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2022-2023学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》易错题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2022·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级期中）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4 B．1，2，3，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
【答案】A
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、1×4=2×2，故选项符合题意；
B、1×4≠2×3，故选项不符合题意；
C、3×13≠5×9，故选项不符合题意；
D、1×3≠2×2，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
2．(本题3分)（2022·浙江宁波·九年级期末）下列与相似有关的命题中，正确的是（ ）
①所有的等腰三角形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的正六边形都相似．
A．①②③ B．① C．② D．③
【答案】D
【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①所有的等腰三角形都不一定相似，故原说法错误，不符合题意；
②所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不都相似，故原命题错误，不符合题意；
③所有的正六边形都相似，正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义．
3．(本题3分)（2022·浙江温州·九年级期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，O为位似中心，位似比为．若，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE＝2：3．
∵AB＝4，
∴DE＝6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．
4．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期中）如图，在中，点分别是边上的点，，且，则等于（ ）
A．58 B．38 C． D．25
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例推导即可．
【详解】∵，
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
5．(本题3分)（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金比值是进行计算即可．
【详解】解:一本书的宽与长之比为黄金比，
这本书的长，
故选：．
【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
6．(本题3分)（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校九年级期末）如图，点P在的边AC上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】解：在和中，，
∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确；
当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确；
当时，其夹角不相等，则不能判断，故D不正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
7．(本题3分)（2021·信达外国语学校九年级期中）如图，在中，为边上一点，已知，E为的中点，延长交于F，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点D作交于G，先证，得，再由平行线的性质可得对应线段成比例，从而得答案．
【详解】解：过点D作交于G，如图所示，
，
E是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
故选D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的性质定理，熟练掌握这些判定与性质是解答此题的关键．
8．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图，点C为线段AB的中点，在AC上取点D，分别以AD，CD，BC，BD为边向上作正方形ADGH，CDKL，BCIJ，DBEF，将其面积依次记为，在《几何原本》有这样一个结论；．当AB＝2时，若A，K，J共线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质证明△ADK∽△ABJ，设CD=x，则AD=1-x，KD=CD=x，所以，解得x=，再根据图形可得，所以，进而可得结果．
【详解】解：根据题意可知：DKBJ，
∴△ADK∽△ABJ，
∴，
∵点C为线段AB的中点，AB=2，
∴AC=BC=BJ=1，
设CD=x，
则AD=1-x，KD=CD=x，
∴，
解得x=，
∴AD=1-x=，CD=DK=，
∵，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
9．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形边形ABFG的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则．根据题意还可求出，．根据，可推出，即得出，代入数值，即可求出x的值，即可得出GF和CI的值，最后根据三角形面积公式求出和，作比即可．
【详解】解：设，则．
∵四边形DEFG为的内接矩形，，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，即，
解得．
∴，，
∴．
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定和性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
10．(本题3分)（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，四边形ABCD中，，，以AB为直径的⊙O刚好与CD相切，连结OC、BD交于点F，若，则已知下列条件中的一个即可求BF的长的有（ ）
①BD；②CD；③；④．
A．①、②、③、④ B．①、②、③ C．①、②、④ D．①、③、④
【答案】A
【分析】延长交的延长线于点．由，推出，欲求，只要求出，，即可，由此即可判断．
【详解】解：延长交的延长线于点．
∵，
∴，
∴，欲求，只要求出，，即可．
已知，，可以求出，，故①②符合题意，
当的值已知，可以求出，可以求出，，，故③符合题意．
当的值已知，可以求出，可以求出，，，故④符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质等知识，
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2022·浙江嘉兴·九年级期末）如图，矩形ABCD∽矩形BCEF，若AB=8，BC=6，则CE的值为______．
【答案】
【分析】利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD∽矩形BCEF，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
12．(本题3分)（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在中，分别交，于点，．若，则与的周长之比为______．
【答案】
【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵，
∴，
即：△ADE与△ABC的相似比为，
∴与的周长之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质．
13．(本题3分)（2022·浙江·瑞安市集云实验学校九年级期中）在半径为5的圆内放置正方形，E为的中点，交圆于点F，直线分别交圆于点G，H，如图所示．若，则的长为 _____．
【答案】
【分析】根据正方形的性质推出，根据相似三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，判定三角形相似是解题的关键．
14．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期中）如图，，，与相交于点E，过点E作交于F．且，，则的长为________．
【答案】
【分析】由，，，可得 则再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴
∴
∴
∴
∵，，
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
15．(本题3分)（2022·浙江·桐乡市高桥镇高桥初级中学九年级期中）如图，点E是菱形ABCD的边CD上一点，将沿AE折叠，点D的对应点F恰好在边BC上，设．
（1）若点F与点C重合，则__________．
（2）若点F是边BC的中点，则__________．
【答案】
【分析】（1）若点F与点C重合，则可知，即可得出结果；
（2）点F是边BC的中点，延长，与的延长线交于点，根据折叠的性质以及菱形的性质证明，即可得出答案．
【详解】解：（1）当点F与点C重合时，，
∴，
故答案为：；
（2）延长，与的延长线交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由折叠的性质知：，
∴，
∴，
∵点F是边BC的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的图形的性质以及掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
16．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=6，BC=10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE EG的最大值为 _____．
【答案】32
【分析】如图，过点C作CH⊥EG于点H．利用相似三角形的性质证明EB EG=2AE EC，设EC=x，在Rt△ABC中，AC===8，推出，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．
∵CH⊥EG，
∴EH=GH，
∵∠A=∠CHE=90°，∠AEB=∠CEH，
∴△ABE∽△HCE，
∴=，
∴BE EH=AE EC，
∴BE 2EH=2 AE EC，
∴EB EG=2AE EC，
设EC=x，
在Rt△ABC中，AC===8，
∴，
∵﹣2＜0，
∴x=4时，BE EG的值最大，最大值为32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．(本题3分)（2022·浙江舟山·九年级期末）如图，在直角中，，，，点从点出发沿线段向点移动，连接， 交边于点．若，那么线段______；当点从点移动到的中点时，则点的运动过程中路径长为______．
【答案】 ##
【分析】过点N作于点H，设，，利用相似三角形的性质可得由，解得：和(舍去)，求出y的最大值可得出结论．
【详解】解：如图，过点N作于点H，设，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
整理得：
∵
∴
∴
∴解得：和(舍去)
∴的最大值为，此时
当时，
当时，
∴当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长=
故答案为：，
【点睛】本题考查轨迹，勾股定理，一元二次方程的根的判别式，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2021·浙江·新昌县七星中学九年级期中）已知，求下列算式的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据比例的性质直接计算即可；
（2）设，则，代入计算化简即可．
【详解】（1）解：设，，
则；
（2）．
【点睛】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
19．(本题6分)（2021·浙江绍兴·九年级期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：
①仅用无刻度直尺：②保留作图痕迹．
(1)在图1中请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．
(2)在图2中以AB为直径的半圆上找一点P，画出∠PBA，使得∠PBA＝22.5°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点E、F、J、K、G，连接EF、JK、NG交MN于点P、Q，即可得出答案；
（2）连接OT，交于一点P，连接PB，即可得出答案．
（1）
解：取格点E、F、J、K、G，连接EF、JK、NG交MN于点P、Q，如图所示：
根据格点特点可知，，
∴，
∵，
∴，
即点P，点Q即为所求作的点．
（2）
解：连接OT，交于一点P，连接PB，点P即为所求，如图所示：
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，圆周角定理，平行分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
20．(本题6分)（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，
(1)求证：△ABC∽△DCA．
(2)若BC=1，AC=2，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】(1)先根据平行线的性质由AD// BC得∠ACB=∠DAC，已知条件中还有∠B=∠ACD= 90°，根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”可以证明△ABC相似于△DCA；
(2)由(1) 可知△ABC~△DCA，根据相似三角形的对应边成比例列出等式，其中BC= 1，AC= 2，可以求出AD的长．
（1）
证明：∵AD∥BC
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°
∴△ABC∽△DCA
（2）
∵△ABC∽△DCA
∴
∵BC=1，AC=2，
即，
∴AD=4，
AD的长为：4．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出相等的角是解题的关键．
21．(本题7分)（2021·浙江·金华市南苑中学九年级期中）正方形ABCD边长为6，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
(1)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
(2)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．
【答案】(1)y＝﹣+3x+18（0＜x＜6），点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为
(2)当M点运动到BC为中点位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，x=3
【分析】（1）先证明Rt△ABM∽Rt△MCN，可求CN＝，由梯形的面积公式可求（0＜x＜6），由二次函数的性质可求解；
（2 ）由相似三角形的性质求出AM，MN的长，则可证Rt△ABM∽Rt△AMN．
（1）
解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠CMN+∠AMB＝90°，
又∵∠MAB+∠AMB＝90°，
∴∠MAB＝∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
∴，即，
∴CN＝，
（0＜x＜6），
当x＝3时，y取最大值，最大值为，
即点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为；
（2）
解：当M点运动到BC为中点位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN．
理由如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝6，BM＝MC＝3，
∴AM＝3，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，
∴MN＝AM＝，
∵，
∴，
而∠ABM＝∠AMN＝90°，
∴Rt△ABM∽Rt△AMN，
∴当x＝3时，Rt△ABM∽Rt△AMN，
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的面积公式，二次函数的性质等知识，证明Rt△ABM∽Rt△MCN是解本题的关键．
22．(本题8分)（2020·浙江·义乌市宾王中学九年级期中）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中BO＝60米，OD＝3.4米，CD＝1.7米；乙组测得图中，CD＝1.5米，同一时刻影长FD＝0.9米，EB＝18米；丙组测得图中，、，BD＝90米，EF＝0.2米，人的臂长（FH）为0.6米，请你任选一种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度．
【答案】30米
【分析】此题三种方案均为把实际问题抽象成三角形相似的问题，解题方法都是利用相似三角形对应边成比例求出结果．采用甲组方案，证明，根据相似三角形对应边成比例列出，然后求出该校旗杆的高度即可．
【详解】解：采用甲组方案，
在和中，
∵，，
∴，
∴，即，
解得米，
即该校旗杆的高度为30米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是构建相似三角形，根据相似三角形的性质列式求解．
23．(本题8分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且，．
(1)求证：．
(2)若，求∠CBD的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．
（2）根据（1）中，得出，再根据对顶角相等，，证得，得出，即可求解．
（1）
∵
∴，
∴，
，
∵在和中，
，
∴．
（2）
∵，
∴，
又∵，对顶角相等，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．(本题8分)（2020·浙江·金华市南苑中学九年级期中）如图，抛物线L：（常数）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段的中点M作轴，交双曲线（，）于点P，且．
(1)求k的值．
(2)当t=1时，求的长，并求直线与L的对称轴之间的距离．
(3)把L在直线左侧部分的图像（含与直线的交点）记为G，用t表示图像G最高点的坐标．
(4)设L与y轴的交点为N，当时，在x轴上是否存在一点Q，使与相似，若存在，求出Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线与L对称轴之间的距离为
(3)（），（）
(4)Q的坐标为或或或
【分析】（1）根据M是OA的中点，以及，即可求出k的值；
（2）先求出抛物线的解析式，再求出A，B的坐标，以及对称轴即可求解；
（3）根据对称轴与MP的位置关系，分情况讨论，要嘛在抛物线的顶点处取最值，要嘛是MP与抛物线的交点的纵坐标；
（4）根据相似三角形的性质，对应边对应成比例分类讨论即可求出．
（1）
解：设，则，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：当，时，，解得或.
∴、，
∴；
∴抛物线L的对称轴为直线，
∵，
∴为直线，
∴直线与L对称轴之间的距离为；
（3）
解：二次函数的对称轴为：
点M的坐标为：（，0）
①当，即时：MP在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴G的坐标为：
②当，即时：MP在对称轴的右侧，G点为抛物线的顶点，
∴G：；
（4）
解：存在，设Q：（m，0），
当，，
∴
时，，解得，
∴、，
∴、
∴，，，
①时：：即，
时：，（舍）；
时：，；
时：，；
②时：时：即，
时：，解得：（舍）；
时：，无解；
时：，解得：；
综上：当Q的坐标为或或或
【点睛】本题考查二次函数与反比例函数以及几何综合应用问题，属于中考常见的压轴题，难度较大，熟练掌握二次函数和反比例函数的性质，准确的把握点的坐标是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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2022-2023学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》易错题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2022·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级期中）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4 B．1，2，3，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
2．(本题3分)（2022·浙江宁波·九年级期末）下列与相似有关的命题中，正确的是（ ）
①所有的等腰三角形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的正六边形都相似．
A．①②③ B．① C．② D．③
3．(本题3分)（2022·浙江温州·九年级期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，O为位似中心，位似比为．若，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期中）如图，在中，点分别是边上的点，，且，则等于（ ）
A．58 B．38 C． D．25
5．(本题3分)（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（ ）cm
A． B． C． D．
6．(本题3分)（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校九年级期末）如图，点P在的边AC上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题3分)（2021·信达外国语学校九年级期中）如图，在中，为边上一点，已知，E为的中点，延长交于F，则=（ ）
A． B． C． D．
8．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图，点C为线段AB的中点，在AC上取点D，分别以AD，CD，BC，BD为边向上作正方形ADGH，CDKL，BCIJ，DBEF，将其面积依次记为，在《几何原本》有这样一个结论；．当AB＝2时，若A，K，J共线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形边形ABFG的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，四边形ABCD中，，，以AB为直径的⊙O刚好与CD相切，连结OC、BD交于点F，若，则已知下列条件中的一个即可求BF的长的有（ ）
①BD；②CD；③；④．
A．①、②、③、④ B．①、②、③ C．①、②、④ D．①、③、④
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2022·浙江嘉兴·九年级期末）如图，矩形ABCD∽矩形BCEF，若AB=8，BC=6，则CE的值为______．
12．(本题3分)（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在中，分别交，于点，．若，则与的周长之比为______．
13．(本题3分)（2022·浙江·瑞安市集云实验学校九年级期中）在半径为5的圆内放置正方形，E为的中点，交圆于点F，直线分别交圆于点G，H，如图所示．若，则的长为 _____．
14．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期中）如图，，，与相交于点E，过点E作交于F．且，，则的长为________．
15．(本题3分)（2022·浙江·桐乡市高桥镇高桥初级中学九年级期中）如图，点E是菱形ABCD的边CD上一点，将沿AE折叠，点D的对应点F恰好在边BC上，设．
（1）若点F与点C重合，则__________．
（2）若点F是边BC的中点，则__________．
16．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=6，BC=10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE EG的最大值为 _____．
17．(本题3分)（2022·浙江舟山·九年级期末）如图，在直角中，，，，点从点出发沿线段向点移动，连接， 交边于点．若，那么线段______；当点从点移动到的中点时，则点的运动过程中路径长为______．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2021·浙江·新昌县七星中学九年级期中）已知，求下列算式的值．
(1)． (2)．
19．(本题6分)（2021·浙江绍兴·九年级期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：
①仅用无刻度直尺：②保留作图痕迹．
(1)在图1中请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．
(2)在图2中以AB为直径的半圆上找一点P，画出∠PBA，使得∠PBA＝22.5°．
20．(本题6分)（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，
(1)求证：△ABC∽△DCA．
(2)若BC=1，AC=2，求AD的长．
21．(本题7分)（2021·浙江·金华市南苑中学九年级期中）正方形ABCD边长为6，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
(1)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
(2)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．
22．(本题8分)（2020·浙江·义乌市宾王中学九年级期中）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中BO＝60米，OD＝3.4米，CD＝1.7米；乙组测得图中，CD＝1.5米，同一时刻影长FD＝0.9米，EB＝18米；丙组测得图中，、，BD＝90米，EF＝0.2米，人的臂长（FH）为0.6米，请你任选一种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度．
23．(本题8分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且，．
(1)求证：．
(2)若，求∠CBD的度数．
24．(本题8分)（2020·浙江·金华市南苑中学九年级期中）如图，抛物线L：（常数）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段的中点M作轴，交双曲线（，）于点P，且．
(1)求k的值．
(2)当t=1时，求的长，并求直线与L的对称轴之间的距离．
(3)把L在直线左侧部分的图像（含与直线的交点）记为G，用t表示图像G最高点的坐标．
(4)设L与y轴的交点为N，当时，在x轴上是否存在一点Q，使与相似，若存在，求出Q的坐标，若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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