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2022-2023学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）已知线段是线段，的比例中项，，，则为（）cm.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可得，代入数值，解答出即可，注意线段为正值．
【解答】解：由题意得，
∵，
∴
∴，（舍）
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
2．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图，直线abc，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵abc，
∴＝，
∵DE＝2EF，AC＝6，
∴＝2，
解得：AB＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．(本题3分)（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图， 中， 是 边上一点， 添加下列条件， 不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形相似的判定定理逐一分析判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴
所以选项A不符合题意；
B、∵，
∴
所以选项B不符合题意；
C、∵，
∴
所以选项C不符合题意；
D、，对应边成比例，但是不确定是否与相等，所以不能判定，所以选项D符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，牢记定理的内容是解题的重点．
4．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，的顶点B的坐标为（-1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或得到B'的坐标．
【详解】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，
而B的坐标为（-1，1），
∴B'的坐标为或,
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的性质．
5．(本题3分)（2021·浙江·翠苑中学九年级期中）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．任意两个矩形 B．任意两个正五边形
C．任意两个平行四边形 D．任意两个等腰三角形
【答案】B
【分析】根据题意，任意正多边形是相似图形，其余不是，据此分析即可．
【详解】A. 任意两个矩形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；
B. 任意两个正五边形，一定相似，故该选项正确，符合题意；
C. 任意两个平行四边形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；
D. 任意两个等腰三角形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了相似图形的判定，理解任意正多边形是相似图形是解题的关键．
6．(本题3分)（2019·浙江·九年级期末）点是的重心，过点画分别交于点，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长AG交BC于由G是的重心，推出AG：：1，推出AG：：3，由，推出∽，，可得，即可解决问题．
【详解】解：延长AG交BC于H．
是的重心，
：：1，
：：3，
，
∽，，
，
故选C．
【点睛】本题考查三角形的重心，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．(本题3分)（2022·浙江省义乌市稠江中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（ ）
A．4.8 B．4 C．6.4 D．6
【答案】A
【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．
【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x.
由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AM⊥DE．
由DE∥BC得△ADE∽△ABC，
∴，
把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：，
解得：x=4.8．
答：正方形的边长是4.8．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
8．(本题3分)（2022·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过D作DF⊥AO于F，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=m，那么CE=3-m，DE=m，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知条件可以证明，而AD=AB=3,接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了点D的坐标．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，
而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴，
∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=m，那么CE=3-m，DE=m，
∴在Rt△DCE中，，
∴，
解得，
∵DF⊥AF，
∴，
∴，
而AD=AB=3，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴D的坐标为．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
9．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，则S△MDN∶S△BCD＝（ ）
A．1∶3 B．1∶5 C．2∶3 D．1∶6
【答案】D
【分析】先证△BCN∽△DMN，得出BN：DN=BC：DM=2：1，从而得出，，所以S△MND=S△BCN，S△CND=S△BCD，然后代入S△MDN∶S△BCD即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，ADBC，
∴△BCN∽△DMN，
∴BN：DN=BC：DM，
∵M为AD中点，AD=BC，
∴BC=AD=2DM，
∴BN：DN=2：1，
∴，
∴S△MND=S△BCN，S△CND=S△BCD，
∵S△BCD= S△BCN+S△CND= S△BCN+S△BCN= S△BCN，
∴S△MDN∶S△BCD＝S△BCN： S△BCN=1：6，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质、相似三角形判定与性质是解题的关键．
10．(本题3分)（2022·浙江·慈溪育才中学九年级阶段练习）如图，在中，，点是中点，是直线上一动点，连接，以为斜边在其左侧作，使，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接．由题意易证，即得出，，从而得出，即又易证，得出．再根据勾股定理可求出，从而得出，即说明当最小时，最小．又根据当时，最小，结合三角形相似的判定和性质求出此时的值，即如图的值，进而即可求出的最小值．
【详解】如图，连接．
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小．
∵点P是直线上一动点，
∴当时，最小，如图即为最小时，此时所作的三角形为．
∵点是中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
即的最小值为，
∴，
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，较难．证明出当时，最小，此时最小是解题关键．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）在比例尺为的地图上，甲、乙两地相距，则它们的实际距离为 __．
【答案】
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．
【详解】解：设甲乙两地的实际距离为，则
，
解得，
．
即它们的实际距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算是解题的关键．
12．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）已知线段，点P为线段的黄金分割点（），则__.
【答案】##
【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可.
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，
∴，
则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
13．(本题3分)（2019·浙江台州·中考模拟）如图，矩形ABCD周长为30，经过矩形对称中心O的直线分别交AD，BC于点E，F．将矩形沿直线EF翻折，A′B′分别交AD，CD于点M，N，B'F交CD于点G．若MN：EM＝1：2，则△DMN的周长为_____．
【答案】5
【分析】根据中心对称的性质得到AE＝CF，ED＝BF，根据折叠的性质得到A′E＝AE，B′F＝BF，得到CF＝A′E，根据全等三角形的性质得到EM＝FG，MN＝NG，求得CF+CD+DE＝15，根据相似三角形的性质得到＝2，设MN＝x，DM+DN＝y，则ME＝2x，A′E+A′M＝2y，于是得到结论．
【详解】解：∵EF 过矩形对称中心O，
∴AE＝CF，ED＝BF，
∵将矩形沿直线EF翻折，
∴A′E＝AE，B′F＝BF，
∴CF＝A′E，
∵∠A′＝∠B′＝∠D＝∠C＝90°，
∵∠A′ME＝∠DMN，∠DNM＝∠B′NG，∠B′GN＝∠CGF，
∴∠A′EM＝∠CFG，
∴△A′ME≌△CGF(ASA)，
∴EM＝FG，
同理△DMN≌△B′NG，
∴MN＝NG，
∵矩形ABCD周长为30，
∴CF+CD+DE＝15，
∵∠A′＝∠D＝90°，∠A′ME＝∠DMN，
∴△A′EM∽△DNM，
∴ ＝ ＝ ＝2，
设MN＝x，DM+DN＝y，则ME＝2x，A′E+A′M＝2y，
∴CF＝CG＝2y，NG＝MN＝x，
∴2y+x+y+2x＝15，
∴x+y＝5，
∴△DMN的周长为5．
故答案为5．
【点睛】本题考查中心对称，矩形的性质．折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
14．(本题3分)（2019·浙江嘉兴·中考模拟）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E．若AD=1，BD=7，则CE的长为_____.
【答案】.
【分析】直径所对应的的圆周角为90°，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用C点为半圆的中点判断出ΔABC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC的值，最后利用三角形相似，对应边成比例求出DE的长度.
【详解】∵ 点C为半圆的中点 ，∴AC=BC,∵ AB是直径 ,∴∠C=∠D=90°,在Rt△ADB中， AD=1，BD=7 ，∴AB=5,在等腰Rt△ACB中，∴AC=BC=5,∵∠CBE=∠CAD,∠C=∠D,∴△ADE∽△BCE，∴=， 即=,∴CE=5DE,∴BE=7-DE,在Rt△CEB中,利用勾股定理得：52+（5DE）2=(7-DE)2,解得 :DE=-(舍去）或DE=， ∴CE=
故答案为.
【点睛】直径所对的圆周角等于90°；两个角对应相等的三角形相似，相似三角形线段成比例；勾股定理.
15．(本题3分)（2019·浙江湖州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在坐标轴上，A，B，C三点的坐标分别为 (0，2)，(1，0)，(0，-0．5)，D为线段AB上-个动点(不与点A，B重合)，过B，D，0三点的圆与直线BC交于点E，当△OED面积取得最小值时，ED的长为________．
【答案】1
【分析】如图，先证明△AOB∽△BOC得到∠1=∠2，再判断∠DBE=90°，利用圆周角定理可得到DE为过B，D，O三点的圆的直径，从而得到∠DOE=90°，接着证明△AOD∽△BOE，利用相似比得到OD=2OE，根据三角形面积公式得到S△ODE=OE2，利用垂线段最短判断当△OED面积取得最小值时，OE⊥CB，然后计算OE、OD，最后利用勾股定理计算对应的DE长．
【详解】如图，
∵A，B，C三点的坐标分别为（0，2），（1，0），（0，-0.5），
∴OA=2，OB=1，OC=，
∵=2，
而∠AOB=∠BOC，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠1=∠2，
∴∠ABC=∠2+∠5=∠1+∠5=90°，
∵∠DBE=90°，
∴DE为过B，D，O三点的圆的直径，
∴∠DOE=90°，
∵∠3+∠BOD=∠4+∠BOD=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠2，
∴△AOD∽△BOE，
∴，即OD=2OE，
∵S△ODE=OD OE= 2OE OE=OE2，
当△OED面积取得最小值时，OE最小，此时OE⊥CB，
∵BC=，
∴OE==，
此时OD=2OE=，
∴DE=，
即当△OED面积取得最小值时，ED的长为1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和菱形的判定与性质．
16．(本题3分)（2021·浙江绍兴·九年级期中）如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝8，CE＝6，则DE＝_____．
【答案】
【分析】先证明△BDM∽△CME，再根据利用相似三角形的性质得出比例式求出BD，从而得到AD的长，再由AC和CE的长求出AE的长，最后在Rt△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．
【详解】解：∵点M是BC中点，BC＝，
∴BM＝MC＝，
∵∠B＝∠C＝∠DME＝45°，
∴∠A＝90°，AB＝AC＝8，
∵∠B+∠BDM+∠DMB＝180°，
∠DMB+∠DME+∠EMC＝180°，
∴∠BDM＝∠EMC，
∴△DBM∽△MCE，
∴，
∵CE＝6，
∴，
∴BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣＝，AE＝AC﹣EC＝8﹣6＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：，
∴DE＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键是判断△DBM∽△MCE．
17．(本题3分)（2022·浙江温州·一模）如图，将两块三角板（）和三角板（）放置在矩形中，直角顶点O重合，点A，D在边上，．
（1）若点O到的距离为，则点O到的距离为______；
（2）若，则外接圆的半径为______．
【答案】 4 ； 2．
【分析】（1）根据题意可得∠AOB＝∠DOC＝90°，AO＝BO，CD＝2DO，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，证明△OAH≌△BOG（AAS），可得OH＝BG，AH＝OG＝，然后根据勾股定理即可解决问题；
（2）根据题意证明△HOD∽△GCO，可得 ，由tan∠OCD＝tan30°＝ ，设BG＝OH＝x，可得CG＝x，设HD＝k，可得OG＝k，根据BC＝3AD可得，k＝x，然后利用勾股定理可得DO＝2，进而可以解决问题．
【详解】解：（1）∵两块三角板OAB（∠OAB＝45°）和三角板OCD（∠OCD＝30°）放置在矩形BCEF中，
∴∠AOB＝∠DOC＝90°，AO＝BO，CD＝2DO，
如图，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，
∵四边形BCEF是矩形，
∴BCEF，
∴OH⊥EF，
∴∠OHA＝∠AOB＝90°，
∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠BOG＝90°，
∴∠OAH＝∠BOG，
在△OAH和△OGB中，
，
∴△OAH≌△BOG（AAS），
∴OH＝BG，AH＝OG＝，
∵AB＝12．
∴AO＝BO＝AB＝，
∴BG＝
∴OH＝4，
则点O到EF的距离为4，
故答案为：4
（2）∵∠OGC＝∠DHO＝∠DOC＝90°，
∴∠HOD+∠COG＝∠GCO+∠COG＝90°，
∴∠HOD＝∠GCO，
∴△HOD∽△GCO，
∴ ，
∵∠OCD＝30°，
∴tan∠OCD＝tan30°＝，
∴，
由（1）知：OH＝BG，AH＝OG，
设BG＝OH＝x，
∴CG＝x，
设HD＝k，
∴OG＝k，
∴AH＝OG＝k，
∴AD＝AH+DH＝（+1）k，
∵BC＝3AD，BC＝BG+CG＝OH+CG＝（+1）x，
∴（+1）x＝3（+1）k，
∴k＝x，
∴AH＝OG＝k＝，
在Rt△AHO中，根据勾股定理得：
OH2+AH2＝AO2，
∴x2+（）2＝（6）2，
解得x＝3，
∴HD＝k＝x＝，BG＝OH＝x＝3，
在Rt△DHO中，根据勾股定理得：
DH2+OH2＝DO2，
∴（）2+（3）2＝DO2，
∴DO＝2，
∵∠OCD＝30°，
∴CD＝2OD＝4
∵∠COD＝90°
∴CD是△OCD外接圆的直径
∴△OCD外接圆的半径为2．
故答案为：2．
【点睛】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，三角形外接圆与外心，矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2020·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝2．
【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得；
（2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴ ,
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
19．(本题8分)（2022·浙江·九年级专题练习）根据条件求值.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)﹣
【分析】（1）把化为，再把代入，即可；
（2）根据，得，代入，即可．
【详解】（1）∵
∴当时，
∴．
（2）∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查比例的知识，解题的关键是对分式进行化简．
20．(本题8分)（2022·浙江·宁波外国语学校九年级阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1；
(2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可．
（2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）如图，即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．(本题8分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S．
(1)矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）
(2)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
(3)当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)DG＝（80﹣x）
(2)﹣x2+100x（0＜x＜80）
(3)当x＝40时，S的值最大，最大值为
【分析】（1）利用矩形的性质，，利用同位角相等，证△ADG∽ABC，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．
（3）利用配方法求出最大值即可．
（1）
解：如图，
∵四边形DEFG是矩形，
∴，
∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，
∴ADG∽ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝（80﹣x）（m）；
（2）
解：矩形面积 0＜x＜80）；
（3）
解：∵，
∵﹣＜0，
∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．
答：当x＝40时，S的值最大，最大值为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，矩形的性质等知识，此题的关键是利用相似三角形对应边的比等于其对应高的比，求得DG=（80-x），然后即可求得y与x的函数关系式和最值．
22．(本题9分)（2022·浙江·养正学校九年级阶段练习）如图，在中，，分别是，上的点，∽，的角平分线交于点，交于点．
(1)求证：∽；
(2)若∶∶，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据∽，得，为的角平分线，得，可得∽；
（2）根据∽，得，在∽时，∶∶∶，根据比例性质可得．
(1)
解： ∽，
，
又为的角平分线，
，
在与中，
∽；
(2)
∽，
，
在∽时，
∶∶∶，
设为，则，
即，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．解本题关键掌握相似三角形的判定和性质．
23．(本题10分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在AB边上，且．点F是BC边上的动点．将沿EF折叠得到．直线GF与直线AB的交点为H．
(1)如图2，点F与点C重合时，求与的面积比；
(2)如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长．
(3)在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)4
(3)存在，BF=或
【分析】（1）根据∠GHE=∠BHC，∠EGH=∠CBH，得证△HEG∽△HCB，根据面积之比等于相似比的平方，得到，结合EG=BE=AB-AE=2，计算即可．
（2）根据题意，EF=EH，根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，得FB=FG=GH，得到∠BHF=30°，结合EG=BE=AB-AE=2，计算即可．
（3）根据题意，当H在上方时，先计算BD，利用△HEG∽△BCD计算GH，再利用△HFB∽△BDC计算即可；当H在下方时，先计算BD，利用△HEG∽△BCD计算HE，BH，再利用△HFB∽△BDC计算即可．
（1）
如图，
∵∠GHE=∠BHC，∠EGH=∠CBH，
∴△HEG∽△HCB，根据面积之比等于相似比的平方，
∴，
∵EG=BE=AB-AE=2，
∴．
．
（2）
根据题意，EF=EH，
根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，得
FB=FG=GH，
∴∠BHF=30°，
∵EG=BE=AB-AE=2，
∴EH=4．
（3）
∵ BC=5，DC=3，四边形ABCD是矩形，
∴BD==．
根据题意，得到CH⊥BD时，△HEG∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
解得．
∵△HEG∽△HFB，
∴△HFB∽△BDC，
∴ ，
∴ ，
解得．
当H在下方时，
∵ BC=5，DC=3，四边形ABCD是矩形，
∴BD==．
根据题意，得到CH⊥BD时，△HEG∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
解得,
∴．
∵△HEG∽△HFB，
∴△HFB∽△BDC，
∴ ，
∴ ，
解得．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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2022-2023学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）已知线段是线段，的比例中项，，，则为（）cm.
A． B． C． D．
2．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图，直线abc，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．(本题3分)（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图， 中， 是 边上一点， 添加下列条件， 不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，的顶点B的坐标为（-1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
5．(本题3分)（2021·浙江·翠苑中学九年级期中）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．任意两个矩形 B．任意两个正五边形
C．任意两个平行四边形 D．任意两个等腰三角形
6．(本题3分)（2019·浙江·九年级期末）点是的重心，过点画分别交于点，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题3分)（2022·浙江省义乌市稠江中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（ ）
A．4.8 B．4 C．6.4 D．6
8．(本题3分)（2022·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，则S△MDN∶S△BCD＝（ ）
A．1∶3 B．1∶5 C．2∶3 D．1∶6
10．(本题3分)（2022·浙江·慈溪育才中学九年级阶段练习）如图，在中，，点是中点，是直线上一动点，连接，以为斜边在其左侧作，使，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）在比例尺为的地图上，甲、乙两地相距，则它们的实际距离为 __．
12．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）已知线段，点P为线段的黄金分割点（），则__.
13．(本题3分)（2019·浙江台州·中考模拟）如图，矩形ABCD周长为30，经过矩形对称中心O的直线分别交AD，BC于点E，F．将矩形沿直线EF翻折，A′B′分别交AD，CD于点M，N，B'F交CD于点G．若MN：EM＝1：2，则△DMN的周长为_____．
14．(本题3分)（2019·浙江嘉兴·中考模拟）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E．若AD=1，BD=7，则CE的长为_____.
15．(本题3分)（2019·浙江湖州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在坐标轴上，A，B，C三点的坐标分别为 (0，2)，(1，0)，(0，-0．5)，D为线段AB上-个动点(不与点A，B重合)，过B，D，0三点的圆与直线BC交于点E，当△OED面积取得最小值时，ED的长为________．
16．(本题3分)（2021·浙江绍兴·九年级期中）如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝8，CE＝6，则DE＝_____．
17．(本题3分)（2022·浙江温州·一模）如图，将两块三角板（）和三角板（）放置在矩形中，直角顶点O重合，点A，D在边上，．
（1）若点O到的距离为，则点O到的距离为______；
（2）若，则外接圆的半径为______．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2020·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
19．(本题8分)（2022·浙江·九年级专题练习）根据条件求值.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
20．(本题8分)（2022·浙江·宁波外国语学校九年级阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1；
(2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1．
21．(本题8分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S．
(1)矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）
(2)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
(3)当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？
22．(本题9分)（2022·浙江·养正学校九年级阶段练习）如图，在中，，分别是，上的点，∽，的角平分线交于点，交于点．
(1)求证：∽；
(2)若∶∶，求的值．
23．(本题10分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在AB边上，且．点F是BC边上的动点．将沿EF折叠得到．直线GF与直线AB的交点为H．
(1)如图2，点F与点C重合时，求与的面积比；
(2)如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长．
(3)在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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