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浙教版2022-2023学年八上数学第5章 一次函数
专题3一次函数几何综合问题 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
2．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线 经过坐标原点，且 ，垂足为C，则点C到y轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角ΔABC，∠BAC=90°，则直线BC的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，图中小正方形的组合图形是棱长为1的正方体一种表面展开图，过小正方形的顶点A，B，C，D的线段AB，CD与经过小正方形的顶点E，F的直线交于点M，N，则线段MN的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点在直线上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
6．如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线 绕点B顺时针旋转 交x轴于点C，则线段 长为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，将长为 ，宽为 的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数 的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知△ABC的三个顶点A(a，0)、B(b，0)、C(0，2a)(b＞a＞0)，作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C， 若点B1恰好落在y轴上，则 的值为( )
A． B． C． D．
9．如图，在 中， ，顶点 的坐标为 ， 是 上一动点，将点 绕点 逆时针旋转90°，当点 的对应点 落在 边上时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（ ）
A．（7，0） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC，点C的坐标为（﹣2，﹣1），则点A坐标为 ，点B坐标为 ．
12．如图所示，点A的坐标为（4，0），点B从原点出发，沿Y轴负方向以延长线 秒1个单位速度运动，分别以OB，AB为直角边在第三、四象限作等腰直角三角形 OBF ，等腰直角三角形 ABE ，连结EF于y轴于点P，当点B在y轴上运动时，经过t秒，点E的坐标是 （用含t的代数式表示），PB的长是 。
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B.
（1）k的值为 ；
（2）y轴上有点M（0， ），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 OMP全等，则符合条件的点P的坐标为 .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边AB的端点A、B分别在y轴和x轴上，且点A(0，4)，B(3，0)，直角顶点C在第一象限，则点C的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 ．
16．如图，已知点 ，直线 与两坐标轴分别交于A，B两点 点D，E分别是OB，AB上的动点，则 周长的最小值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题10分，第20～22题每题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(-2，-2)，B(1，4)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积.
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x+1交y轴于点A，直线l2：y x+t分别交y轴，x轴，直线l1于点B，C，D.
（1）求点A的坐标，并用含t的代数式表示B，C，D的坐标；
（2）当t＞0时，若S△OBC＝S△OBD，求t的值；
（3）P是x轴上的一点，连结AP，DP，若AP＝DP，且∠APD＝Rt∠，求t的值.
19．已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A.
（1）探求定点A的坐标.把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为 .
（2）如图1，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值.
（3）如图2，设直线l与y轴交于点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点.当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B.
（1）求点B的坐标；
（2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方.
①当MN＝2时，求△BMN的面积；
②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条件所有点Q的坐标.
21．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0， ）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）.
（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式.
（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）.
（3）在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝ x+ 上时，求m的值.
22．如图，已知直线 交x轴于A，交y轴于B，过B作 ，且 ，点C在第四象限，点 .
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点M是直线AB上一动点，当 最小时，求点M的坐标；
（3）点P、Q分别在直线AB和BC上， 是以RQ为斜边的等腰直角三角形 直接写出点P的坐标.
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浙教版2022-2023学年八上数学第5章 一次函数
专题3一次函数几何综合问题 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【答案】C
【解析】点P关于x轴的对称点为点B，
点P1的坐标为（4，-2），
在△OAB和△OAP1中，
∵ ，∴△OAB和△OAP1（SSS），
过点A作AP∥BO，过点O作OP∥BA，
则四边形PABO为平行四边形，
所以OP=AB，AP=OB，
在△OAP和△AOB中，
∵ ，
△OAP≌△AOB（SSS），
∴ ， ，
点P（-2，-2），
∴满足条件的P点的坐标（-2，-2）或（4，-2）.
故答案为：C.
2．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线 经过坐标原点，且 ，垂足为C，则点C到y轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】在 中，当x=0时，y=5
当y=0时， ，解得：x=10
∴OA=10；OB=5
∴在Rt△AOB中，
∵
∴ ， ，解得：
∴在Rt△BOC中，
过点C作CD⊥y轴
∴ ， ，解得：
故答案为：B
3．如图，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角ΔABC，∠BAC=90°，则直线BC的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于直线y= x+2，令x=0，得到y=2，即B（0，2），OB=2，
令y=0，得到x=-3，即A（-3，0），OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中， ，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C（-5，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），
∴ ，
解得 ．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=- x+2．
故答案为：C．
4．如图，图中小正方形的组合图形是棱长为1的正方体一种表面展开图，过小正方形的顶点A，B，C，D的线段AB，CD与经过小正方形的顶点E，F的直线交于点M，N，则线段MN的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，以点A为原点，AE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
则点E的坐标为（2，0），点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（3，1），点B的坐标为（3，-1），点C的坐标为（4，1），
设直线CD的解析式为，
∴，∴ ，∴直线CD的解析式为，
同理求出直线EF的解析式为，直线AB的解析式为，
联立，解得，∴点M的坐标为 ，
联立，解得，
∴点N的坐标为 ，
∴.
故答案为：D.
5．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点在直线上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解析】如图，分别过点B和点C作交AE与于点M，交DF与点N ，
则BM=1，OM=3
将点B（3，1）代入
解得：k=-1
∴直线解析式为：
∵四边形形ABCD为正方形
∴AD=AB=CD
∵，
∴
∴
∴OA=BM=1，AM=OD=2，
同理可证
∴CN=OD=2，DN=OA=1
∴点C坐标为（2，3）
将点C向下平移m个单位后坐标为（2，3-m）
将（2，3-m）代入
得：3-m=-2+4
解得：m=1．
故答案为：B．
6．如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线 绕点B顺时针旋转 交x轴于点C，则线段 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= x，
解得：x= +1，
∴AC= x= （ +1）= ，
故答案为：A.
7．如图，将长为 ，宽为 的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数 的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设矩形①和矩形②的对称中心为A，设矩形③和矩形④的对称中心为B，
可知A（2.5，3），B（1，1.5），
设直线AB的解析式为y=k′x+b，
则 ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y=x+0.5，
当x=0，则y=0.5，当x=3，则y=3.5，
∴C（3，3.5），D（0，0.5），
取线段CD的中点E，则E（1.5，2），
∵CF∥OD，
∴∠EDO=∠ECF，
∵∠DEO=∠CEF，CE=DE，
∴△DEO≌△CEF（ASA），
∴S△DEO=S△CEF，
∴直线OE等分所组成的图形的面积，
把E（1.5，2）代入y=kx，解得：k= ，
故答案为：D．
8．如图，已知△ABC的三个顶点A(a，0)、B(b，0)、C(0，2a)(b＞a＞0)，作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C， 若点B1恰好落在y轴上，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ A(a，0)、B(b，0)、C(0，2a)
∴OA=a，OB=b，OC=2a，
∴AB=b-a
∵ △ABC关于直线AC的对称图形△AB1C，
∴AB=AB1，CB1=CB,
在Rt△AOB1中
AB12=AO2+OB12
∴（b-a）2=a2+OB12
解之：；
∴CB1=
在Rt△COB中
CB2=CO2+OB2
∴
整理得：即
∵b≠0
两边平方得：4（b2-2ab）=b2
∴3b2=8ab
∵b≠0∴3b=8a
∴.
故答案为：D.
9．如图，在 中， ，顶点 的坐标为 ， 是 上一动点，将点 绕点 逆时针旋转90°，当点 的对应点 落在 边上时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点 作 的垂线交于点 ，如下图：
由题意 ，
为等腰直角三角形， ，
设直线 的方程为 ，
将 代入 中，
，
解得： ，
，
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
故答案为：A.
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（ ）
A．（7，0） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）
【答案】B
【解析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，
∵B（3，﹣3），A（6，0），
∴OD＝DA＝BD＝3，
∵△PBC为等腰直角三角形，
∴PB＝BC，∠PBC＝90°，
∵∠PBD+∠CBF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠PBD＝∠BCF，
∴△PDB≌△BFC（AAS），
∴DP＝BF，BD＝CF＝3，
∴CE＝EF+CF＝6，
∵OC＝10，
∴EO＝ ＝ ＝8，
∴DF＝8，
∴BF＝5，
∴DP＝5，∴OP＝DP+OD＝8，∴P（8，0）.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC，点C的坐标为（﹣2，﹣1），则点A坐标为 ，点B坐标为 ．
【答案】（﹣1，2）；（﹣3，1）
【解析】如图，过点A作AD⊥y轴于D，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥CE交CE的延长线于F，
∵C( 2, 1)，
∴OE=2，CE=1，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC=BC，
易求∠AOD=∠COE=∠BCF，
又∵
∴△AOD≌△COE≌△BCF，
∴AD=CE=BF=1，OD=OE=CF=2，
∴点A的坐标为( 1,2)，EF=2 1=1，
点B到y轴的距离为1+2=3，
∴点B的坐标为( 3,1).
故答案为：( 1,2);( 3,1).
12．如图所示，点A的坐标为（4，0），点B从原点出发，沿Y轴负方向以延长线 秒1个单位速度运动，分别以OB，AB为直角边在第三、四象限作等腰直角三角形 OBF ，等腰直角三角形 ABE ，连结EF于y轴于点P，当点B在y轴上运动时，经过t秒，点E的坐标是 （用含t的代数式表示），PB的长是 。
【答案】（-t，-t）；2
【解析】 解：如图：作EN⊥y轴于点N，
∵ B从原点出发，沿Y轴负方向以延长线 秒1个单位速度运动，
∴OB=t，
又∵分别以OB，AB为直角边作等腰直角三角形OBF、ABE，
∴OB=OF=t，AB=EB，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠OAB，
在△ABO和△BEN中，
∵，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴OB=NE=FB=t，OA=NB=4，
∴ON=OB+BN=t+4，
∴E（t，-t-4）；
∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，
在△BFP和△NEP中，
∵，
∴△BFP≌△NEP（AAS），
∴BP=NP=2.
故答案为：（t，-t-4）；2.
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B.
（1）k的值为 ；
（2）y轴上有点M（0， ），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 OMP全等，则符合条件的点P的坐标为 .
【答案】（1）﹣
（2）（ ， ）或（ ， ）
【解析】（1）把（3，0）代入y＝kx＋4，
得：0＝3k＋4，
解得：k＝﹣ ，
故答案为：﹣ ；
（2）由（1）得：直线AB的解析式为y＝﹣ x＋4，
①如图①，过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，
∴∠PMO＝∠OQP＝90°，
令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵ ×AB OQ＝ ×OA OB，
∴OQ＝ ，
∴OQ＝OM，
在Rt OPM和Rt OPQ中，
，
∴ OPM≌ OPQ（HL），
∵MP⊥OB于M，
∴P点纵坐标是 ，
∵点P在y＝﹣ x＋4，
∴将y＝ 代入y＝﹣ x＋4，
得： ＝﹣ x＋4，
解得：x＝ ，
∴P（ ， ）；
②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ时，
过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，
∵OB＝BP，
∴∠MOP＝∠QPO，
∴在 MOP和 QPO中，
，
∴ MOP≌ QPO（SAS），
∴ ，
∵OM＝PQ，
∴PF＝OE＝ ，
∴点P的横坐标为 ，
∵点P在y＝﹣ x＋4，
∴把x＝ 入y＝﹣ x＋4得：y＝ ，
∴P（ ， ），
综上所述：线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 OMP全等，符合条件的点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）.
故答案为：（ ， ）或（ ， ）.
14．已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边AB的端点A、B分别在y轴和x轴上，且点A(0，4)，B(3，0)，直角顶点C在第一象限，则点C的坐标为 ．
【答案】
【解析】过C作CE⊥OA于点E，过C作CF⊥OB于点F，如图：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACE+∠ECB=90°，
∵CE⊥OA，CF⊥OB，∠AOB=∠AEC=∠CFB=90°，
∴四边形OECF为矩形，
∴∠BCF+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCF，
在△CAE和△CBF中，
∵，∴△CAE≌△CBF（AAS），
∴CE=CF，AE=BF，
∵ A(0，4)，B(3，0)，∴OA=4，OB=3，∴OA-AE=OB+BF，
即4-AE=3+AE，
解得：AE=BF=，∴BF=OE=3+=，∴C（，）.
故答案为：（，）.
15．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 ．
【答案】（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3 ）或（0，6+3 ）．
【解析】△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），分情况讨论：
①如图：当PE=OE时，PE⊥OC，则PF⊥y轴，则OF=PE=3,故F点的坐标是（0,3）；
②当OP=PE时，∠OPE=90°=∠FPE，则F点与点O重合，故点F的坐标为（0,0）；
③当OP=OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF。
∴BF=AE=OE-AO=
此时，OF=3- ，
当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF=AE=OE+AO= ，
此时，OF=3+ ，
∴点F的坐标是（0,6- ）或（0， ）
故答案为： （0，0）或（0，3）或（0，6﹣3 ）或（0，6+3 ）
16．如图，已知点 ，直线 与两坐标轴分别交于A，B两点 点D，E分别是OB，AB上的动点，则 周长的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图，作点C关于OB的对称点 ，作点C关于AB的对称点 ，连接 ，交AB于点E，交OB于点D，
直线 与两坐标轴分别交于A，B两点
点 ，点
，且 ，
，
点C关于OB的对称点 ，
∴ ,
点C关于AB的对称点 ，
∴AC= ，∠BAO=∠ =45°，
∴ =90°，
点
由轴对称的性质，可得CE= ，CD=D ，
当点 ，点E，点D，点 共线时， 的周长=CD+CE+DE= +DE+ D= ，
此时 的周长最小，
在Rt△ 中， .
的周长最小值为
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题10分，第20、21、22题每题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(-2，-2)，B(1，4)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积.
【答案】（1）解：把A(-2，-2)，B(1，4)代入y=kx+b得
，解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：将x=0代入 ，得：y=2，
将y=0代入 ，得：x=-1，
∴点C和点D的坐标分别为C（-1，0），D（0，2）；
（3）解： ，
∴△DOB的面积为1.
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x+1交y轴于点A，直线l2：y x+t分别交y轴，x轴，直线l1于点B，C，D.
（1）求点A的坐标，并用含t的代数式表示B，C，D的坐标；
（2）当t＞0时，若S△OBC＝S△OBD，求t的值；
（3）P是x轴上的一点，连结AP，DP，若AP＝DP，且∠APD＝Rt∠，求t的值.
【答案】（1）解：∵直线l1：y x+1交y轴于点A，
令 ，则 ，
故点A的坐标为： ，
∵直线l2：y x+t分别交y轴，x轴交于B，C，
令 ，则 ，
∴ 点的坐标为： ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点C的坐标为： ，
∵直线l2：y x+t与直线l1交于点D，
则 ，
解得： ，
故点D的坐标为： ；
（2）解：连接 ，
∵当t＞0时， S△OBC＝S△OBD，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ；
（3）解：过点D作 轴于H，
设 ，
∵∠APD＝Rt∠，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
当 时，
，
解得： 或 ( 重合舍去)，
故 ，
当 时，
，
解得： 或 (舍)，
故 ，
综上： 或 .
19．已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A.
（1）探求定点A的坐标.把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为 .
（2）如图1，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值.
（3）如图2，设直线l与y轴交于点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点.当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长.
【答案】（1）(-3，1)
（2）BC=4，BD=3，在Rt△BCD中，由勾股定理CD= ，
∵AC=-3+4=1，
∵CA+CE= ，CE= = ，
∴CE：CD= ：5=1：2，
∴E为CD的中点， ，E（-2，2.5），
∵点E在直线l上，
则2.5＝-2k+3k+1，
则k=1.5；
（3）当直线l： 过（0，5），
则 ，
解得 ，
另一直线 ，
则 ，点Q1（0，2），
当直线l： 过（0，10），
则 ，
解得 ，
另一直线 ，
则 ，点Q2（0，7），
Q1Q2=7-2=5，
F1为EQ1中点，E（-3，1），Q1（0，2），
，
F1（ ， ）
F2为EQ2的中点，E（-3，1），Q2（0，7），
，
F1F2=4- =2.5.
【解析】（1）y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标；
故答案为：(-3，1)；
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B.
（1）求点B的坐标；
（2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方.
①当MN＝2时，求△BMN的面积；
②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条件所有点Q的坐标.
【答案】（1）解：∵直线l2：y＝﹣x与l1交于点B，
∴联立方程组可得 ，
解得： ，
∴B点坐标为（﹣2，2）；
（2）解：①如图，设平行于y轴的动直线为：直线x＝m，
过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D，
∴M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，﹣m），
∴MN＝m＋4﹣（﹣m）＝2，
解得：m＝﹣1，
又∵B点坐标为（﹣2，2），
∴BD＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴S△BMN＝ MN BD＝ ＝1；
②如图，
i）在Rt△MNQ中，当MN∶QN＝3∶4时，
设MN＝3a，QN＝4a，
∴N点坐标为（﹣4a，4a），M点坐标为（﹣4a，﹣4a＋4），Q点坐标为（0，4a），
∴MN＝﹣4a＋4﹣4a＝3a，
解得：a＝ ，
∴Q点坐标为（0， ），
ii）在Rt△MNQ中，当QN∶MN＝3∶4时，
设MN＝4a，QN＝3a，
∴N点坐标为（﹣3a，3a），M点坐标为（﹣3a，﹣3a＋4），Q点坐标为（0，3a），
∴MN＝﹣3a＋4﹣3a＝4a，
解得：a＝ ，
∴Q点坐标为（0， ），
综上，Q点坐标为（0， ）或（0， ）.
21．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0， ）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）.
（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式.
（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）.
（3）在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝ x+ 上时，求m的值.
【答案】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，如图：
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=∠NAC+∠MAB=90°，
∴∠NCA=∠MAB，
∵CA= AB，
∴Rt△NCA Rt△MAB，
∴NC= MA，NA= MB，
∵点B的横坐标为 ，
∴点B的坐标为（9， ），
∴NC= MA= MO- OA=9-4=5，NA= MB= ，ON= OA - NA= ，
∴点C的坐标为（ ， ），
设直线BC的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，如图：
同理可证Rt△FAB Rt△EBD，
∴AF= BE，FB= DE，
∵点B的横坐标为 ，
∴AF= BE= ，FB= DE= ，
∴点D的坐标为（ ， ），即D（ ， ），
∴ ；
（3）①当∠ABP=90°时，
由（2）可知D与P重合，
∴点P的坐标为（ ， ），
由题意得，点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
②当∠BAP=90°时，如图：
同理可证明Rt△HAP Rt△GPA，
∵点B的坐标为（ ， ），
∴PH=AG= ，AH=BG= ，
∴点P的坐标为（ ， ），即（ ， ），
点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
综上，m的值为 或 .
22．如图，已知直线 交x轴于A，交y轴于B，过B作 ，且 ，点C在第四象限，点 .
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点M是直线AB上一动点，当 最小时，求点M的坐标；
（3）点P、Q分别在直线AB和BC上， 是以RQ为斜边的等腰直角三角形 直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：当 时， ，
当 时， ， ，
过C作 轴，垂足为H，
， ，
， ，
≌ ，
， ， ，
，
（2）解：作点C关于直线AB的对称点C′
，
点C′在直线BC上，且C′（-2,5）
连结 RC′交直线AB于M，
设直线RC′的解析式为
则 ，解得
，
，
，
；
（3）解： 当点P在第二象限时，如下图，
过点P作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点G，交x轴于点H，延长GQ交y轴于点M，
， ，
，
又 ， ，
≌ ，
， ，
设：点P、Q的坐标分别为 、 ，
，即： ，
，即： ，
联立 并解得： ，
故点P的坐标 ，
当点P在第一象限时，
同理可得：点P的坐标为 ，
故：点P的坐标为 或
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