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3.4 一元一次不等式组
一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．
要点：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
二、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
要点：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.利用数轴确定不等式组的解集．
1. x＞4
2. 2＜x＜4
3. 无解
4. x＜2
上面的表示可以用口诀来概括：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆．
3.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
一、单选题
1．下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可．
【解答】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】分别解两个一元一次不等式，在数轴上表示出它们的公共部分即可．
【解答】解：
由①得： ，
由②得：，
在数轴上表示为：
，
∴不等式组的解集为：
故选A．
【点睛】本题考查用数轴表示不等式组的解集，准确的求出不等式组的解集是解题的关键．
3．若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据不等式组的解集为x＞a，结合每个不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵不等式组的解是x＞a，
∴a≥3，
故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集的方法，熟记口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解本题的关键．
4．不等式组的整数解的个数是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】先求出每个不等式的解，得到不等式组的解集，即可求解．
【解答】解：
解①得：，
解②得：，
原不等式组的解为，
所以整数解有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解题的关键是准确求出一元一次不等式组的解集．
5．若成立，则x能取的所有整数值有（ ）
A．3 B．3，4 C．4，5 D．3，4，5
【答案】B
【提示】利用不等式的性质解不等式，再找出解集中的所有整数值即可．
【解答】解：利用不等式的性质可得：的解集为：
∴x能取的所有整数值有：3，4．
故选：B
【点睛】本题考查不等式组的解法及求不等式的整数解，解题的关键是掌握不等式的性质，利用不等式的性质解不等式．
6．已知不等式组的解集为，则（ ）
A．2013 B．-2013 C．-1 D．1
【答案】D
【提示】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：解不等式x＋2＞m＋n得：x＞m＋n 2，
解不等式x 1＜m 1得：x＜m，
∵不等式组的解集为 1＜x＜2，
∴，，
∴，
∴m＋n＝1，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程是解题的关键．
7．将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】设有x人，由于每位学生分6本书，则还剩10本书，则书有（6x+10）本；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本，就是书的本数6x+10-8（x-1）大于0，并且小于4，根据不等关系就可以列出不等式．
【解答】解：设有x人，则书有（6x+10）本，由题意得：
0＜6x+10-8（x-1）＜4，
故选：C．
【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
8．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次就停止了，那么x的取值范围是（ ）
A．8＜x≤22 B．8≤x＜22 C．8＜x≤64 D．22＜x≤64
【答案】D
【提示】根据“操作恰好进行两次就停止了”可得第一次运行的结果小于等于190，第二次运行的结果大于190，由此建立不等式组，再解不等式组即可得．
【解答】由题意得：，
解不等式①得：x≤64，
解不等式②得：x>22，
则不等式组的解集为22故选D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行的次数，正确建立不等式组是解题关键．
9．已知关于x的不等式组有以下说法：
①如果不等式组有解，那么不等式组的解集一定是
②如果是不等式组的一个解，那么
③如果不等式组只有3个整数解，那么
④如果不等式组无解，那么
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】不等式组整理后，根据有解确定出a的范围，根据不等式组的整数解的个数确定出a的范围，以及不等式组无解的条件确定出a的范围，即可作出判断．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴①如果不等式组有解，则不等式组的解集一定是，故本选项正确；
②如果是不等式组的一个解，则，故本选项错误；
③如果不等式组只有3个整数解，则，故本选项错误；
④如果不等式组无解，则，故本选项正确；
∴正确说法的有2个．
故选：B
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
10．对于任意有理数x，我们用[x]表示不大于x的最大整数，若[x]＝n，则n≤x＜n+1．如：[2.7]＝2，[2018]＝2018，[﹣3.14]＝﹣4，若[3x+2]＝﹣3，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据题意可得﹣3≤3x+2＜﹣2，根据不等式的解法即可求解．
【解答】解：根据题意可得﹣3≤3x+2＜﹣2，
解得，
故选：D．
【点睛】本题以新定义为背景考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
二、填空题
11．不等式组的解集为___________．
【答案】
【提示】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练求出两个不等式的解集，是解题的关键．
12．已知不等式组的解集如图所示，则__________．
【答案】2
【提示】先求出各个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，与数轴所给的解集对应相等，得出方程求解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
由数轴得：，
∴，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查已知不等式组的解集求参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键．
13．若不等式组的解为，则的取值是_____________
【答案】
【提示】先解不等式组得出，然后根据不等式组的解集为，列出关于a的方程，是解题的关键．
【解答】解：解不等式组得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是根据不等式组的解集列出关于a的方程，是解题的关键．
14．关于x的不等式组的整数解的和为9，则m的取值范围是_______．
【答案】1≤m＜2或﹣2≤m＜
【提示】解不等式组得出解集，根据整数解的和为9，可以确定整数解必含4，3，2这三个数，再根据解集确定m的取值范围．
【解答】解：解不等式组，
得：m＜x≤4，
∵所有整数解的和是9，9=4+3+2，
∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，-1，
∴1≤m＜2或-2≤m＜-1；
故答案为： 1≤m＜2或﹣2≤m＜-1．
【点睛】题目主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．
15．某生物兴趣小组要在恒温箱中培养A，B两种菌种，A菌种生长的温度在20～28℃之间（不包括20℃、28℃），B菌种生长的温度在 25～33℃之间（不包括25℃、33℃），若设恒温箱的温度为t℃，则t所满足的不等式为_______．
【答案】
【提示】根据题意得出不等式组，确定不等式组的解集即可．
【解答】解：∵A菌种生长的温度在20～28℃之间（不包括20℃、28℃），B菌种生长的温度在 25～33℃之间（不包括25℃、33℃）
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键．
16．若不等式组有解，则的取值范围是__________．
【答案】
【提示】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组有解，可得到关于a的不等式，即可求解．
【解答】解：由，得：，
由，得：，
不等式组有解，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
17．关于 x 、y 的方程组的解满足 x + y >0，则k的值满足的范围为___________ ．
【答案】k＞ 4
【提示】两方程相加，再等式两边都除以4，根据已知x＋y＞0得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：
①＋②得：4x＋4y＝k＋4，
x＋y＝k＋1，
∵关于x，y的方程组的解满足x＋y＞0，
∴k＋1＞0，
解得：k＞ 4，
故答案为：k＞ 4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能得出关于k的一元一次不等式．
18．已知关于x的不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围为 _____．
【答案】
【提示】解出不等式的解集为，再根据不等式组恰好有4个整数解，即为，0，1，2，从而即可得出．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：．
∵不等式组恰好有4个整数解，即为，0，1，2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查由不等式组解集的情况求参数．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三、解答题
19．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来
【答案】数轴见解析
【提示】分别解不等式组中的两个不等式，在数轴上表示两个不等式的解集，再确定两个不等式的解集的公共部分，从而可得答案.
【解答】解：
由①得
由②得：
整理得：
解得：
不等式的解集在数轴上表示为：
不等式的解集为：
【点睛】本题考查的是不等式组的解法，掌握“解一元一次不等式组的步骤与方法”是解本题的关键.
20．解方程组或不等式组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）采用加减消元法即可求解；
（2）先分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分就是不等式组的解集．
（1）
，可得：，
将代入中，可得，
即方程的解为：；
（2）
，
解不等式，得；
解不等式，得；
即不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了用解二元一次方程和一元一次不等式组的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
21．已知关于x，y的方程
(1)若该方程组的解都为非负数，求实数a的取值范围．
(2)若该方程组的解满足，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）根据题意表示出x和y的值，然后根据该方程组的解都为非负数列不等式求解即可；
（2）将x和y的值代入列出关于a的不等式，求解不等式即可．
（1）
解：
得：，
得：，解得，
将代入①得，
∵该方程组的解都为非负数，
∴，即，，
解得；
（2）
由（1）可知，，，
∵
∴，
整理得：，解得：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组含参数问题，解一元一次不等式组，解题的关键是根据题意得到关于a的不等式．
22．解下列不等式组
(1)
(2)
【答案】(1)无解
(2)
【提示】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
（2）先改写成用大括号联立的不等式组的形式，再按照不等式组的解法求解．
（1）
解：，
解①得x≥5，
解②得x<2，
∴不等式组无解．
（2）
解：可变为，
解①得，
解②得，
∴不等式的解集是．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
23．已知关于a、b的方程组．
(1)若a为负数，b为非正数，求m的取值范围；
(2)若方程组的解满足，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）先解出方程组，然后根据题意得出不等式组求解即可；
（2）利用（1）中结论代入求解不等式即可．
（1）
解：解方程组，
得，
∵a为负数，b为非正数，
∴
解得：；
（2）
由（1）得
∴2a-b=4m-2<1，
解得：m<．
【点睛】题目主要考查求解方程组及不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
例题：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得，，解不等式组，得，解不等式组，得，的解集为或．
(1)满足的的取值范围是______；
(2)仿照材料，解不等式．
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）由且知，解之即可；
（2）由知，分别求解即可．
（1）
解：且，
，
解得，
故答案为：；
（2）
，
，，
解不等式组，得：该不等式组无解；
解不等式组，得：．
所以的解集为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作”
(1)下面命题是真命题有______________．
①当输入后，程序操作仅进行一次就停止．
②当输入后，程序操作仅进行一次就停止．
③当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入数大．
④当输入，程序操作仅进行一次就停止．
(2)探究：是否存在正整数x，使程序只能进行两次操作，并且输出结果小于12？若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)②③；
(2)存在，x＝2．
【提示】（1）逐一计算，判断即可．
（2）根据题意，建立不等式组，确定不等式组的整数解，有则存在；无则不存在．
（1）
解：根据题意，得代数式为，
当时，，
所以程序操作仅进行一次就停止不可能，
故①不符合题意；
当时，，
所以程序操作仅进行一次就停止，
故②符合题意；
当时，所以，
所以，
所以程序操作仅进行一次就停止，
故③符合题意；
当时，也可能，
所以程序操作仅进行一次就停止不可能，
故④不符合题意；
故答案为：②③．
（2）
存在，且，理由如下：
∵程序只能进行两次操作，
第一次计算的代数式是，
第二次输出的代数式是，
根据题意，得
，
解得，
∵x为整数，所以．
【点睛】本题考查了程序计算，不等式组的应用，正确理解程序，建立正确的不等式组是解题的关键．
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3.4 一元一次不等式组
一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．
要点：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
二、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
要点：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.利用数轴确定不等式组的解集．
1. x＞4
2. 2＜x＜4
3. 无解
4. x＜2
上面的表示可以用口诀来概括：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆．
3.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
一、单选题
1．下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的整数解的个数是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
5．若成立，则x能取的所有整数值有（ ）
A．3 B．3，4 C．4，5 D．3，4，5
6．已知不等式组的解集为，则（ ）
A．2013 B．-2013 C．-1 D．1
7．将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
8．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次就停止了，那么x的取值范围是（ ）
A．8＜x≤22 B．8≤x＜22 C．8＜x≤64 D．22＜x≤64
9．已知关于x的不等式组有以下说法：
①如果不等式组有解，那么不等式组的解集一定是
②如果是不等式组的一个解，那么
③如果不等式组只有3个整数解，那么
④如果不等式组无解，那么
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．对于任意有理数x，我们用[x]表示不大于x的最大整数，若[x]＝n，则n≤x＜n+1．如：[2.7]＝2，[2018]＝2018，[﹣3.14]＝﹣4，若[3x+2]＝﹣3，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．不等式组的解集为___________．
12．已知不等式组的解集如图所示，则__________．
13．若不等式组的解为，则的取值是_____________
14．关于x的不等式组的整数解的和为9，则m的取值范围是_______．
15．某生物兴趣小组要在恒温箱中培养A，B两种菌种，A菌种生长的温度在20～28℃之间（不包括20℃、28℃），B菌种生长的温度在 25～33℃之间（不包括25℃、33℃），若设恒温箱的温度为t℃，则t所满足的不等式为_______．
16．若不等式组有解，则的取值范围是__________．
17．关于 x 、y 的方程组的解满足 x + y >0，则k的值满足的范围为___________ ．
18．已知关于x的不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围为 _____．
三、解答题
19．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来
20．解方程组或不等式组：
(1)；
(2)．
21．已知关于x，y的方程
(1)若该方程组的解都为非负数，求实数a的取值范围．
(2)若该方程组的解满足，求实数a的取值范围．
22．解下列不等式组
(1)
(2)
23．已知关于a、b的方程组．
(1)若a为负数，b为非正数，求m的取值范围；
(2)若方程组的解满足，求m的取值范围．
24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
例题：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得，，解不等式组，得，解不等式组，得，的解集为或．
(1)满足的的取值范围是______；
(2)仿照材料，解不等式．
25．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作”
(1)下面命题是真命题有______________．
①当输入后，程序操作仅进行一次就停止．
②当输入后，程序操作仅进行一次就停止．
③当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入数大．
④当输入，程序操作仅进行一次就停止．
(2)探究：是否存在正整数x，使程序只能进行两次操作，并且输出结果小于12？若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由．
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