2：1：2 D．1：1：2：2
3．（2015八下·滦县期中）下列正确结论的个数是（ ）
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2015八下·洞头期中）在 ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D等于（ ）
A．0° B．60° C．120° D．150°
5．（2015八下·滦县期中）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（ ）
A．11 B．13 C．16 D．22
6．（2015八下·津南期中）如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．（2017八上·龙泉驿期末）如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ）
①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
8．（2016八下·潮南期中）已知 ABCD的周长是18，连接AC，若△ABC的周长是14，则对角线AC的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2016八下·潮南期中）△ABC与 DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，E，F在BC上，已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
10．（2016八下·寿光期中）平行四边形ABCD中，对角线AC=12，BD=8，交点为点O，则边AB的取值范围为（ ）
A．1＜AB＜2 B．2＜AB＜10 C．4＜AB＜10 D．4＜AB＜20
11．（2015八下·深圳期中）如图，点E是 ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则 ABCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．14
12．（2015八下·深圳期中）如图，在 ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交DC的延长线于点E，CE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2.5
13．（2016八下·枝江期中）在 ABCD中，∠D、∠C的度数之比为3：1，则∠A等于（ ）
A．45° B．135° C．50° D．130°
14．（2017八下·兴化月考）顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形①平行四边形；②菱形；③对角线互相垂直的四边形；④对角线相等的四边形，满足条件的是（ ）
A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①②③
二、填空题
15．（2015八下·洞头期中）平行四边形ABCD的周长为30 cm，AB：BC=2：3，则AB= ．
16．（2015八下·金平期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点C的坐标是 ．
17．（2017八上·兴化期末） ABCD的对角线相交于点O，BC=7，BD=10，AC=6，则△AOD的周长是 ．
18．（2016八下·青海期末）平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD= cm．
19．（2016八下·潮南期中）如图，AB=CD，AD=BC，∠1=50°，∠2=24°，则∠B的度数是 度．
三、综合题
20．（2015八下·金平期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＞AB
（1）分别作∠ABC和∠BCD的平分线，交AD于E、F．
（2）线段AF与DE相等吗？请证明．
21．（2015八下·洞头期中）如图，在 ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
22．（2017八上·兴化期末）图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点
（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；
（2）图1中所画的平行四边形的面积为 ．
23．（2017八下·兴化月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
24．（2015九下·深圳期中）已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．
（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标；
（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．
25．（2017八下·东台期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C
∵∠A=36°，
∴∠C=36°．
故选B．
【分析】根据平行四边形对角，即可解决问题．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C=∠A+∠D，
故选C．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：正确结论是：①③④，共3个，所以正确结论的个数是3，故选C．
【分析】利用平行四边形的性质可知，平行四边形对角线互相平分，对角相等，邻角互补，内角和为360°，对照性质即可解决问题．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，
而∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A=∠C=60°，∠B=120°，
∴ ABCD的另一个内角∠D=∠B=120°．
故选：C．
【分析】在 ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，而且四边形内角和是360°，由此得到∠A=∠C=60°，∠B=120°，那么 ABCD的另一个内角就可以求出了．
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，
∵AE=EB，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴ ABCD的周长=2×（AB+BC）=22．
故选D．
【分析】由 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=3
∵BC=AD=5
∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2
故选：B．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根据AD、AB的值，求出EC的值．
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使 ABCD是菱形的有①或③．
故选：A．
【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵ ABCD的周长是18，
∴AB+BC=18÷2=9，
∵△ABC的周长是14，
∴AC=14﹣（AB+AC）=5．
故选A．
【分析】先根据题意画出草图，由平行四边形ABCD的周长是18，可得AB+BC=9，又因为三角形ABC的周长是14，所以可得出AC的长．
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BE=DE，CF=FG，
∴∠B=∠BDE，∠C=∠CGF，
∠DEF=∠B+∠BDE=2∠B，则∠EFG=2∠C，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠DEF+∠EFG=180°，
∴ （∠DEF+∠EFG）=∠B+∠C=90°，
∴∠A=90°．
故选B．
【分析】由题中条件可得∠B=∠BDE，∠C=∠CGF，进而再利用外角的性质及平行四边形邻角互补，即可得出结论．
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=8，
∴OA=OC=6，OB=OD=4，
在△AOB中，由三角形三边关系定理得：6﹣4＜AB＜6+4，
即2＜AB＜10，
故选：B．
【分析】根据平行四边形的性质求出OA和OB，在△AOB中，根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜AB＜6+4，即可得出结果．
11．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC AB，AD BC，
∵E为CD的中点，
∴DE为△FAB的中位线，
∴AD=DF，DE= AB，
∵DF=3，DE=2，
∴AD=3，AB=4，
∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．
故选D．
【分析】根据平行四边形的性质可知DC AB，然后根据E为CD的中点可证DE为△FAB的中位线，已知DF=3，DE=2，可求得AD，AB的长度，继而可求得ABCD的周长．
12．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD中，
∴BC=AD=9，AD∥BC，AB∥DE，
∴∠DAF=∠BFA，∠BAF=∠E，
∵∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠BFA=∠CFE=∠E，
∴AB=BF=6，CE=CF，
∴FC=3，
∴CE=3，
故选B．
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠BAF=∠BFA=∠CFE=∠E，进而得出AB=BF，CE=CF，即可得出答案．
13．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵在 ABCD中，∠D、∠C的度数之比为3：1，
∴∠B：∠A=3：1，
则3∠A+∠A=180°，
解得：∠A=45°．
故选：A．
【分析】直接利用平行四边形的对角相等以及邻角互补即可得出答案．
14．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当AC⊥BD，E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，
∵EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理；EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
所以顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点得到一个四边形是矩形，③符合题意．
而菱形的对角线互相垂直，则菱形符合题意，②符合题意，
平行四边形、对角线相等的四边形均不符合题意．
故选：B．
【分析】利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据中点四边形的性质，顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点得到一个四边形是矩形，据此判断即可．
15．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD
∴AB=CD，AD=BC
∵平行四边形ABCD的周长为30 cm
∴AB+BC=15
又∵AB：BC=2：3
∴AB=6，BC=9．
故答案为6．
【分析】根据平行四边形的两组对边分别相等及已知条件即可求解．
16．【答案】（7，3）
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∴∠OED=∠BFC=90°，
∵平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），
∴OB∥CD，OD∥BC，
∴DE=CF=3，∠DOE=∠CBF，
在△ODE和△CBF中，
，
∴△ODE≌△CBF（AAS），
∴BF=OE=2，
∴OF=OB+BF=7，
∴点C的坐标为：（7，3）．
故答案为：（7，3）．
【分析】首先过点D作DE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，易证得△ODE≌△CBF，则可得CF=DE=3，BF=OE=2，继而求得OF的长，则可求得顶点C的坐标．
17．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵BC=7，BD=10，AC=6，
∴AD=7，OA=3，OD=5，
∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=15．
故答案为：15．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分，求出AD、OA、OD的长度，代入AD+OA+OD计算即可求出所填答案．
18．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC=10cm；
又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，
∴BC﹣AB=2cm，
解得：AB=4cm，BC=6cm．
∵AB=CD，
∴CD=4cm
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
19．【答案】106
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=50°，∠2=24°，
∴∠BAD=50°+24°=74°，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣74°=106°；
故答案为：106．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质得出∠BAD+∠B=180°，得出∠B=106°即可．
20．【答案】（1）解：
（2）解：AF与DE相等．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC．
∵AD∥BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB．
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=DC，
∴AF=DE．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形ABCD的对边平行且相等、平行线的性质、角平分线的定义推知∠ABE=∠AEB，则AE=AB，∠DCF=∠DFC，则DF=DC，故AF=DE．
21．【答案】（1）解：方法一：如图①，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．
方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴AB=BP．
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF
（2）解：方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，
∵在 ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．
∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．
同理可得，CF=BC．
又∵在 ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE﹣EF=CF﹣EF．
即DF=CE．
方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴BP=AB．
同理可得，AO=AB．
∴AO=BP．
∵在 ABCD中，AD=BC，
∴OD=PC．
又∵在 ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．
∴ = ， = ．
∴DF=CE．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB= ∠DAB，∠MBA= ∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证．（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证．
22．【答案】（1）解：如图1，如图2；
（2）6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】解：（2）图1中所画的平行四边形的面积=2×3=6．
故答案为6．（1）根据平行四边形的判定，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可在图1和图2中按要求画出平行四边形；（2）根据平行四边形的面积公式计算．
23．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴ 四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形OABC和四边形ODEF是矩形，
∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，
∵在△BCQ和△ODQ中
∴△BCQ≌△ODQ；
（2）解：∵△BCQ≌△ODQ，
∴CQ=DQ，
在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，
则OQ2=（6﹣OQ）2+32，
解得：OQ= ，DQ= ，
即Q的坐标是（0， ），
∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，
∴B的坐标是（﹣3，6），
设直线BD的解析式是y=kx+ ，
把B的坐标代入得：k=﹣ ，
即直线BD的解析式是y=﹣ x+ ，
把y=0代入得：﹣ x+ =0，
解得：x=5，
即P的坐标是（5，0）；
（3）解：
过D作DM⊥OP于M，如图1，
∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，
∴∠QOD=∠MDO，
∴△QDO∽△OMD，
∴ = = ，
∴ = = ，
即得：OM= ，DM= ，
OG=x，x≤3，
分为两种情况：①如图2，当0≤x≤ 时，
∵DM= ，OM= ，OG=x，CG∥DM，
∴△ONG∽△ODM，
∴ = ，
NG= x，
∴S= ×OG×GN= x x，
S= x2；
②如图3，当 ＜x≤3时，
在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD= =4，
∵DM= ，OM= ，
∴PM=5﹣ = ，
∵OG=x，CG∥DM，
∴△PGN∽△PMD，
∴ = ，
∴NG= （5﹣x），
∴S=S△ADP﹣S△PGN= ×3×4﹣ （5﹣x） （5﹣x），
S=﹣ x2+ x﹣ ，
即S和x的函数关系式是S= x2（0≤x≤ ）和S=﹣ x2+ x﹣ （ ＜x≤3）．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ2=（6﹣OQ）2+32，求出OQ= ，DQ= ，得出Q的坐标是（0， ），求出直线BD的解析式，即可得出答案；（3）过D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分为两种情况：画出图形，求出GN，根据三角形的面积公式求出即可．
25．【答案】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF= DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG= BM= DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2
（3）解：EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，
即2（DF2+BE2）=EF2
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF= DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，结合勾股定理以及相等线段可得（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，所以2（DF2+BE2）=EF2．
1 / 1浙教版八年级下册第4章 4.2平行四边形 同步练习
一、单选题
1．（2015八下·绍兴期中）已知在平行四边形ABCD中，∠A=36°，则∠C为（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C
∵∠A=36°，
∴∠C=36°．
故选B．
【分析】根据平行四边形对角，即可解决问题．
2．（2016八下·余干期中）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：2：1：2 D．1：1：2：2
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C=∠A+∠D，
故选C．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．
3．（2015八下·滦县期中）下列正确结论的个数是（ ）
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：正确结论是：①③④，共3个，所以正确结论的个数是3，故选C．
【分析】利用平行四边形的性质可知，平行四边形对角线互相平分，对角相等，邻角互补，内角和为360°，对照性质即可解决问题．
4．（2015八下·洞头期中）在 ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D等于（ ）
A．0° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，
而∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A=∠C=60°，∠B=120°，
∴ ABCD的另一个内角∠D=∠B=120°．
故选：C．
【分析】在 ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，而且四边形内角和是360°，由此得到∠A=∠C=60°，∠B=120°，那么 ABCD的另一个内角就可以求出了．
5．（2015八下·滦县期中）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（ ）
A．11 B．13 C．16 D．22
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，
∵AE=EB，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴ ABCD的周长=2×（AB+BC）=22．
故选D．
【分析】由 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
6．（2015八下·津南期中）如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=3
∵BC=AD=5
∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2
故选：B．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根据AD、AB的值，求出EC的值．
7．（2017八上·龙泉驿期末）如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ）
①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使 ABCD是菱形的有①或③．
故选：A．
【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．
8．（2016八下·潮南期中）已知 ABCD的周长是18，连接AC，若△ABC的周长是14，则对角线AC的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵ ABCD的周长是18，
∴AB+BC=18÷2=9，
∵△ABC的周长是14，
∴AC=14﹣（AB+AC）=5．
故选A．
【分析】先根据题意画出草图，由平行四边形ABCD的周长是18，可得AB+BC=9，又因为三角形ABC的周长是14，所以可得出AC的长．
9．（2016八下·潮南期中）△ABC与 DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，E，F在BC上，已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BE=DE，CF=FG，
∴∠B=∠BDE，∠C=∠CGF，
∠DEF=∠B+∠BDE=2∠B，则∠EFG=2∠C，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠DEF+∠EFG=180°，
∴ （∠DEF+∠EFG）=∠B+∠C=90°，
∴∠A=90°．
故选B．
【分析】由题中条件可得∠B=∠BDE，∠C=∠CGF，进而再利用外角的性质及平行四边形邻角互补，即可得出结论．
10．（2016八下·寿光期中）平行四边形ABCD中，对角线AC=12，BD=8，交点为点O，则边AB的取值范围为（ ）
A．1＜AB＜2 B．2＜AB＜10 C．4＜AB＜10 D．4＜AB＜20
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=8，
∴OA=OC=6，OB=OD=4，
在△AOB中，由三角形三边关系定理得：6﹣4＜AB＜6+4，
即2＜AB＜10，
故选：B．
【分析】根据平行四边形的性质求出OA和OB，在△AOB中，根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜AB＜6+4，即可得出结果．
11．（2015八下·深圳期中）如图，点E是 ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则 ABCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．14
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC AB，AD BC，
∵E为CD的中点，
∴DE为△FAB的中位线，
∴AD=DF，DE= AB，
∵DF=3，DE=2，
∴AD=3，AB=4，
∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．
故选D．
【分析】根据平行四边形的性质可知DC AB，然后根据E为CD的中点可证DE为△FAB的中位线，已知DF=3，DE=2，可求得AD，AB的长度，继而可求得ABCD的周长．
12．（2015八下·深圳期中）如图，在 ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交DC的延长线于点E，CE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2.5
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD中，
∴BC=AD=9，AD∥BC，AB∥DE，
∴∠DAF=∠BFA，∠BAF=∠E，
∵∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠BFA=∠CFE=∠E，
∴AB=BF=6，CE=CF，
∴FC=3，
∴CE=3，
故选B．
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠BAF=∠BFA=∠CFE=∠E，进而得出AB=BF，CE=CF，即可得出答案．
13．（2016八下·枝江期中）在 ABCD中，∠D、∠C的度数之比为3：1，则∠A等于（ ）
A．45° B．135° C．50° D．130°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵在 ABCD中，∠D、∠C的度数之比为3：1，
∴∠B：∠A=3：1，
则3∠A+∠A=180°，
解得：∠A=45°．
故选：A．
【分析】直接利用平行四边形的对角相等以及邻角互补即可得出答案．
14．（2017八下·兴化月考）顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形①平行四边形；②菱形；③对角线互相垂直的四边形；④对角线相等的四边形，满足条件的是（ ）
A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当AC⊥BD，E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，
∵EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理；EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
所以顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点得到一个四边形是矩形，③符合题意．
而菱形的对角线互相垂直，则菱形符合题意，②符合题意，
平行四边形、对角线相等的四边形均不符合题意．
故选：B．
【分析】利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据中点四边形的性质，顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点得到一个四边形是矩形，据此判断即可．
二、填空题
15．（2015八下·洞头期中）平行四边形ABCD的周长为30 cm，AB：BC=2：3，则AB= ．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD
∴AB=CD，AD=BC
∵平行四边形ABCD的周长为30 cm
∴AB+BC=15
又∵AB：BC=2：3
∴AB=6，BC=9．
故答案为6．
【分析】根据平行四边形的两组对边分别相等及已知条件即可求解．
16．（2015八下·金平期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点C的坐标是 ．
【答案】（7，3）
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∴∠OED=∠BFC=90°，
∵平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），
∴OB∥CD，OD∥BC，
∴DE=CF=3，∠DOE=∠CBF，
在△ODE和△CBF中，
，
∴△ODE≌△CBF（AAS），
∴BF=OE=2，
∴OF=OB+BF=7，
∴点C的坐标为：（7，3）．
故答案为：（7，3）．
【分析】首先过点D作DE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，易证得△ODE≌△CBF，则可得CF=DE=3，BF=OE=2，继而求得OF的长，则可求得顶点C的坐标．
17．（2017八上·兴化期末） ABCD的对角线相交于点O，BC=7，BD=10，AC=6，则△AOD的周长是 ．
【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵BC=7，BD=10，AC=6，
∴AD=7，OA=3，OD=5，
∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=15．
故答案为：15．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分，求出AD、OA、OD的长度，代入AD+OA+OD计算即可求出所填答案．
18．（2016八下·青海期末）平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD= cm．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC=10cm；
又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，
∴BC﹣AB=2cm，
解得：AB=4cm，BC=6cm．
∵AB=CD，
∴CD=4cm
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
19．（2016八下·潮南期中）如图，AB=CD，AD=BC，∠1=50°，∠2=24°，则∠B的度数是 度．
【答案】106
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=50°，∠2=24°，
∴∠BAD=50°+24°=74°，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣74°=106°；
故答案为：106．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质得出∠BAD+∠B=180°，得出∠B=106°即可．
三、综合题
20．（2015八下·金平期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＞AB
（1）分别作∠ABC和∠BCD的平分线，交AD于E、F．
（2）线段AF与DE相等吗？请证明．
【答案】（1）解：
（2）解：AF与DE相等．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC．
∵AD∥BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB．
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=DC，
∴AF=DE．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形ABCD的对边平行且相等、平行线的性质、角平分线的定义推知∠ABE=∠AEB，则AE=AB，∠DCF=∠DFC，则DF=DC，故AF=DE．
21．（2015八下·洞头期中）如图，在 ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
【答案】（1）解：方法一：如图①，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．
方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴AB=BP．
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF
（2）解：方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，
∵在 ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．
∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．
同理可得，CF=BC．
又∵在 ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE﹣EF=CF﹣EF．
即DF=CE．
方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴BP=AB．
同理可得，AO=AB．
∴AO=BP．
∵在 ABCD中，AD=BC，
∴OD=PC．
又∵在 ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．
∴ = ， = ．
∴DF=CE．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB= ∠DAB，∠MBA= ∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证．（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证．
22．（2017八上·兴化期末）图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点
（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；
（2）图1中所画的平行四边形的面积为 ．
【答案】（1）解：如图1，如图2；
（2）6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】解：（2）图1中所画的平行四边形的面积=2×3=6．
故答案为6．（1）根据平行四边形的判定，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可在图1和图2中按要求画出平行四边形；（2）根据平行四边形的面积公式计算．
23．（2017八下·兴化月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴ 四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
24．（2015九下·深圳期中）已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．
（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标；
（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）证明：∵四边形OABC和四边形ODEF是矩形，
∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，
∵在△BCQ和△ODQ中
∴△BCQ≌△ODQ；
（2）解：∵△BCQ≌△ODQ，
∴CQ=DQ，
在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，
则OQ2=（6﹣OQ）2+32，
解得：OQ= ，DQ= ，
即Q的坐标是（0， ），
∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，
∴B的坐标是（﹣3，6），
设直线BD的解析式是y=kx+ ，
把B的坐标代入得：k=﹣ ，
即直线BD的解析式是y=﹣ x+ ，
把y=0代入得：﹣ x+ =0，
解得：x=5，
即P的坐标是（5，0）；
（3）解：
过D作DM⊥OP于M，如图1，
∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，
∴∠QOD=∠MDO，
∴△QDO∽△OMD，
∴ = = ，
∴ = = ，
即得：OM= ，DM= ，
OG=x，x≤3，
分为两种情况：①如图2，当0≤x≤ 时，
∵DM= ，OM= ，OG=x，CG∥DM，
∴△ONG∽△ODM，
∴ = ，
NG= x，
∴S= ×OG×GN= x x，
S= x2；
②如图3，当 ＜x≤3时，
在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD= =4，
∵DM= ，OM= ，
∴PM=5﹣ = ，
∵OG=x，CG∥DM，
∴△PGN∽△PMD，
∴ = ，
∴NG= （5﹣x），
∴S=S△ADP﹣S△PGN= ×3×4﹣ （5﹣x） （5﹣x），
S=﹣ x2+ x﹣ ，
即S和x的函数关系式是S= x2（0≤x≤ ）和S=﹣ x2+ x﹣ （ ＜x≤3）．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ2=（6﹣OQ）2+32，求出OQ= ，DQ= ，得出Q的坐标是（0， ），求出直线BD的解析式，即可得出答案；（3）过D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分为两种情况：画出图形，求出GN，根据三角形的面积公式求出即可．
25．（2017八下·东台期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
【答案】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF= DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG= BM= DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2
（3）解：EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，
即2（DF2+BE2）=EF2
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF= DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，结合勾股定理以及相等线段可得（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，所以2（DF2+BE2）=EF2．
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