2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.1 圆（2） 同步练习
一、选择题
1．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1
【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：若A，B，C三个点不在同一直线上， 过三点的圆有且只有一个；
若A，B，C三个点在同一直线上， 过三点的圆有0个．
故答案为：D
【分析】过不在一直线上的三点可以确定一个圆，若三个点在同一直线上则不能确定一个圆。
2．可以作圆且只可以作一个圆的条件是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．过三个已知点 D．过不在同一条直线上的三个点
【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解： A. 只知道圆心，不知道半径，不能确定一个圆，不符合题意；
B. 只知道半径，不知道圆心，不能确定一个圆，不符合题意；
C. 不在一条直线上的三点才能确定一个圆，不符合题意；
D. 过不在一直线上的三点可以确定一个圆，符合题意.
故答案为：D.
【分析】（1）定点圆心、定长半径才能确定一个圆；
（2）定点圆心、定长半径才能确定一个圆；
（3）过不在一直线上的三点可以确定一个圆；
（4）过不在一直线上的三点可以确定一个圆.
3．（2017九下·泉港期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣2，1）
C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选C．
【分析】根据垂径定理可得：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．然后由点A的坐标为（﹣3，2），即可得到点O的坐标．
4．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆，因为只有C选项中的三点能构成三角形，故答案为：C.
【分析】根据经过不在同一直线上的三点可以确定圆可求解。
5．一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，不能选择的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：圆弧上的三点确定一个圆.故答案为：C
【分析】根据三点确定一个圆可得③不能选。
6．如图，将 放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：
点O为 外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ．
故答案为：A
【分析】能够完全覆盖这个三角形的最小圆即为三角形ABC的外接圆，作出线段AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心O，由图即可求得半径AO的长。
7．在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（ ）
A．100πcm B．15πcm C．25πcm D．50πcm
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=
∴外接圆的半径r=
∴外接圆的面积为25πcm
故答案为：C.
【分析】用勾股定理可求得AB的长，根据90度的圆心角所对的弦是直径可得外接圆的半径r=AB，所以外接圆的面积=.
8．如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△CBE B．△ACD C．△ABE D．△ACE
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC．∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，
∵OB=OE=OC，∴O是△CBE的外心，故A不符合题意；
∵OA=OC≠OD，∴O不是△ACD的外心，故B符合题意；
∵OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，故C不符合题意；
∵OA=OE=OC，∴O是△ACE的外心，故D不符合题意．
故答案为：B
【分析】连接OA、OB、OD．
（1）根据三角形外心的意义可得OA=OB=OC，而四边形OCDE为正方形，根据正方形的性质可得OA=OB=OE，所以OB=OE=OC，即O是△CBE的外心；
（2）由（1）中的结论和已知条件可得OA=OC≠OD，所以O不是△ACD的外心；
（3）由（1）中的结论可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心；
（4）由（1）中的结论可得OA=OE=OC，所以O是△ACE的外心。
9．下列命题：(1)经过三点一定可以作圆；(2)任一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；(3)任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；(4)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：根据在同一平面内，经过不在同一直线上的三点，确定一个圆，可知（1）不正确，（2）正确；任意一个圆有无数个内接三角形，（3）不正确；三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，所以到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确.
故答案为：B
【分析】（1）在同一平面内，经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
（2）任一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
（3）任意一个圆有无数个内接三角形；
（4）三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，所以到三角形三个顶点的距离相等。
二、填空题
10．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是 ．
【答案】5x+2y≠9
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴ ，
解得：k=﹣ ，b= ，
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+ ，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5x+2y≠9，
故答案为：5x+2y≠9．
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可；
11．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 .
【答案】3
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为 BD=3．
故答案为：3
【分析】根据90度的圆心角所对的弦是直径可得AB、AD分别为Rt△ABC和Rt△ACD的外接圆的圆心，所以两三角形的外心距为△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得两三角形的外心距=BD。
12．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵AD=2 ，AE=AF= ，AB=3 ，
∴AB＞AE＞AD，
∴ 时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，
故答案为： ．
【分析】由题意计算AD、AE、AB的长即可求得r的取值范围。
13．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径= ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵a+b2+|c-6|+28=4 +10b，
∴（a-1-4 +4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（ -2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴ 2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2，
解得，r= ，
故答案为： ．
【分析】将a、b、c满足的等式根据完全平方公式整理可得，根据平方和绝对值的非负性可求得a、b、c的值，即可求得三角形的三边长，作CD⊥AB于点D，用勾股定理列方程即可求解。
14．（2018九上·广州期中）如图，点O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠OBC= °．
【答案】40
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
∵BO=CO，
∴∠OBC=(180° 100°)÷2=40°，
故答案为：40.
【分析】先利用三角形的外心即三边垂直平分线交点这一知识点，求得∠BOC的度数，然后再利用等腰三角形的性质求得底角∠OBC的度数即可。
15．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O′．
当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，
Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2，
∴x2=（4-x）2+32，
解得x= ，
∴OE=4- = ，
∵O′B=O′D，AE=DE，
∴O′E= AB=2，
∴OO′=O′E-OE= ，
∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′= ．
故答案为：
【分析】连接AC、BD交于点O′．因为三角形外接圆的圆心在线段AD的垂直平分线上，于是可分情况讨论圆心所在的具体位置：①当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，②当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，解直角三角形OED可求得PO的长，则OE=PE-PO，O′E=PE，所以OO′=O′E-OE，由图像可得△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′可求解。
三、解答题
16．考古学家发现了一块古代圆形陶器残片如图所示，为了修复这块陶器残片，需要找出圆心．
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）写出作图的主要依据：
【答案】（1）解：如图所示，点O即为所求作的圆心；
（2）解：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）在残片上任取三点A、B、C，连接AB、BC，作出AB、BC的垂直平分线，其交点即为圆心；
（2）依据是：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆。
17．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A、B、C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力同时顾及三个洞口？作出这个位置．
【答案】解：如图，连接 分别作线段 的垂直平分线，且相交于点 ，点 即为所求．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】由题意这个洞口到A、B、C的距离相等，所以作出AB、BC的垂直平分线，其交点即为所求。
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）．
【答案】解：如图，⊙O即为所求．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据90度的圆周角所对的弦是直径可知AB是圆的直径，作出AB的垂直平分线与AB的交点即为圆心O，以点O为圆心、AB的一半为半径画圆即为所求。
19．如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．
【答案】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
所以
设OA=r，
即
解得
答：△ABC外接圆的半径为
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】作AD⊥BC，垂足为D，由垂径定理可得AD经过圆心O，根据勾股定理可求得AD，在直角三角形BOD中，用勾股定理可求得关于圆的半径的方程，解方程即可求解。
20．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
（2）若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径．∵AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米，∴△ABC外接圆的半径为5米，
∴小明家圆形花坛的面积为25π米2
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据圆上的每一点到圆心的距离都相等可得，只需找出A、B、C三点所在圆的圆心即可求解，而三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以作出线段AB、BC的垂直平分线，以垂直平分线的交点为圆心，交点与点A的连线段为半径画圆即可；
（2）根据90度的圆心角所对的弦是直径可得BC是⊙O的直径，用勾股定理即可求直径BC的长，则圆形花坛的面积=。
21．如图是一块残缺的圆轮片，点A、C在圆弧上．
（1）用尺规作出 的中点B，再作出△ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若 ， ，求外接圆的半径．
【答案】（1）解：
利用垂径定理得出 、 的垂直平分线交点即是圆心到任意一点距离即是半径．
（2）解：∵ ， ，∴ ．又∵ ， ，∴ ≌ ，
∴ 和= 是等边三角形，
∴ ．∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴半径为 ．
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点可得，作AB、BC的垂直平分线交点即是圆心，到任意一点距离即是半径；
（2）用边角边易证△AOB≌△COB，可得△BOC和△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册3.1 圆（2） 同步练习
一、选择题
1．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1
2．可以作圆且只可以作一个圆的条件是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．过三个已知点 D．过不在同一条直线上的三个点
3．（2017九下·泉港期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣2，1）
C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
4．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
5．一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，不能选择的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．如图，将 放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B． C．2 D．
7．在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（ ）
A．100πcm B．15πcm C．25πcm D．50πcm
8．如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△CBE B．△ACD C．△ABE D．△ACE
9．下列命题：(1)经过三点一定可以作圆；(2)任一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；(3)任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；(4)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是 ．
11．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 .
12．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 ．
13．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径= ．
14．（2018九上·广州期中）如图，点O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠OBC= °．
15．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是 ．
三、解答题
16．考古学家发现了一块古代圆形陶器残片如图所示，为了修复这块陶器残片，需要找出圆心．
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）写出作图的主要依据：
17．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A、B、C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力同时顾及三个洞口？作出这个位置．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）．
19．如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．
20．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
（2）若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
21．如图是一块残缺的圆轮片，点A、C在圆弧上．
（1）用尺规作出 的中点B，再作出△ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若 ， ，求外接圆的半径．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：若A，B，C三个点不在同一直线上， 过三点的圆有且只有一个；
若A，B，C三个点在同一直线上， 过三点的圆有0个．
故答案为：D
【分析】过不在一直线上的三点可以确定一个圆，若三个点在同一直线上则不能确定一个圆。
2．【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解： A. 只知道圆心，不知道半径，不能确定一个圆，不符合题意；
B. 只知道半径，不知道圆心，不能确定一个圆，不符合题意；
C. 不在一条直线上的三点才能确定一个圆，不符合题意；
D. 过不在一直线上的三点可以确定一个圆，符合题意.
故答案为：D.
【分析】（1）定点圆心、定长半径才能确定一个圆；
（2）定点圆心、定长半径才能确定一个圆；
（3）过不在一直线上的三点可以确定一个圆；
（4）过不在一直线上的三点可以确定一个圆.
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选C．
【分析】根据垂径定理可得：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．然后由点A的坐标为（﹣3，2），即可得到点O的坐标．
4．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆，因为只有C选项中的三点能构成三角形，故答案为：C.
【分析】根据经过不在同一直线上的三点可以确定圆可求解。
5．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：圆弧上的三点确定一个圆.故答案为：C
【分析】根据三点确定一个圆可得③不能选。
6．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：
点O为 外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ．
故答案为：A
【分析】能够完全覆盖这个三角形的最小圆即为三角形ABC的外接圆，作出线段AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心O，由图即可求得半径AO的长。
7．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=
∴外接圆的半径r=
∴外接圆的面积为25πcm
故答案为：C.
【分析】用勾股定理可求得AB的长，根据90度的圆心角所对的弦是直径可得外接圆的半径r=AB，所以外接圆的面积=.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC．∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，
∵OB=OE=OC，∴O是△CBE的外心，故A不符合题意；
∵OA=OC≠OD，∴O不是△ACD的外心，故B符合题意；
∵OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，故C不符合题意；
∵OA=OE=OC，∴O是△ACE的外心，故D不符合题意．
故答案为：B
【分析】连接OA、OB、OD．
（1）根据三角形外心的意义可得OA=OB=OC，而四边形OCDE为正方形，根据正方形的性质可得OA=OB=OE，所以OB=OE=OC，即O是△CBE的外心；
（2）由（1）中的结论和已知条件可得OA=OC≠OD，所以O不是△ACD的外心；
（3）由（1）中的结论可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心；
（4）由（1）中的结论可得OA=OE=OC，所以O是△ACE的外心。
9．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：根据在同一平面内，经过不在同一直线上的三点，确定一个圆，可知（1）不正确，（2）正确；任意一个圆有无数个内接三角形，（3）不正确；三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，所以到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确.
故答案为：B
【分析】（1）在同一平面内，经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
（2）任一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
（3）任意一个圆有无数个内接三角形；
（4）三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，所以到三角形三个顶点的距离相等。
10．【答案】5x+2y≠9
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴ ，
解得：k=﹣ ，b= ，
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+ ，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5x+2y≠9，
故答案为：5x+2y≠9．
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可；
11．【答案】3
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为 BD=3．
故答案为：3
【分析】根据90度的圆心角所对的弦是直径可得AB、AD分别为Rt△ABC和Rt△ACD的外接圆的圆心，所以两三角形的外心距为△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得两三角形的外心距=BD。
12．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵AD=2 ，AE=AF= ，AB=3 ，
∴AB＞AE＞AD，
∴ 时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，
故答案为： ．
【分析】由题意计算AD、AE、AB的长即可求得r的取值范围。
13．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵a+b2+|c-6|+28=4 +10b，
∴（a-1-4 +4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（ -2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴ 2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2，
解得，r= ，
故答案为： ．
【分析】将a、b、c满足的等式根据完全平方公式整理可得，根据平方和绝对值的非负性可求得a、b、c的值，即可求得三角形的三边长，作CD⊥AB于点D，用勾股定理列方程即可求解。
14．【答案】40
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
∵BO=CO，
∴∠OBC=(180° 100°)÷2=40°，
故答案为：40.
【分析】先利用三角形的外心即三边垂直平分线交点这一知识点，求得∠BOC的度数，然后再利用等腰三角形的性质求得底角∠OBC的度数即可。
15．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O′．
当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，
Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2，
∴x2=（4-x）2+32，
解得x= ，
∴OE=4- = ，
∵O′B=O′D，AE=DE，
∴O′E= AB=2，
∴OO′=O′E-OE= ，
∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′= ．
故答案为：
【分析】连接AC、BD交于点O′．因为三角形外接圆的圆心在线段AD的垂直平分线上，于是可分情况讨论圆心所在的具体位置：①当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，②当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，解直角三角形OED可求得PO的长，则OE=PE-PO，O′E=PE，所以OO′=O′E-OE，由图像可得△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′可求解。
16．【答案】（1）解：如图所示，点O即为所求作的圆心；
（2）解：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）在残片上任取三点A、B、C，连接AB、BC，作出AB、BC的垂直平分线，其交点即为圆心；
（2）依据是：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆。
17．【答案】解：如图，连接 分别作线段 的垂直平分线，且相交于点 ，点 即为所求．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】由题意这个洞口到A、B、C的距离相等，所以作出AB、BC的垂直平分线，其交点即为所求。
18．【答案】解：如图，⊙O即为所求．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据90度的圆周角所对的弦是直径可知AB是圆的直径，作出AB的垂直平分线与AB的交点即为圆心O，以点O为圆心、AB的一半为半径画圆即为所求。
19．【答案】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
所以
设OA=r，
即
解得
答：△ABC外接圆的半径为
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】作AD⊥BC，垂足为D，由垂径定理可得AD经过圆心O，根据勾股定理可求得AD，在直角三角形BOD中，用勾股定理可求得关于圆的半径的方程，解方程即可求解。
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径．∵AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米，∴△ABC外接圆的半径为5米，
∴小明家圆形花坛的面积为25π米2
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据圆上的每一点到圆心的距离都相等可得，只需找出A、B、C三点所在圆的圆心即可求解，而三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以作出线段AB、BC的垂直平分线，以垂直平分线的交点为圆心，交点与点A的连线段为半径画圆即可；
（2）根据90度的圆心角所对的弦是直径可得BC是⊙O的直径，用勾股定理即可求直径BC的长，则圆形花坛的面积=。
21．【答案】（1）解：
利用垂径定理得出 、 的垂直平分线交点即是圆心到任意一点距离即是半径．
（2）解：∵ ， ，∴ ．又∵ ， ，∴ ≌ ，
∴ 和= 是等边三角形，
∴ ．∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴半径为 ．
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点可得，作AB、BC的垂直平分线交点即是圆心，到任意一点距离即是半径；
（2）用边角边易证△AOB≌△COB，可得△BOC和△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解。
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