4.5.1相似三角形的性质及应用 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
4.5.1相似三角形的性质及应用
浙教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1.经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.
巩固相似三角形性质，并能熟练运用.
重点：相似三角形的性质及对应线段的性质.
难点：掌握相似三角形性质的应用.
新课导入
A
C
B
A1
C1
B1
问题： ΔABC与ΔA1B1C1相似吗？
新课导入
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
ΔABC∽ ΔA1B1C1
新课导入
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
新知探究
合作探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
新知探究
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应高的比.
新知探究
若△△， AD和AD分别是△ABC和△ABC的角平分线，
那么 成立吗？
D'
A'
B'
C'
D
A
B
C
新知探究
D'
A'
B'
C'
D
A
B
C
证明∵△ABC ∽△ ，
∴ ∠B= ∠B， ∠BAC = ∠BAC．
又AD， AD分别为角平分线，
∴△ ABD∽△ABD.
从而
∴ ∠BAD= ∠BAC= ∠BAC=∠BAD，
类似地，可以得到其余两组对应的角平分线的比也等于相似比.
新知探究
若△△， AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
那么 成立吗？
D
A
B
D'
A'
B'
C'
C
新知探究
D'
A'
B'
C'
D
A
B
C
证明∵△ABC ∽△ ，
又AD， AD分别为中线，
∴△ ABD∽△ABD.
从而
∴BD= BC, BD= BC，
类似地，可以得到其余两组对应边上的中线的比也等于相似比.
∴
∴
新知探究
结论
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
类似地，可以证明：
相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
新知探究
例1、如图：△A’B’C’∽△ABC，相似比为，求这两个三角形的角平分线A’D’与AD的比.
解：∵△A’B’C’ ∽△ABC，
∴∠B’=∠B，∠B’A’C’=∠BAC.
∵A’D’，AD分别是△A’B’C’与△ABC的角平分线，
∴∠B’A’D’=∠B’A’C’，∠BAD=∠BAC.
∴∠B’A’D’=∠BAD
∴∠B’A’D’=∠BAD
∴△A’B’D’∽△ABD
∴
新知探究
例2、已知：如图 ，BD，CE是△ABC的两条中线， P是它们的交点.
求证：.
解：连结DE.
∴△DEP∽ △BCP
∴DE//BC，DE=
∵BD，CE是△ABC的两条中线，
∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，
∴
新知探究
A
B
C
E
P
F
P
G
如图，△ABC的两条中线BE、CF交于P点，那么BC边上的中线AG是否也经过P点呢？
新知探究
A
B
C
E
P
F
P
G
★重心的定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
★重心的性质：三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
课堂练习
1.已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是对应边BC、B‘C’上的中线，若BC＝8cm, B'C'＝6cm,AD＝4cm,则A'D' 等于（ ）
A. 16cm B. 12 cm C. 3 cm D. 6 cm
2.两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（ ）
A . 7∶3 B. 49∶9 C. 9∶49 D. 3∶7
C
D
课堂练习
3. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ .
4. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______ .
2 : 3
2 : 3
16 cm
5．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8cm，A′D′＝3cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为____．

课堂练习
6.如图,△ABC∽△DEF,AG,DH 分别是△ABC和△DEF的角平分线,
BC=6cm,EF=4 cm,AG=4 cm,求DH 的长.
解 : ∵△ABC∽△DEF,
∴ =.
∵ BC=6cm,EF=4cm, AG=4 cm,
∴ =
∴ DH=(cm).
课堂练习
7.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
解：∵ △ABC∽△DEF， 　
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
课堂练习
8．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC＝15cm，高AD＝10cm，现在要把它裁剪成一个矩形材料备用，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，若矩形的一边PN＝9cm，求矩形的另一边PQ的长是多少？
课堂练习
解：设AD与PN交于点E.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，
∴△APN∽△ABC，

∴DE＝AD－AE＝10－6＝4(cm)，
由题意可知：PQ＝DE＝4cm.
∴矩形的另一边PQ的长是4cm.
课堂小结
谢谢
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