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4.1-4.2 确定位置与平面直角坐标系
一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
要点： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
要点：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
要点：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
一、单选题
1．下列数据中不能确定物体位置的是（ ）
A．电影票上的“5排8号”
B．小明住在某小区3号楼7号
C．南偏西37°
D．东经130°，北纬54°的城市
【答案】C
【提示】根据以坐标确定位置需要两个数据对各选项进行判断即可．
【解答】A．电影票上的“5排8号”，位置明确，故本选项不符合题意；
B．小明住在某小区3号楼7号，位置明确，故本选项不符合题意；
C．南偏西37°，位置不明确，故本选项符合题意；
D．东经130°，北纬54°的城市，位置明确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解答本题的关键．
2．如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2， 90°），目标B的位置为（4，210°），则目标C的位置为（ ）
A．（3，30°） B．（3，150°） C．（-3，30°） D．（-3，150°）
【答案】B
【提示】根据坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出即可．
【解答】解：因为目标B的位置为（4 ，210°），目标A的位置为（2 ，90°）且C的位置在A与B的中间一环上，故由图可知，目标C的位置为（3， 150°）．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标确定位置，读懂题目信息，理解位置坐标的实际意义是解题的关键．
3．如果点P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，则m＝( )
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．0
【答案】A
【提示】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】由P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，得
m+1＝0．
解得：m＝﹣1，
故选A．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用x轴上点的纵坐标等于零得出关于m的方程是解题关键．
4．已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【提示】根据条件可得：a＜0，b＜0，进而即可判断点P所在的象限．
【解答】∵，
∴a，b同号，
∵，
∴a＜0，b＜0，
故P点在第三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，各个象限的点的坐标特征，掌握各个象限的点的坐标特征，是解题的关键．
5．如图，学校（记作A）在爱棣家（记作B）西偏南的方向上，且与爱棣家的距离是，若，且，则超市（记作C）在爱棣家的（ ）
A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距
C．南偏东的方向上，相距 D．东偏南的方向上，相距
【答案】B
【提示】根据方向角的定义即可解答．
【解答】解：∵A在B西偏南的方向上，，
∴C在B的南偏东的方向上，
∵，，
∴km，
∴超市（记作C）在爱棣家的南偏东的方向上，相距．
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
6．若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【提示】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得x、y的值，根据有理数的加法，可得答案；
【解答】解：由在第二象限，得，
由，，得，
所以，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了第四象限点坐标符号特点、化简绝对值，熟练掌握第四象限点坐标符号特点是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【提示】线段轴，、两点横坐标相等，又，点在点上边或者下边，根据距离确定点坐标．
【解答】解：∵ABy轴，
、两点的横坐标相同，
又，
点纵坐标为：或，
点的坐标为：或．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．
8．已知A、B两点的坐标分别是和，下列结论错误的是（ ）
A．点A在第二象限 B．点B在第一象限
C．线段平行于y轴 D．点A、B之间的距离为4
【答案】C
【提示】根据点在平面直角坐标系中的位置直接判断即可．
【解答】解：∵A、B两点的坐标分别是和，
∴点A在第二象限，点B在第一象限，点A、B之间的距离为4，线段平行于x轴，
结论错误的是C选项，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的特征，解题关键是树立数形结合思想，明确点在平面直角坐标系中的位置．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．点一定在第二象限
B．点到y轴的距离为2
C．若中，则P点在x轴上
D．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上
【答案】C
【提示】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、因为 a2 1＜0，|b|＋1＞0，所以点A（ a2 1，|b|＋1）一定在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意．
B、点P（ 2，3）到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意；
C、若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意；
D、若x＋y＝0，则x、y互为相反数，点P（x，y）一定在第二、四象限角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（ ，＋）；第三象限（ ， ）；第四象限（＋， ）．
10．如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
【答案】C
【提示】要使|PA PB|最小让PA＝PB即可，根据两点间的距离公式，列出方程，即可求解．
【解答】解：根据题意要使|PA PB|最小，则PA＝PB即可，
设P（x，0），
∴，解得：x=0，
∴P（0，0）
故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，根据题意确定PA＝PB时P点符合题意是解题的关键．
二、填空题
11．若电影院中“5排4号”记作，则表示的意义是____________．
【答案】6排1号
【提示】由“5排4号”记作可知，有序数对与排号对应，即可得出表示的意义为6排1号．
【解答】∵“5排4号”记作
∴前一个数表示排数，后一个数表示号数，
∴表示的意义为6排1号．
故答案为：6排1号．
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．如图，点A，B的位置分别表示为，，则点C的位置表示为______．
【答案】
【提示】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案．
【解答】解：如图，点A，B的位置分别表示为，，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标是解题关键．
13．有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为（5,3），（6,3）（7,3）（4,1）（4,4）请你把这个英文单词写出来或者翻译中文为______．
【答案】学习
【提示】根据每一个点的坐标确定其对应的位置，最后写出答案．
【解答】解：有序数对（5,3），（6,3）（7,3）（4,1）（4,4）对应的字母分别为S、T、U、D、Y，
组成的英文单词为study，中文为学习，
故答案为：学习．
【点睛】此题考查了有序数对，正确理解有序数对的定义，确定各数对对应的字母是解题的关键．
14．若，点为平面直角坐标系中的点，则点在第_______象限．
【答案】二
【提示】根据非负数的意义可求出m、n的值，再根据点A坐标的特征判定所在的象限．
【解答】解：∵
∴m+2021=0，n-2020=0，
即m=-2021，n=2020，
∴点A（-2021，2020），
∴点A在第二象限．
故答案为：二．
【点睛】本题考查非负数的性质，点的坐标，理解绝对值，算术平方根的性质以及点的坐标的特征是正确解答的关键．
15．点在y轴上，则点P的坐标是______．
【答案】
【提示】根据直角坐标系中坐标的性质，得通过求解方程得到m的值，再代入到坐标中计算，即可得到答案．
【解答】解：∵点在y轴上，
∴点P的坐标是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直角坐标系，一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中坐标的性质．
16．已知点和点，若点在坐标轴上，且的面积为6，则点的坐标是_____
【答案】（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3）
【提示】分点C在x轴上，在y轴上两种情况讨论求解即可．
【解答】解：当点C在x轴上时，
∵△ABC的面积为6，
∴，
∴AC=4，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点C的坐标为（-2，0）或（6，0）；
当点C在y轴上时，
∵△ABC的面积为6，
∴，
∴BC=6，
∵点A的坐标为（0，3），
∴点C的坐标为（0，9）或（0，-3）；
综上所述，点C的坐标为（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3），
故答案为（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是______．
【答案】(6,-5)
【提示】根据全等三角形的性质和点的坐标得出OA=OA′=6，OB=A′B′=5，即可得出答案．
【解答】解：∵A（-6，0），B（0，5），△OA′B′≌△OAB，
∴OA=OA′=6，OB=A′B′=5，
∴点B′的坐标是（6，-5），
故答案为：（6，-5）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出OA=OA′=6，OB=A′B′=5．
18．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2022次变换后所得的A点坐标是___．
【答案】（－a，－b）
【提示】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505…2，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第2次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（-a，-b），
故答案为：（-a，-b）．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键．
三、解答题
19．如图，是光明小区内的一幢商品房的示意图．若小赵家所在的位置用表示
（1）用有序数对表示小李、小张家的位置；
（2），分别表示谁家所在的位置？
【答案】（1） ；（2）小王，小周
【提示】（1）小赵家所在的位置用表示，结合图形可得：小赵在第列第行，从而可得小李与小张家的位置；
（2）由表示第列第行，表示第列第行，从而可确定该位置表示谁的家，从而可得答案.
【解答】解：（1）小赵家所在的位置用表示，
结合图形可得：小赵在第列第行，
小李家在第列第行，所以可记为：
小张家在第列第行，所以可记为：
（2）表示第列第行，是小王家，
表示第列第行，是小周家.
【点睛】本题考查的是利用有序实数对表示位置，正确理解有序实数对的含义是解题的关键.
20．在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接．
（1），，，；
（2），，，；
观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题：
（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？
（2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什么特点？线段EC上其他点的坐标呢？
（3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有怎样的位置？
【答案】连接起来的图形像“房子”；（1）线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点，它们都在y轴上，它们的横坐标都等于0；（2）线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同．线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3；（3）点F和点G的横坐标相同．线段FG与y轴平行．
【提示】在坐标系中描出各点，再顺次连接可得一个房子的图案；
（1）结合图案分析，即可得出答案；
（2）结合图案分析，即可得出答案；
（3）结合图案分析，即可得出答案；
【解答】连接起来的图形像“房子”．
（1）线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点，它们都在y轴上，它们的横坐标都等于0．
（2）线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同．线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3．
（3）点F和点G的横坐标相同．线段FG与y轴平行．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，作图的关键是根据点的坐标确定点在平面直角坐标系中的位置，并根据位置依次连接，形成题目中要求的图形．
21．已知点P（8﹣2m，m+1）．
(1)若点P在y轴上，求m的值．
(2)若点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求P点的坐标．
【答案】(1)4
(2)P（2，4）．
【提示】（1）直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值；
（2）直接利用P点位置结合其到x，y轴距离得出点的坐标．
（1）
解：∵点P（8﹣2m，m+1），点P在y轴上，
∴8﹣2m＝0，
解得：m＝4；
（2）
解：由题意可得：m+1＝2（8﹣2m），
解得：m＝3，
则8﹣2m＝2，m+1＝4，
故P（2，4）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点是解题关键．
22．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点M在y轴上，求m的值．
(2)若点M在二、四象限的角平分线上，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）若点在y轴上，则M的横坐标为0，即m-1=0；
（2）若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M的横纵坐标互为相反数，即m-1=-2m-3．
(1)
解：∵在y轴上，
∴，
解得：．
(2)
解：∵点M在二、四象限的角平分线上，
∴，
∴，
所以．
【点睛】本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握以上知识点是解题的关键．
23．观察如图所示象棋棋盘，回答下列问题：
（1）说出“将”与“帅”的位置；
（2）说出“马3进4”（即第3列的“马”前进到第4列）后的位置．
【答案】（1）“将”在第9行第5列，“帅”在第1行第5列；（2）第7行第4列
【提示】（1）根据已知点的位置即可确定行列表示的数据的顺序，进而得出答案；
（2）根据“马”的位置，经过平移后得到新的位置，根据新的位置，确定行列表示的数据，进而得出答案．
【解答】（1）按照图中的表示数字，“将”在第9行第5列，“帅”在第1行第5列；
（2）第7行第4列．
【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，点的平移，掌握用有序数对表示位置是解题的关键．
24．已知平面直角坐标系内有4个点：A(0，2)，B(-2，0)，C(1，-1)，D(3，1)．
(1)在平面直角坐标系中描出这4个点；
(2)顺次连接A、B、C、D组成四边形ABCD，请用两种方法求出四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【提示】（1）根据平面直角坐标系描出点的坐标；
（2）根据，求面积即可求解．
（1）
解：如图所示：点A、B、C、D为所描的点．
（2）
方法一：如图所示，作长方形EFGH：
则有
方法二：如图所示，将四边形ABCD分割为△ABP、△BCQ、△CMD、
△AND和正方形PQMN，
则有
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则
(1)请你直接写出的“近距”______﹔
(2)在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．若在坐标轴上存在点E，使，请求出点E的坐标：
【答案】(1)2
(2)点E坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）
【提示】（1）根据P，Q两点的“近距”的定义求解即可；
（2）分两种情况：当点E在x轴上时，设，则，可得，当点E在y轴上时，设，则，可得，求出m，n的值即可．
（1）
∵，，
又∵，
∴，
故答案为：2；
（2）
如图所示：
∵点D（3，4），，
当点E在x轴上时，设，，
∴，
∴或，
当点E在y轴上时，设，，
∴，
∴或，
∴点E坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）．
【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及到平移变换，P，Q两点的“近距”的定义等知识，解题的关键是正确解读题意，学会利用分类讨论思想解决问题．
26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
(1)求点的“短距”．
(2)点的“短距”为3，则m的值为__________．
(3)若，两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)7
(2)4或
(3)或
【提示】（1）根据点B到x轴的距离为27，到y轴距离为7，结合定义即可求解；
（2）根据定义可知，解绝对值方程即可求解；
（3）点C到x轴的距离为，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为，到y轴距离为4，进而分类讨论，根据“等距点”的定义列出方程，解方程即可求解．
（1）
解：点B到x轴的距离为27，到y轴距离为7，
∴点B的“短距”为7．
（2）
点的“短距”为3，
若，则
解得或
若，则“短距”为5，不符合题意，
故答案为：4或．
（3）
点C到x轴的距离为，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为，到y轴距离为4，
当时，，
∴或，
解得或（舍）．
当时，，
∴或，
解得或（舍）．
综上，k的值为或．
【点睛】本题考查了新定义问题，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键．
27．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0
（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在，，，
【提示】（1）由平方数和绝对值的非负性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，从而求得a＝3，b＝1，即可得到A，B两点的坐标．
（2）过点Ｃ向轴作垂线，垂足为，结合已知条件可构造一线三等角模型，即可证明，则，，易得点C的坐标．
（3）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则需分两种情况讨论：①则在B的左侧，；在右侧，；②，则易证，故．
【解答】解：（1）∵a、b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0．
∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴A（0，3）、B（1，0）；
（2）如图，过点C向轴作垂线，垂足为，则，
∵，，
∴
在和中，
∵
∴
∴，，
∴C（4，1）．
（3）若为腰，则分两种情况讨论：
①当时，
若在B的左侧，则，∴；
若在的右侧，则，∴；
②当时，
∵，∴由等腰三角形三线合一可知，
∴．
综上所述，存在，，．
【点睛】本题考查点的坐标，等腰三角形的性质，掌握一线三等角证全等及等腰三角形的存在性的方法为解题关键．
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4.1-4.2 确定位置与平面直角坐标系
一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
要点： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
要点：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
要点：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
一、单选题
1．下列数据中不能确定物体位置的是（ ）
A．电影票上的“5排8号”
B．小明住在某小区3号楼7号
C．南偏西37°
D．东经130°，北纬54°的城市
2．如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2， 90°），目标B的位置为（4，210°），则目标C的位置为（ ）
A．（3，30°） B．（3，150°） C．（-3，30°） D．（-3，150°）
3．如果点P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，则m＝( )
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．0
4．已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，学校（记作A）在爱棣家（记作B）西偏南的方向上，且与爱棣家的距离是，若，且，则超市（记作C）在爱棣家的（ ）
A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距
C．南偏东的方向上，相距 D．东偏南的方向上，相距
6．若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知A、B两点的坐标分别是和，下列结论错误的是（ ）
A．点A在第二象限 B．点B在第一象限
C．线段平行于y轴 D．点A、B之间的距离为4
9．下列说法不正确的是（ ）
A．点一定在第二象限
B．点到y轴的距离为2
C．若中，则P点在x轴上
D．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上
10．如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
二、填空题
11．若电影院中“5排4号”记作，则表示的意义是____________．
12．如图，点A，B的位置分别表示为，，则点C的位置表示为______．
13．有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为（5,3），（6,3）（7,3）（4,1）（4,4）请你把这个英文单词写出来或者翻译中文为______．
14．若，点为平面直角坐标系中的点，则点在第_______象限．
15．点在y轴上，则点P的坐标是______．
16．已知点和点，若点在坐标轴上，且的面积为6，则点的坐标是_____
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是______．
18．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2022次变换后所得的A点坐标是___．
三、解答题
19．如图，是光明小区内的一幢商品房的示意图．若小赵家所在的位置用表示
（1）用有序数对表示小李、小张家的位置；
（2），分别表示谁家所在的位置？
20．在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接．
（1），，，；
（2），，，；
观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题：
（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？
（2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什么特点？线段EC上其他点的坐标呢？
（3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有怎样的位置？
21．已知点P（8﹣2m，m+1）．
(1)若点P在y轴上，求m的值．
(2)若点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求P点的坐标．
22．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点M在y轴上，求m的值．
(2)若点M在二、四象限的角平分线上，求点M的坐标．
23．观察如图所示象棋棋盘，回答下列问题：
（1）说出“将”与“帅”的位置；
（2）说出“马3进4”（即第3列的“马”前进到第4列）后的位置．
24．已知平面直角坐标系内有4个点：A(0，2)，B(-2，0)，C(1，-1)，D(3，1)．
(1)在平面直角坐标系中描出这4个点；
(2)顺次连接A、B、C、D组成四边形ABCD，请用两种方法求出四边形ABCD的面积．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则
(1)请你直接写出的“近距”______﹔
(2)在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．若在坐标轴上存在点E，使，请求出点E的坐标：
26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
(1)求点的“短距”．
(2)点的“短距”为3，则m的值为__________．
(3)若，两点为“等距点”，求k的值．
27．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0
（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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