解直角三角形

知识点总结
一、锐角三角函数
（一）、基础知识
1．锐角三角函数定义
在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的三个三角函数是：
(1) 正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即
sin A = ,
（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即
cos A = ,
（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即
tan A = ，
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：
（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；
（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系
2、坡角与坡度
坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
3、锐角三角函数关系：
（1）平方关系： sin2A + cos2A = 1；
4、互为余角的两个三角函数关系
若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.
5、特殊角的三角函数：
00 300 450 600
sinα 0
cosα 1
tanα 0 1
规律记忆法：
观察上述表格中的函数值，根据数值的变化特征，可以总结出下列记忆规律：
①有界性：锐角三角函数值都是正数，即当时，有，
②增减性：锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小，即当时，，，。特殊地，当时，，当，则
勾股定理
勾股定理的概念：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理的数学表达;若三角形ABC为直角三角形，∠A，∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且∠C=∠90，则,反之，已知a,b,c为三角形ABC的边。若,则三角形ABC为直角三角形。1. 已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线
形成的夹角的余弦值为 （即cosC=），则AC边上的中线长是 ▲ ．
【答案】或a。
【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。
作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。
∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a。
∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。。∴BC=BD+CD=a。
∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。∴FC=DC=a，EF=AD=a。
∴BF=a。
在Rt△BEF中，由勾股定理，得。
②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。
作△ABC的高AD。
∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a。
∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。∴BC= BD=a。
∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。∴BE=AD=a。
综上所述，AC边上的中线长是或a。
2. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”
（1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a, ∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”？请直接写出tanβ的取值范围。
（4）本小题为选做题
依据（3）中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）。
∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，∴△AEF∽△CEP。
tanβ的取值范围 “好玩三角形”的个数
2
1
0
无数个解直角三角形例题讲解
例1.(1)△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　）
　A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b
考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．
分析：由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．
(2)在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=7/5，则sinA﹣sinB=　　．
考点： 互余两角三角函数的关系．
分析： 根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解．
点评： 本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键．
（3）在△ABC中，若 +(cosB - )2=0，则∠C的度数是( )
　　A．30°　　B．45°　　C．60° 　　D．90°
知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.
例2.计算：3tan30 ＋cot45 －2tan45 ＋2cos60 = ▲ .
【答案】。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】运用特殊角的三角函数值求解：
3tan30°＋cot45°－2tan45°＋2cos60°=。
例3.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，，则k的值为【 】
A．－3　 　B．－6　 　C．－4　 　D．
例4.如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图2，过点B作BD⊥AC于D，∵OB＝1，∠AOB＝45°，∴BD＝OD＝．∴AD＝1－．在Rt△ABD中，AB＝＝＝．
∴sinC＝＝．故选B．
【方法指导】∵∠AOB＝2∠C，∴∠C＝22.5°．此题说明sin22.5°＝．不难得出cos22.5°＝，tan22.5°＝＝－1．
例5.(1)已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
(2) 如图，已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c.
（i）若a=30, b=36, ∠c=30°,求△ABC的面积.
(ii) 试说明：S△ABC = absinC
例6.如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则的值是（ ）
A．　 　B．　　 C．　 　D．
例7.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据勾股定理有公式a2+b2=c2，根据三角函数的概念有sinA=，cosA=， 
（1）求证：sin2A+cos2A=1，=tanA
（2）请利用（1）中的结论求解下列题目.
①Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，tanA的值；
②Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求sinA，cosA的值；
③∠A是锐角，已知cosA=，求sin（90°－A）的值．
(2)已知：如图在平面直角坐标系中，直线AB分别与轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥轴于点E，，OB=4，OE=2。
（1）求直线AB的解析式；
（2）求该反比例函数的解析式.
例8.如图一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60 方向的C地有一艘渔船遇险，要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°方向上．A地位于B地北偏调西75°方向上．AB两地之间的距离为12海里．求A．C两地之间的距离. (参考数据：≈l. 41，≈1.73，≈2．45.结果精确到0.1．)
【思路分析】△ABC不是直角三角形，可过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，构造双直角三角形Rt△BCD和Rt△ABD.根据已知条件可求出∠ACB，∠DAB的度数，然后利用AB=12分别求出AD、CD的长度即可求解.
【解】如图，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，
由题意，得∠ACB=60°－30°=30°.
∠ABC=75°－60°=15°
∴∠DAB =∠DBA =45°
在Rt⊿ADB中.AB=12．∠ BAD =45°，
∴BD=AD=
在Rt⊿BCD中，
∴（海里）
答：AC两地之间的距离约为6.2海里
【方法指导】本题考查利用解直角三角形解决实际问题中的方位角问题.解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：①根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；②若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形.同时，解题过程中应注意方程思想的运用.
例9.如图，某货船以海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东的方向上．该货船航行分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在C岛周围海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
【答案】解：如图，在Rt△ABP中，
AB=24×0.5=12，∠BAP=900－600=300，
AP=，BP= 。
易求，∠PCB=∠PBC=300，∴PC= BP= ，AC=。
过点C作CQ⊥AM于点Q，则CQ=。
∵，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，等腰三角形的判定。
【分析】应用锐角三角函数求出点C到直线AM的距离，与海里比较即可。
例10.如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　　m（结果不作近似计算）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．
解答： 解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC tan∠ACB=18×tan60°=18（m），在Rt△ADE中，AE=DE tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．
点评： 本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．
例11.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC中，利用三角函数即可求解．
解答： 解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=60°﹣30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62（米）．在直角△ACD中，AC=AD sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．答：小岛的高度是53米．
点评： 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
　
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 设EC=x，则在Rt△BCE中，BC=EC=x；在Rt△BCD中，CD=BC=3x；在Rt△ACD中，AC=AB+BC=73.2+x，CD=3x，利用关系式AC=CD列方程求出x；塔高DE=CD﹣EC=2x可以求出．
解答： 解：设EC=x（米），在Rt△BCE中，∠EBC=30°，∴BC==x；在Rt△BCD中，∠DBC=60°，∴CD=BC tan60°=x =3x；在Rt△ACD中，∠DBC=45°，∴AC=CD，即：73.2+x=3x，解得：x=12.2（3+）．塔高DE=CD﹣EC=3x﹣x=2x=2×12.2（3+）=24.4（3+）≈115.5（米）．答：塔高DE约为115.5米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度，难度一般．
例12.阅读下列材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ
tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan（45°﹣30°）===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： （1）把15°化为45°﹣30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．
解答： 解：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=﹣=；（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴BE=DE tan∠BDE=DE tan75°．∵tan75°=tan（45°+30°）===2+，∴BE=7（2+）=14+7，∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7（米）．答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．
点评： 本题考查了：（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．（2）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．
同步练习：
在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦 （　　）
都扩大2倍 （B） 都扩大4倍
（C） 没有变化 （D） 都缩小一半
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（ ）
A． B. C. D.
3.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.在RtABC中，C=90 ，A=15 ，AB的垂直平分线与AC相交于M点，则CM：MB等于（ ）
（A）2： （B）：2 （C）：1 （D）1：
5.等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为 （　　）
（A） 600　 （B） 900　　（C） 1200　（D） 1500\
6.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中( )
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面夹角 40 45 60
A、甲的最高 B、丙的最高 C、 乙的最低 D、丙的最低
7.如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60O方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15O方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（　　　　）
Ａ．　　　　Ｂ．
Ｃ．　　　 Ｄ．
8．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
9．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．
10、=
在△ABC中，∠A=30 ，tan B= ，BC=，则AB的长为 .
12、锐角A满足2 sin(A-15)=,则∠A= .
13、已知tan B=，则sin= .
某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为 .
15、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为______米（保留根号）．
16.如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．
△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=．求线段AD的长．
16如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.
17.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求AB的长．
第17题
18、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，，，试求建筑物CD的高度．
19、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．
20、如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52'.已知山高BE为56 m,楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的的高AE.
(参考数据：sin 36°52'≈0.60，tan36°52'≈0.75)
21. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为，在A、C之间选择一点B （A、B、C三点在同一直线上），用测角仪测得塔顶D的仰角为，且AB间距离为40．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
A
B
C
O
45°
(第11题)
A
B
C
O
45°
图2
D
小贴士：△ABC的AC边上的高和∠C的正弦值有何关系？
B
c
a
b
C
A
北
60°
30°
６０Ｏ
ＡＡ
ＢＡ
ＭＡ
东
A
B
C
D
αA
A
B
C
D
A
C
D
B
E
F
G解直角三角形
一．选择填空题
1. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，，则k的值为【 】
－3　 　B．－6　 　C．－4　 　D．
2. （2013年浙江杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是 ▲ （只需填上正确结论的序号）
3. 如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为( )
A． B． C． D．
在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=7/5，则sinA﹣sinB=　　．
5. （2012广东深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】
米 B.12米 C.米 D．10米
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。
【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。
∴BD=BF+EF+ED=12+2。
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB=BD=。故选A。
6. （2012湖北荆州3分）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为【 】
A． 2 B． 2 C． D． 3
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF cos30°=2×。
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。
在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。
7. 如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于
点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(结果保留根号)
【答案】；。
【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。
【分析】可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值：
∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°。
∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°。
∴ ∠A＝∠DBC＝36°。
又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC。∴ ＝。
设AD＝x，则BD＝BC＝x．则＝，解得：x＝(舍去)或。
∴x＝ 。
如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝AB＝。
在Rt△AED中，cosA＝＝＝。
8. 如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为　 ▲ 　cm2．（结果可保留根号）
【答案】+360。
【考点】由三视图判断几何体，解直角三角形。
【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，
∵其高为12cm，底面半径为5 cm，∴其侧面积为6×5×12=360cm2。
又∵密封纸盒的底面面积为：cm2，
∴其全面积为：（+360）cm2。
9. 如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ▲ cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）
【答案】2.7。
【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E。
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm。
∴CE=BD=2cm。
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵，∴OE≈2.7cm。
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm。
10. 兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为【 】
（A） （B） （C） （D）
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在Rt△AFG中，， ∠AFG=600，
∴。
在Rt△ACG中，，∠ACG=300，
∴。
又∵CF=CG－FG=30，即 ，解得。
∴。
∴这幢教学楼的高度AB为（）m。故选D。
解答题
1. 如图一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60 方向的C地有一艘渔船遇险，要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°方向上．A地位于B地北偏调西75°方向上．AB两地之间的距离为12海里．求A．C两地之间的距离. (参考数据：≈l. 41，≈1.73，≈2．45.结果精确到0.1．)
2. 如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm
（1）求AM的长．
（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．
备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
（2）先根据角平分线的定义得出∠EAD=∠BAC=52°，再过点E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性质得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度。　
3．(2012 扬州)如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73)
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。
专题： 应用题；数形结合。
分析： 作AD⊥BC，垂足为D，设CD＝x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC＝CD＋BD＝20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案．
解答： 解：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°，设CD＝x，在RT△ACD中，可得AD＝x，在RT△ABD中，可得BD＝x，又∵BC＝20，即xx＝20，解得：∴AC＝x≈10.3(海里)．答：A、C之间的距离为10.3海里．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．
4．(2012 连云港)已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。
分析： 根据在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，得出AB的长，进而得出tan∠BAH＝，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，进而得出答案．
解答： 解：BC＝40×＝10，在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，sin53.2°≈0.8，所以AB＝＝20，如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°，tan∠BAH＝，0.5＝，AH＝2BH，BH2＋AH2＝AB2，BH2＋(2BH)2＝202，BH＝4，所以AH＝8，在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，CH＝2，所以AC＝AH－CH＝8－2＝6≈13.4，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km．
点评： 此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据已知构造直角三角形得出BH的长是解题关键．
5．（2012苏州）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为　11.0　米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析： （1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，进而得出EF的长，即可得出答案；（2）利用在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM tan30°得出即可．
解答： 解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=BD=15，DF=15，故：DE=DF﹣EF=15（﹣1）≈11.0；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，PA=AD cos30°=×30=15．在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH中，HM=DM tan30°=×（15+27）=15+9．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．答：建筑物GH高为45.6米．
点评： 此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．
6．（2013湖南益阳，18，8分）如图7，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥,小张在小道上测得如下数据：米，,．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）
(参考数据：，，，，，)
【思路分析】因为PD是两个直角三角形公共边，所以可以设PD的长为x米，然后利用锐角三角函数把AD和BD分别用x表示出来，最后利用AB的长列出方程求出x的解。
【答案】：解：设米，
∵，
∴．
在Rt△PAD中，，
∴．
在Rt△PBD中，，
∴．
又AB=80.0，
∴．
∴，即．
∴．
答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．
【方法指导】“双直角三角形”是锐角三角函数部分最常见的类型，一般分两种情况：一是两个直角三形在公共边的同侧；二是两个直角三角形在公共边的异侧。解题的一般方法就是设公共边为x，然后利用锐角三角函数把表示一些边的长度，最后根据题意列出方程，即可求解。
7.（2013湖北黄冈，22，8分）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB．（结果保留整数，1.73，1.41）
【答案】解：依题意可知：∠AEB＝30°，∠ACE＝15°，又∠AEB＝∠ACE＋∠CAE，
∴∠CAE＝15°．
∴∠ACE＝∠CAE．
∴AE＝CE＝100(m)．
又在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，
∴EF＝AE·cos60°＝50（m），
AF＝AE·sin60°＝(m)．
又在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，
∴BF＝EF·tan30°＝50×＝(m)．
∴AB＝AF－BF＝－＝≈58（米）．
答：塔高AB大约为58米．
【解析】先根据三个已知角度发现∠ACE＝∠CAE，得AE＝CE＝100m．然后，在Rt△AEF中，运用解直角三角形知识求出EF、AF的长，再在Rt△BEF中解直角三角形，求出BF长即可获解．
【方法指导】本题考查解直角三角形的应用．解决这类问题的关键是结合图形，将文字语言转化为数学符号语言后，理解已知元素和未知元素的联系，将问题转化为在某个Rt△中，已知某角、某边，求某边这样的解直角三角形问题．
8．（2013江苏苏州，25，7分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
【思路分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=x km，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=1 km，再解Rt△BCF，得出BC=BF=km．
【解】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=x km．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°－45°=45°，
∴BD=PD=x km．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°－60°=30°，
∴AD=PD=x km．
∵BD+AD=AB，
∴x+x=2，
x=－1，
∴点P到海岸线l的距离为（－1）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC=BF=km，
∴点C与点B之间的距离为km．
【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
【易错警示】不会作辅助线，构造直角三角形，无法解决问题．
9．（2013·济宁，18， 分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）
考点：解直角三角形的应用－方向角问题．
分析：过点B作BD⊥AC交AC于点D，根据方向角分别求出∠DAB和∠DCB的度数，然后在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形求出AD、CD的长度，然后根据时间=路程÷速度即可求出需要的时间．
解答：解：过点B作BD⊥AC交AC于点D，
由题意得，∠DAB=180°－47°－79°=54°，∠DCB=47°－36°=11°，
在Rt△ABD中，
∵AB=5.5，∠DAB=54°，
=cos54°，=sin54°，
∴AD=5.5×0.59=3.245，BD=4.445，
在Rt△BCD中，
∵BD=4.445，∠DCB=11°，∴=tan11°，
∴CD==23.394，∴AC=AD＋CD=3.245＋23.394≈26.64（km），
则时间t=26.64÷30≈0.90（h）．
答：需要0.90h到达．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形．
10．（2013·潍坊，23，13分）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△内修建矩形水池，使顶点在斜边上，分别在直角边上；又分别以为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中，．设米，米．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当为何值时，矩形的面积等于两弯新月面积的？
答案：（1）在Rt△ABC中，由题意得AC＝米，BC＝36米，∠ABC＝30°，
所以
又AD＋DE＋BE＝AB，
所以（0＜x＜8）．
(2)矩形DEFG的面积
所以当x＝9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为平方米．
（3）记AC为直径的半圆\、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则
由AC2＋BC2＝AB2可知S1＋S2＝S3，∴S1＋S2－S＝S3－S△ABC ，故S＝S△ABC
所以两弯新月的面积S＝(平方米)
由， 即，解得，符合题意，
所以当米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的．
考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。
点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答．
A
B
C
O
45°
(第11题)
B
D
38.5°
26.5°
A
图7
P
l
第25题图
l
第25题图解直角三角形
一．选择填空题
1．△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　）
　A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b　
2．式子的值是（　　）
　 A． B． 0 C． D． 2
3 .在△ABC中，若 +(cosB - )2=0，则∠C的度数是( )
　　A．30°　　B．45°　　C．60° 　　D．90°
4．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90至的位置，点B的横坐标为2，则点的坐标为（ ）
A．(1，1) B．() C．(－1，1) D．()
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=3/5，则斜边上的高等于（　　）
A． B． C． D．
6. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（　　）（结果精确到0.1m，≈1.73）．
　 A． 3.5m B． 3.6m C． 4.3m D． 5.1m
7.如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB的值为　 ▲ 　．
8．计算6tan45°－2cos60°的结果是（ ）
A． B．4 C． D．5
9. 在△ABC中，若,则∠C的度数是( )
A．30°　　B．45°　　C．60° 　　D．90°
10．（2013重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为 ．
12．（2013湖北孝感，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　　m（结果不作近似计算）．
13．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长 ．
14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）
15. 如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sinC的值为 ．
16．如图，已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则的值为__▲__．
17. 如图，正方形ABCD的边长为，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE=　 　．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于【 】
　 A． B． C． D．
三．解答题
1．计算：2sin60°+2﹣1﹣20130﹣|1﹣|
2. 如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
3. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。
4. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）
5．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ
tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan（45°﹣30°）===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）
6．（2012岳阳）九（一）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°，树高5m；今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少m？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.732）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析： 由题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，然后分别在Rt△ABC与Rt△DAB中，利用正切函数求解即可求得答案．
解答： 解：根据题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，在Rt△ABC中，AB===5（m），在Rt△DAB中，BD=AB tan37°≈5×0.75≈6.495（m），则CD=BD﹣BC=6.495﹣5=1.495（m）．答：这棵树一年生长了1.495m．
点评： 本题考查仰角的定义．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
7．（2012泰州）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．
（1）求居民楼AB的高度；
（2）求C、A之间的距离．
（精确到0.1m，参考数据：,,）
【答案】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，
在Rt△CPE中，∵PC=30m，∠CPE=45°，
∴。
∴CE=PC sin45°=30×（m）。
∵点C与点A在同一水平线上，
∴AB=CE=≈21.2（m）。
答：居民楼AB的高度约为21.2m。
（2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，∴。
∴（m）。
∵PE=CE=m，
∴AC=BE=≈33.4（m）。
答：C、A之间的距离约为33.4m。
（2）在Rt△CPE中，由得出BP的长，从而得出PE的长，即可得出答案。
8.（2012内江）（9分）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形.如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形的长为8米。
已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
求加固后的大坝背水坡面的坡度。
【解析】：（1）∵作于，作于，
则∵中
∴
又∵ ∴
又∵需加固的大坝长为150米，
∴需要填土石方为
（2）∵中， ∴
∴ ∴中
答：（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方
（2）加固后的大坝背水坡面的坡度为。
【考点】：本题考查梯形的常见辅助线添法，梯形、三角形的面积公式，以及坡度的定义，要求较强的转化、计算能力。
9. （2012吉林）如图，沿方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工．从上的一点取，沿方向前进，取，测得，并且、和在同一平面内．
(1)施工点离多远正好能使成一直线（结果保留整数）；
(2)在(1)的条件下，若,求公路段的长（结果保留整数）
（参考数据：，，）
[答案] （1）；（2）.
[考点] 锐角三角函数：已知一边及一锐角解直角三角形.
[解析]（1）在上，，，
要使成一直线.只要.即.为直角三角形即可，此时，施工点离的距离为
.
（2）已知一边及一锐角解直角三角形，得
10. （2012广元）如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？
【答案】解：作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，
根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°，
则在Rt△PAE和Rt△PBE中，
， BE=PE，
而AE+BE=AB， 即， ∴PE=，
∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，
∴公路不会穿越保护区。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过点P作PE⊥AB，E是垂足．AE与BE都可以根据三角函数用PE表示出来．根据AB的长，得到一个关于PE的方程，解出PE的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区。
A
D
B
C
（第10题图）
A
B
O
C
D