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4.4相似三角形的判定
相似三角形的判定定理
1.（一）相似三角形判定的预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
一、单选题
1．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
【解答】D
【提示】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
2．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】C
【提示】由相似三角形的判定定理即可得到答案．
【详解】解：，，∽，故选项A不符合题意；
，，∽，故选项B不符合题意；
，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意；
即，，∽，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
3．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ）
A．有一个角是的两个等腰三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
【解答】A
【提示】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是，这个三角形就是等边三角形，一个角是，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值.
【详解】A．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；
C．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；
D．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意；
故选A．
【点睛】本题解题关键在于，找准一个角是，，的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.
4．下列条件，能使和相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】B
【提示】根据相似三角形的判定定理进行判断．
【详解】解：A、，不能使和△相似，错误；
B、，能使和△相似，正确；
C、，不能使和△相似，错误；
D、，不能使和△相似，错误；
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．
5．下列能判定的条件是( )
A． B．，
C．， D．，
【解答】D
【提示】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A. ，，则，故此选项错误；
B. ，，则，故此选项错误；
C. ，，则，故此选项错误；
D. ，，则，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键．
6．如图，要使，需要具备的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】C
【提示】题目中隐含条件∠A＝∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例性质即可推出答案．
【详解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
【解答】C
【提示】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可．
【详解】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A不符合题意；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故B不符合题意；
∵AD·BC= DE·AC，无夹角相等，
∴不能判定△ADE∽△ACB，
故C符合题意；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键．
8．如图，等边中，点E是的中点，点D在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】B
【提示】由等边三角形的性质，中点的定义得到，，结合，得到，即可得到．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定进行判断．
9．如图，在中，是的平分线，过点F作，交于点E，交的延长线于点D，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】D
【提示】根据相似三角形的判定方法AA解题．
【详解】解：
是的平分线，
故选项D符合题意，选项A、B、C均不符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
【解答】D
【提示】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．
【详解】解：∵四边形的对角线相交于点，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB∽△COD．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．
【解答】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【提示】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
12．图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）．
【解答】（答案不唯一）
【提示】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可．
【详解】解：添加，可以使两个三角形相似．
∵，，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．
13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
【解答】∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一）
【提示】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
【详解】∵∠1＝∠2
∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键．
14．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是：__________（填序号）．
【解答】③
【提示】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①，时，，故①不符合题意；
②，时，，故②不符合题意；
③，时，不能推出，故③符合题意；
④，时，，故④不符合题意，
故答案为：③
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．
15．如图，在中，，分别交、于点、，、交于点，则相似三角形有______．
【解答】∽，∽
【提示】根据，找出相等的角，进而得到相似三角形.
【详解】解：∵，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∽，
∵，
∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，
∴∽，
故答案为∽，∽.
【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.
16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=，则线段CE的长是______．
【解答】4
【提示】延长AC，作DG⊥AC，根据根据角平分线的性质得到FD=GD，再根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】解：延长AC，作DG⊥AC，
∵AD平方∠BAC，∴FD=DG，
∴S△ABC= S△ABD+ S△ADC=+=
即
解得EC=4.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等与三角形的面积公式.
17．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
【解答】或##或
【提示】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
18．如图，正方形的边长为2，连接，点是线段延长线上的一个动点，，点是与线段延长线的交点，当平分时，______（填“>”“<”或“=”）：当不平分时，__________.
【解答】 = 8
【提示】①先证明△ABP≌△CBQ,再证明△QBD≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD.
【详解】解:①当BD平分∠PBQ时，
∠PBQ=45°，
∴∠QBD=∠PBD=22.5°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°,
∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ（ASA）,
∴BP=BQ，
在△QBD和△PBD中，
∴△QBD≌△PBD（SAS）,
∴PD=QD;
②当BD不平分∠PBQ时，
∵AB∥CQ，
∴∠ABQ=∠CQB，
∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°，
∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB，
∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°,
∴∠BDQ=∠BDP,
∴△BQD∽△PBD，
∴,
∴PD·QD=BD2=22+22=8，
故答案为:=，8.
【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.
三、解答题
19．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求证：△ABC∽△AED．
【解答】见解析
【提示】根据已知线段长度求出，再根据∠A=∠A推出相似即可．
【详解】证明：在△ABC和△AED 中，
∵，，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
20．已知：在△ABC和△A′B′C′中， ．求证：△ABC∽△A′B′C′．
【解答】证明见解析
【提示】先在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC∽△ADE，再△ADE≌△A′B′C′即可．
【详解】在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE．
∵，AD=A′B′，AE=A′C′，
∴
而∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∴
又，AD= A′B′，
∴
∴
∴DE=B′C′，
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键．
21．已知：如图，在和中，．
求证：．
【解答】见解析
【提示】在的边（或它的延长线）上截取，过点D作的平行线，交于点E，过点D作的平行线，交于点F，容易得到，然后证明，从而即可得到．
【详解】证明：在的边（或它的延长线）上截取，过点D作的平行线，交于点E，则
，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．
过点D作的平行线，交于点F，则
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∴．
而，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明，熟读教材是解题的关键．
22．如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：
（1）；
（2）．
【解答】（1）见解析；（2）见解析
【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
【详解】证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBD∽△ABC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
23．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4．
求证：（1）△ABD∽△CBE；
（2）△ABC∽△DBE．
【解答】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；
（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得 , 根据比例的性质得到 , 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似．
【详解】（1）相似．理由如下：
∵∠1=∠2，∠3=∠4．
∴△ABD∽△CBE；
（2）相似．理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，
∵△ABD∽△CBE，
∴=，
∴=，
∴△ABC∽△DBE．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．
24．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
【解答】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【提示】（1）根据两角相等，两个三角形相似即可得出结论；
（2）根据（1）得到△BAF∽△BCE，再由相似三角形的对应边成比例，得到BF：BE=BA：BC，由两边对应成比例，夹角相等两个三角形相似，即可得出结论．
【详解】（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB=∠CEB=90°．
∵∠B=∠B，∴△BAF∽△BCE；
（2）∵△BAF∽△BCE，∴BF：BE=BA：BC．
∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BCA．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．如图，在△ABC和△ADE中，，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
【解答】证明见解析；
【提示】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，即可得∠BAD=∠CAE，再由可得，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD∽△ACE．
【详解】∵在△ABC和△ADE中，,
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
26．如图，△ABC与 △ADE中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD、CE，∠EAC=∠DAB.
（1）求证：△ABC ∽△ADE；
（2）求证：△BAD ∽△CAE；
（3）已知BC=4，AC=3，AE=．将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求 BD的长．
【解答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=．
【提示】（1）由已知可得∠CAB=∠EAD，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证；
（2）由（1）知，∠EAC=∠DAB，则结论得证；
（3）先证△ABC∽△ADE，求出AE、AD的长，则BD可求．
【详解】证明：（1）∵∠EAC=∠DAB，
∴∠CAB=∠EAD，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴△ABC∽△ADE；
（2）由（1）知△ABC∽△ADE，
∴，
∵∠EAC=∠BAD，
∴△BAD∽△CAE；
（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，
∴AB==5，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴AD=，
如图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，∠AEC=∠ADB=90°，
∴BD=．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
A
B
C
D
E
D
E
A
C
B
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4.4相似三角形的判定
相似三角形的判定定理
1.（一）相似三角形判定的预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
一、单选题
1．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
2．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ）
A．有一个角是的两个等腰三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
4．下列条件，能使和相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列能判定的条件是( )
A． B．，
C．， D．，
6．如图，要使，需要具备的条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
8．如图，等边中，点E是的中点，点D在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，是的平分线，过点F作，交于点E，交的延长线于点D，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
二、填空题
11．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．
12．图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）．
13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
14．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是：__________（填序号）．
15．如图，在中，，分别交、于点、，、交于点，则相似三角形有______．
16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=，则线段CE的长是______．
17．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
18．如图，正方形的边长为2，连接，点是线段延长线上的一个动点，，点是与线段延长线的交点，当平分时，______（填“>”“<”或“=”）：当不平分时，__________.
三、解答题
19．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求证：△ABC∽△AED．
20．已知：在△ABC和△A′B′C′中， ．求证：△ABC∽△A′B′C′．
21．已知：如图，在和中，．
求证：．
22．如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：
（1）；
（2）．
23．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4．
求证：（1）△ABD∽△CBE；
（2）△ABC∽△DBE．
24．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
25．如图，在△ABC和△ADE中，，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
26．如图，△ABC与 △ADE中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD、CE，∠EAC=∠DAB.
（1）求证：△ABC ∽△ADE；
（2）求证：△BAD ∽△CAE；
（3）已知BC=4，AC=3，AE=．将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求 BD的长．
A
B
C
D
E
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A
C
B
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