直线与圆，圆与圆的位置关系
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴；平分
十一、圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十五、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C
B
O
A D直线与圆，圆与圆的位置关系
选择填空题
1.（2013贵州省黔西南州，6，4分）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A． 50° B． 40° C． 60° D． 70°
考点： 切线的性质；圆周角定理．
分析： 连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠E的度数．
解答： 解：连接OC，如图所示：∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，则∠E=90°﹣40°=50°．故选A．
点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
2.（2013重庆市(A)，8，4分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O周长为（ ）
A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm
【答案】C．
【解析】根据切线的性质，连接OA，得∠OAP＝90°，所以OA＝＝＝10cm，则⊙O的周长为20πcm．
【方法指导】本题考查切线的性质、勾股定理、圆的周长计算．由于圆的切线垂直于经过切点的半径，所以经常用以提供直角三角形，从而引入勾股定理进行计算．在上面计算时，要学会运用平方差公式简便计算，即＝＝＝10cm．
3．（2013重庆，8，4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OCB=（180°－50°）=65°，故选C．
【方法指导】本题考查了对切线的性质的掌握，考差了直角三角形两锐角互余和等腰三角形的性质．圆的切线垂直于过切点的半径，可以把直线和圆的位置关系问题转化为直角三角形的问题解决；根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题．
4.（2013黑龙江省哈尔滨市，17）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O 的半径为，CD=4，则弦AC的长为 ．
考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。
分析：：本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
解答：连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三点共线，连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=
5．（2013兰州，4，3分）⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．内含
考点：圆与圆的位置关系．
分析：两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
若d＞R+r，则两圆相离；若d=R+r，则两圆外切；若d=R﹣r，则两圆内切；若R﹣r＜d＜R+r，则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况．
解答：解：∵R﹣r=4﹣1=3，O1O2=3cm．
∴两圆内切．
故选B．
点评：本题主要考查两圆的位置关系与数量之间的联系．
6．（2013广西钦州，5，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2=5cm．则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A． 外离 B． 相交 C． 内切 D． 外切
考点： 圆与圆的位置关系．
分析： 由⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm和3cm，若O1O2=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系．
解答： 解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm和3cm，若O1O2=5cm，又∵2+3=5，∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切．故选D．
点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离 d＞R+r；②两圆外切 d=R+r；③两圆相交 R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切 d=R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含 d＜R﹣r（R＞r）．
7．（2013湖北孝感，6，3分）下列说法正确的是（ ）
A． 平分弦的直径垂直于弦
B． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C． 相等的圆心角所对的弧相等
D． 若两个圆有公共点，则这两个圆相交
考点： 圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析： 利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可
解答： 解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，故选B．
点评： 本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键．
8. （2013湖南长沙，4，3分）已知⊙O1的半径为1㎝、⊙O2的半径为3㎝，两圆的圆心距O1O2为4㎝，则两圆的位置关系是（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
答案：B 【详解】因为1+3=4，即两圆半径之和等于圆心距，所以两圆外切.
9．（2013湖南邵阳，5，3分）若⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距d=7 cm，则这两个圆的位置关系是( )
A．相交 B．内切 C．外切 D.外离
知识考点：圆与圆的位置关系.
审题要津：根据圆与圆位置关系及已知的两圆半径及圆心距数量关系即可得出答案.
满分解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm，∴圆心距d=3 cm+4cm=7 cm.∴⊙O1和⊙O2外切.故选C.
名师点评：解题的关键是掌握圆与圆的位置关系：外离时d>R+r，外切时d=R+r，相交时R-r10. （2013江苏南京，4，2分） 如图，圆O1、圆O2的圆心O1、O2在直线l上，圆O1的半径为2 cm，圆O2的半径为3 cm，O1O2=8 cm。圆O1以1 cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关系是
(A) 外切 (B) 相交 (C) 内切 (D) 内含
答案：D
解析：7s后两圆刚好内切，所以，外切、相交、内切都有，没有内含，选D。
11．（2013 东营，7，3分）已知的半径=2，的半径是方程的根，与的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
答案：D
解析：解方程得，x=3，经检验x=3是原方程的根，所以，因为，所以两圆外切．
12. （2013 宁波3分）两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（ ）
A． 内含 B． 内切 C． 相交 D． 外切
【答案】D．
【解析】∵两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，
又∵2+3=5，
∴这两个圆的位置关系是外切．
【方法指导】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
13．（2013白银，17，4分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= 2或0 ．
考点： 圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
分析： 先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．
解答： 解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3﹣1=2，解得t=0．∴t为2或0．故答案为：2或0．
点评： 考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．
14．（2013贵州毕节，18，5分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是a，b，且a、b满足，圆心距O1O2=5，则两圆的位置关系是 外切 ．
考点： 圆与圆的位置关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
分析： 首先根据求得a、b的值，然后根据半径与圆心距的关系求解即可．
解答： 解：∵，∴a﹣2=0，3﹣b=0解得：a=2，b=3∵圆心距O1O2=5，∴2+3=5∴两圆外切，故答案为：外切．
点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
15．（2013 徐州，14，3分）若两圆的半径分别是2和3，圆心距是5，则这两圆的位置关系是 ．
考点：圆与圆的位置关系．
考点：圆与圆的位置关系．
分析：两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．若d＞R＋r则两圆相离，若d＝R＋r则两圆外切，若d＝R－r则两圆内切，若R－r＜d＜R＋r则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况．
解答：∵两圆半径分别为2和3，圆心距为5，则2＋3＝5，∴两圆外切．故答案为：外切．
点评：本题主要考查了两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离（d＞R＋r）、内含（d＜R－r）、相切（外切：d＝R＋r或内切：d＝R－r）、相交（R－r＜d＜R＋r）．
16. （2013 嘉兴5分）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为 ．
【思路分析】根据旋转的性质得到△OAB为等边三角形，则AB=OA=2，而⊙A、⊙B的半径都为1，根据圆与圆的位置关系即可判断两圆的位置关系
【解析】∵⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的⊙B，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=2，
∵⊙A、⊙B的半径都为1，
∴AB等于两圆半径之和，
∴⊙A与⊙B外切．
故答案为外切
【方法指导】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的半径分别为R、r，两圆的圆心距为d，若d=R+r，则两圆外切．也考查了旋转的性质．
17. （2012浙江杭州3分）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是【 】
A．内含 B．内切 C．外切 D．外离
【答案】B。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm．则d=6﹣2=4。
∴两圆内切。故选B。
18. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于【 】
A． 15° B． 20° C． 30° D． 70°
【答案】B。
【考点】切线的性质，等腰三角形的性质。
【分析】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC。∴∠OBC=90°。
∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°。
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°。故选B。
19. （2012浙江温州4分）已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【 】
A. 13cm. B. 8cm C. 6cm D. 3cm
【答案】D。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
因此，根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8－5=3（cm）。故选D。
三．解答题
1．（2013四川巴中，26，13分）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．
考点： 圆与圆的位置关系；解二元一次方程组．
分析： 首先由r1、r2是方程组的解，解此方程组即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圆心距为4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
解答： 解：∵，①×3﹣②得：11r2=11，解得：r2=1，吧r2=1代入①得：r1=4；∴，∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4，∴两圆的位置关系为相交．
点评： 此题考查了圆与圆的位置关系与方程组的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
2．（2013白银，27，10分）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．
考点： 切线的判定；勾股定理；垂径定理．
专题： 计算题．
分析： （1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．
解答： 解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴AE=BE=AB=4，在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，∴OE==3，∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2，在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，∴tan∠BAC===；（2）AD与⊙O相切．理由如下：∵半径OC垂直于弦AB，∵AC弧=BC弧，∴∠AOC=2∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠AOC=∠BAD，∵∠AOC+∠OAE=90°，∴∠BAD+∠OAE=90°，∴OA⊥AD，∴AD为⊙O的切线．
点评： 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．
3. 点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．
考点： 切线的判定．
分析： （1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．
解答： （1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵，∴．∴⊙O的直径为．
点评： 本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．
4. （2013湖南长沙，22，8分）如图，⊿ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积.
5．（2013 东营，20，8分）如图，为的直径，点为上一点，若，过点作直线垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与的延长线相交于点，的半径为3，并且．
求的长．
分析：（1）连接CO，根据，证明DC∥AD，再根据，得，从而证明CD是⊙O的切线．
（2）由题意得，则在中，．
（1）解：直线CD与⊙O相切． ………………1分
理由如下：连接OC．
∵OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∵∠BAC=∠CAM
∴∠OCA=∠CAM
∴OC∥AM…………………………3分
∵CD⊥AM
∴OC⊥CD
∴直线与相切． …………………………5分
（2）解：
∵
∴∠COE=2∠CAB=
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan=．…………………………8分
点拨：要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连结圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可．
6.（2013湖北黄冈，20，7分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OC．
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA．
∴OC∥AD，
∴OC⊥CD，
即DC为⊙O的切线．
（2）解：连接BC．
由（1）知△ADC∽△ACB，
∴＝，即AC2＝AD·AB．
又⊙O的半径为3，
∴AB＝6，AD＝4，
∴AC＝．
【解析】（1）证明DC为⊙O的切线，就是要连接OC，证明OC⊥DC．（2）连接BC，证明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的对应边相等计算求解．
【方法指导】本题考查圆的直径所对的圆周角是直角、切线的证明及相似三角形的判定和性质．证明圆的切线有两种常用方法：1.当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”．2.当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．后面一种方法的应用在中考试卷中渐呈增多趋势，要引起注意．
7．（2013山东滨州，22，8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．
【答案】：证明：连接OE，
∵ OB = OE，
∴ ∠B = ∠OEB．
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C．
∴ ∠OEB = ∠C．
∴ OE∥AC．
∵ EF⊥AC，
∴ OE⊥EF．
∴ 直线EF是⊙O的切线．
【解析】连接OE，则根据OB=OE可得：∠B=∠OEB,由AB=AC，可得∠C=∠B，继而可得∠OEB=∠C，根据平行线的判定可得OE∥AC,再根据平行线的性质得∠OEF=∠CFE=90°,则OE⊥EF，由切线的判定定理即可得出结论．
【方法指导】本题考查了切线的判定、平行线的性质及判定和等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，利用等角代换得出∠OEF为直角，难度一般．
8．(2013浙江湖州,20,8分)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．
【思路分析】（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．
【解】 （1）连结OB．
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，
∴△OBC是正三角形．
∴BC＝OC＝2．
（2）证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB．
∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°．
∴∠CBP＝30°．
∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°．
∴OB⊥BP．
∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
【方法指导】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
9．（2013广东湛江，23，10分）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长．
【思路分析】（1）设法证∠OAP=90°,(2)利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC的长。
【解】
（1）设AC与OP相交于点H
∵AB是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90°
∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOB=∠B
∵∠P=∠BAC
∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAB=90°
∴PA为⊙O的切线
（2）∵OP⊥AC，∴AC=2AH
在直角三角形PAO中，AP=
由面积法可知：
所以AC=8
【方法指导】一、判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证这条线段垂直于直线即可；如果直线与圆没有直接的联系，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可。
二、求线段的长度有以下常用的方法：
1.用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；
2.用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；
3.面积法，适用于有直角三角形的图形中有高的存在。
10. （2012浙江丽水、金华8分）如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
【答案】(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF。，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH。∴∠ODB＝∠DBH。
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD。∴∠OBD＝∠DBH。
∴BD平分∠ABH。．
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4。
在Rt△OBG中，.
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理。
【分析】(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在Rt△OBG中利用勾股定理即可求解。
11. （2012浙江衢州8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
【答案】（1）证明：连接OD。
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC
∴∠ODB=∠DBC。∴OD∥BC。
又∵∠C=90°，∴∠ADO=90°。
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线。
（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC。
∴，即。
解得，即⊙O的半径r为。
【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可。
（2）利用平行线知△AOD∽△ABC，即；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值。
12. （2012浙江义乌8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
13.（2011浙江舟山、嘉兴10分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．
【答案】（1）证明：∵BC是直径，∴∠BDC=90°。∴∠ABC+∠DCB=90°。
∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°。
∴BC⊥CA。∴CA是圆的切线。
（2）解：在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴=，EC=AC。
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴=，BC=AC。
∵BC﹣EC=BE，BE=6，
答：圆的直径是10。
【考点】切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义，解直角三角形。
【分析】（1）根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判断CA是圆的切线。
（2）根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC=，tan∠ABC=，推出EC=AC，BC=AC，代入BC﹣EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可。
14.（2011浙江义乌8分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E.
⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=
（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长.
【答案】解：（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF 。
∵AB⊥CD ， ∴CD∥BF 。
（2）连结BD
∵AB是直径，∴∠ADB=90°。
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=。
∴cos∠BAD=。
又∵AD=3， ∴AB=4。∴⊙O的半径为2 。
（3）∵cos∠DAE= ，AD=3，∴AE= 。
∴ED= 。 ∴CD=2ED= 。
【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形。
【分析】（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF。
（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD= ，所以cos∠BAD= ADAB=，然后利用三角函数即可求出⊙O的半径。
（3）由于cos∠DAE= ，而AD=3，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD。
O
B
C
A
（第3题图）
l
O1
O2
（第20题图）
A
O
B
D
C
l
M
E
（第20题答案图）
A
O
B
D
C
l
M
E直线与圆，圆与圆的位置关系
一．选择填空题
1．（2013白银，10，3分）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．
专题： 计算题．
分析： 连接OB、OC、OA，求出∠BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案．
解答： 解：连接OB、OC、OA，∵圆O切AM于B，切AN于C，∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°，∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠CAO=α，AB=AC=，∴阴影部分的面积是：S四边形BACO﹣S扇形OBC=2×××r﹣=（﹣）r2，∵r＞0，∴S与r之间是二次函数关系．故选C．
点评： 本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．2.如图，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为C1;图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为C2；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为C3；……，依次规律，当正方形边长为2时，则C1+ C2+ C3+…C99+ C100= ▲ 【答案】10100。【考点】分类归纳，正方形的性质，圆与圆相切的性质。【分析】找出规律，C1=2，C2=4·1·=4，C3=，C4=，…C100=200。∴C1＋C2＋C3＋C4＋…＋C100=。
三．解答题
1．（2013湖北宜昌，21，10分）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．
（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是 30° ；
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出OA即可；（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可．
解答： 解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA==，在Rt△EOB中，cos∠EOB==，∴=，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法三：∵OE⊥EB，EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=π（cm2），∴π≤S扇形MON≤π．故答案为：30°．
点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键．
2.（2013四川遂宁，24，10分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可．
解答： （1）证明：∵△BCO中，BO=CO，∴∠B=∠BCO，在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°，∴CF是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠FCO=90°，∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN；（3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，在Rt△COE中，cos∠BOC=，∴OE=CO cos∠BOC=4×=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE===，AC===2，BC===2，∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴由垂径定理得：CD=2CE=2，∵△ACM∽△DCN，∴=，∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2，∴CN===，∴BN=BC﹣CN=2﹣=．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出△ACM∽△DCN是解题关键．
3. （2012浙江杭州12分）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
【答案】解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴AE⊥CE。
又∵OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，
又∵∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC。
又∵∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°。
（2）∵AE=3，∠A=30°，
∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3。
∵OB⊥MN，∴B为MN的中点。
又∵MN=2，∴MB=MN=。
连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，
∴。
在△COB中，∠BOC=30°，
∵cos∠BOC=cos30°=，∴BO=OC。
∴。
又∵OC+EC=OM=R，
∴。
整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5。
∴R=5。
（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，
如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：
延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，
△FDE即为所求。
∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，
∴FD=5。
则C△EFD=5+10+5=15+5，
由（2）可得C△COB=3+，
∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1。
【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE⊥CE，又OB⊥AT，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数。
（2）在Rt△AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB⊥MN，根据垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在Rt△OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在Rt△OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值。
（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。
顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，△FDE即为所求。
根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△FDE为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出△EFD的周长，再由（2）求出的△OBC的三边表示出△BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。
4.. （2012江西省）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）如图2，折叠后的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆的圆心为O′时，求 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的长度；
（２）如图3，当弦AB=2时，求折叠后 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆的圆心Ｏ’到弦AB的距离；
（３）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
【答案】解：（1）当 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )经过圆O时，折叠后的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A．OA．O′B，OB，OO′。
∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。
∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的长度 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
（2）如图3所示，连接O′A，O′B，
∵O′A=O′B=AB=2，
∴△AOB为等边三角形。
过点O作OE⊥AB于点E，∴O′E=O′A sin60°= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
∴折叠后 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆的圆心Ｏ’到弦AB的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
（3）①如图4，当折叠后的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆外切于点P时，
过点O作EF⊥AB交AB于点H、交 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于点E，交CD于点G、交 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。
∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。
根据垂径定理及折叠，可知PH= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )PE，PG= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )PF。
又∵EF=4，∴点O到AB．CD的距离之和d为：
d=PH+PG= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )PE+ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )PF= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（PE+PF）=2。
②如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：
设O′，O″为 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆的圆心，
∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，
∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点。
∵折叠后的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆外切，
∴连心线O′O″必过切点P。
∵折叠后的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆与⊙O是等圆，
∴O′P=O″P=2，∴PM= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )OO″=ON，PN= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )OO′=OM，
∴四边形OMPN是平行四边形。
【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。
【分析】（1）如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的圆心角，再根据弧长公式计算即可。
（2）如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆的圆心O′到弦AB的距离。
（3）①如图4， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于点E，交 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。
②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。直线与圆，圆与圆的位置关系
一．选择填空题
1．（2013贵州毕节，15，3分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A． 2，22.5° B． 3，30° C． 3，22.5° D． 2，30°
考点： 切线的性质；等腰直角三角形．
分析： 首先连接AO，由切线的性质，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位线，继而求得OD的长；根据圆周角定理即可求出∠MND的度数．
解答： 解：连接OA，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，∴AO⊥BC，∴OD∥AC，∵O为BC的中点，∴OD=AC=2；∵∠DOB=45°，∴∠MND=∠DOB=22.5°，故选A．
点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
2.（2013·泰安，13，3分）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（ ）
A．OC∥AE B．EC＝BC C．∠DAE＝∠ABE D．AC⊥OE
考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
专题：计算题．
分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；
由C为弧BE中点，即弧BC＝弧CE，利用等弧对等弦，得到BC＝EC，选项B正确；
由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE＝∠ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误．
解答：解：A．∵点C是的中点，∴OC⊥BE，
∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，
∴OC∥AE，本选项正确；
B．∵＝，∴BC＝CE，本选项正确；
C．∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，
∴∠DAE＋∠EAB＝90°，
3．（2013·济宁，10，3分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
专题：计算题．
分析：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB－AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．
解答：解：连接OD，
∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OD∥AB，
又O为BC的中点，
∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，
∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB－AF=8－2=6，
在Rt△BFG中，∠BFG=30°，
则根据勾股定理得：FG=3．故选B．
点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
4. （2013杭州3分）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
【答案】C．
【解析】解：A．圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；
B．当两圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；
C．两条平行弦所在直线没有交点，故本选项正确；
D．两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误
【方法指导】本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系．
5. （2013贵州省黔东南州，7，4分）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A． 2cm B． 2.4cm C． 3cm D． 4cm
考点： 直线与圆的位置关系．
分析： R的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．
解答： 解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42=25，∴AB=5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD=R；∵S△ABC=AC BC=AB r；∴r=2.4cm，故选B．
点评： 本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点
6.（2013湖北省咸宁市，1，3分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 2 ．
考点： 切线的性质；等腰直角三角形．
分析： 首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
解答： 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ===2．故答案为：2．
点评： 本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
7．（2013江苏苏州，16，3分）如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为 ．（结果保留π）
【答案】．
【解析】分析：如图，连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到△AOB为直角三角形，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60°，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60°，又OB=OC，得到△BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60°，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．
解：如图，连接OB，OC．
∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°．
在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°．
∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°．
又OB=OC，∴△BOC为等边三角形．
∴∠BOC=60°．
则劣弧的弧长为l===．
所以应填或．
【方法指导】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．．
8．（2013湖南永州，13，3分）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°．则∠B= 度．
【答案】60°.
【解析】连接OA，则OA⊥MN，由于∠MAB=30°，所以∠OAB=90°-30°=60°，而OA=OB，所以∠B=∠OAB=60°.
【方法指导】有切线连半径，这是解决有关切线计算或证明的常用的辅助线。
9．（2013湖南娄底，10，3分）如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（ ）
A． 4.8cm B． 9.6cm C． 5.6cm D． 9.4cm
考点： 相交两圆的性质．
分析： 根据相交两圆的性质得出AC=AB，进而利用勾股定理得出AC的长．
解答： 解：连接AO1，AO2，∵⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，∴O1O2⊥AB，∴AC=AB，设O1C=x，则O2C=10﹣x，∴62﹣x2=82﹣（10﹣x）2，解得：x=3.6，∴AC2=62﹣x2=36﹣3.62=23.04，∴AC=4.8cm，∴弦AB的长为：9.6cm．故选：B．
点评： 此题考查了相交圆的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
10．（2013贵州省六盘水，16，4分）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为 10或6 cm．
考点： 圆与圆的位置关系．
专题： 分类讨论．
分析： 本题应分内切和外切两种情况讨论．
解答： 解：∵⊙A和⊙B相切，∴①当外切时圆心距AB=8+2=10cm，②当内切时圆心距AB=8﹣2=6cm．故答案为：10或6．
点评： 本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．外切时P=R+r；内切时P=R﹣r；注意分情况讨论．
11．（2013江苏泰州，15，3分）如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A， B两点，ABcm, P为直线l上一动点，以l cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点.设PO=d cm，则d的范围___________________.
【答案】
【解析】∵⊙O的半径为4cm，是定圆，而⊙P是动圆，半径1cm. 要使⊙P沿直线l运动与⊙O没有公共点，一种是外离d＞5；另一种情况是内含，2≤d＜3.
【方法指导】本题考查两圆的位置关系应用，题目设置具有创新性.解决本题的关键抓住圆与圆位置关系极其对应数量关系进行判断分析.
12.（2011浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l
上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为
A． B． C．3 D．2
【答案】B。
【考点】圆的切线的性质，垂线段的性质，勾股定理。
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．运用勾股定理得PQ=。故选B。
13.（2011浙江绍兴5分）如图，相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移，当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1，与半径为BB1的⊙B相切．则点A平移到点A1，所用的时间为 ▲ s．
【答案】或3。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm。
如图1，此时外切：2t+1+t=2，∴t= ；
如图2，此时内切：2t+t-1=2，∴t=1，此时两圆重合，舍去；
如图3，此时内切：2t-t+1=2，∴t=1，此时两圆重合，舍去；
如图4，此时外切：2t-t-1=2，∴t=3。
∴点A平移到点A1，所用的时间为 或3s。
14.（浙江衢州4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为cm，则用含的代数式表示r为 ▲ ．
【答案】当0＜r≤8时，r=；当r＞8时，r=。
【考点】切线的性质，勾股定理。
【分析】①易知，当0＜r≤8时，r=；
②当r＞8时，根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在直角三角形OAD中用勾股定理计算求出圆的半径：在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即：r2=（r﹣8）2+2整理得：r=。
三．解答题
1．（2013江西，22，9分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标；
（3）求直线AB的解析式．
【思路分析】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式．
[解]（1）证明：依题意可知，A（0，2）
∵A（0，2），P（4，2），
∴AP∥x轴，
∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC
∴△OBC≌△PEC
∴OC=PC
（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，
∴x2=(4－x)2+22，解得x=，
∴BC=CE=4－=，
∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=
∴OD===，
由点B在第四象限可知B（，）；
解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC
∴△OBC≌△PEC
∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2PE2,
∴x2=(4－x)2+22，解得x=，
∴BC=CE=4－=，
∵BD∥x轴，
∴∠COB=∠OBD，
又∵∠OBC=∠BDO=90°，
∴△OBC∽△BDO， ∴==，
即==，
∴BD=，OD=，
由点B在第四象限可知B（，）；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由A（0，2），B（，），可得；
解得∴直线AB的解析式为y=－2x+2．
2.（2013·潍坊，19，10分）如图，四边形是平行四边形，以对角线为直径作⊙，分别于、相交于点、．
（1）求证四边形为矩形．
（2）若试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由．
答案：
考点：平行四边形的性质，矩形的判定，，相似三角形的判定，直径对的圆周角是直角，圆的切线的判定等知识的综合运用．
点评：关键是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圆的切线的判定方法．
3．（2013兰州，27，10分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．
考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题．
分析：（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
解答：（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．（2分）
∴DO∥MN．（3分）
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．（4分）
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．（5分）
（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴．（6分）
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．（7分）
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．（8分）
∴．
∴．
则AC=15（cm）．（9分）
∴⊙O的半径是7.5cm．（10分）
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
4．（2013广东珠海，17，7分）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
考点： 切线的判定与性质；菱形的性质．
分析： （1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．
解答： （1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，∵AB与⊙切于A点，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，在△ABC和△CBO中，∴△ABC≌△CBO，∴∠BOC=∠OAC=90°，∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线；（2）解：∵△ABC≌△CBO，∴∠AOB=∠COB，∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，CB=CD，∴点O在BD上，∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，而OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠BOC=2∠ODC，而CB=CD，∴∠OBC=∠ODC，∴∠BOC=2∠OBC，∵∠BOC+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°，∴∠ABC=2∠OBC=60°．
点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．
5．（2013广西钦州，25，10分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
考点： 切线的判定与性质；扇形面积的计算．
专题： 计算题．
分析： （1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．
解答： 解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AC为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形BOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．
点评： 此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
6．（2013贵州安顺，25，10分）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．
（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；
（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．
解答：（1）证明：连接OT，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，（3分）
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT为⊙O的切线；（5分）
（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四边形OTCE为矩形，（7分）
∵CT=，
∴OE=，
又∵OA=2，
∴在Rt△OAE中，，
∴AD=2AE=2．（10分）
点评：本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题．
7 . （2013江苏南京，25，8分） 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O
的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC
于点M，交过点C的直线于点P，且BCP=ACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
解析： 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。
∵AB//CD，∴BAC=ACD。
∵BAC=BNC，∴BNC=ACD。
∵BCP=ACD，∴BNC=BCP。
∵CN是圆O的直径，∴CBN=90。
∴BNCBCN=90，∴BCPBCN=90。
∴PCO=90，即PCOC。
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)
(2) ∵AD是圆O的切线，∴ADOA，即OAD=90。
∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，即OMBC。
∴MC=MB。∴AB=AC。
在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=6r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(6r)232=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，
∵OMC=OCP，MOC=COP，
∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 EQ \F( 6 , ) = 。
∴PC= 。(8分)
解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图，连接OC。
∵AD是圆O的切线，∴ADOA，
即OAD=90。
∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，
即OMBC。
∴MC=MB。∴AB=AC。∴MAB=MAC。
∴BAC=2MAC。又∵MOC=2MAC，∴MOC=BAC。
∵AB//CD，∴BAC=ACD。∴MOC=ACD。又∵BCP=ACD，
∴MOC=BCP。∵MOCOCM=90，∴BCPOCM=90。
∴PCO=90，即PCOC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) 在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=6r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(6r)232=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，∵OMC=OCP，MOC=COP，
∴△OMC～△OCP，∴ = ，即 EQ \F( 6 , ) = 。
∴PC= 。(8分)
8．（2013·聊城，24，）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．求证：（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
考点：切线的判定与性质；菱形的判定．
分析：（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD＝CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．
解答：证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×4＝2，
设OC＝x，∵BE＝2，∴OE＝x－2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，∴x2＝（x－2）2＋（2）2，解得：x＝4，
∴OA＝OC＝4，OE＝2，∴AE＝6，
在Rt△AED中，AD＝＝4，∴AD＝CD，
∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，∴AF∥CD，
∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∴ FADC是菱形；
（2）连接OF，
∵四边形FADC是菱形，∴FA＝FC，
在△AFO和△CFO中，
，
∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO＝∠FAO＝90°，即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．
点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
9.（2013 新疆12分）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【思路分析】（1）如图，连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可；
（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；
（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．
【解析】（1）证明：如图，连接OA．
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°．
∵由（1）知，∠ACB=30°，
∴AD=CD=4，
则根据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4；
（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△ABC=AD AC=×4×4=8．
∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S△AOC=S△ABC=4．
根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4，即图中阴影部分的面积是+4．
【方法指导】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及扇形面积的计算．解答（3）时，求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质
10. （2013浙江丽水8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数；
（3）若AB=6，求的长。
11. （2013 衢州8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
【思路分析】（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
【解析】1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴．
【方法指导】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12.（2013山西，23，9分）（本题9分）如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。
（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长。
解析】解：（1）CD是⊙O的切线,
理由如下：连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2
∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,
∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线
(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,
BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)×=.
在Rt△BPQ中BQ===10
∴QC=BQ-BC=10==
13.（2013四川乐山，22，10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
题甲：如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B。
（1）求证：直线CD是⊙O的的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长。
14．（2013贵州省六盘水，21，10分）在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长．
考点： 切线的判定．
分析： （1）连接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A，根据∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可； （2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出△ADE∽△ACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可．
解答： （1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，证明：连接OD，DE，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°，∵OD=OA，∴∠A=∠ADO，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°﹣90°=90°，∴OD⊥BD，∵OD为半径，∴BD是⊙O切线；（2）解：∵AD：AO=6：5，∴=，∴由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10，∵AE是直径，∴∠ADE=∠C=90°，∵∠CBD=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，∵BC=3，∴BD=．
点评： 本题考查了切线的判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
15．（2013贵州省黔东南州，22，12分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：AC是所作⊙O的切线；
（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面积．
考点： 作图—复杂作图；切线的判定．
分析： （1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出⊙O；（2）根据切线的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案．
解答： （1）解：如图所示：（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，∵FC平分∠ACB，∴OB=OE，∴AC是所作⊙O的切线；（3）解：∵sinA=，∠ABC=90°，∴∠A=30°，∴∠ACB=∠OCB=ACB=30°，∵BC=，∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，∴△AOC的面积为：×AC×OE=×2×1=．
点评： 此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．
16．（2013湖北省咸宁市，1，8分）如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．
（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）AB=6，求⊙O的半径．
考点： 切线的判定；解直角三角形．
分析： （1）连接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根据三角形内角和定理求出∠OAD，根据切线判定推出即可；（2）求出∠AEC=90°，根据垂径定理求出AE，根据锐角三角函数的定义即可求出AC，根据等边三角形的性质推出即可．
解答： 解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OA．∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°，∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°，即OA⊥AD，∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线．（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△ACO是等边三角形，∴∠ACO=60°，AC=OA，∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°，∴OC⊥AB，又∵OC是⊙O的半径，∴AE=AB=6=3，在Rt△ACE中，sin∠ACE==sin 60°，∴AC=6，∴⊙O的半径为6．
点评： 本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生综合运用性质进行推理的能力．
17．（2013山东菏泽，17，10分） 如图，BC是⊙O的直径， A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若OC=CP，AB=6，求CD的长.
【思路分析】（1）连接OA，证OA⊥PA即可；
转化为直角三角形中，根据锐角三角函数
边角关系求解.
【解】（1）证明：连接AO，AC.
∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90°∴∠CAD=90°
∵点E是CD的中点
∴CE= CE= AE……………………2分
在等腰△EAC中，∠ECA= ∠EAC
∵OA=OC ∴∠OAC= ∠OCA
∵CD是⊙O的切线
∴CD⊥OC
∴∠ECA + ∠OAC = 90°
∴∠EAC + ∠OAC = 90°
∴OA⊥AP
∴AP是⊙O的切线……………………5分
（2）由（1）知OA⊥AP
在Rt△OAP中，∵∠OAP = 90°, OC= CP= OA即OP= 2OA，
∴
∴,∴……………………7分
∴
又∵在Rt△DAC中，∠CAD = 90°, ∠ACD = 90°-∠ACO= 30°
∴……………………10分
【方法指导】本题考查了圆的切线性质、判定，与圆有关的基本性质，直角三角形相关知识等.在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”
18. （2012浙江湖州10分）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：四边形ABED为矩形；
（2）若AB=4， ，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。
∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。
∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。
∴四边形ABED为矩形。
（2）解：∵四边形ABED为矩形，∴DE=AB=4。
∵DC=DA，∴点C在⊙D上。
∵D为圆心，DE⊥BC，∴CF=2EC。
∵，设AD=3k（k＞0）则BC=4k。∴BE=3k，EC=BC－BE=4k－3k=k，DC=AD=3k。
由勾股定理得DE2＋EC2=DC2，即42＋k2=（3k）2，∴k2=2。
∵k＞0，∴k=。∴CF=2EC=2。
【考点】切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，垂径定理。
【分析】（1）根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论。
（2）根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案。
19. （2012浙江宁波8分）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为
直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）连接OE。
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB。
∵BE是△ABC的角平分线，∴∠OBE=∠EBC。
∴∠OEB=∠EBC。∴OE∥BC 。
∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90° 。
∴AC是⊙O的切线。
（2）连接OF。
∵sinA=，∴∠A=30° 。
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8。
∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12。
∴BC=AB=6，AC=6。∴CE=AC﹣AE=2。
∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形。
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2。∴∠EOF=60°。
∴S梯形OECF=（2+4）×2=6， S扇形EOF=。
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6﹣。
【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线。
（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF－S扇形EOF求解即可。
20. （2012浙江温州10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。
（1）求证:AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB为弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠DOB =2∠DCB。
又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB。
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。∴∠DOB+∠B=90°。∴∠BDO=90°。∴OD⊥AB。
∴AB是⊙O的切线。
（2）如图，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，∴∠B=30°。∴∠DOB=60°。
∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB为弧所对的圆心角和圆周角，∴∠DOB =2∠DCB。
∴∠DCB=30°。
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，∴OC=2OM=2。
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4。
∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：。
【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理。
【分析】（1）连接OD，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，可得出∠DOB=2∠DCB。又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线。
（2）过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，从而确定出
∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，可得出∠DOB=2∠DCB。可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，从而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长。
本题另解：如图，过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长。
A
B
C
D
O
M
P
A
B
C
D
O
M
P
N
A
B
C
D
O
M
P
C
A
B
O
D
E
P
（第18题）1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与⊙O的位置关系是【 】
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能
2. 已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】
A.外离 B.内切 C.相交 D.内含
3. 若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【 】
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
4. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【 】
A． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) B． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) C． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) D． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
5． 如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O周长为（ ）
A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm
6. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为【 】
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7．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°．则∠B= 度．
A．8 B．6 C．5 D．4
8. 平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为 ▲ ．
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
9. 在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为 ▲ ．
10．如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（ ）
A． 4.8cm B． 9.6cm C． 5.6cm D． 9.4cm
11. 如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A， B两点，ABcm, P为直线l上一动点，以l cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点.设PO=d cm，则d的范围___________________.
12. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
6．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．
（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．
13.选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
题甲：如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B。
（1）求证：直线CD是⊙O的的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长。
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD＝BF；
（2）若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半径．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE＝OE＝2．
（1）求证：∠A＝2∠DCB；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
16. 如图AB是⊙O的直径，AC、 DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1)求证：DP是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积.
【思路分析】（1）连接OD,BD，证PD⊥OD；
先解直角三角形POD，求PD长，然后
观察到计算.
第27题图
A
B
C
O
D
E直线与圆，圆与圆的位置关系典型例题剖析
一：与圆相关概念的应用
圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系
【例1】已知⊙O的半径为3cm，A为线段OM的中点，当OA满足：
（1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是 .
（2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是 .
（3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是 .
【例2】 ⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）.
Ａ. 相交 Ｂ. 相切 Ｃ. 相离 Ｄ. 无法确定
【例3】（2012上海市）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
外离 B．相切 C．相交 D．内含
【例4】如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1.点⊙P（a,0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为【 】
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（A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1，±3
练习：1.已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为【 】
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
2. 若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．外离
3. 已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【 】
A. 13cm. B. 8cm C. 6cm D. 3cm
4.定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线l上移动，当两圆相切时，OP的值是【 】
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A．2cm或6cm B．2cm C．4cm D．6cm
5.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 ▲ 个.
二：判断圆的切线的方法及应用
判断圆的切线的方法有三种：
（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；
（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；
（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例6】如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）
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A．15° B．20° C．30° D．70°
【例7】Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A． 2cm B． 2.4cm C． 3cm D． 4cm
【例8】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．
【例9】 如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
(1)(5分)求证：CG是⊙O的切线；
(2)(5分)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．
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【答案】证明：(1)如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900。
∵在Rt△DCF中，DG＝FG，∴CG＝DG＝FG。
∴∠CFG＝∠FCG。
又∵∠CFG＝∠AFE，∴∠FCG＝∠AFE。
∵OA＝OC，∴∠EAF＝∠OCA。
又∵DE⊥AB，∴∠EAF＋∠AFE＝90°。 ∴∠OCA＋∠FCG＝90°，即∠GCO=90°。
又∵OC是⊙O的半径，∴CG为⊙O的切线。
(2)∵DG＝FG，∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
∵DC＝CB，∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
又∵ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。∴AF＝FC。
又∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线。∴OF∥BC。
【考点】切线的判定，圆周角定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形中位线的判定和性质。
【分析】（1）连接OC．欲证CG是⊙O的切线，只需证明∠CGO=90°，即CG⊥OC。
根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定和性质证得结论。
【例10】已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．
考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题．
分析：（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
解答：（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．（2分）
∴DO∥MN．（3分）
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．（4分）
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．（5分）
（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴．（6分）
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．（7分）
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．（8分）
∴．
∴．
则AC=15（cm）．（9分）
∴⊙O的半径是7.5cm．（10分）
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
练习：1. 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的长为【 】
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A．π B．2π C．3π D．5π
2．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
3. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切与点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为【 】
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
r B. ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )r C.2r D. ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )r
4. 如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．
5. 如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，求⊙O的半径．
6．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标；
（3）求直线AB的解析式．
7. 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可．
三：直线与圆，圆与圆相关计算
主要利用圆的基本性质，勾股定理及三角形的知识进行计算
【例11】（1）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为 ▲ cm2．
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（2）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．
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【答案】12 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。
【分析】∵⊙O2的面积为π，∴⊙O2的半径是1。
∵AB和AH是⊙O1的切线，∴AB=AH。
设⊙O2的半径是R，连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F。
∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA，∠ADC=60°
∴D．O2、O1三点共线，∠CDO1=30°。
∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。
∴四边形CFO2E是矩形，
∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°。
∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，R+1=2（R﹣1），解得：R=3。
即DO1=2+1+3=6，
在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
∵∠HO1A=90°﹣60°=30°，HO1=3，∴AH= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=AB。
∴四边形ABCD的面积是： ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )×（AB+CD）×BC= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )×（ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）×（3+3）=12 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
【例12】（2012浙江宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为
直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
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【答案】解：（1）连接OE。
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB。
∵BE是△ABC的角平分线，∴∠OBE=∠EBC。
∴∠OEB=∠EBC。∴OE∥BC 。
∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90° 。
∴AC是⊙O的切线。
（2）连接OF。
∵sinA= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，∴∠A=30° 。
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8。
∴AE=4 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，∠AOE=60°，∴AB=12。
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )AB=6，AC=6 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。∴CE=AC﹣AE=2 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形。
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2。∴∠EOF=60°。
∴S梯形OECF= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（2+4）×2 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=6 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， S扇形EOF= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线。
（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF－S扇形EOF求解即可。
【例13】已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=250，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
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【答案】解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC=90°。
又∠BAC=25°，∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°。
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA=MB。
∴∠MAB=∠MBA。
∴∠MAB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°。
（Ⅱ）如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA。
又∵BD=MA，∴四边形MADB是平行四边形。
又∵MA=MB，∴四边形MADB是菱形。∴AD=BD。
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴ AB = AD 。
∴AB=AD=BD。∴△ABD是等边三角形。∴∠D=60°。
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°。
【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，菱形的判定与性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】（Ⅰ）由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC－∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA=MB，利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数。
（Ⅱ）连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧BAD 的中点，根据等弧对等弦可得出AB=AD，由AM为圆O的切线，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA=MB，得到ADBM为菱形，根据菱形的邻边相等可得出BD=AD，进而得到AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB=∠D=60°。
【例14】半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．
（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是 30° ；
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出OA即可；（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可．
解答： 解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA==，在Rt△EOB中，cos∠EOB==，∴=，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法三：∵OE⊥EB，EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=π（cm2），∴π≤S扇形MON≤π．故答案为：30°．
点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键．
练习：1. 如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 ▲ ．
2．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=2/3．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
4. 如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
5．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：AC是所作⊙O的切线；
（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面积．
6.如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD
⊥CD
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°，
①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。
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四：圆与圆的位置关系及其应用
【例15】（2013四川巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．
考点： 圆与圆的位置关系；解二元一次方程组．
分析： 首先由r1、r2是方程组的解，解此方程组即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圆心距为4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
解答： 解：∵，①×3﹣②得：11r2=11，解得：r2=1，吧r2=1代入①得：r1=4；∴，∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4，∴两圆的位置关系为相交．
点评： 此题考查了圆与圆的位置关系与方程组的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
【例16】如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接
A、O1、B、O2．
(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；
(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；
(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．
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【答案】解：（1）证明：∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴AO1=O1B=BO2=O2A。
∴四边形AO1BO2是菱形。
（2）证明：∵四边形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB。
∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，∴∠ACE=∠AO2C=90°。
∴△ACE∽△AO2D。∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，即CE=2DO2。
（3）∵四边形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2。∴△ACD∽△BO2D。
∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。∴AD=2BD。
∵ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )S，∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
【考点】相交两圆的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。
（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，从而得出 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，即可得出结论。
（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可。
【例17】已知，如图⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点。
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若分别为⊙O1、⊙O2的半径，且。求的值。
【例18】已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径分别为r、
R，且r＜R.
（Ⅰ）如图1，过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点.
求证：AM·AN＝2Rr；
（Ⅱ）如图2，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问AP AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论．
练习：1.（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？
（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．
2.如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．
（1）求证： ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．
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3. 如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，⊙O1与⊙O2的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5．
（1）求线段AB的长；（2）证明： ．
O
B
C
A
