浙教版九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷（困难）（含解析）

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浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知且，那么等于( )
A. B. C. D. 没有意义
美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近时越给人一种美感．已知某女士身高，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )
A. B. C. D.
如图，，，，点是上一动点，，交于点，以直线为轴作的轴对称图形，落在内的面积为，则下列能刻画与之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
如图，在四边形中，，，，，点为上异于、的一定点，点为上的一动点，、分别为、的中点，当从到的运动过程中，线段扫过图形的面积为( )
A. B. C. D.
如图，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，过点作交于点，连接给出以下结论：；四边形是菱形；；当，时，的长为，其中正确的结论个数是( )
A. B. C. D.
如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上．是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接以下四个结论：；∽；；，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，：：，则：为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. B. C. D.
如图，已知矩形∽矩形，，则的值是 ( )
A. B. C. D.
如图，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形，它的面积为；取和各边中点，连接成正六角星形，如图中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形，如图中阴影部分；如此下去，则正六角星形的面积为( )
A. B. C. D.
如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，且与的位似比为设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知，则的值是________．
如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接若点，，在同一条直线上，，则______，______．
在比例尺：的地图上，测得甲地在图上的面积约为，则甲地实际面积为______平方千米．
如图所示，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，线段的长为．
线段上的点满足关系式，求线段的长度；
线段上的点满足关系式，求线段的长度；
线段上的点满足关系式，求线段的长度．
上面各小题的结果反映了什么规律？
本小题分
已知、、均为非零的实数，且满足，求的值．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过坐标原点，与抛物线的一个交点为，与抛物线的对称轴交于点，连接，已知点，的坐标分别为，．
求抛物线的函数表达式，并分别求出点、的坐标；
试探究抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
若点是轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，直线与直线交于点，试探究：当为何值时，是等腰三角形．
本小题分
如图，在中，点为上一点，点在上，过点作交于点，作交于点．
若点是的中点，且：：，求：的值；
若点是的中点，试证明；
若点是上任意一点，试证明．
本小题分
如图，正方形的边长为，点、分别在边、上，且，于点，，连接，分别交、、于点、、．
求的周长；
若是的中点，求证：；
连接，求证：．
本小题分
如图，在中，，，于，，．
求证：∽；
求的长度；
设与交于，求的面积．
本小题分
如图，某一时刻，小明垂直地面竖起一根高的直杆，量得其在阳光下的影长为，此时，旁边一电线杆在阳光下的影子分别落在了地上和墙上，他又量得电线杆落在地面上的影子部分长为，落在墙上的影子部分高为，小明用这些数据很快算出了电线杆的高，请你计算一下：
电线杆的高为多少？
小亮认为落在地上和墙上的影子长相加就是电线杆影子全部落在地面上时的影长，你认为对吗？若不对，请求出电线杆影子全部落在地面上时的影长．
本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，抛物线上另有一点在轴下方，且使∽．
求线段的长度；
设直线与轴交于点，点是的中点时，求直线和抛物线的解析式，
在的条件下，点是直线下方抛物线上的一点，过作于点，作交于点，是否存在一点，使得最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
本小题分
已知正三角形的边长为．
如图，正方形的顶点、在边上，顶点在边上，在正三角形及其内部，以点为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大不要求写作法
求中作出的正方形的边长
如图，在正三角形中放入正方形和正方形，使得、在边上，点、分别在边、上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质和分式的化简求值，由得到，代入分式进行求值即可．
【解答】
解：由得到，
则
，
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是，
设需要穿的高跟鞋是，则根据黄金分割的定义得：，
解得：．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象、折叠的性质、二次函数的图象、二次函数性质、等腰三角形判定、平行线分线段成比例，解题的关键是要通过平行得到三角形边之间的关系，根据点运动后形成的不同图形来进行分类讨论．
根据可将用表示出来，从而可以得到与的关系式，要将面积分成点在内及边上和外两种情况进行分析，就可以得到正确的函数图象．
【解答】
解：，，，
，
，
，即，
，
当点落在上时，如图，
，
，
当点落在内部及边上时， ，此时图象为抛物线，且随的增大而增大；
当点落在上时，即当 时， ；
当点落在外时，设与交于点，与交于点，如图，
由轴对称可知，，，
又，
，，，，
，，
，，
，，
，，
，
当时，有最大值为，则图象为抛物线，应先上升再下降．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积先通过临界点、确定线段扫过图形为三角形，由三角形中位线定理得的长和点为中点，过点作于，得为矩形，利用勾股定理求得的值，即可知的值，设，则，，，表示，最后利用三角形面积公式计算即可．
【解答】
解：如图
当点与点重合时，点就是的中点，
过点作交于，
当点与点重合时，点就是与的交点，
由平行线分线段成比例定理可知随着点从到的运动过程中，点就在线段上移动，
线段在运动过程中所扫过图形为三角形，
为中点，为中点，
，
过点作于，交于，过点作于，
过点作于，
，，
为矩形，
，，
，
，
，，
为的中点，
为中点，
，
设，则，，，
，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：，
．
由翻折的性质可知：，，，
．
故正确；
．
四边形为菱形，故正确；
如图所示：连接，交于点．
四边形为菱形，
，．
，，
∽．
，即．
，，
故正确；
如图所示：过点作，垂足为．
，，，
，整理得：．
解得：，舍去．
，，
．
，，
．
∽．
，即，
，
故正确．
故选：．
先依据翻折的性质和平行线的性质证明，从而得到，接下来依据翻折的性质可证明，连接，交于点由菱形的性质可知，，接下来，证明∽，由相似三角形的性质可证明，于是可得到、、的数量关系，过点作，垂足为利用的结论可求得，然后再中依据勾股定理可求得的长，然后再证明∽，利用相似三角形的性质可求得的长，最后依据求解即可．
本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到是解题答问题的关键，依据相似三角形的性质求得的长是解答问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，四边形和四边形是正方形，
，，，
在和中，
≌，
，
，，
，
，
．
故正确；
是直角三角形，为的中点，
，
点在正方形的外接圆上，
，
，，
∽，
故正确；
平分，又由知，
≌，
，
又是的中点，
，
∽，
，
设和相交于点．
设，则，设正方形的边长是，则，，
，即，
解得：，或舍去，
则，
，
故正确；
≌，
，
是的中位线，
，
，
设正方形的边长是，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
故错误，
故选：．
由四边形和四边形是正方形，得出≌，推出，从而得；由是的平分线，得出≌，再由是的中点，利用中位线定理，得且；由是直角三角形，因为为的中点，所以，得出点在正方形的外接圆上，根据圆周角定理得出，，从而证得∽；设，则，设正方形的边长是，则，，由，得出∽，即可得出，得到 ，即，从而求得，设正方形的边长是，则，得到，通过证得∽，得到，进而得到，进一步得到．
本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对相似三角形的判定和性质的理解，相似三角形对应边的比相等．根据已知可得到∽，根据相似三角形的对应边成比例不难求解．
【解答】
解：
∽
：：
：：，
：：．
：为：．
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．
由折叠可知，，即可得；
由，可知错误；
通过计算
通过计算，而，故正确．
【解答】
解：如图
沿折叠，点恰落在边上的点处，
，
沿折叠，点恰落在线段上的点处，
，
，即，
所以正确
沿折叠，点恰落在边上的点处，
，，，
在中，
，，
，
，
设，则，，
在中，
，
解得，
，
，
设，则，，
在中，，
，解得，
，，
，，，
，
与不相似，所以错误
，，
，所以正确
，而，
，所以正确，
正确，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得，然后求出和相似，根据相似三角形对应边成比例求出，即，设，表示出，再表示出、，利用勾股定理列出方程求出的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【解答】
解：如图
正方形的边
∽
∽
设，则，
在中，
即
解得
红、蓝两张纸片的面积之和
．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．
【解答】
解：矩形∽矩形，
，即，
整理得，，
，
，
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．
先分别求出第一个正六角星形与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．
【解答】
解：、、、、、分别是和各边中点，
正六角星形∽正六角星形，且相似比为：，
正六角星形的面积为，
正六角星形的面积为，
同理可得，第二个正六角形的面积为
第三个正六角形的面积为：，
第四个正六角形的面积为：．
故选D．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出，，，是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出的边长放大到原来的倍，，，，进而得出点的横坐标．
【解答】
解：点的坐标是以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．
点的对应点的横坐标是，
，，
，
点的横坐标是：．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：，
设，
，，，
，
故答案为：．
利用设法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法进行计算是解题的关键．
14.【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，
，，，
，，
，
，
≌，
；
，
，
，
∽，
，
，
负值舍去，
，
故答案为；．
15.【答案】
【解析】解：根据相似多边形的面积比是相似比的平方，得：
实际面积是，故填．
面积比是比例尺的平方比，依题意可得出甲地实际的面积
注意面积比是比例尺的平方比，这里特别注意单位的换算．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解．两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行，则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可．
【解答】
解：当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是与轴的交点，
设直线解析式为，将，代入，
得
解得
即，
令得，
坐标是；
当位似中心在两个正方形之间时，
可求直线解析式为，直线解析式为，
联立，解得
即
故答案为或
17.【答案】解：设线段的长度为
则
由， 可列方程
整理，得
解得，不合题意，舍去
所以线段的长度为．
设线段的长度为，
则
由， 可列方程
整理，得
解得，不合题意，舍去
所以线段的长度为．
设线段的长度为，
则
由， 可列方程，
整理，得
解得，不合题意，舍去
所以线段的长度为．
上面各小题反映的规律：若为线段上一点，，且满足，则．

【解析】见答案
18.【答案】解：当时，
利用比例的性质化简已知等式得：，
即，，，
整理得：，，，
此时原式；
当时，可得：，，，
则原式．
综上可知，的值为或．
【解析】此题考查了比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式利用比例的性质化简表示出，，，代入原式计算即可得到结果．
19.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得
抛物线解析式为，
，
抛物线对称轴为直线，
又抛物线与轴交于点、两点，点坐标，
点坐标．
设直线的解析式为，
经过点，
，
，
直线的解析式为，
点为直线与抛物线对称轴的交点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点坐标．
抛物线上存在点使得≌，
此时点纵坐标为，
，
，
，
点坐标或．
如图中，
当时，是等腰三角形．
点坐标，
，过点作直线，交轴于点，交轴于点则，
，
点坐标．
设直线的解析式为，
，
，
直线解析式为，
令，得，解得，
点坐标，
，
，即，
，
如图中，
当时，是等腰三角形．
当时，，
点坐标，
，
，
，
，
，
，
，
设直线交轴于，解析式为，
，
，
直线解析式为，
令，得，
，
点坐标，
，
，
，
．
时，显然不可能，理由，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，当或时，是等腰三角形．
【解析】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题．
根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点坐标，求出直线解析式即可解决点坐标；
抛物线上存在点使得≌，此时点纵坐标为，令即可解决问题；
如图中，当时，是等腰三角形，过点作直线，交轴于点，交轴于点，求出点、的坐标即可解决问题．如图中，当时，是等腰三角形，先证明，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．时，不成立．
20.【答案】解：过点作交于，
点为中点，
点是中点，且，分
；分
延长至点，使，连、，
则四边形是平行四边形．分
，，
，分
；分
注：像第题那样作辅助线也可以．
过点作交于，
，分
又，
，分
分
同理可得：分
分
注：如果像第题那样添辅助线，也可以证．
【解析】过点作交于，由点为中点与：：，根据平行线分线段成比例定理，即可求得：的值；
延长至点，使，连、，易得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，，继而可得；
过点作交于，即可得，又由，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．
此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．
21.【答案】解：在和中，
，，，
≌，
，同理，，
的周长．
是中点，
，设，则，
在中，，
，
，
解得，即，则，
．
在和中，，，
∽，
，
即，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】想办法证明，，即可解决问题；
通过计算求出、即可解决问题；
想办法证明∽，可得即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：证明：在中，，，
．
，
．
，
∽；
∽，
，即，解得，
；
在中，
，，
．
，，
∽，
，即，解得，
．
【解析】先根据等腰三角形的性质得出，再由得出，进而可得出结论；
根据∽可得出，进而可得出结论；
先根据勾股定理求出的长，再由，得出∽，由相似三角形的性质可得出的长，根据三角形的面积可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
23.【答案】解：过点作，交于点，易得四边形为矩形．
，，
依题意有 ，即 ，
，
．
即电线杆的高为米．
不对．理由如下：
设电线杆影子全部落在地面上时的影长为米，则，
米
答：电线杆影子全部落在地面上时的影长为米．
【解析】利用在同一时刻、同一地点物体的高与其影子长的比值相同来解答．
设电线杆影子全部落在地面上时的影长为米，依据“物体的实际高度和影长成比例”列出方程并解答．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出等式，求解即可．
24.【答案】解：，
，，
则点的坐标为，点的坐标为，
，，
∽，
，即，
解得，；
在中，点是的中点，
，
由勾股定理得，，
点的坐标为
设直线的解析式为：，
则
解得，
则直线的解析式为：，
点的坐标为，点的坐标为，点是的中点，
点的坐标为，
，
解得，，
抛物线的解析式：，即；
作交于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
则的最大值为．

【解析】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤、相似三角形的性质，掌握二次函数的性质、相似三角形的性质是解题的关键．
解方程求出点的坐标、点的坐标，得到，，根据相似三角形的性质列出比例式，求出；
根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式，根据中点的概念求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
作交于，根据正切的定义得到，用分别表示出、，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答．
25.【答案】解析 如图，正方形即为所求．
设正方形的边长为，
为正三角形，，
，，
解得．
如图，连接、、，易知．
设正方形、正方形的边长分别为、，
它们的面积和为，
则，，
，
，
延长交于点，则．
在中，．
，
，
化简得，
．
当，即时，最小，．
当最大时，最大，即当最大且最小时，最大．
，由知，，．
．
综上所述，，．

【解析】见答案
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