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4.3相似三角形
一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
二、相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
一、单选题
1．若，，，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．70° D．110°
2．若'，，，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A．4 B．3.2 C．20 D．5
4．如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ）
A． B．的面积：的面积
C．的度数：的度数 D．的周长：的周长
5．如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
6．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，已知AB＝5，BC＝4，AC＝8.若△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为( )
A．A1B1＝8，B1C1＝10 B．A1B1＝10，B1C1＝8
C．A1B1＝5，B1C1＝8 D．A1B1＝10，B1C1＝4
8．若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）：
A． B． C． D．
9．△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为( )
A．15 B．14.4 C．12 D．10.8
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知，相似比为，，相似比为，则，其相似比为________.
12．ΔABC与△DEF中，，，，，，，，，，，则△DEF 与△ABC________
13．已知的三边分别是，，，则与它相似的最长边为，则的周长是________．
14．若，，，则的度数为________．
15．如图，在△ ABC中， DE∥ BC， AD＝3cm， BD＝2cm，则△ ADE与△ ABC相似比是_____；若 DE＝4cm，则 BC＝________．
16．在中，，，点、分别在、边上，将沿直线翻折后，点落在对边的点为，若与相似，那么________．
17．如图，已知，相似比为，则的值为________．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．
三、解答题
19．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由
（1）AB=12，BC=15，AC=24，A′B′=25，B′C′=40，C′A′=20
（2）AB=3，BC=4，AC=5，A′B′=12，B′C′=16，C′A′=20
20．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7,求AC的长．
21．如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．
（1）这两个三角形相似吗？为什么？
（2）请直接写出∠A的度数 ；
（3）在上边的网格内再画一个三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比．
22．已知：如图AB//CD//EF，AC、BD相交于点O，E在AC上，F在BD上，且AE:EC=2:3，BD=10.
（1）求BF的长；
（2）当AB=12，CD=8时，求EF的长.
23．如图，直线EF分别交的边AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，已知.求证：.
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BC，AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证：△ADE∽△ABD.
25．点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点，∠BDE＋∠ACB＝180°，DE＝AC，AD＝2BD．
(1) 如图1，当点D、E分别在AB、CB的延长线上时，求证：BE＝BD
(2) 如图2，当点D、E分别在AB、BC边上时，BE与BD存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明
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4.3相似三角形
一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
二、相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
一、单选题
1．若，，，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．70° D．110°
【解答】A
【提示】若，则说明点A的对应点为点，点B的对应点，点C的对应点为点,且对应角相等.
【详解】因为，所以.因为，，所以，所以
故选A.
【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等，是关键.
2．若'，，，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【解答】D
【提示】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得：与的相似比为.
【详解】因为，，，所以与的相似比为.
故选D.
【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质是关键.
3．如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A．4 B．3.2 C．20 D．5
【解答】D
【提示】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可．
【详解】由相似三角形的性质可得：，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．
4．如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ）
A． B．的面积：的面积
C．的度数：的度数 D．的周长：的周长
【解答】D
【提示】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.
【详解】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是，故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.
故选：D
【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.
5．如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【解答】B
【提示】根据相似三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′，都减去∠A′CB即可．
【详解】解：∵△ACB∽△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB，
∴∠ACA′=∠BCB′，
∵∠BCB′=30°，
∴∠ACA′=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】D
【提示】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．在△ABC中，已知AB＝5，BC＝4，AC＝8.若△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为( )
A．A1B1＝8，B1C1＝10 B．A1B1＝10，B1C1＝8
C．A1B1＝5，B1C1＝8 D．A1B1＝10，B1C1＝4
【解答】B
【详解】分析：根据相似三角形对应边的比相等解答即可．
详解：∵两个三角形中最长边和最长边是对应边，△ABC∽△A1B1C1，∴ ，∴，∴A1B1＝10，B1C1＝8．
故选B．
点睛：本题主要考查学生对两个三角形相似的性质的理解及运用．掌握相似三角形的性质是解题的关键．
8．若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）：
A． B． C． D．
【解答】C
【提示】根据题意，可判定与的相似比为m，则与的相似比为其倒数，所以两者积为1.
【详解】解：∵与的相似比为m，
∴与的相似比为，即，
∴
故答案为C.
【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质，熟练掌握，即可解题.
9．△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为( )
A．15 B．14.4 C．12 D．10.8
【解答】B
【提示】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，A′B′＝6，
∴，
∵△ABC面积为10，
∴解得：S△A′B′C′＝14.4．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，利用相似比与面积比的关系得出是解题关键．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】C
【提示】由于∠A=36°，AB=AC，易求∠ABC=∠C=72°，而BD是角平分线，易求∠ABD=∠CBD=36°，又DE∥BC，那么有∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，从而可证△ABD∽△DBE．
【详解】∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD=36°，
即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解题的关键是求出相关角的度数．
二、填空题
11．已知，相似比为，，相似比为，则，其相似比为________.
【解答】
【提示】根据相似三角形的性质可得，，故可得.
【详解】因为，相似比为，所以，因为，相似比为，所以，所以，即所求相似比为.
故答案为
【点睛】考核知识点：相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键.
12．ΔABC与△DEF中，，，，，，，，，，，则△DEF 与△ABC________
【解答】相似
【提示】根据相似三角形的判定方法解答即可.
【详解】∵，，
∴∠C=180°-65°-42°=73°.
∵，，
∴∠A=∠D, ∠C=∠F,
∴△DEF 与△ABC相似.
故答案为相似.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.
13．已知的三边分别是，，，则与它相似的最长边为，则的周长是________．
【解答】30
【提示】由于的最大边为12，所以边长12对应的边只能是中边长为6的边，进而再由对应边成比例即可求解．
【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC中边长为6的边，
∴△′B′C′的另两边的长为8，10，
故△′B′C′的周长为8+10+12=30.
故答案为:30.
【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键.
14．若，，，则的度数为________．
【解答】
【提示】根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据相似三角形的对应角相等可得∠D=∠A．
【详解】∵，
∴
∵△ABC∽△DEF，
∴
故答案为
【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.
15．如图，在△ ABC中， DE∥ BC， AD＝3cm， BD＝2cm，则△ ADE与△ ABC相似比是_____；若 DE＝4cm，则 BC＝________．
【解答】 3：5 cm；
【详解】∵AD=3cm，BD=2cm，
∴AB=AD+DB=5cm.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为：；
∴，即，
∴BC=.
故答案为（1）；（2）.
点睛：本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边的延长线），所得新三角形与原三角形相似”由DE∥BC得到△ADE∽△ABC，这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了.
16．在中，，，点、分别在、边上，将沿直线翻折后，点落在对边的点为，若与相似，那么________．
【解答】或
【提示】由于对应边不确定,所以本题应分两种情况进行讨论:①△ABC∽△ FC;②△ABC∽△FC.
【详解】①当△ABC∽△FC 时:根据△ABC是等腰三角形,则△FC 也是等腰三角形,
则FC=∠C=∠B,设BF=x,则CF=6-x, F=C=x,根据△ABC∽△FC ,
得到:,得到,解得x=;
②当△ABC∽△FC 则FC=F=BF,则x=6-x,解得x=3.
因而BF=3或.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质,对应边的比相等,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.
17．如图，已知，相似比为，则的值为________．
【解答】
【提示】由于△ADE∽△ABC，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC、DE的比例关系．
【详解】∵△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，
∴BC：DE=3：2，
故答案为3：2．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．
【解答】△ABD∽△AEF(或△ABD∽△DCF或△DCF∽△AEF或△ADE∽△ABC)
【详解】分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C，且∠BAD=∠CAE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽AEF．
详解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，
∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽AEF．
故答案为△ABD∽AEF．
点睛：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
三、解答题
19．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由
（1）AB=12，BC=15，AC=24，A′B′=25，B′C′=40，C′A′=20
（2）AB=3，BC=4，AC=5，A′B′=12，B′C′=16，C′A′=20
【解答】(1)见解析;(2)见解析.
【提示】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．
（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，
∴△ABC∽△C′A′B′
（2）∵
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7,求AC的长．
【解答】6.3.
【详解】试题分析：已知∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长．
试题解析：在△ABC和△ADE中，∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A∴△ABC∽△ADE.
∴，即.
考点：相似三角形的判定和性质．
21．如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．
（1）这两个三角形相似吗？为什么？
（2）请直接写出∠A的度数 ；
（3）在上边的网格内再画一个三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比．
【解答】（1）相似，理由见解析；（2）45 ；（3）见解析
【提示】（1）根据勾股定理列式求出AB、AC、BC、DE、DF、EF的长度，然后根据三边对应成比例，两三角形相似解答；
（2）取AC的中点O，连接BO，根据网格结构可以判断∠ABO=90°，△ABO是等腰直角三角形，即可得解；
（3）把△ABC三边扩大倍，然后利用网格结构作出即可．
【详解】（1）AB=，
AC=，
BC=5，
DE=1，
DF=，
EF=，
∵，
∴△ABC∽△DEF；
（2）如图，取AC的中点O，连接BO，
则△ABO是等腰直角三角形，
∴∠A=45°；
（3）如图，△A′B′C′与△ABC相似，它们的相似比是．
【点睛】本题考查了利用相似变换作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，网格结构的特点是解题的关键．
22．已知：如图AB//CD//EF，AC、BD相交于点O，E在AC上，F在BD上，且AE:EC=2:3，BD=10.
（1）求BF的长；
（2）当AB=12，CD=8时，求EF的长.
【解答】（1）4 （2）4
【提示】（1）根据平行线分线段成比例定理得出BF：FD的值，从而得出BF与FD的数量关系，再再结合BF+DF=BD=10求出BF的值.
（2）先证明从而得出两组关于EF的比例式，再根据和比的性质对比例式进行变形得出，代入AB和CD的值即可求出EF.
【详解】解：（1）∵AB//CD//EF
（2）
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，比例的性质.（1）中能根据平行线分线段成比例得出BF与FD的数量关系是解决此问的关键；（2）中的难度在于能根据和比的性质将比例式进行变形，建立EF有关的比例式和AE:EC之间的等量关系.
23．如图，直线EF分别交的边AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，已知.求证：.
【解答】见解析
【提示】由对应线段成比例且夹角相等可证，根据两组对应角相等即证，由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论.
【详解】证：，
，
又，
，
.
又，
，
，即.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，综合利用其判定和性质进行证明是解题的关键.
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BC，AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证：△ADE∽△ABD.
【解答】证明见解析.
【详解】试题分析：由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，再由公共角∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.
试题解析：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，
∴∠ADE＝∠C，∠B＝∠ADE.
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD.
25．点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点，∠BDE＋∠ACB＝180°，DE＝AC，AD＝2BD．
(1) 如图1，当点D、E分别在AB、CB的延长线上时，求证：BE＝BD
(2) 如图2，当点D、E分别在AB、BC边上时，BE与BD存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明
【解答】（1）证明见解析；（2）BE=3BD
【提示】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.证明
可得EB=AB，利用AD=2BD，AB=AD-BD即可得结论；
（2）在AB上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图2.证明可得 由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入，即可得结论.
【详解】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.
则∠BDE=∠EMD.
∵∠BDE+∠ACB=180°，
∴∠EMB=∠ACB.
∵DE=AC,
∴EM=AC
在△EMB和△ACB中，
∴EB=AB
∵AD=2BD，
∴AB=AD-BD=BD.
∴BE=BD；
(2) BE=3BD，理由如下：在AB上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图2.
则∠MDE=∠EMD.
∵DE=AC,
∴EM=AC.
∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180，
∴∠EMD=∠ACB
∵∠EBM=∠ABC,
∵AD=2BD,
∴AB=AD+BD=3BD
.
∴BE=3BD
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，掌握三角形全等的判定方法及相似三角形的判定及性质是解题的关键.
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