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第二章：特殊三角形复习学案一
一．轴对称和等腰三角形：
例1.(1)如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
（2）如图，在△ABC中，已知，，且CA=CD，则图中共有 个等腰三角形．
（3）. 等腰三角形的周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（ ）
A.15 B. 7 C.15或7 D.11
(4). 一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为
（5）. 如图，在△ABC中，AD平分交BC于点D，点 M，N分别是AD和AB上的动点，当 ，时，的最小值等于
1.下列科学防控“新冠肺炎”的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（ ）
A．36° B．54° C．72°或36° D．54°或126°
3.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B＝C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC
4．如图，△ABC是轴对称图形，AD所在的直线是它的对称轴，AC＝8cm，DC＝4cm，则△ABC的周长为
5．用一条长18cm的细绳围成一个腰长是底边长的2倍的等腰三角形，那么这个三角形的各边长分别是 、 、
二．等腰三角形的性质和判定：
例2.(1)如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
（2）．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有 对．
（3）．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC ，连接BD，△BCD 的面积为，点E 是边AB 边上一动点，点P 在线段BD 上，连接PA，PE ，则PA+PE 的最小值是
（4）如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____
1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，等边三角形ADE的顶点D，E分别落在BC，AC上．若AD=BD，则∠EDC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 _______________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有 个．
例3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E．
（1）证明：AE＝ED；（2）求线段DE的长．
1．已知等腰△ABC，AB＝AC＝a．
（1）若∠B＝2∠A，求∠B的度数．（2）若△ABC的周长是10，求腰长a的取值范围．
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，求点N的运动速度．
例4．（1）如图1，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝88°，求∠A的度数；
（2）①如图2，∠MAN＝11°，点B在AM上，且AB＝1，按下列要求画图：以点B为圆心，1为半径向右画弧交AN于点B1，得第1条线段BB1；再以点B1为圆心，1为半径向右画弧交AM于点B2，得第2条线段B1B2，…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段，则n为多少？
②已知∠MAN按照①思路画图，现在一共最多可以画出6条线段，请你求出∠MAN的度数范围．
已知如图1：△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．
②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
③若△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？
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复习作业答案
1.答案：D
解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．
故选：D．
2.答案：C
解析：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°，底角为（180°80°）=50°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°80°×2=20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°；
故选：C．
3.答案：B
解析：根据题意得：a2+b2+c2+50-6a-8b-10c=0，
（a 3）2＋（b 5）2＋（c 5）2＝0，
∴a 3＝0，b 5＝0，c 5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵a2＋b2=c2，
则三角形形状为直角三角形．
故选：B
4.答案：B
解析：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，
∵AB⊥AD，AD=4cm，
∴BD=8cm，
∵∠ADB=60°∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴CD=AD=4cm，
∴BC=BD+CD=8+4=12cm．
故选B.
5.答案：C
解析：过作交于，，是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，，，，
，，，
在和中，，，
，，，
，，
故选：C．
6.答案：
解析：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，∴△ACE≌△BAD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；∴∠BGE=∠ABD+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，
∵∠DBC：∠BEN=8：7，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，
∵MN=ME，∴∠MNE=∠BEN=7x，∴∠BMN=14x，
∵BM=BN，∴∠BMN=∠BNM =14x，在△BMN中，14x+14x+8x=180°，∴x=5°
∵∠BNE=∠BGE+∠AEN=∠BNM+∠MNE=21x=105°，∴∠AEN=105°-60°=45°；故答案为：45°
7.答案：7
解析：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵
∴△PBF周长，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴△PBF周长，
∴△PBF周长的最小值为7，
故答案为：7．
8..答案：
解析：∵是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵、是等边三角形，
同理可得：∴，∴，，
，…，则的边长为．
故答案为：22019．
9.答案：100
解析：连接BO，CO，
∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠OAC=25°，
∵OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=25°，∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=40°，∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×40°=100°．
故答案是100．
10.解析：∵BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°．
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
∵，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL），
∴∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC．
11.解析：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
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第二章：特殊三角形复习学案一答案
一．轴对称和等腰三角形：
例1.(1)如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
答案：D
解析：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，
直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，
故选：D．
（2）如图，在△ABC中，已知，，且CA=CD，则图中共有 个等腰三角形．
答案：3
解析：在△ABC中，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在△ACD中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴等腰三角形有△ADB，△ABC，△ADC共3个
（3）. 等腰三角形的周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（ ）
A.15 B. 7 C.15或7 D.11
答案：B
解析：如果腰为7时，底边长即为15，，这样的三角形不存在，
当底边长为7时，腰长为11，三角形成立，
故选择：B
(4). 一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为
答案：3或7
解析：设腰长为，则或，解得或，
．
①三角形ABC的三边长为7，7，5，符合三角形三边关系定理；
②三角形ABC的三边长为3，3，5，符合三角形三边关系定理．
故答案为3或7．
（5）. 如图，在△ABC中，AD平分交BC于点D，点 M，N分别是AD和AB上的动点，当 ，时，的最小值等于
答案：3
解析：如图，
∵AD是的平分线，
∴ 点B关于AD的对称点B在AC上，
过点B作于N，交AD于M，
∵，
∴此时点M，N的位置即可使BM+MN取得最小值．
过点B作于E，
∵，
∴，解得，
∵AD是的平分线，与B关于AD对称，
∴，
∵，
∴，即的最小值是3．
1.下列科学防控“新冠肺炎”的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：A选项不是轴对称图形，不符合题意；
B选项不是轴对称图形，不符合题意；
C选项不是轴对称图形，不符合题意；
D选项是轴对称图形，符合题意.
故答案为：D.
2.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（ ）
A．36° B．54° C．72°或36° D．54°或126°
答案：D
解析：如图1.∵BD⊥AC，∠ABD=36°，
∴∠A=54°，
即顶角的度数为54°．
如图2.∵BD⊥AC，∠DBA=36°，
∴∠BAD=54°，
∴∠BAC=126°．
故答案为：D．
3.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B＝C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC
答案：D
解析：∵AB＝AC，点D是BC边中点，
∴B＝C，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
故答案为：D．
4．如图，△ABC是轴对称图形，AD所在的直线是它的对称轴，AC＝8cm，DC＝4cm，则△ABC的周长为
答案：24
解析：∵AD是△ABC的对称轴，
∴BD＝CD＝4cm，
BC＝BD+CD＝8cm
AB＝AC＝8cm，
∴△ABC的周长为＝AB+AC+BC＝24cm．
故答案为：24cm．
5．用一条长18cm的细绳围成一个腰长是底边长的2倍的等腰三角形，那么这个三角形的各边长分别是 、 、
答案：7.2cm，7.2cm，3.6cm．
解析：设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x＝18，
解得x＝3.6，
∴2x＝2×3.6＝7.2．
故答案为：7.2cm，7.2cm，3.6cm．
二．等腰三角形的性质和判定：
例2.(1)如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
答案：A
解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④不符合题意．
故答案为：A．
（2）．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有 对．
答案：6
解析：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵AC＝AB，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ADB（AAS）；
∴CE＝BD，
∵AC＝AB，
∴∠CBE＝∠BCD，
∵∠BEC＝∠CDB＝90°，
∴△BCE≌△CBD（AAS）；
∴BE＝CD，
∴AD＝AE，
∵AO＝AO，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；
∵∠DOC＝∠EOB，
∴△COD≌△BOE（AAS）；
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴CF＝BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），
综上所述，共有6对全等的直角三角形．
故答案是：6．
（3）．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC ，连接BD，△BCD 的面积为，点E 是边AB 边上一动点，点P 在线段BD 上，连接PA，PE ，则PA+PE 的最小值是
答案：
解析：连接AC，
∵AB＝BC＝4，AD＝DC ，
∴BD垂直平分AC，
∴点A与点C关于直线BD对称，
过C作CE⊥AB于E交BD于P，
则此时，PA+PE 的值最小，且PA+PE 的最小值＝CE，
∵AD∥BC，
∴S△ABC＝S△BCD，
∴AB CE＝4CE＝
∴CE＝，
故答案为：．
（4）如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____
答案：60
解析：为等边三角形，
，．
，，
．
又，
为等边三角形，
，，．
，
．
在和中，
，
，
，
．
故答案为：60．
1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，等边三角形ADE的顶点D，E分别落在BC，AC上．若AD=BD，则∠EDC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
答案：B
解析：∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C=∠BAD，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，
设∠B=∠C=∠BAD=y，
∴∠B+∠C+∠BAC=3y+60°=180°，
∴y=40°，
∴∠C=40°，
∵∠AED=∠EDC+∠C=60°，
∴∠EDC=20°．
故选：B
2.．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 _______________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
答案：4或6
解析：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有 个．
答案：12
解析：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，
∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，
同理△AEC也是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，
同理△CED也是等腰三角形，
在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
同理△BEC也是等腰三角形，
∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°，
∴OD＝OE，OB＝OC，即△ODE，△OBC也为等腰三角形，
∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°，
∴CD＝CO，BE＝OB，
∴△CDO，△BOE也是等腰三角形，
所以共有12个等腰三角形．
故填12．
例3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E．
（1）证明：AE＝ED；（2）求线段DE的长．
解析：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴AE＝ED；
（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠BDE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∵∠BAD＝∠EDA，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝DE，
∵AE＝ED，
∴DE＝BE＝AE，
∵AB＝AE+BE＝5，
∴DE＝2.5．
1．已知等腰△ABC，AB＝AC＝a．
（1）若∠B＝2∠A，求∠B的度数．（2）若△ABC的周长是10，求腰长a的取值范围．
解析：（1）∵AB＝AC，∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠C，
∴2∠A+2∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠B＝72°；
（2）∵AB＝AC＝a，△ABC的周长是10，
根据题意可得：10﹣2a﹣a＜a＜10﹣2a+a，
解得2.5＜a＜5．
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，求点N的运动速度．
解析：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，
∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，
∴点N运动的速度为2厘米/秒．
②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，
∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，
∴点N的速度为：＝3厘米/秒．
故点N的速度为2或3厘米/秒．
故答案为：2或3．
例4．（1）如图1，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝88°，求∠A的度数；
（2）①如图2，∠MAN＝11°，点B在AM上，且AB＝1，按下列要求画图：以点B为圆心，1为半径向右画弧交AN于点B1，得第1条线段BB1；再以点B1为圆心，1为半径向右画弧交AM于点B2，得第2条线段B1B2，…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段，则n为多少？
②已知∠MAN按照①思路画图，现在一共最多可以画出6条线段，请你求出∠MAN的度数范围．
解析：（1）∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，
根据三角形的外角性质，可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，
设∠A＝x°，则∠CBD＝∠CDB＝2x°，∠DCE＝∠CED＝3x°，∠EDM＝4x°
又∵∠EDM＝88°，
∴4x＝88，
x＝22
即∠A＝22°；
（2）①由题意可知，△ABB1，△BB1B2，△B1B2B3都是等腰三角形，第一个等腰三角形△ABB1的底角为11°，
由三角形外角的性质可以得到，第二个等腰三角形△BB1B2的底角为22°，第三个等腰三角形△B1B2B3的底角为33°，
于是可得，第n个等腰三角形的底角为（11n）°，而等腰三角形的底角小于90°，
所以当n＝8时，底角为88°；当n＝9时，底角为99°，
所以n＝8以后就不能再画出符合要求的线段了，
故n＝8；
②设∠MAN＝n°，
同理可知：第一个等腰三角形的底角为n°，
第二个等腰三角形的底角为2n°，第三个等腰三角形的底角为3n°，
于是可得，第6个等腰三角形的底角为6n°，第7个等腰三角形的底角为7n°，而等腰三角形的底角小于90°，
则，∴，
，∴
即∠MAN的度数范围是：．
已知如图1：△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．
②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
③若△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？
解析：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF＝BE+CF＝2BE＝2CF，理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
又∠B、∠C的平分线交于O点，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FCO＝∠FOC，
∴OE＝BE，OF＝CF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EOB＝∠OBE＝∠FCO＝∠FOC，
∴EF＝BE+CF＝2BE＝2CF；
（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；
第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF＝BE+CF．
（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF＝BE﹣CF，理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCG（G是BC延长线上的一点），
又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线，
∴∠EBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCD，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴BE＝OE，
∠FCO＝∠FOC，
∴CF＝FO，
又∵EO＝EF+FO，
∴EF＝BE﹣CF．
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复习作业
1.如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
3．若三角形的三边为a，b，c、满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，此三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
4．如图，在中，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
5.如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
6.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
7.如图，在中，，，的面积是的垂直平分线分别交，边于、两点，若点为边的中点，在线段上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则周长的最小值为______．
8.如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC=_________°．
10．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，如果BD＝CE．试证明：AB＝AC．
11.如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
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