中小学教育资源及组卷应用平台
4.5相似三角形的性质及应用
一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则
要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
二、三角形的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.
即 .
要点：
过点E作EH∥BC交AD于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH，从而得到BD=2EH，再根据△BDO和△EHO相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证，同理其他比例也可以得到．
三、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
一、单选题
1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ）
A． B．2：3 C．4：9 D．8：27
【解答】B
【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3，
∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．
2．已知，与的面积之比为1：2，若边上的中线长为1，则边上的中线长是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【解答】A
【提示】由，与的面积之比为1：2可知：相似比为，则对应中线的比为，即可求出答案．
【详解】∵，与的面积之比为1：2
∴相似比为
∴其对应中线的比为
∵边上的中线长为1
∴边上的中线长是
故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．
3．如图点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（ ）．
A．； B．；
C．； D．．
【解答】D
【提示】根据选项选出能推出，推出或的即可判断．
【详解】解：
、∵，，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理.
无法判断与相似，即不能推出，故本选项错误；
、
，
，
，，
即不能推出，故本选项错误；
、由可知，不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误；
、∵，
，
，
，
，
，故本选项正确；
故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似．
4．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B． C．相似比为 D．相似比为
【解答】D
【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．
【详解】解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；
∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为，∴D一定成立，
故选D ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
5．如图，小明站在 处看甲、乙两楼楼顶上的点 和点 ．，， 三点在同一直线上，， 相距 米，， 相距 米，乙楼的高 为 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 为 （ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【解答】D
【提示】证明，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：由题意可知：，，是公共角，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质．
6．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】B
【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解.
【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB
∴AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，
故，A正确，B错误；
∵△ADC∽△CDB
∴
∴，,C,D选项正确；
故选B.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.
7．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解答】C
【提示】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得,，由此即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，
∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，
∴AG：AB=CH：BC=1：3，
∴GH∥AC，
∴△BGH∽△BAC，
∴，
∵，
∴.
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A．AE=2DE B． C． D．
【解答】C
【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．
C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
D.利用相似三角形的性质即可证明．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AE=2DE，故A正确;
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
又∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故B正确;
∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFC与△PCA不相似，故C错误;
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴,
∴PC2=PH PB，故D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图所示，、分别是的边、上的点，且，、相交于点．若，则与的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【解答】C
【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与的比，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
10．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】C
【详解】∵四边形和四边形是正方形，．在和中，．，．．平分．．．又是的中点，．．．设，正方形的边长是，则，，即，解得或（舍去），则．
二、填空题
11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．
【解答】3：5
【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25
∴两个相似三角形的相似比是3：5
∴对应边上的中线的比为3：5
故答案为：3：5．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12．如图，△ABC∽△CBD，AB=9，BD=25，则BC=______．
【解答】15
【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△CBD，
∴，即，
AB=9，BD=25，
，
，
故答案为：15
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．
【解答】8
【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x，则
，
∴；
∴三角形的最短边为8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．
14．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为______．
【解答】
【提示】结合矩形的性质证明可求得的长，再利用可求解．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，，
，
，
，
解得，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．
【解答】32
【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和即可求出AM的最小值．
【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；
∴△APM∽△BPN；
∴＝，
∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，
∴＝，即AM＝4BN；
∴当BN8cm时，AM32cm；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
16．如图，已知，则的度数为_________．
【解答】40°
【提示】由可判定△ABC∽△ADE，得到∠BAC=∠DAE，再根据，，可得出∠DAC的度数.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：40°.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据判定出△ABC∽△ADE.
17．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．
【解答】
【提示】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．
【详解】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，
∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2，
∴BC＝2，AC＝4，
∴CM＝＝＝4，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
【解答】
【提示】如图，过点作于，过点作，交的延长线于，由面积和差关系可求，通过证明，可得，可求，由勾股定理可求，，的长，通过证明，可得，可求，，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作，交的延长线于，
，，
，
，
，
四边形的面积为12，
，
，
等腰，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，且
，且，
，
，
，，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH的长是本题的关键．
三、解答题
19．如图，在中，C，D分别是上的点．若．
(1)求证：；
(2)求的长．
【解答】(1)见解析
(2)AB＝8
【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算与的值，得到，根据相似三角形的判定定理得出结论；
（2）运用相似三角形的性质计算即可．
（1）
证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，
∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，
∴，，
∴，即，
∵∠DPC＝∠APB，
∴△ABP∽△DCP；
（2）
解：∵△ABP∽△DCP，
∴，即，
∴AB＝8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．
(1)求证：△AEF∽△CBF；
(2)若BE⊥AC，求AE：ED．
【解答】(1)见解析
(2)1：3
【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；
（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=x，则DE=x，从而可计算出AE：DE．
（1）
解：证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF；
（2）
设AB=x，则BC=2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠ACB，
∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，
∴△ABE∽△BCA，
∴，即，
∴AE=x，
∴DE=AD-AE=，
∴AE：DE==1：3．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．
21．如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸点3.2米远的点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、N共线，点、、共线，若、、均垂直与河面，求河宽是多少米？
【解答】河宽为12米
【提示】连接，根据题意可得出四边形为矩形，由可求得，便可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵点、、共线，、均垂直与河面，且，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵、、均垂直与河面，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴（米）．
答：河宽是米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．
22．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．
(1)求证：四边形ABCG是平行四边形；
(2)若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
【解答】(1)证明见解析；
(2)
【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解．
（1）
证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝CD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
（2）
解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
即BE＝，
∵△AEB∽△DEC，
∴，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．
23．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求AB的长．
【解答】(1)见解析
(2)
【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
（1）
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD．
∵∠ADE=∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）
∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE=3，AD=5，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：．
【解答】见解析
【提示】根据平行四边形的性质得到，，得到△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE
∴，，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．如图，已知，．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求的度数．
【解答】（1）；（2）；（3）
【提示】（1）由，可得：再代入数据可得答案；
（2）由，可得：再代入数据可得答案；
（3）由，可得：再利用角的和差可得答案；
【详解】解：（1）
，
（2） ，
而
（3） ，
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.
26．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且，．
(1)求证：．
(2)若，求∠CBD的度数．
【解答】(1)证明见解析
(2)
【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．
（2）根据（1）中，得出，再根据对顶角相等，，证得，得出，即可求解．
（1）
∵
∴，
∴，
，
∵在和中，
，
∴．
（2）
∵，
∴，
又∵，对顶角相等，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
27．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：；
(3)若点G是DC中点，求的值．
【解答】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC∽△DCF．
（2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．
（3）通过ASA判定出△BGC≌△DEC，进而根据第一问结论可得△BGC∽△DGF，然后通过相似比设未知数，赋值，即可求出的值．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴
∵
∴
∴，
又∵，
∴△BGC∽△DCF．
（2）
证明：由（1）知△BGC∽△DGF，
∴，
∴
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∴．
（3）
解：由（1）知△BCC∽△DGF，
∴，
在△BGC与△DEC中，
∴△BGC≌△DEC（ASA）
∴
∵G是CD中点
∴
∴
∵△BGC∽△DGF
∴
在Rt△BGC中，设，则，
∴
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．
28．如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
【解答】（1）证明见解析；（2）；；（3）
【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．
（2）的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，的比值转换为的比值即可求得.
（3）过点作垂直于的延长线于点，，将相关线段关系转化为CE，可得关系，观察图象，当时，可得最大值．
【详解】（1）证明：∵，
∴,
∵垂直于射线,
∴
又∵
∴,
∵
即：
又∵
∴
（2）解：∵点P、M、N分别为线段、、的中点
∴，，
∴,
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
又∵
∴
∴
（3）如下图：
过点作垂直于的延长线于点,
又∵
∴
∴
∴当取得最大值时，取得最大值，
在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，
当时，最大，
∴，
【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
4.5相似三角形的性质及应用
一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则
要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
二、三角形的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.
即 .
要点：
过点E作EH∥BC交AD于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH，从而得到BD=2EH，再根据△BDO和△EHO相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证，同理其他比例也可以得到．
三、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
一、单选题
1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ）
A． B．2：3 C．4：9 D．8：27
2．已知，与的面积之比为1：2，若边上的中线长为1，则边上的中线长是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．如图点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（ ）．
A．； B．；
C．； D．．
4．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B． C．相似比为 D．相似比为
5．如图，小明站在 处看甲、乙两楼楼顶上的点 和点 ．，， 三点在同一直线上，， 相距 米，， 相距 米，乙楼的高 为 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 为 （ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
6．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
8．如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A．AE=2DE B． C． D．
9．如图所示，、分别是的边、上的点，且，、相交于点．若，则与的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
10．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．
12．如图，△ABC∽△CBD，AB=9，BD=25，则BC=______．
13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．
14．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为______．
15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．
16．如图，已知，则的度数为_________．
17．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．
18．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
三、解答题
19．如图，在中，C，D分别是上的点．若．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．
(1)求证：△AEF∽△CBF；
(2)若BE⊥AC，求AE：ED．
21．如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸点3.2米远的点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、N共线，点、、共线，若、、均垂直与河面，求河宽是多少米？
22．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．
(1)求证：四边形ABCG是平行四边形；
(2)若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
23．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求AB的长．
24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：．
25．如图，已知，．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求的度数．
26．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且，．
(1)求证：．
(2)若，求∠CBD的度数．
27．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：；
(3)若点G是DC中点，求的值．
28．如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
