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浙教版2022-2023学年八上数学第5章 一次函数
专题3一次函数几何综合问题 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知直线 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵A（1，0）
∴OA=1
当y=1时， ，即x=2，
∴B（2，1）
∵BC⊥l
∴设直线BC的解析式为y=-2x+b，
把B（2，1）代入得，b=5，
∴CO=5，
当y=5时， ，解得，x=10，
∴点D的坐标为（10，5）.
故答案为：A..
2．如图所示， 、 、 点坐标分别为 ， ， ，动点 从点 出发，沿 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点 的直线 也随之移动，设移动时间为 秒，若点 分别位于 的异侧，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当l经过M点的时候，有4=-3+b，即b=7，所以y=-x+7，
令x=0，可以得y=7，P点移动距离为7-1=6，所用时间为6s；
当l经过N点的时候，有6=-5+b，即b=11，所以y=-x+11，令x=0，可以得y=11，P点移动距离为11-1=10，所用时间为10s；
所以t的取值范围为6故答案为：D．
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝ x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝x
【答案】C
【解析】如图，取点C，作CA垂直y轴于A，作CB垂直x轴于B，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴直线两边的面积分别是4，
∴S△ACO=5，
∴OA×AC=5，
∴AC=，
∴C（，3），
设y=kx，则3=k，
∴k=，
∴直线l的解析式为y=x.
故答案为：C.
4．如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，以线段 为边在第一象限内作等腰 ， ，则过 、 两点直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，
∴A(4，0)，B(0，3)，
∴OB=3，OA=4，
过点C做CD⊥x轴于点D，
∵在等腰 中， ，
∴∠OAB+∠CAD=∠OAB+∠ABO，即：∠CAD=∠ABO，
∵AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴ AOB CDA（AAS），
∴CD=AO=4，AD=BO=3，
∴C(7，4)，
设直线 的解析式为：y=kx+b，
把B(0，3)，C(7，4)，代入y=kx+b，得 ，解得： ，
∴直线 的解析式为：y= x+3.
故答案为：A.
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于点 、 、 、 分别是 、 的中点，点 是 轴上的一个动点，当 的值最小时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作点N关于y轴对称点N′，连结ON，OM，
直线 分别与 轴、 轴交于点A、 ，
当x=0，y=4，B（0，4），当y=0， ，解得 ，A（-2，0），
∵∠AOB=90°，点M为AB中点，
∴OM=AM=BM，
点N为OA中点，OA=2，ON=AN=1，点N（-1，0），
∴MN⊥AO，
∴MN∥OB，
∴点M的横坐标为-1，
∵点M在直线 上，
∴y=-2+4=2，
∴点M（-1，2），
∵点N关于y轴对称点N′，
∴ON′=ON=1，PN=PN′，
∴点N′（1，0），
当点M，点P，点N′共线时 的值最小，
设N′M直线解析式为 ，代入坐标得，
，
解得 ，
∴N′M直线解析式为 ，
当x=0时，y=1，
∴点P（0，1）.
故答案为：C.
6．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A.若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或 +1 B．3或 C．2或 D．3或 +1
【答案】D
【解析】∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，
∴A（1，0），B（0，2）.
∴OA＝1，OB＝2.
∴AB＝ .
∵AP⊥AB，点C是射线AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO.
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴OD＝AD＋OA＝ ＋1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3.
综上所述，OD的长为3或 ＋1.
故答案为：D.
7．如图，直线y=-x+b与x、y轴分别交于点A、B，与直线y=kx（k＞0）交于点G，分别过点A、B作直线y=kx的垂线，垂足分别为D、E，若OA=10、OD=6，则DE的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】∵OA=10，
∴点A的坐标是（10，0），
把（10，0）代入y=-x+b得，
0＝﹣10＋b，
解得b＝10，
∴直线为y=﹣x+10，
当 x＝0时，y＝10，
∴点B的坐标是（0，10），
∴OB＝10，
∵分别过点A、B作直线y=kx的垂线，垂足分别为D、E，
∴∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴∠AOD＋∠DAO＝90°，AD＝，
∵∠AOD＋∠EOB＝90°，
∴∠DAO＝∠EOB，
在△OAD和△BOE中，
，
∴△OAD≌△BOE（AAS）
∴AD＝OE＝8，
∴DE＝OE－OD＝8－6＝2．
故答案为：C
8．已知，直线l：与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线l上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】如图，取直线l与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接AD、AN，过B作BH⊥AN于H点，
在中，
令，则，
∴
令，则，
∴，
∴，，
∵，D为AE的中点，
∴，DO=DA=DE，
∴，
∴，
∴∠OAB=60°，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵旋转，
∴，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为定点，为定值，
∴当在直线上运动时，也在定直线AN上运动，
∵点B和点A关于y轴对称，
∴（-，0），
∴，
∵，
∴，
则BN的最小值等于BH，为3．
故答案为：B．
9．如图，直线y＝2x+b（b＞0）与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为斜边在y轴右侧作等腰直角三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C恰好落在直线AB上，若OC＝2 ，则点 的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1， ）
C．（﹣2，2） D．（﹣1，2 ）
【答案】A
【解析】∵△OBC是等腰直角三角形，OC＝2 ，
∴OB＝4，
∴B（0，4），
∵直线y＝2x+b与y轴交于B点，
∴b＝4，
∴y＝2x+4，
∵△OBC是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2.
将y＝2代入y＝2x+4，得2＝2x+4，
解得x＝﹣1，
∴C′（﹣1，2）.
故答案为：A.
10．如图，平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点.若 是 轴上的动点，则 的最小值（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【解析】∵一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点，
∴ ， ，
，
，
∵在 中， ， ，
作直线 关于 轴的对称直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
，
∴在 中， ，
，
又∵在 中， ，
，
，
∴ ，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点P1、P2、P3、…、P2019的位置，则点P2019的横坐标为 .
【答案】2018.5
【解析】由题意可知P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…
依此类推下去，P2017、P2018的横坐标是2017，P2019的横坐标是2018.5，
故答案为2018.5.
12．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A在直线y x﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B的坐标为 ．
【答案】(5，3)
【解析】根据平移的性质得：AA'=BB' ，AA'∥BB'，A'的纵坐标为4，
∵点A'在直线y=x-1上，
∴4=x-1，
∴x=4，
∴AA'=BB'=4，
∵四边形AA'B'B的面积为4，
∴点B到AA'的距离为1，
∵点B在∠A'AO的角平分线上，
∴点B到OA的距离为1，
∴点B'的坐标为（5，3）.
13．如图，点 的坐标为（-2，0），点 在直线 上运动，当线段 最短时，点 的坐标是 .
【答案】
【解析】过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，
∵直线y=x，
∴∠AOC=45°，
∴∠OAC=45°=∠AOC，
∴AC=OC，
由勾股定理得：2AC2=OA2=4，
∴AC=OC= ，
由三角形的面积公式得：AC×OC=OA×CD，
∴ × =2CD，
∴CD=1，
∴OD=CD=1，
∴B（-1，-1）.
故答案为：（-1，-1）.
14．如图，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，与直线l2：y＝ x+2交于点B，点C为x轴上的一点，若△ABC为直角三角形，则点C的横坐标为 .
【答案】（2，0）或（5，0）
【解析】∵直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，
∴A（﹣1，0），
由 解得 ，
∴B（2，3），
当∠ACB＝90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同，
∴C（2，0）；
当∠ABC＝90°时，则AC2＝AB2+BC2，
设C（x，0），则AC2＝（x+1）2，AB2＝（2+1）2+32，BC2＝（2﹣x）2+32，
∴（x+1）2＝（2+1）2+32+（2﹣x）2+32，
解得x＝5，
∴C（5，0），
综上，点C的坐标为（2，0）或（5，0）.
故答案为：（2，0）或（5，0）.
15．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为 ．
【答案】（2，0）或( ，0)或（ ，0）
【解析】如图，过点A作AC⊥OM，AD⊥ON，
令x=0，则y=3，
令y=0，则x=3，
∴M（0，3），N（3，0），
∴OM=ON=3，
∴MN=3，∠M=45°，
∵AN＝2AM，
∴AM=，
∴AC=CM=1，
∴OC=2，
∴OA=，
当点B在x轴正半轴时，OB=OA=，点B1（，0），
当点B在x轴负半轴时，OB=OA=，点B2（-，0），
当AB=OA时，OD==1，
∴OB=2OD=2，
∴点B3（2，0），
∴点B的坐标为（2，0）或（，0）或（-，0）.
16．在平面直角坐标系中，Q是直线 上的一个动点，将Q绕点 顺时针旋转 ，得到点 连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】过点Q作QM⊥x轴于点M，过点Q′作Q′N⊥x轴于点N，
∴∠PMQ=∠Q′NP=90°，
∵∠QPM+∠MPQ′=90°，∠QPM+∠PQM=90°，
∴∠MPQ′=∠PQM，
在△PQM和△Q′NP中
∴△PQM≌△Q′NP（AAS），
∴PN=QM，Q′N=PM，
设点Q
∴PM=|m-1|，QM=
∴，
∴点Q′
∴OQ′2=，
∵＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当m=2时OQ′2有最小值，最小值为5，
∴OQ′的最小值为.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在平面直角坐标系中，A 为 轴上的一动点，B(0，3)， BAC= ，AB=AC.
（1）如图1，若 ，点C在第二象限，求C点坐标；
（2）如图2，当点C在第四象限时，点F与点B关于 轴对称，连接CF并延长交 轴于点E，求点E坐标；
（3）如图3，P 为第二象限的点，点H 在线段PF上，且 ，当点E在 轴负半轴上，点F在y轴负半轴上运动时，且OE=OF，求m、n之间的数量关系.
【答案】（1）解：过点C作 交OA于点D，
∵ ，
∴ .
，
.
，
.
，
.
在 和 中
，
，
；
（2）解：过点C作 交AE于点G，
∵ ，
∴ ，.
，
.
，
.
在 和 中
，
，
.
∵点F与点B关于 轴对称，
.
设直线FC的解析式为 ，
将 ， 代入解析式中得
解得
∴直线FC的解析式为 .
令 ，则 ，解得 ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
设直线OH的解析式为 ，
，
，
，
∴直线OH的解析式为 .
，
.
设直线PF的解析式为 ，
将 代入解析式中得
，
∴直线PF的解析式为 .
当 时， ，
，
.
，
，
，
，
，
设直线PE的解析式为 ，
将 代入解析式中得
，
∴直线PE的解析式为 .
解得点P的纵坐标为 ，
，
.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．
（1）点C的坐标为： （用含m，n的式子表示）；
（2）求证：BM=BN；
（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．
【答案】（1）（n，m+n）
（2）证明：∵△AOB≌△BEC，
∴BE=OA=OP，CE=BO，
∴PE=OB=CE，
∴∠EPC=45°，
∠APC=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABM与△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM=BN；
（3）证明：
∵点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，
∴AD=AC，AG=AC，
∴AD=AG，
∵∠1=∠5，∠1=∠6，
∴∠5=∠6，
在△DAH与△GAH中，
，
∴△DAH≌△GAH（SAS），
∴D，G关于x轴对称．
【解析】（1）过C点作CE⊥y轴于点E，
∵CE⊥y轴，
∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
在△AOB与△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴CE=OB=n，BE=OA=m，
∴OE=OB+BE=m+n，
∴点C的坐标为（n，m+n）．
故答案为（n，m+n）；
19．利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的长．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．
（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝ ．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）
【答案】（1）解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
在△ABC和△CDE中， ，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；
（2）解：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），
∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，
∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，
∴点B的坐标为（2，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A、B两点的坐标代入，得 ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y＝ x+2，
当x＝0时，解得y＝2，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；
（3）
【解析】（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：
∵OC平分∠AOB，
∴CD＝CE
∴四边形OECD是正方形
∴∠DCE＝90°，OD＝OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠DCA＝∠ECB，
在△DCA和△ECB中， ，
∴△DCA≌△ECB（ASA），
∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，
∵点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a），
∴OB＝b，OA＝a，
∵OD＝OE，
∴OA+DA＝OB﹣BE，
即a+DA＝b﹣DA，
∴DA＝ ，
∴OD＝OA+DA＝a+ ＝ ，
∴S四边形AOBC＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（ ）2＝ ，
故答案为： ．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，6）．
（1）如图1，过A，B两点作直线AB，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点C在x轴负半轴上，C（﹣6，0），点P为直线BC上一点，若S△ABC＝2S△ABP，求满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在直线BC上，点F在y轴上，当△AEF为一个等腰直角三角形时，请你直接写出E点坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（2，0），B（0，6）代入y=kx+b，得，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-3x+6；
（2）解： ：y=x+6
①当点P在线段BC上时，
∵S△ABC=2S△ABP
∴S△ABC=2S△ACP
∴P( 3，3)
②当点P在线段CB延长线上时，
同理： ， 则
∴P(3，9)
（3）解：（-3，3）或（-4，2）或（-8，-2）
【解析】（3）设点E的坐标为（m，m+6），
如图，当∠AFE=90°，AE=AF时，
则△EFN≌△AFO，
∴FN=OA=2，EN=OF，
∴-m=2+m+6，
∴m=-4，
∴m+6=2，
∴E（-4，2），
如图，当∠AEF=90°，AE=EF时，
则△EFN≌△AFO，
∴EN=EM，
∴-m=m+6，
∴m=-3，
∴m+6=3，
∴E（-3，3），
如图，当∠EAF=90°，AE=AF时
则△EMA≌△AOF，
∴EM=OA，∴-m-6=2，∴m=-8，∴m+6=-2，∴E（-8，-2），
∴点E的坐标为（-4，2）或（-3，3）或（-8，-2）.
21．如图1，直线AB与坐标轴分别交于A（0，﹣3），B（﹣5，0）两点，点C为线段AB的中点，点P是y轴上一点，连结CP，过点C作CP的垂线交线段BO于点Q.
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）如图2，当点Q与点B重合时，连结PQ.求PO的长；
（3）如图1，设AP＝m，BQ＝n.请求m关于n的函数表达式.
【答案】（1）解：设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0，﹣3），B（﹣5，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的函数解析式为y＝ x﹣3；
（2）解：如图1，∵A（0，﹣3），B（﹣5，0），点C为线段AB的中点，
∴C（ ， ），
设P（0，t），
∵CP⊥CQ，点Q与点B重合，
∴CP是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
在Rt△PBO中，PB2＝OB2+OP2，OB＝5，OP＝t，
∴PB2＝52+t2＝25+t2，
∵PA＝OP+OA＝t+3，
∴（t+3）2＝25+t2，
解得：t＝ ，
∴P（0， ），
∴PO的长为 ；
（3）解：如图2，过点C作CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，
则E（0，﹣ ），F（﹣ ，0），∠CEP＝∠CFQ＝90°，
∵AP＝m，BQ＝n，
∴OQ＝5﹣n，OP＝3﹣n，
∴QF＝OQ﹣OF＝5﹣n﹣ ＝ ﹣n，PE＝OE﹣OP＝ ﹣（3﹣m）＝m﹣ ，
∵∠CEP+∠AOB＝180°，
∴CE∥OB，
∴∠ECF＝∠CFQ＝90°，
∴∠PCE+∠PCF＝90°，
∵∠QCF+∠PCF＝90°，
∴∠PCE＝∠QCF，
∴△PCE∽△QCF，
， 即 ，
22．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56.点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF.
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，m）；
①用m表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围.
【答案】（1）解：令x＝0，则y＝8，
∴B（0，8），
令y＝0，则x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点D为线段AB的中点，
∴D（﹣3，4），
∵△ABC的面积为56，
∴ ×8×AC＝56，
∴AC＝14，
∴C（8，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
∴y＝﹣x+8；
（2）解：设E（0，y），
∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴DE＝EF，∠DEF＝90°，
∵△DEF的面积为5，
，
，
，
∴y＝3或y＝5，
∴E（0，3）或E（0，5）；
（3）解：①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，
∵∠GED+∠HEF＝90°，∠GED+∠GDE＝90°，
∴∠GDE＝∠HEF，
∵DE＝EF，
∴△GDE≌△HEF（AAS），
∴GE＝HF，GD＝EH，
∴HF＝3，DG＝m﹣4＝EH，
∴F点纵坐标m﹣3，横纵标m﹣4，
∴F（m﹣4，m﹣3）；
②∴3≤m≤ .
【解析】（3）②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴，
此时m﹣3＝0，
∴m＝3；
当F在直线BC上时，
此时m﹣3＝﹣（m﹣4）+8，
∴m＝ ；
∴3≤m≤ 时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）.
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浙教版2022-2023学年八上数学第5章 一次函数
专题3一次函数几何综合问题 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知直线 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图所示， 、 、 点坐标分别为 ， ， ，动点 从点 出发，沿 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点 的直线 也随之移动，设移动时间为 秒，若点 分别位于 的异侧，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝ x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝x
4．如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，以线段 为边在第一象限内作等腰 ， ，则过 、 两点直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于点 、 、 、 分别是 、 的中点，点 是 轴上的一个动点，当 的值最小时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A.若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或 +1 B．3或 C．2或 D．3或 +1
7．如图，直线y=-x+b与x、y轴分别交于点A、B，与直线y=kx（k＞0）交于点G，分别过点A、B作直线y=kx的垂线，垂足分别为D、E，若OA=10、OD=6，则DE的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知，直线l：与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线l上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
9．如图，直线y＝2x+b（b＞0）与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为斜边在y轴右侧作等腰直角三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C恰好落在直线AB上，若OC＝2 ，则点 的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1， ）
C．（﹣2，2） D．（﹣1，2 ）
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
10．如图，平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点.若 是 轴上的动点，则 的最小值（ ）
A． B．6 C． D．4
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点P1、P2、P3、…、P2019的位置，则点P2019的横坐标为 .
12．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A在直线y x﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B的坐标为 ．
13．如图，点 的坐标为（-2，0），点 在直线 上运动，当线段 最短时，点 的坐标是 .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，与直线l2：y＝ x+2交于点B，点C为x轴上的一点，若△ABC为直角三角形，则点C的横坐标为 .
15．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为 ．
16．在平面直角坐标系中，Q是直线 上的一个动点，将Q绕点 顺时针旋转 ，得到点 连接 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（本题有6小题，第17～19题每题10分，第20～22题每题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在平面直角坐标系中，A 为 轴上的一动点，B(0，3)， BAC= ，AB=AC.
（1）如图1，若 ，点C在第二象限，求C点坐标；
（2）如图2，当点C在第四象限时，点F与点B关于 轴对称，连接CF并延长交 轴于点E，求点E坐标；
（3）如图3，P 为第二象限的点，点H 在线段PF上，且 ，当点E在 轴负半轴上，点F在y轴负半轴上运动时，且OE=OF，求m、n之间的数量关系.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．
（1）点C的坐标为： （用含m，n的式子表示）；
（2）求证：BM=BN；
（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．
19．利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的长．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．
（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝ ．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）
20．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，6）．
（1）如图1，过A，B两点作直线AB，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点C在x轴负半轴上，C（﹣6，0），点P为直线BC上一点，若S△ABC＝2S△ABP，求满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在直线BC上，点F在y轴上，当△AEF为一个等腰直角三角形时，请你直接写出E点坐标．
21．如图1，直线AB与坐标轴分别交于A（0，﹣3），B（﹣5，0）两点，点C为线段AB的中点，点P是y轴上一点，连结CP，过点C作CP的垂线交线段BO于点Q.
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）如图2，当点Q与点B重合时，连结PQ.求PO的长；
（3）如图1，设AP＝m，BQ＝n.请求m关于n的函数表达式.
22．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56.点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF.
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，m）；
①用m表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围.
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