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第四章：相似三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：由两个位似图形的周长比等于位似比可知，，
.
故选B.
2.答案：D
解析：，
，
，，
.
故选择：D
3.答案：B
解析：设另一个三角形的周长为x，则
4：x＝，
解得：x＝8．
故另一个三角形的周长为8，
故选：B．
4.答案：C
解析：∵
∴，
∴．
故选：C．
5.答案：D
解析：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，且两个菱形相似，
∴AB=4MN=4x，
∴AE=AB-BE=4x-y，
∴4x-y=x+y，
解得：x=y，
∴AE=y，
∴，
∴，
故选：D．
6.答案：D
解析：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6，
∴AB＝ BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，
∵∠ADB＝∠AGD＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG BG，
∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），
∵x＞0，
∴x＝，
∴OE＝2 ，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝，
故答案为：D．
7.答案：B
解析：∵
∴设，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴△DEG∽△CFG,
故答案为：B．
8.答案：D
解析：如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴，
故选D．
9.答案：C
解析：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，
∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，
∵GT⊥TF，DF⊥DG，
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，
∴CT＝3a，CG＝，
∵MH∥TG，
∴△CMH∽△CTG，
∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，
∴MH＝，
∴BH＝，
∴，
故选：C．
10.答案：A
解析：如图1所示，
由已知可得，，
则，
设，，
则，
解得，
，故选项B不符合题意；
，故选项D不符合题意；
如图2所示，
由已知可得，，
则，
设，，
则，
解得，
，故选项C不符合题意；
，
如图3所示：
此时两个直角三角形的斜边长为6和7；
故选A.
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：（8，2）
解析：∵线段AB端点B的坐标分别为B（16，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，
∴端点D的坐标为：（8，2）．
故答案是：（8，2）．
12.答案：9
解析：∵AD∥BC∥EF，AE：EB＝2：3，
∴，
∴，
∵CD＝15，
∴FC＝9．
故答案为：9．
13.答案：三条
解析：过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
15.答案：4
解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
15.答案：或．
解析：设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，
根据题意得： ， ，则 ，
当 ，即 时，
∴，解得： ；
当 ，即 时，
∴，解得： ，
综上所述，以点 ，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为或．
16.答案：
解析：（1），，
易证，
，，
，
是等腰直角三角形，
.
（2）由（1）可知是等腰直角三角形.
又，
，
.
如图，分别延长GF，BC，两线交于点H，
则，，，
，，
，，
即，，
，，
.
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED∽△ABC；
（2）∵△AED∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△ADG∽△ACF，
∴．
18.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴∠MDN＝∠CBN，
又∵∠BNC＝∠DNM，
∴△MND∽△CNB，
∴，
∵M为AD的中点，
∴，
∴DN：BN＝1：2；
（2）连接OM，
∵△MND∽△CNB，DN：BN＝1：2；
∴MN：CN＝1：2，
∴MC：CN＝3：2，
∴S△OCM：S△OCN＝3：2，
∵S△OCN＝2，
∴S△OCM＝3，
∴S△ACM＝2S△OCM＝6，
∴S四边形AONM＝S△ACM﹣S△OCN＝6﹣2＝4．
19.解析：（1）由题意，得，
所以，
所以.
因为，
所以.
（2）设的面积为S，的面积为，的面积为.
因为,
所以.
因为,
所以.
因为,
所以同理可得，
所以平行四边形BFED的面积.
20.解析：（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴，
∴．
21.解析：（1）∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠P，
∵∠CEF＝∠PEC，
∴△CEF∽△PEC，
∴，
即CE2＝EF PE；
（2））∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠AEB＝∠CEP，
∴△BEA∽△PEC，
∴，
∵点D是CP的中点，
∴CP＝2CD＝2AB，点F是BP的中点，
∴
解得：，
∴PF＝BP＝（BE+PE）＝
∴EF＝PE﹣PF＝
22.解析：（1）△BPQ是等边三角形
当t＝2时
AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4
∴BQ＝BP
又∵∠B＝60°
∴△BPQ是等边三角形；
（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E
在Rt△BEQ中，∠BQE＝90°﹣∠B＝30°，QB＝2t，
∴BE＝t，QE＝t
由AP＝t，得PB＝6﹣t
∴S△BPQ＝×BP×QE＝（6﹣t）×t＝
∴；
（3）∵QR∥BA
∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°
∴△QRC是等边三角形
∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t
∵BE＝BQ cos60°＝×2t＝t
∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t
∴EP∥QR，EP＝QR
∴四边形EPRQ是平行四边形
∴PR＝EQ＝t
又∵∠PEQ＝90°，
∴∠APR＝∠PRQ＝90°
∵△APR∽△PRQ，
∴，
∴
解得t＝
∴当t＝时，△APR∽△PRQ．
23.解析：（1）抛物线，令 ，
抛物线对称轴为 ，
∵B点在抛物线上，且BC=6，
∴B点横坐标为 ，
∵B点在直线上，
∴代入B点横坐标求得 ，即 ，
将代入，得：，解得 ；
（2）由（1）知，所以抛物线为 ，
∵是线段上一点，轴，
∴E、F的横坐标 ，
设EF的最大值为M，E、F横坐标相同，
则 ，为开口向下的抛物线，有最大值，，
∴EF的最大值为；
（3）存在，
如图：EF交x轴于点M
∵轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵P在射线BC上且可形成△GPB，，
设P点横坐标为x，
∴P点横坐标 ,
∴ ，G点、E点、F点横坐标都为x，
∵E在直线上，
∴ ，
∵G为点F 关于直线BC的对称点，且F在抛物线上，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴
解得： ，
∵，
∴取 ，
∴ ，
∴G点纵坐标为 ，
∴ ．
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第四章：相似三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，与位似，点O为位似中心，相似比为.若的周长为4，则的周长是( )
A.4 B.6 C.9 D.16
2.若∽，，，则( )
A. B. C. D.
3．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16 B．8 C．2 D．1
4．设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（ ）
A． B．2 C． D．
6.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6 ，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
7.如图平行四边形ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则（ ）
A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．3∶2
8.如图，在四边形中，以为直径的恰好经过点，，交于点，已知平分，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10.将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )
A. B. C.10 D.
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，线段AB两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，且AE：EB＝2：3，CD＝15，则FC＝
13．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有______________
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为_____________
15．如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为_______________
16.如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题：
（1）_______°；（2）若，，则________.
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，△ABC用平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△AED∽△ABC．（2）设，求的值．
18.（本题8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N．（1）求DN：BN的值；（2）若△OCN的面积为2，求四边形AONM的面积．
19（本题8分）如图，在中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，.（1）若，求线段AD的长.（2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积.
20.（本题10分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE GD．
21.（本题10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AC上一点，射线BE与CD的延长线交于点P，与边AD交于点F，连接FC．（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF EP；
（2）若点D是CP中点，BE＝，求EF的长．
22（本题12分）．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．
23（本题12分）如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点（非原点），过点作BC∥x轴交抛物线于点，．（1）求的值．（2）若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．求线段的最大值．（3）若是射线上一点，作点关于直线的对称点，连结，．是否存在与相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点的坐标．
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