教师姓名 学科 上课时间 讲义序号(同一学生)
学生姓名 年级 组长签字 日期
课题名称
教学目标
教学重点 难点
课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________________________
教学过程 相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD =AD·BD， AC =AD·AB，BC =BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）. 补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。相似三角形的性质 ①相似三角形对应角相等、对应边成比例. ②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比). ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.相似的应用：位似1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。②两个位似图形的位似中心只有一个。③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。④位似比就是相似比。2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。【例题选讲】例1. 如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？解析： ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=例2：如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．求证：△ABF∽△EAD；解析：∠AFB=∠D，∠BAF=∠AED，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可证得△ABF∽△EAD∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°．
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA．
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED．
∴△ABF∽△EAD．例3：如图，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E。已知AD：DB=2：3．则S△ADE：SBCED＝（）（A）2：3 （B）4：9 （C）4：5 （D）4：21解析：∵ DE//BC，∴所以△ADE∽△ABC ∴其相似比 为 AD/AB=AD/(AD+DB)=2/5 ∴△ADE 与△ABC的面积比为4/25∴S△ADE：S四边形BCDE=4：21 答案：D例4：如图，E是中线AD上的一点，CE交AB于F，已知AE：ED=1：2，则AF：BF= 。解析：过D作DG//CF交AB于G。∵D是BC中点，∴BG/GF=BD/DC=1，∴BG=GF。∵DG平行CF，∴AF/FG=AE/ED=1/2，∴FG=2AF，∴BF=BG+GF=4AF，∴AF：BF=1：4。例5：如图①,△ＡＢＣ内接于○Ｏ，且∠ＡＢＣ＝∠Ｃ,点Ｄ在弧ＢＣ上运动，过点Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ, DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证 ；解析：证明：（1）在△ABC中，
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；
（2）由（1）得∠ADB=∠E，
且∠ADB=∠C，
即可得出AB=AC，
又因为∠BAD为公共角，且AB=AC，
易得△ABD∽△ADE，
即有AB：AD=AD：AE，
即有AD2=AB AE=AC AE．例6：如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值. 解:（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B∴△DCF∽△ABC∴，即.∴AB·AF＝CB·CD（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6∴×6＝3x＋27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝即时练习：：如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围. （3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE. （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.解:(1) △ABE∽△DAE, △ABE∽△DCA ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴△ABE∽△DCA (2)∵△ABE∽△DCA ∴ 由依题意可知CA=BA= ∴ ∴m= 自变量n的取值范围为1课后学生作业布置（手写）
教师课后赏识评价（手写） 在课上老师最赏识的是：
在下次课老师最希望你改正的是：
A
C
B
D
E
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
O
F
D
A
E
B
C
D
C
F
E
A
B
G知识点一：放缩与相似形
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.
知识点二：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或）
2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如
4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
（2）比例性质
1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）
2.反比性质： (把比的前项、后项交换)
3.更比性质(交换比例的内项或外项)：
4.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）
．
注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：．
5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如果，那么．
注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中≈0.618。
2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.
作法：①过点B作BD⊥AB，使BD=1/2AB；
②连结AD，在DA上截取DE=DB；
③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：
.（只要求记住）
3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。
知识点四：相似三角形的判定与性质
1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；
性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。
4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
直角三角形相似判定定理:
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：
CD =AD·BD，
AC =AD·AB，
BC =BD·BA
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.
补充二：三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
知识点五：位似
1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。
②两个位似图形的位似中心只有一个。
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
④位似比就是相似比。
2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。
②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。 相似三角形C组
1．（2013山东菏泽，14，3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时， EP+BP=____________.
（2013 淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 条.
2．（2013广东珠海，21，9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．
3．（2013湖南娄底，25，10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
4. （2013江苏南京，27，10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC；
△GHO与△KFO； △NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2) 如图，在锐角△ABC中，A合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明
理由。
解析：
(1) 1、2； (4分)
(2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
第一种情况：如图1，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、
PQ2，分别使CPQ1=A，BPQ2=A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
第二种情况：如图2，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CBM=A，BM交AC于点M。
当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC，
CP2Q2=ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。
第三种情况：如图3，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作BCD=A，ACE=B，
CD、CE分别交AC于点D、E。
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时△AQP1与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB，
BP2Q2=BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使BP3Q’=BCA，
此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)
5、（2013 内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
解析： （1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；（2）当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式；当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．
6、 （2013 自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
解析： （1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论．（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．
7、（2013 黄石）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线.
（1）如图2，在△中，°，，的平分线交于点，请问点是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△在（1）的条件下，如图（3），请问直线是不是△的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形中，，对角线、交于点，延长、交于点，连接交梯形上、下底于、两点，请问直线是不是直角梯形的黄金分割线，并证明你的结论.
解析：（3）不是直角梯形的黄金分割线
∵∥
∴ ，
∴ ①
②
由①、 ②得 即 ③
同理，由 ， 得
即 ④
由③、④得
∴
∴
∴ 梯形与梯形上下底分别相等，高也相等
∴梯形梯形梯形
∴不是直角梯形的黄金分割线
8、[2013湖南邵阳，26，10分]如图(十二)所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°.点P是△ABC外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P/是点P关于直线BC的对称点，连结PP/交BC于点M、BP/交AC于点D，连结BP、AP/、CP/.
(1)若四边形BPCP/为菱形，求BM的长；
(2)若△BMP/∽△ABC，求BM的长；(3)若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积.
解析：（1）∵四边形BPCP/是菱形，
∴BC与PP/互相平分，
∴BM=BC=3.
(2)∵△BMP/∽△ABC，且△ABC是等腰直角三角形，
∴△BMP/是等腰直角三角形，
∴BM=MP/,∠BPP/=45°.
∵P与P/关于直线BC对称，
∴∠BPM=45°，PM=MP/，
∴BM=MP.
∵CP平分∠NCB，
∴∠BCP=∠BCN=(180° - 45°)=67.5°.
又∵∠CPM=90°-∠BCP=90°-67.5°=22.5°，
∴∠BPC=∠BPM+∠CPM=45°+22.5°=67.5°，
∴∠BCP=∠BPC，
∴BP=BC=6.
在Rt△BMP中，
∵BM2+MP2=BP2，
2BM2=62，∴BM=3.
(3)由题意，知∠BAD=45°.
①当AB=AD时，过点D作DE⊥AB，垂足为D.
在Rt△AED中，DE=AD·sin∠DAB=6×sin45°=3,
此时△ABD的面积为：AB·DE =×6×3 =9.
②当AD=BD时，有∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等腰在解三角形，且AB=BC，
∴D为AC的中点，
∴△ABD的面积为△ABC面积的一半，
∴△ABC的面积为×AB·AC=×6×6=9.
③当AB=BD时，∵∠BAD=45 ，
∴∠ABC=90°，此时△ABD就是△ABC，
∴△ABD的面积为AB·BD=AB·BC=×6×6=18.
综上所述，△ABD的面积为9,或9,或18.
9、（2013 绍兴12分）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
【思路分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．
10、（2013四川遂宁，24，10分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可．
解答： （1）证明：∵△BCO中，BO=CO，∴∠B=∠BCO，在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°，∴CF是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠FCO=90°，∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN；（3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，在Rt△COE中，cos∠BOC=，∴OE=CO cos∠BOC=4×=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE===，AC===2，BC===2，∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴由垂径定理得：CD=2CE=2，∵△ACM∽△DCN，∴=，∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2，∴CN===，∴BN=BC﹣CN=2﹣=．
11、（2013湖北省咸宁市，1，10分）阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．
解答： 解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．
12、（2013广东广州，24，14分）已知AB 是⊙O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD，且CD=OA.
（1）当OC=时（如图12），求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）当OC＞时，CD 所在直线与⊙O 相交，设另一交点为E，连接AE.
①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长;
②连接OD,是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED 的值；若不存在，请说明理由。
【思路分析】（1）由勾股定理的逆定理即可证明直角三角形，进而证明圆的切线；（2）作出图形，得到等边三角形之后，即可得到相应的角的度数，从而把问题转化为计算问题；（3）利用平行线的性质得到5个相等的角，然后利用角间关系，得到相似三角形，进而利用边长的比求得答案.
【解】（1）如答案图1，连接OD，
在⊙O中，直径AB=4，则半径OD=2，
∵CD=OA
∴CD=2
又∵OC=，在△OCD中，
∴CD⊥OD于D，
∴CD 是⊙O 的切线。
（2）①如答案图2，由D为CE的中点，得DE=2
∴△ODE为等边三角形，
∴∠E=∠ODE=
又∵OD=CD，
∴∠C=∠COD=
∴OE⊥OD于O，由勾股定理，得OC=
在Rt△ODE中，AO=OE=2，
∴AE=
∴△ACE 的周长=AE+CE+AC=
②如答案图3，四边形AODE为梯形，只可能是OD∥AE，
当OD∥AE时，∠A=∠DOC=∠C=∠AEO=∠EOD，
设∠EOD=x，则∠ODE=∠OED=2x，
由△ODE的内角和为，得x=
∴△CED∽△OED，且△AOE≌△OCD
∴，且AE=OC，
∴，
∴AE·ED=4。
13、（2013山东德州,24,12分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转900，得到△DOC。抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t。
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F。求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由。
【思路分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）求动点P坐标，需要进行探究，分类讨论存在情况，结合相似、列一元二次方程解题；要探究使△PCD的面积最大，寻求PN=PM-NM，S△PCD＝△PCN+△PND列出二次函数模型来解决.
【解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO=3
∵tan∠BAO=
∴OB＝OA·tan∠BAO＝3
∵△DOC是由△AOB绕原点O逆时针旋转900而得到的。
∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0），（0，3），（－3，0）
代放抛物线解析式得，
a+b+c=0
c=3
9a-3b+c=0
解之得，a=-1,b=-2,c=3
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3
（2）①抛物线y=-x2-2x+3的对称轴l为：x== －1
∴E点坐标为（－1，4）
（ⅰ）当∠CEF＝900时，△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点。坐标为（－1，4）
（ⅱ）当∠CFE＝900时，△CFE∽△COD。过点P做PMCA于点M，则△EFC∽△EMP。于是，,
∴MP=3EM.
即：-t2-2t+3=3(-1-t)。
整理得：t2-t-6=0
解之得：t1=-2,t2=-3（不合题意，舍去）。
所以此时点P的坐标为（－2，3）
所以当△CEF与△COD相似时点P的坐标分别为：（－1，4）或（－2，3）。
②设直线CD的解析式为：y=kx+m则得： ，解之得：k=,m=1
所以直线CD的解析式为：y=x+1
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t, t+1）.
∴ PN=PM-NM=-t2-2t+3－（t+1）＝-t2-t+2
则S△PCD＝△PCN+△PND
＝PN×CM+PN×OM=PN×(CM+OM)=PN×OC
＝（-t2-t+2）＝－（t+）2+
∴当t＝－时，S△PCD的最大值为。
14、(2013四川成都，20，10分)
如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．
(1)求证：AC＝AD＋CE；
(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q．
i)当点P与A，B两点不重合时，求的值；
ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)
【思路分析】(1)证△ABD≌△CEB即可；
(2)i)过点Q作QH⊥BC于点H，利用相似三角形把转化为对应边的比．解题的关键是证明AP＝BH．
ii)利用第i)问中求得的结果求出MQ的长，再反复利用勾股定理求出BQ的长，从而利用三角形的中位线定理求出DQ的中点所经过的路径长．
【解】(1)证明：∵BD⊥BE，∴∠DBE＝90°，即∠ABD＋∠EBC＝90°．
∵∠E＋∠EBC＝90°，∴∠ABD＝∠E．
又∵∠A＝∠C＝90°，AD＝BC，∴△ABD≌△CEB．∴AD＝BC，AB＝CE．
∵AC＝AB＋BC，∴AC＝AD＋CE．
(2) i)如图2，过点Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE．
∴，．
即AD·QH＝AP·PH ① BC·QH＝BH·EC ②
由第(1)问可知，BC＝AD＝3，AB＝EC＝5．
∴AP·PH＝BH·EC．
设AP＝x，BH＝y，则PH＝AB＋BH－AP＝5＋y－x，
∴x(5＋y－x)＝5y．整理得x2－(5＋y)x＋5y＝0．即(x－5)(x－y)＝0．
∴x＝5或x＝y．∵点P与点B不重合，∴舍去x＝5．
当x＝y时，PH＝5．
∴＝＝．
ii) ．
提示：设DQ的中点为O，连结OB．∵∠DBE＝90°，∴DO＝BO．
∴点O在线段DB的垂直平分线上．
∴点O所经过的路径是线段DB垂直平分线上的一部分(线段)．
当点P与点A重合时，DQ的中点即是DB的中点O1．
设AC的中点为M，当点P与点M重合时，如图3，设此时DQ的中点为O2．
∵AD＝3，AM＝4，∴DM＝5．
由i)可知＝，∴＝．∴MQ＝．
在Rt△DMQ中，DQ＝＝．
在Rt△ABD中，DB＝＝．
在Rt△DBQ中，BQ＝＝．
∴O1O2＝DB＝．
15、（2013湖南永州，25，10分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD．
(1)若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
(2) 若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
(3) 若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
(4) 若AB=m，CD=n，BD=，请问在m、n、满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点 两个P点 三个P点
【思路分析】每小问按两种对应关系来说明。
【解】(1)设BP=x，则DP=10-x
如果是△ABP∽△CDP，则，即，解得； 如果是△ABP∽△PDC，则，即，得方程：，方程无解；
所以BP=
(2)设BP=x，则DP=12-x
如果是△ABP∽△CDP，则，即，解得；如果是△ABP∽△PDC，则，即，得方程：，解得x=6；
所以BP=6或
（3）设BP=x，则DP=15-x
如果是△ABP∽△CDP，则，即，解得；如果是△ABP∽△PDC，则，即，得方程：，解得x=3或12
所以BP=，3或12.
（4）设BP=x，则DP=l-x
如果是△ABP∽△CDP，则，即，解得；如果是△ABP∽△PDC，则，即，得方程：，
当时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；
当时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；
当时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点；
16、（2013 吉林省）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿AFD的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动.在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）
（1）当点P运动到点F时，CQ= ㎝；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
（3）当点P在线段FD上运动时，求与之间的函数关系式.
17、（2013 苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
(1)当t＝ ▲ s时，四边形EBFB'为正方形；
(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解答： （1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF，则有，即，解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2，解得：t=；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：t=3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．
18、（2013 淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．
（1）当ι= 7 时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．
①求s与ι之间的函数关系式；
②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
分析： （1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得；（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．
19、（2013 泰州） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.
(1)求证：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；
(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。
解： (1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°
∵∠ABC+∠ABQ=180°
∴∠ABQ=∠ADP =90°
∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°
∴∠QAB+ ∠BAP=90°
又∵∠PAD+∠BAP=90°
∴∠PAD=∠QAB
在△ADP与△ABQ中
∵
∴△ADP∽△ABQ
（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC ∴
∵点M是PQ的中点 ∴
∴
又∵
∴
∵△ADP∽△ABQ
∴ ∴
∵
∴
在Rt△MBN中，由勾股定理得：
即：
当即时，线段BM长的最小值.
(3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10
由△ADP∽△ABQ得解得：
∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，
当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：
20、（2013 包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．
分析： （1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．
解答 （1）解：∵=，∴=．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴=，∴==，∴==；（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，∴AF=OA．（3）证明：连接OE．∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．∴点O是BD的中点．又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE=CD，∴△OFE∽△CFD．∴==，∴=．又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴==．在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．∴CG=GF，又∵CD=BC，∴==，∴=．∴CG=BG．
21、（2013 天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于 6 ；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求 ．
22、（2013 天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
考点： 相似形综合题．3718684
分析： （Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1，所以E（0，1）；（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．
解答： 解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴=，即=，解得，OE=1，∴点E的坐标为（0，1）；（Ⅱ）①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又BE=OB﹣OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴==，∴AA′=×2=，∴EE′=AA′=，∴点E′的坐标是（，1）．
23、（2013 丽水）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为
（1）当时，求CF的长；
（2）①当为何值时，点C落在线段BD上？
②设△BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿轴左右平移得到△C’D’ F’，再将A，B，C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。
24、（2013 临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
分析： （1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值．与（1）（2）问相比较，的值发生了变化．
解答： 解：（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC；∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∴∠APE=∠PCF；∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB，∴∠PAE=∠CPF．∵在△APE与△PCF中，∴△APE≌△PCF（ASA），∴PE=CF．在Rt△PCF中，=tan30°=，∴=．（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴．由（1）知，=，∴=．（3）答：变化．证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，∴△APM∽△PCN，∴，得CN=2PM．在Rt△PCN中，=tan30°=，∴=．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴=．∴的值发生变化．
点评： 本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．
A
B
C
D
E
P
F
Q
（第14题）
A
B
C
P
（第15题）
2
A
B
C
1
A
B
C
A’
B’
C’
A’
B’
C’
A
B
C
A
B
C
Q1
P
Q2
A
B
C
Q1
M
Q2
Q
P1
P2
A
B
C
Q1
Q’
Q
P1
P2
D’
E
Q2
P3
E
A
C
B
A
D
B
C
A
C
D
H
A
B
B
F
C
D
图1
图2
图3
图4
·
·
·
图(十二)
②
③
①
A
P
B
C
E
Q
D
第20题图
A
P
B
C
E
Q
D
图2
H
A
B
C
E
D
图3
Q
P(M)
O1
O2
10
x
20-x
N
10
8
A
B
C
P
D
Q
M
10
a
10相似三角形B组
1．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（ ）
（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD
2、△ABC中，D是AB上的点，不能判定△ACD∽△ABC的是以下条件中的（ ）
A ＜ACD=＜B B ＜ADC=＜ACB C =AD·AB D AD:AC=CD:BC
3、如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且＜APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
4、 如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，AM/AN=BM/CM，下列结论正确的是（ ）
A △ABM∽△ACB B △ANC∽△AMB C △ANC∽△ACM D △CMN∽△BCA
5、如图，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是BC的中点，ＦＣ＝CD，下面得出六个结论：
△ABE∽△AEF；②△ABE∽△ECF；
③△ADF∽△ABE；④△AEF∽△ECF；
⑤△AEF∽△ADF；⑥△ECF∽△ADF，其中正确的个数是（ ）
Ａ.２个 Ｂ.３个 Ｃ.４个 Ｄ.５个
6．（2013·聊城，11，3分）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B． C． D．
7．（2013湖北孝感，12，3分）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2013·聊城，11，3分）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B． C． D．
9．（2013 东营，10，3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个
10、（2013 自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
A． 11 B． 10 C． 9 D． 8
11、（2013 北京） 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于
A. 60m B. 40m
C. 30m D. 20m
12、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
13、（2013 威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A． ∠C=2∠A B． BD平分∠ABC
C． S△BCD=S△BOD D． 点D为线段AC的黄金分割点
填空题：
1、如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则△
DCF的面积为_________
2、 已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，且相似比为1:4，则AD的长度为___________
3、（2013宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．
其中正确的是 ①②④ （写出所有正确结论的序号）．
4、（2013 苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 （2，4﹣2） ．
5、（2013 天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 7 ．
6、（2013 潍坊）如图，直角三角形中，，， ，在线段上取一点，作交于点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若∽，则=__________.
7、（2013 台州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则的值为（ ）
8、（2013 牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．
解答题：
1、已知：如图4，△PMN是等边三角形，∠APB=120°。
求证：AM·PB=PN·AP。
2、（2013 南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
3、（2013 武汉）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴，即．
（3）．
4．（2013·泰安，26， 分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2＝AB AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE＝AB＝AE，继而可证得∠DAC＝∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
5.（2013上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结，求的大小；
（3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．（两个（4，0），（8，0））
6.（2013陕西，20，8分）
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m。已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）
7.（2013四川巴中，29，10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
分析： （1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
解答： （1）证明：∵ ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵ ABCD，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．
8.（2013四川乐山，22，10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
题甲：如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B。
（1）求证：直线CD是⊙O的的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长。
9.（2013四川内江，25，12分）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PDB；
（2）求证：BC2=AB BD；
（3）若PA=6，PC=6，求BD的长．
分析： （1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．
10、（2013四川南充，19，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E.
（1）求证：△APB∽△PEC；
（2）若CE=3，求BP的长.
【答案】：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠B=∠C
∵∠APB+∠EPC=180°﹣∠APE ∠APB+∠PAB=180°﹣∠B
又∠APE=∠B
∴∠PAB=∠EPC
∴△APB∽△PEC
（2）过A作AF⊥BC于F，过D作DH⊥BC于H则△ABF≌△DCH
∵AD=3 BC=7
∴BF=CH=2
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，AB=
∵△APB∽△PEC
∴
∴
∴BP=3或4
11. (湖南株洲,23) 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.
⑴当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
⑵当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.
【答案】：（1）证明：在△AQP与△ABC中
∵∠AQP=∠ABC=90°
∠A=∠A（公共角）
∴△AQP∽△ABC
（2）解：设AP=.
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=
由（1）知△AQP∽△ABC
∴即
∴PQ=
由图1知：PB=AB-AP=3-
又∵△PQB为等腰三角形
∴PQ =PB即=3-
∴=
由图2知：PB= AP - AB =-3
又∵△PQB为等腰三角形
∴PQ =PB即=-3
∴=15
综上所述，AP的长为或15.
P
N
M
A
B
A
B
C
D
E
F
（第27题）
B
A
E
C
D
N
M
第题图教师姓名 学科 上课时间 讲义序号(同一学生)
学生姓名 年级 组长签字 日期
课题名称 比例线段及相似图形的性质
教学目标 1、掌握合比性质与等比性质2、黄金分割点与黄金三角形3、平行线分线段成比例4、相似图形的性质
教学重点 难点 掌握并灵活应用合比性质与等比性质、黄金分割点与黄金三角形、平行线分线段成比例2、相似图形对应边成比例、相似图形对应角相等的应用
课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ ______________________________________________
教学过程 知识点一：放缩与相似形图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：4.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：． 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果，那么．注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中≈0.618。2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.作法：①过点B作BD⊥AB，使BD=1/2AB；②连结AD，在DA上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：
.（只要求记住）3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。知识点四：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。几何语言 ∵ △ABE中BD∥CE ∴ 简记： 归纳： 和推广：类似地还可以得到和 三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,.2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：. 重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点三：相似三角形的性质 ①相似三角形对应角相等、对应边成比例. ②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比). ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.相似的应用：位似1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。②两个位似图形的位似中心只有一个。③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。④位似比就是相似比。2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。例1：例1：已知 ，则= 解析：根据合比公式，把转化成，进而求得结果 ∵ ∴，即时练习：1.若，求的值。答案：或-1 2. 若三边，三边上的高分别为，求的值。 答案：2：3：4例2：已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A．AM∶BM =AB∶AM B.AM =AB C.BM =AB D.AM ≈0.618AB解析：根据黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，据此判断即可．解答：解：∵点M将线段AB黄金分割（AM＞BM），
∴AM是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AM=AM：BM，AM=AB≈0.618AB，BM=AB．
故选C．即时练习：1.若线段AB=10cm，C是AB的黄金分割点，则较短线段CB= cm。答案： 2．如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取点AD的中点E，连接EB，在DA的延长线上取一点F，使得EF=EB, 以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．
为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说． 解答：解：设正方形ABCD的边长为2，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，
由勾股定理知EB=，
∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=-1，
HB=AB-AH=3-；
∴AH2=6-2，
AB HB==6-2，
∴AH2=AB HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．例3（2013浙江台州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则：的值为（ ）A．1： B．1:2 C．1:3 D．1:4 【答案】：C．【解析】分别取AB、AC的中点M、N，连结MN，又∵，易知AM=AE，AN=AD，易证△ADE≌△ANM（SAS），由于MN为△ABC的中位线，利用相似三角形的性质，易知，∴：=1:3.即时练习：1.（2013四川内江）如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ） A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2 2.（2013四川绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）A． B． C． D．例4：已知△ABC∽△ACD，且AD=7，BD=2，求AC的长。解析：相似三角形对应边成比例解：∵已知△ABC∽△ACD，∴ ,∵AD=7，BD=2，∴,∵AC＞0，所以AC=即时练习： 已知RT△ABC∽RT△DFE,CM,EN分别是斜边AB,DF上的中线，AC=9cm，CB=12cm，DE=3cm。求CM和EN的长。解：∵△ABC∽△DFE∴AC/DE=CB/EF∵AC=9cm,CB=12cm,DE=3cm∴EF=4cm∵∠ACB=∠DEF=90°∴AC2+BC2=AB2,DE2+EF2=DF2∴AB=15,DF=5∵∠B=∠B,∠CMB=∠ACB ∠F=∠F,∠ENF=∠DEF∴△CMB∽△ACB,△ENF∽△DEF∴CM/AC=BC/AB,EN/DE=EF/DF∵AC=9,BC=12,AB=15 DE=3,EF=4,DF=5∴CM=36/5,EN=12/5 (你也可以利用面积来做,CM.EN分别是△ABC和△DFE斜边上的高)例5：如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ）A.都扩大为原来的5倍 B. 都扩大为原来的10倍C. 都扩大为原来的25倍 D. 都与原来相等解：∵所得的三角形与原三角形相似
∴三角形的每个角都与原来相等
故选D．即时练习：已知在△ABC中，∠A=30°，AB=1米，现要用1：100的比例尺把△ABC画在纸上记作△A′B′C′，那么，∠A′= °答案：30°例3：如图，，且,若，求的长。 解析：平行线分线段成比例∵BD=AE∴AD+AE=5∵DE//BC∴△ADE与△ABC相似三角形∴AD/AB=AE/AC∴AE=10/3即时练习：1.如图，已知，若，，，求证：.答案：根据平行线分线段成比例可知∵，∴∴2.如图，直线，已知AG=1.2cm，BG=2.4cm，EF=4cm，CD=3cm，则 CH= ，KF= 。先解CH由直线L1∥L2∥L3，即可得到 AG/BG=CH/DH，又由设CH=xcm，则DH=3-x（cm），代入数值解方程即可求得CH的长．解答：解：∵L1∥L2∥L3，∴AG/BG=CH/DH ，∵AG=1.2cm，BG=2.4cm，CD=3cm，设CH=xcm，则DH=3-x（cm），∴ 1.2/2.4=X/(3-X)，解得：x=1．即CH=1cm．故答案为：1．再解KF（方法其实同上）由直线L1∥L2∥L3，即可得到 AG/BG=FK/KF解答：解：∵L1∥L2∥L3，∴AG/BG=FK/KF，∵AG=1.2cm，BG=2.4cm,EF=4cm，设FK=Ycm，则KF=4-Y（cm），∴ 1.2/2.4=Y/(4-Y)，解得：Y=4/3．即FK=4/3cm．所以KF=4-4/3=8/3故答案为：8/3CMA组1、如果 a:b=12:8，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于………（ ）A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：42、已知△ABC和△A′B′C′，＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝ .3、如图，，，垂足分别为、，AD和BC相交于点，，垂足为.证明：.4、已知：MN//PQ，ab,cx，则满足关系式的图形是……（ ） 5．已知，且，则（ ） A、11 B、12 C、 D、96、如图，线段AB=2，点C是AB的黄金分割点(AC＜BC），点D（不同于C点）在AB上，且，求：的值（2013湖北孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ） A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)8、（2013湖北宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ） A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ） （A） （B） （C） （D）10、若＝＝＝－m2，则m＝______．B组1、已知AB=1，，且，则BC的长为（ ） A、 B、 C、 D、2、知P是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为（ ） A、2 B、 C、2或 D、以上都不对3、图D、E分别在△ABC的边AB、AC上，＝＝＝，且△ABC与△ADE的周长之差为15cm，求△ABC与△ADE的周长.4、（2009年浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个5、（2009年浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形6、(2009年浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
课后学生作业布置（手写）
教师课后赏识评价（手写） 在课上老师最赏识的是：
在下次课老师最希望你改正的是：
学生签字：___________________日期：___________________
是“A”字型
是“8”字型
经常考，关键在于找
A
B
C
D
E
A
C
D
B
D
B
C
A
N
M
O相似三角形A组
已知 ，则=
2、若，求的值。
若三边，三边上的高分别为，求的值。
4、已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A．AM∶BM =AB∶AM B.AM =AB C.BM =AB D.AM ≈0.618AB
5、若线段AB=10cm，C是AB的黄金分割点，则较短线段CB= cm。
6、如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
7 下列命题中正确的是 （ ）
①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似
A、①③ B、①④ C、①②④ D、①③④
8 如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式中错误的是( )
A B C D
9 如图,D E分别是AB AC上两点,CD与BE相交于点O,
下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是 ( )
A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB
C. BE=CD,AB=AC D. AD∶AC=AE∶AB
10 如图,E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点,
连结AE交CD于F,则图中共有相似三角形 ( )
A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
11 在矩形ABCD中,E F分别是CD BC上的点,
若∠AEF=90°,则一定有 ( )
A ΔADE∽ΔAEF B ΔECF∽ΔAEF
C ΔADE∽ΔECF D ΔAEF∽ΔABF
12 如图1,∽,若,则与的
相似比是( )A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:2
13 一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它两边的和是( )
A.19 B.17 C.24 D.21
14、已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交于点E，如果，那么＝（ ）
A. B. C. D.
15．（2013湖北孝感，9，3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A.（-2,1） B.（-8,4） C.（-8,4）或（8,-4） D.（-2,1）或（2,-1）
16．（2013湖北宜昌，15，3分）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A． （6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2）
17.（2013四川绵阳，10，3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）
A． B． C． D．
18．（2013浙江台州，8，4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则：的值为（ ）
A．1： B．1:2 C．1:3 D．1:4
19题 20题
19、（2013 沈阳）如图，中，AE交BC于点D，，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长等于（ ）
A． B． C． D．
20如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，角∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为 （ ）
A.3：4 B.1：2 C.2：3 D.1：3
21、（2013 东营）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ B ）
A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个
二、填空题:
1、已知,则
2、两个相似三角形的面积之比为4:9，则这两个三角形周长之比为 。
3、如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC～△AED成立，还需要添加一个条件为 。
4、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上).
5 如图5,若△ABC∽△DEF,则∠D的度数为______________.
6、将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为________
7、等腰三角形 △ABC和△DEF相似,其相似比为3:4,则它们底边上对应高线的比为______
8、若，则_____
在比例尺是1：8 000 000的《中国政区》地图上，量得福州与上海之间的距离为7.5厘米，那么福州与上海两地的实际距离是 千米．
已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为 cm．
已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是
如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3BD，S△ABC=48，则DE：BC=，S四边形BDEC= ．
13、已知A、B、C、D点的坐标如图所示，E是图中两条虚线的交点，若△ABC∽△ADE，则E点的坐标是 ．
如果两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°、60°，那么另一个三角形的最大角为 度．
在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= ．
16、如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BE=2EC，那么S△BEF：S△DAF=
第15题 第16题
17 .[2013湖南邵阳，14，3分] 如图(四)所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE=5，则BC=___________．
18．（2013·济宁，11，3分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为 cm．
19．（2013白银，14，4分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
20、（2013 乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．
21、（2013 上海）如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，
DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于（ ）
（A） 5∶8 ； （B）3∶8 ； （C） 3∶5 ； （D）2∶5．
三、解答題：
１、如图，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求的值，（2）求BC的长
2、（2013湖南益阳，15，6分）如图4，在中，，，于.
求证：．
3、（2013 佛山）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．
17题图
A
B
C
D
E
18题
A
B
C
E
D
图（四）
图1
A
C
B
D
E
A
B
D
C
E
图4
