3.2圆的轴对称性(2)[上学期]
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文档简介
九年级数学（上） 王珊瑚
3.2 圆的轴对称性(2)
教学目标：
1、经历探索垂径定理的逆定理的过程；
2、掌握定理“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”及定理
“平分弧的直径平分弧所对的弦”。
3、会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题。
教学重难点：
重点：垂径定理的逆定理。
难点：例3的问题情境较为复杂是难点。
教学准备：透明圆形纸片（有勾线笔画好）课本图3—15。
教学过程：
一、复习引入（完成下列各题）
1、如图已知⊙O的半径为2，AB为⊙O的一条弦，弦心距为1，
求弦AB的长。
注：通过此题回顾垂径定理
（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．（学生齐答）
师：谁能用几何语言来表述垂径定理的内容？（结合图形）
生：∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD
师（板书）：
2、如图，已知⊙O的半径为2，AB为⊙O的一条弦，且AB=，
P为AB的中点，求OP的长。
生：可能部分学生很自然会连结OP，利用勾肌定理求得OP的长度，
此时教师提出P为AB的中点，能直接得出 ？
☆在解决问题的过程中遇到困难，激起学生的求知欲望，从而引出课题（板书）
二、探索新知
1、探索垂径定理的逆定理
师：(1)若已知CD为直径，是否能推出，
AC=BC，AD=BD
(2)若已知CD为直径， AC=BC，AD=BD是否能推出
，？
下面就（1）给出证明（投影）已知：如图，⊙O的直径交弦AB（不是直径）于点P，AP=BP。
求证：，AC=BC，AD=BD。
注：（1）此定理证明较简单，利用等腰三角形三线合一的性质直接证得；若有学生利用请三角形全等，教师也应给予肯定。
（2）若弦AB是一条直径，结论还会成立吗？
请举反例说明，并画出草图？（教师投影右图）
板书定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
师：将已知条件改为： AC=BC，AD=BD，谁能加以证明？
注：证明过程留给学生，教师引导：在 AC=BC，AD=BD的条件下，
沿直线CD对折时， 弧AC与弧BC将怎样？点A与点B呢？
由此可得哪两个角互相重合？证明过程让学生自已完成。
师：板书定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
强调：已知的前提条件下，其余三个条件有一个成立，都能得到其余两个条件。
3、及时巩固垂径定理的逆定理。
判断下列四句话的对错，对的打“√”，错的打“×”
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
4、范例讲解
例3（题略）
☆例题解析：（1）学生仔细阅读题目，理解什么是跨径、拱高，并画出草图。
（2）要想求得桥拱半径，关键在于？（构造直角三角形）
（3）对造草图，有哪些线段的长是已知的？
（4）在中，AD的长是多少？为什么？OD的长应怎样用关于R的代数式表示？
（5）怎样利用勾股定理列出关于未知数R的方程？
教师板书解题过程。
5、完成课内练习，分别指定两名学生板演，其余学生独立完成，教师巡视并作个别指导。
6、完成作业题1，关键在于引导学生添辅助线。
强调：过圆心作已知弦的弦心距，是常用的辅助线添法。
三、课堂小结
本节课你学会了什么？（由学生自已小结）
四、布置作业
1、作业本
2、预习3.3圆心角（1）
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3.2 圆的轴对称性(2)
教学目标：
1、经历探索垂径定理的逆定理的过程；
2、掌握定理“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”及定理
“平分弧的直径平分弧所对的弦”。
3、会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题。
教学重难点：
重点：垂径定理的逆定理。
难点：例3的问题情境较为复杂是难点。
教学准备：透明圆形纸片（有勾线笔画好）课本图3—15。
教学过程：
一、复习引入（完成下列各题）
1、如图已知⊙O的半径为2，AB为⊙O的一条弦，弦心距为1，
求弦AB的长。
注：通过此题回顾垂径定理
（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．（学生齐答）
师：谁能用几何语言来表述垂径定理的内容？（结合图形）
生：∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD
师（板书）：
2、如图，已知⊙O的半径为2，AB为⊙O的一条弦，且AB=，
P为AB的中点，求OP的长。
生：可能部分学生很自然会连结OP，利用勾肌定理求得OP的长度，
此时教师提出P为AB的中点，能直接得出 ？
☆在解决问题的过程中遇到困难，激起学生的求知欲望，从而引出课题（板书）
二、探索新知
1、探索垂径定理的逆定理
师：(1)若已知CD为直径，是否能推出，
AC=BC，AD=BD
(2)若已知CD为直径， AC=BC，AD=BD是否能推出
，？
下面就（1）给出证明（投影）已知：如图，⊙O的直径交弦AB（不是直径）于点P，AP=BP。
求证：，AC=BC，AD=BD。
注：（1）此定理证明较简单，利用等腰三角形三线合一的性质直接证得；若有学生利用请三角形全等，教师也应给予肯定。
（2）若弦AB是一条直径，结论还会成立吗？
请举反例说明，并画出草图？（教师投影右图）
板书定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
师：将已知条件改为： AC=BC，AD=BD，谁能加以证明？
注：证明过程留给学生，教师引导：在 AC=BC，AD=BD的条件下，
沿直线CD对折时， 弧AC与弧BC将怎样？点A与点B呢？
由此可得哪两个角互相重合？证明过程让学生自已完成。
师：板书定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
强调：已知的前提条件下，其余三个条件有一个成立，都能得到其余两个条件。
3、及时巩固垂径定理的逆定理。
判断下列四句话的对错，对的打“√”，错的打“×”
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
4、范例讲解
例3（题略）
☆例题解析：（1）学生仔细阅读题目，理解什么是跨径、拱高，并画出草图。
（2）要想求得桥拱半径，关键在于？（构造直角三角形）
（3）对造草图，有哪些线段的长是已知的？
（4）在中，AD的长是多少？为什么？OD的长应怎样用关于R的代数式表示？
（5）怎样利用勾股定理列出关于未知数R的方程？
教师板书解题过程。
5、完成课内练习，分别指定两名学生板演，其余学生独立完成，教师巡视并作个别指导。
6、完成作业题1，关键在于引导学生添辅助线。
强调：过圆心作已知弦的弦心距，是常用的辅助线添法。
三、课堂小结
本节课你学会了什么？（由学生自已小结）
四、布置作业
1、作业本
2、预习3.3圆心角（1）
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