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第三章：实数复习学案答案
一．实数、平方根与立方根：
例1.（1）在实数：3.14159，，1.010010001…，，0，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
解析：3.14159，，0，是有理数，
1.010010001…，，是无理数，共有3个，
故选：C．
（2）下列说法中，错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B.的平方根是±2 C．8的立方根是±2 D．﹣1的立方根等于﹣1
答案：C
解析：A.9的算术平方根是3，正确，不符合题意；
B.，其平方根为±2，正确，不符合题意；
C.8的立方根是2，符合题意；
D．﹣1的立方根等于﹣1，正确，不符合题意．
故选：C．
（3）若，，则571.34的平方根约为（ ）
A．239.03 B．±75.587 C．23.903 D．±23.903
答案：D
解析：∵
∴，
故选：D．
（4）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．5和 B．和 C．和 D．﹣5和
答案：B
A：∵，
∴5和不互为相反数．∴A不合题意．
B：
∴和为相反数．∴B符合题意．
C：∵，
∴和不互为相反数．∴C不合题意．
D：∵，
∴﹣5和不互为相反数．
∴D不合题意．
故选：B．
（5）若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
解析： ，
，
，
即 ，
又 、 是正整数，
的最大值为28，
比36更接近28，
的值比较接近 ，即比较接近5.
故答案为：B.
1．的算术平方根是多少（ ）
A．±4 B．2 C．±2 D．4
答案：B
解析：＝4，4的算术平方根是2．
故选：B．
2．如果a，b是2022的两个平方根，那么a+b﹣2ab＝（ ）
A．0 B．2022 C．﹣4044 D．4044
答案：D
解析：∵a，b是2022的两个平方根，
∴a+b＝0，ab＝﹣2022，
∴a+b﹣2ab＝0﹣2×（﹣2022）
＝4044．
故选：D．
3．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b的平方根为
答案：
解析：∵a＜＜b
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝4+5＝9，
故a+b的平方根为±3．
故答案为：±3．
4.已知n是正整数，是整数，求n的最小值为
答案：6
解析：∵，
又∵n是正整数，是整数，
∴n的最小值是6，
故答案为：6．
5.某正数的两个平方根分别为a+1和2a﹣7，则a＝ ，这个正数是
答案：2，9．
解析：由题意得，
a+1+2a﹣7＝0，
解得a＝2，
a+1＝3，2a﹣7＝﹣3，
∴这个正数为9，
故答案为：2，9．
例2.已知a﹣1的立方根是2，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值．（2）求a﹣3b﹣c的平方根．
解析：（1）由题意，得a﹣1＝8，3a+b﹣1＝16，
解得a＝9，b＝﹣10，
∵3＜＜4，
∴c＝3．
（2）a﹣3b﹣c＝9﹣3×（﹣10）﹣3＝36，
∴36的平方根是±6．
1．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；（2）求这个正数m ；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
解析：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
2．已知a，b分别是4+的整数部分和小数部分．
（1）分别写出a，b的值；（2）求b2+2a的值．
解析：（1）∵1＜＜2，
∴5＜4+＜6，
∴a＝5，b＝﹣1；
（2）∵a＝5，b＝﹣1，
∴b2+2a＝+2×5＝4﹣2+10＝14﹣2．
例3（1） 已知实数满足，求
的值．
（2）. 已知实数在数轴上的位置如图所示，请简化：．
解析：（1）由题意得，
解得．
原式
（2）原式
1.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？请说明理由．
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为，小数部分为，求的平方根．
解析：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜6.25＜9，
∴2＜＜2.5＜3，
∴小正方形的边长在2和3之间，与2较接近；
（2）阴影部分的面积==；
（3）∵2＜＜3，
∴的整数部分为x=2，小数部分为y=，
∴==4，
∴的平方根为±2．
例4.阅读下列信息材料信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是___________，小数部分是______________；
（2）若，则的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；
（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则______；
（4）若，其中是整数，且，请求的相反数．
解析：（1）
∴
的整数部分是3，小数部分是
故答案为：3；；
（2）因为,故则的整数部分是21，的小数部分可以表示为.
故答案为：21；；
（3）因为，
∴，即，
所以,，
故，
故答案为：23；
（4），
，
∵，是整数，
∴x=2，
∴y=，
，
的相反数是．
1.操作探究：已知在纸面上有一数轴如图所示
（1）折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合；
（2）折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数______表示的点重合；
②表示的点与数______表示的点重合；
③若数轴上A,B两点之间距离为9(A在B的左侧)，且A,B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是______、点B表示的数是______
(3)已知在数轴上点A表示的数是，点A移动4个单位，此时点A表示的数和是互为相反数，求的值．
解析：（1）折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，折叠点对应的数为，
设与表示的点重合的点表示的数为，于是有，解得，
故答案为2；
（2）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，折叠点对应的数为，
①设与5表示的点重合的点表示的数为，于是有，解得
②设与表示的点重合的点表示的数为，于是有，解得
③设点A所表示的数为，点B表示的数为，由题意得：
且，解得，
（3）①A往左移4个单位：解得：．
②A往右移4个单位：，解得：．
答：的值为2或．
二．实数的运算：
例5.计算下列各式：
（1） （2）
解析：原式 原式
（3） （4）
原式 原式
(5) (6)
原式 原式
计算下列各式：
（1） （2）
原式 原式
（3）； （4）．
原式 原式
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复习作业
一．选择题：
1.下列说法不正确的是（ ）
A．21的平方根是 B．的平方根是
C．0.01的算术平方根是0.1 D．﹣5是25的一个平方根
2.的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
3.有一个边长为9cm的正方形和一个长为24cm，宽为6cm的长方形，作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长为（ ）
A．15cm B．10cm C．5cm D．25cm
4.下列说法错误的是（ ）
A．中的a可以取正数、负数、零 B．是的一个平方根
C．的立方根为±2 D．表示2的算术平方根
5.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．ac＞0 B．|b|＜|c| C．a＜﹣d D．b+d＞0
6.与实数最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7.下列计算正确的是
A． B． C． D．
8.有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式正确的有（ ）个．
①abc＜0；②b﹣a+c＜0；③；④；⑤|b﹣a|﹣|a+c|﹣|a﹣c|＝a+b
A．1 B．2 C．3 D．4
9.下列说法：①0是最小的整数；②最大的负整数是；③正有理数和负有理数统称为有理数；④立方等于它本身的数只有0，1．其中正确的是
A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②
10．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．解答题：
11.计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
12．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
13.将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，求与表示的两数之积.
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
14.已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，求a+b+c的算术平方根．
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复习作业答案
一．选择题：
1.答案：B
解析：A．21的平方根是，正确，故选项不符合题意；
B． 的平方根是，原说法错误．故选项符合题意；
C．0.01的算术平方根是0.1，正确，故选项不符合题意；
D．﹣5是25的一个平方根，正确，故选项不符合题意；故选：B．
2.答案：D
解析：＝9，9的平方根为±＝±3，
故选：D．
3.答案：A
解析：所作的正方形的面积为9×9+24×6＝225（cm2），
所以所作的正方形的边长为＝15（cm），
故选择：A．
4.答案：C
解析：A选项，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故该选项不符合题意；
B选项，的平方根有2个，是的一个平方根，故该选项不符合题意；
C选项，＝8，8的立方根是2，故该选项符合题意；
D选项，表示2的算术平方根，故该选项不符合题意；
故选：C．
5.答案：D
解析：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1＜2＜d＜3，
A、ac＜0，原结论错误，故此选项不符合题意；
B、|b|＞|c|，原结论错误，故此选项不符合题意；
C、a＞﹣d，原结论错误，故此选项不符合题意；
D、b+d＞0，原结论正确，故此选项符合题意；
故选：D．
6.答案：B
解析：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
又∵3.52＝12.25，且11＜12.25，
∴更接近3，
∴﹣1更接近2，
故选：B．
7.答案：C
解析：、原式，故不符合题意．
、原式，故不符合题意．
、原式，故符合题意．
、原式，故不符合题意．
故选：．
8.答案：B
解析：由题意可得：a＜c＜0＜b，|a|＞|c|＞|b|，
∴abc＞0，故①中结论错误，不符合题意；
b﹣a+c＞0，故②中结论错误，不符合题意；
，
∴，故③中结论正确，符合题意；
∵a＜c＜0，b＞0，
∴|a|＞|c|，
∴，
∴，故④中结论错误，不符合题意；
∵b﹣a＞0，a+c＜0，a﹣c＜0，
∴|b﹣a|﹣|a+c|﹣|a﹣c|＝b﹣a+a+c+a﹣c＝a+b，故⑤中结论正确，符合题意；
正确的结论共2个，
故选：B．
9.答案：D
解析：①没有最小的整数，故①说法错误；
②最大的负整数是，故②说法正确；
③正有理数、0和负有理数统称为有理数，故③说法错误；
④立方等于它本身的数只有，0，1，故④说法错误．
故其中正确的说法是②．
故选：．
10.答案：C
解析：，当为奇数时，这个连续奇的和中为中间这个数，
当为偶数时，这个连续奇的和中为正中间这个数
∴，
，
∴，
故选择：C
二．解答题：
11.解析：（1）
（2）
（3）
（4）
12.解析：（1）∵一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
∴，解得：，
（2）正数的两个平方根为：，
∴，
（3）关于x的方程ax2﹣16＝0，
∵，
∴，∴
13.解析：∵第4排最后一个数为第10个数（1+2+3+4=10），
∴（5，4）表示第14个数（10+4=14），
∵14÷4=3…2，
∴（5，4）表示的数为，
∵第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+…+10==55，
∴（11，7）表示第62个数（55+7=62），
∵62÷4=15…2，
∴（11，7）表示的数为，
则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是×=2．
14.解析：根据题意可得，，
∵，
∴，
∴，
∵c是9的平方根，
∴，
∴当时，，14的算术平方根为；
当时，，8的算术平方根为．
∴的算术平方根是或．
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第三章：实数复习学案
一．实数、平方根与立方根：
例1.（1）在实数：3.14159，，1.010010001…，，0，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）下列说法中，错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B.的平方根是±2 C．8的立方根是±2 D．﹣1的立方根等于﹣1
（3）若，，则571.34的平方根约为（ ）
A．239.03 B．±75.587 C．23.903 D．±23.903
（4）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．5和 B．和 C．和 D．﹣5和
（5）若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
1．的算术平方根是多少（ ）
A．±4 B．2 C．±2 D．4
2．如果a，b是2022的两个平方根，那么a+b﹣2ab＝（ ）
A．0 B．2022 C．﹣4044 D．4044
3．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b的平方根为
4.已知n是正整数，是整数，求n的最小值为
5.某正数的两个平方根分别为a+1和2a﹣7，则a＝ ，这个正数是
例2.已知a﹣1的立方根是2，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值．（2）求a﹣3b﹣c的平方根．
1．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；（2）求这个正数m ；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
2．已知a，b分别是4+的整数部分和小数部分．
（1）分别写出a，b的值；（2）求b2+2a的值．
例3（1） 已知实数满足，求
的值．
（2）. 已知实数在数轴上的位置如图所示，请简化：．
1.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？请说明理由．
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为，小数部分为，求的平方根．
例4.阅读下列信息材料信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是___________，小数部分是______________；
（2）若，则的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；
（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则______；
（4）若，其中是整数，且，请求的相反数．
1.操作探究：已知在纸面上有一数轴如图所示
（1）折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合；
（2）折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数______表示的点重合；
②表示的点与数______表示的点重合；
③若数轴上A,B两点之间距离为9(A在B的左侧)，且A,B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是______、点B表示的数是______
(3)已知在数轴上点A表示的数是，点A移动4个单位，此时点A表示的数和是互为相反数，求的值．
二．实数的运算：
例5.计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
(5) (6)
计算下列各式：
（1） （2）
（3）； （4）．
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