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浙教版2022-2023学年七上数学第4章 代数式 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、3a和b含有不同字母，不是同类项，不能合并，故计算不符合题意；
B、3a-a合并同类项后应为2a，不是3，故计算不符合题意；
C、-5a2-3a2合并同类项后应为-8a2，不是-2a2，故计算不符合题意；
D、 a2b+2a2b=a2b，故计算符合题意．
故答案为：D．
2．下列说法错误的有（ ）
①0是绝对值最小的数
②的相反数是
③的系数是5
④一个有理数不是整数就是分数
⑤是7次单项式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①0是绝对值最小的数，故①符合题意；
②3a-2的相反数时2-3a，故②不符合题意；
③5πR2的系数是5 π，故③不符合题意；
④一个有理数不是整数就是分数，故④符合题意；
⑤34x3是3次单项式，故⑤不符合题意；
综上，错误的有②③⑤共3个，
故答案为：C．
3．一个长方形的周长为6a+8b，其一边长为2a+3b，则另一边长为（ ）
A．4a+5b B．a+b C．a+2b D．a+7b
【答案】B
【解析】另一边长为（6a+8b）÷2-（2a+3b）=3a+4b-2a-3b=a+b；
故答案为：B.
【分析】由于长方形的周长等于两邻边和的2倍，故知道周长及一条边长，可以用周长除以2再减去已知的边长，据此列出式子，进而根据整式的加减法法则算出答案.
4．用字母a表示任意一个有理数，下列四个代数式中，值不可能为0的是（ ）
A．1+a2 B．|a+1| C．a2 D．a3+1
【答案】A
【解析】当字母a表示任意一个有理数时，a2≥0，
∴1+a2＞0，故A选项符合题意；
当a=0时，a2=0，故C选项不符合题意；
当a=-1时，|a+1|=0，a3+1=0，故B选项，D选项均不符合题意；
故答案为：A．
5．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】解∶观察数轴得：，
∴，
∴
．
故答案为：A
6．一批上衣的进价为每件 元，在进价的基础上提高50%后作为零售价，由于季节原因，打6折促销，则打折后每件上衣的价格为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】B
【解析】由题意得：提高50%后的价格为： 元，
∴打折后的价格为： .
故答案为：B.
7．若代数式的值与x的取值无关，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C．2 D．－2
【答案】D
【解析】
由结果与x的取值无关，得到a﹣2＝0，b+4＝0，
解得：a＝2，b＝-4，
，
故答案为：D．
8．现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“ ⊥ ”来表示相当于 的代数式，观察其中的规律，化简“ ⊥ ”后得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】“ ⊥ ” 表示的代数式为：
.
故答案为：A.
9．观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2… 已知按一定规律排列的一组数：2100、2101、2102…、2199、2200，设2100=a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2+a B．2a2-2a-2 C．2a2-a D．2a2-2a
【答案】C
【解析】∵2100=a，
∴2100+2101+2102+…+2199+2200
=a+2a+22a+…+299a+2100a
=a（1+2+22+…+299+2100）
=a（1+2100-2+2100）
=a（2a-1）
=2a2-a．
故答案为：C．
10．把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长20cm，若记图2中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1-C2=（ ）
A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm
【答案】D
【解析】设图2与图3中的大长方形的宽为acm，则长为cm，
图1中的长方形长为xcm，宽为ycm，
由图2可知：；
由图3可知：，
，
，
，
，
则（cm），
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一个两位数M的个位数字是a，十位数字是b，交换这个两位数的个位与十位上的数字的位置，所得的新数记为N，则2M－N＝ （用含a和b的式子表示）．
【答案】-8a+19b
【解析】解∶由题意可得，
M=10b+a，N=10a+b，
∴2M-N
=2（10b+a）-（10a+b）
=20b+2a-10a-b
=-8a+19b；
故答案为：-8a+19b．
12．如图，有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，第个这种杯子叠放在一起高度是 cm（用含的式子表示）．
【答案】
【解析】由图可得，
每增加一个杯子，高度增加3cm，
则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+3（n-1）=（3n+7）cm，
故答案为：3n+7．
13．现有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚. 从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆中取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是 枚.
【答案】10
【解析】从左堆中取出3枚放入中堆，则左堆现在有 枚，中堆现在有 枚；
从右堆中取出 枚放入中堆，则右堆现在有 枚，中堆现在有 枚；
从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是 枚，
故答案为：10.
14．当x＝2021时，ax3﹣bx+5的值为1；则当x＝﹣2021时，ax3﹣bx+5的值是 ．
【答案】9
【解析】∵当x＝2021时，ax3﹣bx+5的值为1；
∴，
∴，
当x＝﹣2021时，有
；
故答案为：9
15．如图所示，大长方形 被分割成3个大小不同的正方形①、②、③和2个小长方形④、⑤，其中阴影部分的周长之和为20，且 ，则大长方形 的面积为 ．
【答案】24
【解析】设①正方形的边长为a，③正方形的边长为b，④长方形的宽为c，
则①②③④⑤的长与宽分别表示为：
①长为a，宽为a，②长为a-b，宽为a-b，③长为b，宽为b，④长为a-2b，宽为c，
⑤长为a+b，宽为c-b，又∵大长方形的长为：a+b+a-2b=2a-b，宽为：a-b+c，
又∵ ，
∴4a-2b=3a-3b+3c，
∴c= （a+b），
又∵①和④的周长和为：4a+2c+2（a-b）=20，
∴4a+2× （a+b）+2（a-b）=20，
化简可得：2a-b=6，即大长方形的长为6，
∴长方形的宽为6÷ =4，
∴长方形的面积为6×4=24，
故答案为：24．
16．如图，在正方形ABCD内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周
长相等．
（1）若①号长方形纸片的宽为1厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米；
（2）若①号长方形纸片的面积为10平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米．
【答案】（1）2
（2）
【解析】（1）设②号长方形的宽为xcm，
∵正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等，
∴x=2，
∴②号长方形纸片的宽为2cm，
故答案为：2；
（2）设②号长方形的长ycm，①号长方形的长为acm，宽为bcm，则②号长方形的宽为2bcm，
根据题意得：2b+3y=a+2b，
∴a=3y，
∵①号长方形纸片的面积为10平方厘米，
∴ab=3yb=10，
∴yb=，
∴②号长方形纸片的面积为2by=平方厘米.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．先化简，再求值．
（1），其中，；
（2），其中，．
【答案】（1）解：
，
当，时，原式
（2）解：
，
当，时，
原式
18．某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，B＝3x2y－5xy＋x＋7，试求A＋B，这位同学把A＋B看成A－B，结果求出的答案为6x2y＋12xy－2x－9．
（1）请你替这位同学求出的符合题意答案；
（2）当x取任意数值，A－3B的值是一个定值，求y的值．
【答案】（1）解：由题意可知：A=6x2y＋12xy－2x－9+(3x2y－5xy＋x＋7)
=6x2y＋12xy－2x－9+3x2y－5xy＋x＋7
=9x2y+7xy-x-2.
∴A+B=9x2y+7xy-x-2+(3x2y－5xy＋x＋7)
=9x2y+7xy-x-2+3x2y－5xy＋x＋7
=12 x2y+2xy+5
（2）解：A-3B=9x2y+7xy-x-2-3(3x2y－5xy＋x＋7)
=9x2y+7xy-x-2-9x2y+15xy-3x-21
=22xy-4x-23
=(22y-4)x-23.
∵当x取任意数值，A－3B的值是一个定值，
∴22y-4=0.
解得：.
故答案为(1) 12 x2y+2xy+5；(2)
19．某校七年级三个班级的学生在植树节当天义务植树.一班植树a棵，二班植树的棵数比一班的3倍少20棵，三班植树的棵数比二班的一半多15棵.
（1）求三个班共植树多少棵（用含 的式子表示）；
（2）当 时，求二班比三班多植多少棵？
【答案】（1）解：∵一班植树a棵，
∴二班植树的棵数为（3a－20）棵，三班植树的棵数为［ (3a－20)+15］棵，
则三个班共植树的棵数为：
a+3a－20+ (3a－20)+15
＝4a－20+ a－10+15
＝(5.5a－15)棵，
答：三个班共植树为(5.5a－15)棵.
（2）解：二班比三班多植的棵数为：
3a－20－[ (3a－20)+15]
＝（1.5a－25）棵
当a＝50时
1.5a－25＝1.5 50－25＝50（棵）
答：二班比三班多植50棵.
20．已知下面5个式子：观察下列五个式子，解答问题：，，，，．
（1）这五个式子中，多项式有 个；
（2）选择两个多项式进行加法运算，要求计算结果为单项式．
【答案】（1）3
（2）解：-3b+（-a+2b）
=-3b-a+2b
=-a-3b+2b
=-b．
【解析】（1）解：式子ab2是单项式，由于不是单项式，所以式子+b不是多项式，
式子-3b，-a+b，-a+2b是多项式，共3个；
故答案为：3；
21．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米．
（1） 厘米， 厘米（用含x的整式分别表示）；
（2）求长方形ABCD的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值．
【答案】（1）；
（2）解：长方形的宽为：，长为：，
则长方形ABCD的周长为：，
当时，．
【解析】（1）由图可知：FG＝厘米，DG＝厘米；
故答案是：，；
22．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含项的系数为0，
即原式＝，所以，则 ．
（1）若关于的多项式的值与的取值无关，求值；
（2）已知A，B；且3A＋6B的值与无关，求的值；
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
【答案】（1）解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得．
（2）解：，
，
的值与无关，
，
解得．
（3）解：设，
由图可知，，，
则
，
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
23．对于有理数a、b定义一种新运算a b＝，如5 3＝3×5﹣2×3＝9，1 3＝1﹣×3＝﹣1；请按照这个定义完成下列计算：
（1）计算
①5 （﹣3）＝ ▲ ；
②（﹣5） （﹣3）＝ ▲ ；
③若x ＝﹣3，求x`的值；
（2）若A＝﹣2x3+﹣x+1，B＝﹣2x3+x2﹣x+，且A B＝﹣4，求3x3+x+2的值；
（3）若x和k均为正整数，且满足x+12，求k的值．
【答案】（1）①21；②-3；
③，
当时，
，
解得：，不符合题意，舍去；
当时，
，
解得：，符合题意；
综上可得：；
（2）解：，，
，即，
∴，
∴，
，
∴；
（3）解：，
，
∵x和k均为正整数，
∴，
∴，
即，
去括号得：，
移项合并同类项可得：，
∴，
当时，，
当时，，
∴或．
【解析】（1）解：①；
故答案为：21；
②；
故答案为：-3；
24．新定义：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“幸运数”，例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“幸运数”．
（1）直接运用：最大的“幸运数”是 ；
（2）提升运用：将一个“幸运数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“幸运数”为“相伴幸运数”．例如：1423与4132为“相伴幸运数”；设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，请你说明“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数；
（3）拓展运用：请你直接写出同时满足下列条件的所有“幸运数”．
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
【答案】（1）9999
（2）解：设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，则其“相伴幸运数”的千位上数字为b，百位上数字为a，十位上数字为d，个位上数字为c，
∴“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和
，
∵a、b、c、d都是整数，
∴也是整数，
∴“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数；
（3）解：设这个“幸运数”的千位上的数字是a，百位上的数字是m，十位上的数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，则个位上的数字是2a，
又∵0≤2a≤9，
∴a的取值为1，2，3，4，
∵百位上的数字与十位上的数字之和是12
∴m+n=12，
又∵a+m=n+2a，
∴a+m=12-m+2a，即a=2m-12，
又∵m，a均为正整数，m的取值为7，8，9
当m=7时，a=2，这个“幸运数”是2754
当m=8时，a=4，这个“幸运数”是4848，
当m=9时，a=6，不成立，
综上所述，满足条件的“幸运数”是4848和2754．
【解析】（1）由题意得，最大的“幸运数”9999，
故答案为：9999；
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浙教版2022-2023学年七上数学第4章 代数式 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的有（ ）
①0是绝对值最小的数
②的相反数是
③的系数是5
④一个有理数不是整数就是分数
⑤是7次单项式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．一个长方形的周长为6a+8b，其一边长为2a+3b，则另一边长为（ ）
A．4a+5b B．a+b C．a+2b D．a+7b
4．用字母a表示任意一个有理数，下列四个代数式中，值不可能为0的是（ ）
A．1+a2 B．|a+1| C．a2 D．a3+1
5．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
6．一批上衣的进价为每件 元，在进价的基础上提高50%后作为零售价，由于季节原因，打6折促销，则打折后每件上衣的价格为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
7．若代数式的值与x的取值无关，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C．2 D．－2
8．现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“ ⊥ ”来表示相当于 的代数式，观察其中的规律，化简“ ⊥ ”后得（ ）
A． B． C． D．
9．观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2… 已知按一定规律排列的一组数：2100、2101、2102…、2199、2200，设2100=a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2+a B．2a2-2a-2 C．2a2-a D．2a2-2a
10．把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长20cm，若记图2中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1-C2=（ ）
A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一个两位数M的个位数字是a，十位数字是b，交换这个两位数的个位与十位上的数字的位置，所得的新数记为N，则2M－N＝ （用含a和b的式子表示）．
12．如图，有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，第个这种杯子叠放在一起高度是 cm（用含的式子表示）．
13．现有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚. 从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆中取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是 枚.
14．当x＝2021时，ax3﹣bx+5的值为1；则当x＝﹣2021时，ax3﹣bx+5的值是 ．
15．如图所示，大长方形 被分割成3个大小不同的正方形①、②、③和2个小长方形④、⑤，其中阴影部分的周长之和为20，且 ，则大长方形 的面积为 ．
（第15题） （第16题）
16．如图，在正方形ABCD内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周
长相等．
（1）若①号长方形纸片的宽为1厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米；
（2）若①号长方形纸片的面积为10平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．先化简，再求值．
（1），其中，；
（2），其中，．
18．某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，B＝3x2y－5xy＋x＋7，试求A＋B，这位同学把A＋B看成A－B，结果求出的答案为6x2y＋12xy－2x－9．
（1）请你替这位同学求出的符合题意答案；
（2）当x取任意数值，A－3B的值是一个定值，求y的值．
19．某校七年级三个班级的学生在植树节当天义务植树.一班植树a棵，二班植树的棵数比一班的3倍少20棵，三班植树的棵数比二班的一半多15棵.
（1）求三个班共植树多少棵（用含 的式子表示）；
（2）当 时，求二班比三班多植多少棵？
20．已知下面5个式子：观察下列五个式子，解答问题：，，，，．
（1）这五个式子中，多项式有 个；
（2）选择两个多项式进行加法运算，要求计算结果为单项式．
21．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米．
（1） 厘米， 厘米（用含x的整式分别表示）；
（2）求长方形ABCD的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值．
22．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含项的系数为0，
即原式＝，所以，则 ．
（1）若关于的多项式的值与的取值无关，求值；
（2）已知A，B；且3A＋6B的值与无关，求的值；
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
23．对于有理数a、b定义一种新运算a b＝，如5 3＝3×5﹣2×3＝9，1 3＝1﹣×3＝﹣1；请按照这个定义完成下列计算：
（1）计算
①5 （﹣3）＝ ▲ ；
②（﹣5） （﹣3）＝ ▲ ；
③若x ＝﹣3，求x`的值；
（2）若A＝﹣2x3+﹣x+1，B＝﹣2x3+x2﹣x+，且A B＝﹣4，求3x3+x+2的值；
（3）若x和k均为正整数，且满足x+12，求k的值．
24．新定义：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“幸运数”，例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“幸运数”．
（1）直接运用：最大的“幸运数”是 ；
（2）提升运用：将一个“幸运数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“幸运数”为“相伴幸运数”．例如：1423与4132为“相伴幸运数”；设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，请你说明“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数；
（3）拓展运用：请你直接写出同时满足下列条件的所有“幸运数”．
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
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