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浙教版2022-2023学年八上数学第5章 一次函数
专题2一次函数与代数综合问题 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．关于一次函数的表述正确的是（ ）
A．若函数图象经过第一、二、四象限，的值可能是3
B．无论为何值，图像一定经过
C．图象与轴的交点坐标
D．若两点，在该函数图象上，且，则
【答案】B
【解析】A、∵函数图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴的值不可能是3，不符合题意；
B、当时，，
所以无论为何值，图像一定经过，符合题意；
C、图象与y轴的交点坐标，不符合题意；
D、当时，若，则，不符合题意；
故答案为：B
2．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数图象得，当时，．
故答案为：A.
3．若关于，的二元一次方程组的解为，一次函数与的图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于，的二元一次方程组的解为，
一次函数与的图象的交点坐标为．
故答案为：A.
4．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由知，函数值y随x的增大而减小，
∵3>-1>-2，，，，
∴．
故答案为：B．
5．将直线向上平移2个单位，相当于（ ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
【答案】B
【解析】将直线向上平移2个单位，可得函数解析式为：
直线向左平移2个单位，可得 故A不符合题意；
直线向左平移1个单位，可得 故B符合题意；
直线向右平移2个单位，可得 故C不符合题意；
直线向右平移1个单位，可得 故D不符合题意.
故答案为：B.
6．如图，可以得出不等式组的解集是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图象可知，的解集为
的解集为
∴不等式组的解集是：．
故答案为：B.
7．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
【答案】C
【解析】①根据图象在下降可知正比例函数的，故①正确；
②由一次函数的图象与轴正半轴相交可知，故②错误；
③由正比例函数得图象可知，当时，图象在轴下方，即，故③正确；
④根据图象可知正比例函数与一次函数的图象交于点P，而点对应的横坐标为，在时，正比例函数在一次函数的图象上方，即，故④错误；
综上所述，①③正确.
故答案为：C.
8．小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线 ，其中 ，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【答案】B
【解析】∵直线 ，其中
∴第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，
∴这5条直线最多有7个交点，
第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个，
第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个，
∴得出交点最多就是7＋5+6＝18条，
故答案为：B.
9．当k取不同的值时，y关于x的函数y=kx+2（k≠0）的图象为总是经过点（0，2）的直线，我们把所有这样的直线合起来，称为经过点（0，2）的“直线束”.那么，下面经过点（﹣1，2）的直线束的函数式是（ ）
A．y=kx﹣2（k≠0） B．y=kx+k+2（k≠0）
C．y=kx﹣k+2（k≠0） D．y=kx+k﹣2（k≠0）
【答案】B
【解析】在y=kx﹣2中，当x=﹣1时，y=﹣k﹣2≠2，故A选项不合题意；
在y=kx+k+2中，当x=﹣1时，y=﹣k+k+2=2，故B选项符合题意；
在y=kx﹣k+2中，当x=﹣1时，y=﹣k﹣k﹣2=﹣2k﹣2≠2，故C选项不合题意；
在y=kx+k﹣2中，当x=﹣1时，y=﹣k+k﹣2=﹣2≠2，故D选项不合题意.
故答案为：B.
10．已知一次函数 经过第一、二、三象限，且关于x的不等式组 恰有 4 个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
【答案】A
【解析】由不等式组 ，解得 ，
∵不等式组恰有4个整数解，
∴ ，
∴ ，
∵一次函数 的图象经过第一、二、三象限，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵a为整数，
∴a=4或5，
∴满足条件的所有整数a的和为4+5=9，
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），则不等式2x≥﹣x+a的解集为 ．
【答案】x≥1
【解析】∵直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），
根据图象可知，不等式2x≥﹣x+a的解集为x≥1，
故答案为：x≥1．
12．若一次函数（，是常数）和（，是常数）图象相交于点，则式子的值是 ．
【答案】
【解析】将点A（-2，1）代入函数（，是常数）和（，是常数），得：，
②-①得：，
化简得：，
．
故答案为：．
13．如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：对于函数来说，随的增大而增大；函数不经过第四象限；不等式的解集是；其中正确的是 ．
【答案】②③④
【解析】由图象可得，，则，对于函数来说，随的增大而减小，故①错误；
，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确；
由可得，故不等式的解集是，故③正确；
可以得到，故④正确；
故答案为：②③④.
14．已知一次函数y＝kx＋b，且当－3≤x≤1时，1≤y≤9，则k＋b的值为
【答案】9或1
【解析】①当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9；
则，
解得，
；
②当x=-3时，y=9，当x=1时，y=1；
则，
解得，
；
故答案为：9或1.
15．图形的变换就是点的变换，例如将直线y＝3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y＝﹣3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y＝3x﹣5，现将直线y＝﹣3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为 ．
【答案】y＝3x﹣2
【解析】在直线y＝﹣3x+2上任意取两点（0，2）和（1，﹣1），
∵直线y＝﹣3x+2关于x轴对称，
∴点（0，2）的对称点为（0，﹣2），点（1，﹣1）的对称点为（1，1），
设对称后直线的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得．
∴对称后直线的解析式为y＝3x-2.
故答案为：y＝3x-2.
16．已知直线 与直线 的交点坐标为 ，则直线 与直线 的交点坐标为 .
【答案】（-2,3）
【解析】∵
∴
∵直线 与直线 的交点坐标为
∴
得
∴
∴
将 代入 中得
∴交点坐标为（-2,3）
故答案为：（-2,3）.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知一次函数y =kx+b的图象经过点A(-1，-1）和B(1.3).
（1）求此一次函数的表达式；
（2）点C(-3，-5)是否在直线AB上，请说明理由.
【答案】（1）解：将 和 代入 ，得
解得 ，一次函数的表达式为
（2）解：点 在直线AB上，
当 时， ，
点 在直线AB上
18．数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．
（1）已知直线经过，两点，请直接写出k= ．
（2）如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．
【答案】（1）
（2）解：∵y1=k1x+b1经过A（2，0），B（0，4），∴k1=，∵y2=k2x+b2经过A（2，0），C（0，-1），∴k1=，∴k1k2=-2×=-1．
【解析】（1）解：∵A（2，3），B（4，-2），∴k=，故答案为：；
19．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
（1）求出，的值和点的坐标；
（2）连接，直线上是否存在一点，使.如果存在，求出点的坐标；
（3）结合图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得，，
解得，；
把代入得，，
解得，；
联络方程组得，，
解得，，
A点坐标为：A（1，-3）．
（2）解：由（1）OC=4，A（1，-3）．
，
，
设P点坐标为（x，y），
，
，
，
当y=时，=x-4，
x=，P点坐标为；
当y=时，=x-4，
x=，P点坐标为；
纵上，P点坐标为或；
（3）解：根据图象可知，在A点或A点左侧时，，
故当x≤1时，．
20．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．善于学习的小明在学习了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：
一次函数与方程的关系： ⑴一次函数的解析式就是一个二元一次方程； ⑵点的横坐标是方程①的解； ⑶点的坐标中的，的值是方程组②的解． 一次函数与不等式的关系： ⑴函数的函数值大于时，自变量的取值范围是不等式③的解集； ⑵函数的函数值小于时，自变量的取值范围时不等式④的解集．
（1）请根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：
① ；② ；③ ；④ ．
（2）若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为 ；
不等式的解集为 ；
不等式的解集为 ；
不等式组的解集为 ．
【答案】（1）；；；
（2）；；；
【解析】（1）①；②；③；④；故答案为：；；；；
（2）若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为；不等式组的解集为．故答案为：；；；．
21．已知一次函数 的图象分别交x轴和y轴于B，D两点，另一个一次函数 的图象分别交x轴和y轴于C，E两点，且两个函数的图象交于点 ．
（1）当a，b为何值时， 与 的图象重合；
（2）当 时，求 的面积；
（3）当 ，且使得 时，始终有 ，求b 取值范围．
【答案】（1）解：∵y1与y2的图象重合，
∴a=b，
把点A（1，4）代入y1=ax+b，
∴a+b=4，
∴a=b=2；
（2）解：∵一次函数的图象分别交x轴和y轴于B，D两点， 一次函数的图象分别交x轴和y轴于C，E两点，
∴D（0，b），E（0，a），
把点A（1，4）代入y1=ax+b，
∴a+b=4，
∴b=4-a，
∴DE=，
∵DE=2，
∴=2，
∴a=1或a=3，
∴两条直线的解析式为y1=x+3，y2=3x+1，
∴B（-3，0），C（-，0），
∴BC=，
∴△ABC的面积=；
（3）解：∵x＜1时， 始终有y1＞y2，
∴ax+b＞bx+a，
∴（a-b） x＞a-b，
∵x＜1，
∴a-b＜0，
∵a+b=4，
∴a=4-b，
∴4-2b＜0，
∴b＞2，
∵0＜a＜4，
∴0＜4-2b＜4，
∴0＜b＜4，
∴b的取值范围为2＜b＜4.
22．已知一次函数.
（1）求证：该函数图象过点.
（2）若点，在函数图象上，当时，求k的取值范围.
（3）当时，得，求k的值.
【答案】（1）证明：在y＝k（x 1） 1（k≠0）中令x＝1，得y＝ 1，
∴该函数图象过点（1， 1）；
（2）解：∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在一次函数y＝k（x 1） 1（k≠0）的图象上，且（x1 x2）（y1 y2）＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴k＜0；
（3）解：∵当0≤x≤3时，-3≤y≤3
∴（0，﹣3），（3，3）或（3，-3），（0，3）在一次函数y＝k（x﹣1）-1（k≠0）的图象上，
∴﹣k﹣1＝﹣3，2k﹣1=3或2k﹣1=-3，﹣k﹣1＝3（不符合题意，舍去），
∴k=2.
23．如图，直线与直线和直线分别交于点E，D（D在E的上方）．
（1）直线和直线交于点M，填空：点M的坐标为 ；
（2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；
（3）点N是y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出t的值及点N的坐标．
【答案】（1）
（2）解：当时，；当时，．
∴D点坐标为，E点坐标为．
∵D在E的上方，
∴，且．
（3）当时，N点坐标为或；当时，N点坐标为；当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为
【解析】(1)解得
∴M，/，
故答案为：．
(3)∵△NDE为等腰直角三角形，
∴∠NED=90°，NE=DE或∠NDE=90°，ND=DE或∠END=90°，NE=ND.
若∠NED=90°，NE=DE时，则N(0，-t)，(t>0)或(t<0)，
解得t=-4(舍去)或，
∴N(0，)，
若∠NDE=90°，ND=DE，则N(0， )，(t>0)或(t<00
∴N(0，)，
若∠END=90°，NE=ND，则N(0， )，(t>0)或(t<0)
解得t=4或，
∴N 或N．
综上所述：当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为或；
当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为；
当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，经过原点的直线与直线交于点C．
（1）若，，求直线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，当点C的横坐标为1时，求的面积；
（3）当上时，如图2，若OC的长为h，求证．
【答案】（1）解：若，，则点，点，代入，
得：，
解得，
∴的函数解析式为．
（2）解：把代入，得，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：在，，设，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴左边右边，∴．
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浙教版2022-2023学年八上数学第5章 一次函数
专题2一次函数与代数综合问题 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．关于一次函数的表述正确的是（ ）
A．若函数图象经过第一、二、四象限，的值可能是3
B．无论为何值，图像一定经过
C．图象与轴的交点坐标
D．若两点，在该函数图象上，且，则
2．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第6题） （第7题） （第9题）
3．若关于，的二元一次方程组的解为，一次函数与的图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．将直线向上平移2个单位，相当于（ ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
6．如图，可以得出不等式组的解集是 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
8．小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线 ，其中 ，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
9．当k取不同的值时，y关于x的函数y=kx+2（k≠0）的图象为总是经过点（0，2）的直线，我们把所有这样的直线合起来，称为经过点（0，2）的“直线束”.那么，下面经过点（﹣1，2）的直线束的函数式是（ ）
A．y=kx﹣2（k≠0） B．y=kx+k+2（k≠0）
C．y=kx﹣k+2（k≠0） D．y=kx+k﹣2（k≠0）
10．已知一次函数 经过第一、二、三象限，且关于x的不等式组 恰有 4 个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），则不等式2x≥﹣x+a的解集为 ．
（第11题） （第13题）
12．若一次函数（，是常数）和（，是常数）图象相交于点，则式子的值是 ．
13．如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：对于函数来说，随的增大而增大；函数不经过第四象限；不等式的解集是；其中正确的是 ．
14．已知一次函数y＝kx＋b，且当－3≤x≤1时，1≤y≤9，则k＋b的值为
15．图形的变换就是点的变换，例如将直线y＝3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y＝﹣3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y＝3x﹣5，现将直线y＝﹣3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为 ．
16．已知直线 与直线 的交点坐标为 ，则直线 与直线 的交点坐标为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知一次函数y =kx+b的图象经过点A(-1，-1）和B(1.3).
（1）求此一次函数的表达式；
（2）点C(-3，-5)是否在直线AB上，请说明理由.
18．数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．
（1）已知直线经过，两点，请直接写出k= ．
（2）如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．
19．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
（1）求出，的值和点的坐标；
（2）连接，直线上是否存在一点，使.如果存在，求出点的坐标；
（3）结合图象，直接写出时的取值范围．
20．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．善于学习的小明在学习了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：
一次函数与方程的关系： ⑴一次函数的解析式就是一个二元一次方程； ⑵点的横坐标是方程①的解； ⑶点的坐标中的，的值是方程组②的解． 一次函数与不等式的关系： ⑴函数的函数值大于时，自变量的取值范围是不等式③的解集； ⑵函数的函数值小于时，自变量的取值范围时不等式④的解集．
（1）请根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：
① ；② ；③ ；④ ．
（2）若点，，的坐标分别为、、，则方程的解为 ；
不等式的解集为 ；
不等式的解集为 ；
不等式组的解集为 ．
21．已知一次函数 的图象分别交x轴和y轴于B，D两点，另一个一次函数 的图象分别交x轴和y轴于C，E两点，且两个函数的图象交于点 ．
（1）当a，b为何值时， 与 的图象重合；
（2）当 时，求 的面积；
（3）当 ，且使得 时，始终有 ，求b 取值范围．
22．已知一次函数.
（1）求证：该函数图象过点.
（2）若点，在函数图象上，当时，求k的取值范围.
（3）当时，得，求k的值.
23．如图，直线与直线和直线分别交于点E，D（D在E的上方）．
（1）直线和直线交于点M，填空：点M的坐标为 ；
（2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；
（3）点N是y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出t的值及点N的坐标．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，经过原点的直线与直线交于点C．
（1）若，，求直线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，当点C的横坐标为1时，求的面积；
（3）当上时，如图2，若OC的长为h，求证．
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