2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习
一、2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2锐角三角函数—余弦、正切函数同步练习
1．（2017九上·宁江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= ．
∴cosA= ，
故答案为：D．
【分析】首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．
2．如图所示，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=.
∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴CD=，
在Rt△BCD中，cos∠BCD=.
故答案为：D。
【分析】根据勾股定理求出AB的长，由面积法可知求出CD；在Rt△BCD中，由余弦函数的定义可求得cos∠BCD=
3．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BC∶CA∶AB=5∶12∶13，
设BC=5，则CA=12，AB=13，
∴BC2+CA2=52+122=169=132=AB2.
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
在Rt△ABC中，cosB=，
故答案为：C。
【分析】已知BC∶CA∶AB=5∶12∶13，根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，再由余弦函数的定义得出cosB的值。
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∵sinA=，
∴cosB=．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为 .
【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，
∴cosB=，
∴BC=AB×cosB=6×=4.
故答案为：4.
【分析】在Rt△ABC中，根据余弦的定义可知cosB=，已知AB=6，cosB=，代入即可求得。
6．已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3.
则直角三角形的两直角边长分别为1,3,斜边长为
故其最小角的余弦值为
故答案为.
【分析】先求出方程x2-4x+3=0的两根,即可得到两直角边长,再根据勾股定理求得斜边长,最后根据余弦的定义即可求得结果.
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD=3∶2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠CDA=90°，∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠BAD+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD，∴
∵BD∶CD=3∶2，∴设BD=3x(x>0)，则CD=2x，∴AD=
则tan B= = = .
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABD中，tan B=，由BD：CD=3：2，可设BD=3x(x>0)，则CD=2x，用x表示AD即可解答；不难证明∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD，根据相似三角形的性质可得，从而求出AD。
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB =3，BC=4，tan A=
故答案为：D。
【分析】由网格图可知△ABC是一个直角三角形，而且AB=3，BC=4，根据正切函数的定义可得tan A=
9．（2016九上·南浔期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanA= = ，AC=4，
∴BC=2，
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数定义得出tanA= ，代入求出即可．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=8，则△ABC的面积为 .
【答案】24
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，
∵BC=8，
∴
∴AC=6，
则△ABC的面积为：
故答案为：24.
【分析】在Rt△ABC中，根据正切函数的定义可得tanA=，将BC的值代入即可求出另一条直角边AC，由三角形的面积公式即可解答。
11．（2016九下·吉安期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC= ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，
∴BE= BC= ×8=4，∠BAE= ∠BAC，
∵∠BPC= ∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE= ，
∴tan∠BPC=tan∠BAE= ．
故答案为： ．
【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE= ∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE= ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA= .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边为BC，斜边为AB，则sinA=，
设BC=3，则AB=5，
由勾股定理得AC=，
则cos A=.
故答案为：。
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，需要知道∠A所对的边为BC，斜边为AB，则可得sinA=，从而可设BC=3，AB=5，由勾股定理求出AC，再由余弦函数的定义求出cosA.
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边为BC，斜边为AB，则sinA=
设BC=5，则AB=13，
由勾股定理得AC=
，则tan B= .
故答案为：D。
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，需要知道∠A所对的边为BC，斜边为AB，则可得sinA=，从而可设BC=5，AB=13，由勾股定理求出AC，再由正切函数的定义求出tan B.
14．如图，在直角坐标系中，P是第二象限的点，其坐标是(x，8)，且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 ，则x= ，cosα= .
【答案】-6；
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：(1)过P点作x轴的垂线段PA，垂足为A，在Rt△PAO中，∵角α的正切值是 ，∴ = ，∵PA=8，∴OA=6，即x=-6.
( 2 )在Rt△OPA中，PA=8，OA=6，∴OP=10.∴cos α= = =
故答案为：-6；
【分析】以角α为一角构造一个直角三角形，过P点作x轴的垂线段PA，根据角α的正切值，求出OA的值，即可求出x的值；由勾股定理可得OP的长度，再根据余弦函数的定义，可得cosα的值。
15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB=12，CD=6，tanA= ，求sinB+cosB的值.
【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△ACD中，CD=6，tan A= = ，∴AD=4，∴BD=AB-AD=8.在Rt△BCD中，BC= =10.∴sin B= = ，cos B= = ，∴sin B+cos B= .故答案为：
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ACD中，已知tan A =，代入CD的值，求出AD，由BD=AB-AD，求出BD；在Rt△BCD中，由勾股定理求出BC的值，再根据三角函数的定义求出sinB和cosB的值。
16．在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C=90°，a+b=4，且tanB=1，求c的长.
【答案】解：由∠C=90°，tanB=1知a=b.由a+b=4得a=b=2，再由勾股定理得c= =2 .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由tanB=1，可得a=b，根据a+b=4即可求出a，b的值，再由勾股定理即可求出c的值。
17．如图，在4×8的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，求tan∠BAC的值.
【答案】解：找到∠BAC所在的直角三角形，进而求得∠BAC的对边与邻边之比.连结BD，
由勾股定理可得BD，AB，AD分别为 ，2 ， ，由勾股定理的逆定理可得△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，所以tan∠BAC= = .
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】需要构造以∠BAC为一角的直角三角形，连接BD，由勾股定理可分别求出BD，AB，AD的长，根据勾股定理的逆定理可判定△ABD为直角三角形，再由正切函数的定义即可求出。
18．如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
19．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F处，如果 求tan∠DCF的值.
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠D=90°.∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F处，∴CF=BC.又∵ = ，∴ = .在Rt△CDF中，设CD=2x(x>0)，则CF=3x，∴DF= = x.∴tan ∠DCF=
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】折叠以后，BC=CF，根据，在Rt△CDF中，可设CD=2x(x>0)，则CF=3x，由勾股定理求出DF，再根据正切函数的定义求出tan ∠DCF。
20．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值.
【答案】（1）证明：由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°，∴∠ABF=90°-∠AFB，
∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF，∴△ABF∽△DFE.
（2）解：由折叠可得FB=BC，EF=EC，∵sin∠DFE= ，∴ 即EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE，DF= =DE× =2 DE.
∵△ABF∽△DFE，∴ 即FB= = =3 DE.
又∵FB=BC，EF=EC，在Rt△BCE中，∴tan∠EBC= = = = .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）考查运用“AA”判定两个三角形相似；
（2）在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则需要求出EC与BC；由sin∠DFE= ，可得EF=3DE，由EF=EC，可得AB=4DE，从而由勾股定理用DE表示出DF；由（1）可知△ABF∽△DFE，从而求出FB，而FB=BC，EC=EF，即可求出tan∠EBC。
1 / 12017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习
一、2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2锐角三角函数—余弦、正切函数同步练习
1．（2017九上·宁江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为 .
6．已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为 .
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD=3∶2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
9．（2016九上·南浔期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=8，则△ABC的面积为 .
11．（2016九下·吉安期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC= ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA= .
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在直角坐标系中，P是第二象限的点，其坐标是(x，8)，且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 ，则x= ，cosα= .
15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB=12，CD=6，tanA= ，求sinB+cosB的值.
16．在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C=90°，a+b=4，且tanB=1，求c的长.
17．如图，在4×8的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，求tan∠BAC的值.
18．如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
19．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F处，如果 求tan∠DCF的值.
20．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= ．
∴cosA= ，
故答案为：D．
【分析】首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=.
∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴CD=，
在Rt△BCD中，cos∠BCD=.
故答案为：D。
【分析】根据勾股定理求出AB的长，由面积法可知求出CD；在Rt△BCD中，由余弦函数的定义可求得cos∠BCD=
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BC∶CA∶AB=5∶12∶13，
设BC=5，则CA=12，AB=13，
∴BC2+CA2=52+122=169=132=AB2.
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
在Rt△ABC中，cosB=，
故答案为：C。
【分析】已知BC∶CA∶AB=5∶12∶13，根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，再由余弦函数的定义得出cosB的值。
4．【答案】B
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∵sinA=，
∴cosB=．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
5．【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，
∴cosB=，
∴BC=AB×cosB=6×=4.
故答案为：4.
【分析】在Rt△ABC中，根据余弦的定义可知cosB=，已知AB=6，cosB=，代入即可求得。
6．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3.
则直角三角形的两直角边长分别为1,3,斜边长为
故其最小角的余弦值为
故答案为.
【分析】先求出方程x2-4x+3=0的两根,即可得到两直角边长,再根据勾股定理求得斜边长,最后根据余弦的定义即可求得结果.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠CDA=90°，∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠BAD+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD，∴
∵BD∶CD=3∶2，∴设BD=3x(x>0)，则CD=2x，∴AD=
则tan B= = = .
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABD中，tan B=，由BD：CD=3：2，可设BD=3x(x>0)，则CD=2x，用x表示AD即可解答；不难证明∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD，根据相似三角形的性质可得，从而求出AD。
8．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB =3，BC=4，tan A=
故答案为：D。
【分析】由网格图可知△ABC是一个直角三角形，而且AB=3，BC=4，根据正切函数的定义可得tan A=
9．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanA= = ，AC=4，
∴BC=2，
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数定义得出tanA= ，代入求出即可．
10．【答案】24
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，
∵BC=8，
∴
∴AC=6，
则△ABC的面积为：
故答案为：24.
【分析】在Rt△ABC中，根据正切函数的定义可得tanA=，将BC的值代入即可求出另一条直角边AC，由三角形的面积公式即可解答。
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，
∴BE= BC= ×8=4，∠BAE= ∠BAC，
∵∠BPC= ∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE= ，
∴tan∠BPC=tan∠BAE= ．
故答案为： ．
【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE= ∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE= ．
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边为BC，斜边为AB，则sinA=，
设BC=3，则AB=5，
由勾股定理得AC=，
则cos A=.
故答案为：。
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，需要知道∠A所对的边为BC，斜边为AB，则可得sinA=，从而可设BC=3，AB=5，由勾股定理求出AC，再由余弦函数的定义求出cosA.
13．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边为BC，斜边为AB，则sinA=
设BC=5，则AB=13，
由勾股定理得AC=
，则tan B= .
故答案为：D。
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，需要知道∠A所对的边为BC，斜边为AB，则可得sinA=，从而可设BC=5，AB=13，由勾股定理求出AC，再由正切函数的定义求出tan B.
14．【答案】-6；
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：(1)过P点作x轴的垂线段PA，垂足为A，在Rt△PAO中，∵角α的正切值是 ，∴ = ，∵PA=8，∴OA=6，即x=-6.
( 2 )在Rt△OPA中，PA=8，OA=6，∴OP=10.∴cos α= = =
故答案为：-6；
【分析】以角α为一角构造一个直角三角形，过P点作x轴的垂线段PA，根据角α的正切值，求出OA的值，即可求出x的值；由勾股定理可得OP的长度，再根据余弦函数的定义，可得cosα的值。
15．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△ACD中，CD=6，tan A= = ，∴AD=4，∴BD=AB-AD=8.在Rt△BCD中，BC= =10.∴sin B= = ，cos B= = ，∴sin B+cos B= .故答案为：
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ACD中，已知tan A =，代入CD的值，求出AD，由BD=AB-AD，求出BD；在Rt△BCD中，由勾股定理求出BC的值，再根据三角函数的定义求出sinB和cosB的值。
16．【答案】解：由∠C=90°，tanB=1知a=b.由a+b=4得a=b=2，再由勾股定理得c= =2 .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由tanB=1，可得a=b，根据a+b=4即可求出a，b的值，再由勾股定理即可求出c的值。
17．【答案】解：找到∠BAC所在的直角三角形，进而求得∠BAC的对边与邻边之比.连结BD，
由勾股定理可得BD，AB，AD分别为 ，2 ， ，由勾股定理的逆定理可得△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，所以tan∠BAC= = .
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】需要构造以∠BAC为一角的直角三角形，连接BD，由勾股定理可分别求出BD，AB，AD的长，根据勾股定理的逆定理可判定△ABD为直角三角形，再由正切函数的定义即可求出。
18．【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
19．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠D=90°.∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F处，∴CF=BC.又∵ = ，∴ = .在Rt△CDF中，设CD=2x(x>0)，则CF=3x，∴DF= = x.∴tan ∠DCF=
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】折叠以后，BC=CF，根据，在Rt△CDF中，可设CD=2x(x>0)，则CF=3x，由勾股定理求出DF，再根据正切函数的定义求出tan ∠DCF。
20．【答案】（1）证明：由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°，∴∠ABF=90°-∠AFB，
∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF，∴△ABF∽△DFE.
（2）解：由折叠可得FB=BC，EF=EC，∵sin∠DFE= ，∴ 即EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE，DF= =DE× =2 DE.
∵△ABF∽△DFE，∴ 即FB= = =3 DE.
又∵FB=BC，EF=EC，在Rt△BCE中，∴tan∠EBC= = = = .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）考查运用“AA”判定两个三角形相似；
（2）在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则需要求出EC与BC；由sin∠DFE= ，可得EF=3DE，由EF=EC，可得AB=4DE，从而由勾股定理用DE表示出DF；由（1）可知△ABF∽△DFE，从而求出FB，而FB=BC，EC=EF，即可求出tan∠EBC。
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