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不等式精选 姓名
1.若 x= 3是不等式 2x- a- 2< 0的一个解，则 a可取的最小正整数为 ．
2.已知 x> 1，x+ a= 1，则 a的取值范围是 .
x> 3
3.若关于 x的不等式组 < 有解，则 a的取值范围是 ．x a
x> 84.如果不等式组 x- 1> 5有解，那么m的取值范围是 .xx- a< 0
5.若关于 x的不等式组 - ≥ + 有解，则写出符合条件的一个 a的值 ．2x 2 3 x
6.若 a < 2,则 a的取值范围为 .
若 a ≥ 2,则 a的取值范围为 .
7.不等式 |3x- 7| ≤ 10的所有整数解之和是 .
8. 3x+ 2不等式 x- 2 < 2的解集为 .
9. π= 4× 1- 1 + 1 - 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1德国数学家莱布尼兹证明了 3 5 7 9 - 11 + 13 - 15 + ，由此可知：3 - 5 + 7 - 9 +
1 1 1 4- π
11 - 13 + 15 4 （填“>"或 "<”）
10.对于实数 x，我们规定 [x] x+ 4表示不大于 x的最大整数，例如 [1.2]= 1，[3]= 3，[-2.5]=-3，若 [ 10 ]= 5，则 x的
取值范围是 .
= a, a≥ b 11.运算符号 的含义是 a b , < ，则（1+ x） （1- 2x）＝ 5时 x的值为 ．b a b
12.若 4≤ x≤ 6,则 ( )
A. 2x- 1> 8 B. 2x+ 1≥ 9 C. x+ 5≤ 9 D. 3- x>-2
13.已知 a，b为实数，则解可以为-2022< x< 2023的不等式组是 ( )
ax> 1 ax> 1 ax< 1 ax< 1A. B. C. D. bx> 1 bx< 1 bx> 1 bx< 1
2x+ y= 4m+ 7
14.在关于 x、y的方程组 + = - 中，未知数满足 x、y> 0，那么m的取值范围是 ．x 2y 8 m
3x- y= 2a- 5
15.已知关于 x、y的方程组 + 的解都为正数，且满足 a+ b＝ 4，b＞ 0，z＝ a-3b，则 z的取值范围是x 2y= 3a+ 3
．
16.关于 x的不等式组 x- 无解，那么m的取值范围为 .x 1
2x- 2a> 017.若不等式组 - 无解，则 a的取值范围为 .4 x≥ 0
x+ 1>m- 118.在关于 x的不等式组 恰好有 3个整数解，那么m的取值范围是 .2- 2x>-3
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x+ 2≥ x+ 3
19. 2关于 x的不等式组 2x+ 5 有且只有 4个整数解，则常数m的取值范围是 .3 ax+ 3y= 12 2 x+ 1 < x+ 520.已知关于 x、y的方程组 的解为整数，且关于 x的不等式组x- 3y= 0 > - 有且仅有 5个整数解，3x a 4
则所有满足条件的整数 a的和为 .
21.已知关于 x,y的方程组 x+ 3y= 4- a - = ,其中- ≤ ≤ ,
x= 5
3 a 1 给出下列结论：① =- 是方程组的解；②当 a=-2x y 3a y 1
时，x,y的值互为相反数；③当 a= 1时，方程组的解也是方程 x+ y= 4- a的解；④若 x≤ 1,则 1≤ y≤ 4.其中正
确有 . 填写序号
22.用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下:①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E;②
分别以D,E为圆心，以 n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P;③画射线BP.射线BP即为所求.对m,n的
描述，正确的是 ( )
A.m> 0,n> 0 B.m> 0，nC.m> 0 n> 1， 2 DE D.m> 0，n<
1
2 DE
23.按图中程序计算，规定：从“输入一个值 x”到“结果是否≥ 14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，
则 x的取值范围为 ．
输入 x × 3 - 是1 ≥ 14 输出
否
24. 2x+ 5若不等式 3 - 1≤ 2- x的解集中 x的每一个值，都能使关于 x的不等式 2x+m＜ 1成立，则m的取值范围
是 ．
2x- 3y=-2
25.已知关于 x，y的二元一次方程组 - = 的解满足 x- y< 0．x 2y k
(1)求 k的取值范围；
(2)在 (1)的条件下，若不等式 (2k+ 1)x- 2k< 1的解为 x> 1，请写出符合条件的 k的整数值．
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26.已知关于 x、y的方程组 3x- y= 2a- 5, + = + 的解满足 0< x+ y≤ 3．x 2y 3a 3.
(1)求 a的取值范围；
(2)已知 a+ b= 4，且 z= 2a- 3b，求 z的最大值．
2x- 3a< 7b+ 227.已知不等式组 - ．6b 3x- 3< 5a
①若它的解集是 4＜ x＜ 23，求 a，b的取值．
②若 a＝ b，且上述不等式无解，求 a的取值范围．
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28.已知 a+ 1 b+ 2 ≥ a+ 1 c+ 1 ，其中 a，b，c是常数，且 c≠ 1.
（1）当 b=-2,c= 3时，求 a的范围.
（2）当 a<-2时，比较 b和 c大小.
（3）若当 a>-1时，b≤ c- 1 b成立，则 c- 1 的值是多少？
29.阅读下列材料：
解答“已知 x- y= 2，且 x> 1，y< 0，试确定 x+ y的取值范围“有如下解法，
解：∵ x- y= 2，又∵ x> 1，∴ y+ 2> 1，即 y>-1．
又 y< 0，∴-1< y< 0． ①
同理，得：1< x< 2． ②
由①+②，得-1+ 1< y+ x< 0+ 2，∴ x+ y的取值范围是 0< x+ y< 2．
请按照上述方法，完成下列问题：
2x+ y= 1已知关于 x、y的方程组 - = - 的解都为非负数．x y 5 3a
(1)求 a的取值范围．
(2)已知 2a- b=-1，求 a+ b的取值范围．
(3)已知 a- b=m 1，若 2 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ·4·
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30.我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另
一个不等式的“云不等式”．
（1）不等式 x≥ 2 x≤ 2的“云不等式”（：填“是”或“不是”）．
（2）若关于 x的不等式 x+ 2m≥ 0不是 2x- 3＜ x+ 1的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若 a≠-1，关于 x的不等式 x+ 3＞ a与不等式 ax- 1≤ a- x互为“云不等式”，求 a的取值范围．
31.规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且m≠ n），例如：min{3，-1}＝-1，min 2, 3 =
2,据此解决下列问题：
（1）min 1 1 - 2 ,- 3 = ；
2 min 2x- 1（ ）若 ,2 3 = 2，求 x的取值范围；
（3）若min{2x- 5，x+ 3}＝-2，求 x的值．
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32.阅读下列材料解答问题：
1 1
新定义：对非负数 x“四舍五入”到个位的值记为＜ x＞，即：当 n为非负整数时，如果 n- 2 ≤ x＜ n+ 2 ，则＜ x
n n 1 1＞＝ ；反之，当 为非负整数时，如果＜ x＞＝ n，则 n- 2 ≤ x＜ n+ 2．例如：＜ 0.1＞＝＜ 0.49＞＝ 0，＜
1.51＞＝＜ 2.48＞＝ 2，＜ 3＞＝ 3，＜ 4.5＞＝＜ 5.25＞＝ 5，
试解决下列问题：
（1）①＜ π+ 2.4＞＝ （π为圆周率）；
②如果＜ x-1＞＝ 2，则数 x的取值范围为 ；
2 5（ ）求出满足＜ x>= 4 x﹣ 1的 x的取值范围．
33.定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例
x- 2> 0
如：方程 2x-6＝ 0的解为 x＝ 3，不等式组 < 的解集为 2＜ x＜ 5．因为 2＜ 3＜ 5．所以称方程 2x-6x 5
x- 2> 0
＝ 0为不等式组 < 的相伴方程．x 5
3x- 6> 4- x（1）若关于 x的方程 2x- k＝ 2是不等式组 - ≥ - 的相伴方程，则 k的取值范围为 ；x 1 4x 10
m- 2 x（2）若方程 2x+ 4 0 2x- 1＝ ， 3 =-1都是关于 x的不等式组 + 的相伴方程，则m的取值范围为x 5≥m
；
-x>-2x+ 1（3）若关于 x的不等式组 ≤ + 的所有相伴方程的解中，有且只有 2个整数解，则 n的取值范围为2x n 2
．
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34.某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价 2倍少 30元，网购 2个甲种书包和 3个乙
种书包共花费 255元（免运费）．
请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？（列方程组解答此问）
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过 8900元购进甲、乙两种书包共 200个，且甲种书包的数量超过 87个，已
知甲种书包每个进价为 50元，乙种书包每个进价为 40元，该网店有哪几种进货方案；
（3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过 10个，赠送 1个相同的书包，该网店这次所
购进书包全部售出，共赠送了 4个书包，获利 1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com) ·8·不等式精选 姓名 为分式，右边为 0，用过两式相除为负得到分子分母
= - - < 为异号，再分类讨论即可。1.若 x 3是不等式 2x a 2 0的一个解，则 a可取
3x+ 2 < 2 3x+ 2 x+ 6的最小正整数为 ． x- 2 x- 2 - 2< 0 x- 2 < 0
【解析】把 x= 3代入得 a> 4
x+ 6> 0 x+ 6< 0①
【答案】5（答案不唯一） - < ② x 2 0 x- > . 由① -6< x< 2,②2 0
无解。综上：-6< x< 2.
2.已知 x> 1，x+ a= 1，则 a的取值范围是 .
法 2：Ⅰ当 x- 2> 0即 x> 2时 3x+ 2< 2x- 4 x
【解析】由 x+ a= 1得 x= 1- a> 0,则 a< 1
<-6,此时无解；Ⅱ当 x- 2< 0即 x< 2时 3x+ 2>
【答案】a< 1
2x- 4 x>-6,此时-6< x< 2.综上：-6< x<
x> 3
3.若关于 x的不等式组 < 有解，则 a的取值范围是
2.
x a
【答案】-6< x< 2
．
【解析】大小小大取中间，a≥ 3 不要忘记取等号 9.德 国 数 学 家 莱 布 尼 兹 证 明 了 π = 4 ×
1- 1【答案】a≥ 3 3 +
1
5 -
1 1
7 + 9 -
1 + 1 111 13 - 15 + ，由 此
x> 8 1 - 1 + 1 1 1 1 可 知 ：- > 3 5 7 - 9 + 11 - 13 +4.如果不等式组 x 1 5 有解，那么m的取值范围 1 4- πx"或 "<”）
是 . 【解析】设 x= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 13 5 7 9 11 13 15
【解析】由①②得 x> 8,综合③m> 8
y= 1 - 1 + 1 - 1 1 1【答案】m> 8 17 19 21 23 + 25 - 27 + > 0
x- a< 0 则 π= 4× 1- x+ y
5.若关于 x的不等式组 2x- ≥ 有解，则写出符2 3+ x x= 1- π4 + y> 1-
π 4- π
4 = 4
合条件的一个 a的值 ．
【答案】>
【解析】由① x< a,② x≥ 5得 a> 5
【答案】6（答案不唯一） 10.对于实数 x，我们规定 [x]表示不大于 x的最大整数，
< , 例如 [1.2] = 1，[3] = 3，[-2.5] =-3 [
x+ 4
，若 10 ] =6.若 a 2 则 a的取值范围为 .
【解析】通过画数轴可得 5，则 x的取值范围是 .
x+ 4
【解析】根据定义可得 5≤ 10 < 6即 46≤ x< 56
【答案】46≤ x< 56
-3 -2 -1 0 1 2 3
a, a≥ b
可以归纳为小于取中间 11.运算符号 的含义是 a b= b, ，则（1+ x） a< b
【答案】-2< a< 2
≥ , （1- 2x）＝ 5时 x的值为 ．若 a 2 则 a的取值范围为 .
【解析】根据定义为取大，则进行分类讨论：
【解析】通过画数轴可得
1+ x≥ 1- 2x 1- 2x≥ 1+ x① ②1+ x= 5 1- 2x= 5
-3 -2 -1 0 1 2 3 由① x= 4 由② x=-2
可以归纳为大于取两边 【答案】x= 4或-2
【答案】a≥ 2或 a≤ 2 12.若 4≤ x≤ 6,则 ( B )
7.不等式 |3x- 7| ≤ 10的所有整数解之和是 . A. 2x- 1> 8 B. 2x+ 1≥ 9
【解析】根据第 6题的结论，小于取中间可得： C. x+ 5≤ 9 D. 3- x>-2
-10≤ 3x- 7≤ 10,解的-1≤ x≤ 173 ,即 x=-1,0, 【解析】此题理解为给定的范围都应该落在某选项的
1,2,3,4,5,则和为 14. 范围内
【答案】14 A.x> 4,显然 x= 4不在给定范围内，×
B.x≥ 4,√
8. 3x+ 2不等式 x- 2 < 2的解集为 . C.x≤ 4,×
【解析】法 1：通过移项和通分可以将原式转化为左边 D.x< 5,×
·1·
【答案】B 【答案】m≤-1
13.已知 a，b为实数，则解可以为-2022< x< 2023 的 2x- 2a> 017.若不等式组 - ≥ 无解，则 a的取值范围为不等式组是 ( D ) 4 x 0
ax> 1 ax> 1 .
A. B. bx> 1 bx< 1 2x- 2a> 0【解析】 - ≥
x> a
无解 a> 4
ax< 1 ax< 1
4 x 0 x≤ 4
C. D.bx> 1 bx< 1 x> 4再考虑取等号，a= 4时 ≤ 也无解 a≥ 4x 4
1 x< 1 【答案】a≥ 4
【解析】法 1 -2022< x< 2023 2023：由 可得 - 12022 x< 1 x+ 1>m- 1
18.在关于 x的不等式组 恰好有 3 个整故只有D满足。 2- 2x>-3
法 2：特殊值法。显然答案种 x= 0满足要求，代入A, 数解，那么m的取值范围是 .
B,C都不满足，D满足。 x+ 1>m- 1【解析】 x>m- 2 有 3 个整数解
【答案】D 2- 2x>-3 x< 2.5
2x+ = 4 + 7
x= 2,1,0 -1≤m- 2< 0 1≤m< 2
y m
14.在关于 x、y的方程组 + 中，未知数满x 2y= 8-m 注意两端取等号情况，代入检验即可！
足 x、y> 0，那么m的取值范围是 ． 【答案】1≤m< 2
2x+ y= 4m+ 7① ①+②【解析】由 x+ 2≥
x+ 3
x+ = 2y 8-m② 3 19. 2关于 x的不等式组 2x+ 5 有且只有 4 个 x= 3m+ 2> 0x+ y=m+ 5 2 3 3y= - > - 误区：认为 x,y都为正数，则 x+ y> 0即可，这样理解
x+ 2≥
x+ 3 x≥ 1
时不对的，若 x+ y> 0不能使 x,y都为正数。 2【解析】 2x+ 5 x< 3m+ 10 有且只有2 3
【答案】- 4个整数解 x= 1,2,3,4,5 5< 3m+ 10 ≤ 6
3x- y= 2a- 5 215.已知关于 x、y的方程组 x+ 2y= 3a+ 的解都为3 0正数，且满足 a+ b＝ 4，b＞ 0，z＝ a- 3b，则 z的取
【答案】0值范围是 ． 3
【解析】给出的方程组是带参数 a的，那么可以用含 a ax+ 3y= 12
, 20.已知关于 x、y的方程组 - = 的解为整数，的式子把 x y表示出来，从而可以得到 a的取值范 x 3y 0
围，再由 a与 b的关系得到 a的范围，综合可得到 a的 2 x+ 1 < x+ 5且关于 x的不等式组 有且仅有 5
范围，而 z可以用 a表示出来，则也可得到相应的范 3x> a- 4
围。 个整数解，则所有满足条件的整数 a的和为 .
3x- y= 2a- 5 x= a- 1> 0 2 x+ 1 < x+ 5 x< 3由 + = a> 1①x 2y 3a+ 3 y= a+ 2> 0 【解析】 > - 3x a 4 x> a- 4 有且仅有 53
由 a+ b＝ 4 b= 4- a> 0 a< 4②
个整数解 x= 2,1,0,-1,-2
由①②得 1< a< 4 a- 4
又 z= a- 3b= 4a- 12 -8< z< -3≤ 3 <-2 -5≤ a<-2 整数 a=-5,4
【答案】-8< z< 4 -4,-3.
=- x=-3x16.关于 x的不等式组 无解，那么m的取值范 y=-1x>-1
x=-4
围为 . ②当 a=-4时
x4 舍
小 3
【解析】大大小小解为空 m<-1x>-1大
③当 a=- x=-63时
x<-1 y=-2
再考虑取等号，代入检验，当m=-1 时 >- 也x 1 【答案】-8
无解，故m≤-1
·2·
, x+ 3y= 4- a 1-m 421.已知关于 x y的方程组 - = ,其中-3≤ a
由①中所有的值都能使②成立，所以 2 > 5 ,x y 3a
3
x= 5 即m<- .≤ 1,给出下列结论：① =- 是方程组的解；②当 5y 1
m<- 3【答案】
a=-2时，x,y的值互为相反数；③当 a= 1时，方程 5
组的解也是方程 x+ y= 4- a的解；④若 x≤ 1,则 1 2x- 3y=-2
25.已知关于 x，y的二元一次方程组 的
≤ y≤ 4.其中正确有 . 填写序号 x- 2y= k
x= 2a+ 1 解满足 x- y< 0．
【解析】方程组解得 y= 1- a (1)求 k的取值范围；
x= 5 2a+ 1= 5①当 =- 时，则 - =- ，解得 a= 2，不合题
(2)在 (1)的条件下，若不等式 (2k+ 1)x- 2k< 1的
y 1 1 a 1 解为 x> 1，请写出符合条件的 k的整数值．
意，故错误; 2x- 3y=-2,①
x=-3 【解析】 1
②当 a=-2时， = x,y的值互为相反数，故
x- 2y= k.②
y 3 ①-②,得 x- y=-2- k.
正确; ∵ x- y< 0,
x= 3
③当 a = 1 时方程组的解为 = ,是 x + y = 3 的 ∴-2- k< 0解得 k>-2.y 0
(2)不等式 (2k+ 1)x- 2k< 1可化为 (2k+ 1)x< 2k
解，故正确; + 1.
④ x= 2a+ 1≤ 1 a≤ 0 -3≤ a≤ 0 ∵不等式 (2k+ 1)x- 2k< 1的解集为 x> 1，
1≤ y≤ 4，故正确;
∴ 2k+ 1< 0.解得 k<- 1
【答案】②③④ 2
由 (1),得 k>-2.
22.用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下:①以B
1
为圆心，以m为半径画弧，分别交射线 BA,BC于点 ∴ k的取值范围是-2< k<- 2
D, E;②分别以D, E为圆心，以 n为半径画弧，两弧 ∴符合条件的 k的整数值是-1.
在∠ABC内部交于点P;③画射线BP.射线BP即为 【答案】（1）k>-2.（2）k=-1
所求.对m,n的描述，正确的是 ( C )
3x- y= 2a- 5,A.m> 0,n> 0 B.m> 0，nC.m> 0 n> 1 DE D.m> 0 n< 1， 2 ， 2 DE 0< x+ y≤ 3．
【解析】角平分线的尺规作图①m为任意长则m> 0 (1)求 a的取值范围；
1 (2)已知 a+ b= 4，且 z= 2a- 3b，求 z的最大值．
即可，②要产生交点，则必须使得n> 2 DE.故选C.
【解析】(1)由方程组可得， x= a- 1【答案】C = + ，y a 2
23.按图中程序计算，规定：从“输入一个值 x”到“结果是 则 x+ y= 2a+ 1,
否≥ 14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次 ∵ 0< x+ y≤ 3,
才停止，则 x的取值范围为 ． ∴ 0< 2a+ 1≤ 3, 1解得，- 2 < a≤ 1;
× - 是 (2) ∵ a+ b= 4，且 z= 2a- 3b，∴ b= 4- a，输入 x 3 1 ≥ 14 输出
∴ z= 2a- 3(4- a) = 2a- 12+ 3a= 5a- 12，
否
1
3x- 1< 14 ∵- 2 < a≤ 1,
【解析】由题意得 - - 2≤ x< 53 3x 1 1≥ 14 ∴ 292 < 5a- 12≤-7,
【答案】2≤ x< 5
∴ z的最大值为-7.
24. 2x+ 5若不等式 3 - 1≤ 2 - x的解集中 x的每一个 【答案】（1
1
）- 2 < a≤ 1;（2）-7.
值，都能使关于 x的不等式 2x+m＜ 1成立，则m的
2x- 3a< 7b+ 2
取值范围是 ． 27.已知不等式组 6b- ．3x- 3< 5b
2x+ 5 4
【解析】由 3 - 1≤ 2- x x≤ 5 ① ①若它的解集是 4＜ x＜ 23，求 a，b的取值．
2x+m 1 x< 1-m ②若 a＝ b，且上述不等式组无解，求 a的取值范围．由 ＜ 2 ②
·3·
x< 3a+ 7b+ 2 2x+ y= 1 x= 2- a 2 【解析】(1)解方程组 得 【解析】(1)解不等式组得 + - x- y= 5- 3a y= 2a- 3x> 5a 6b 32 ∵方程组的解都为非负数
∵不等式组的解集是 4< x< 23, ∴ 2- a≥ 0 3解得 ≤ a≤ 2;
3a+ 7b+ 2 = 2a- 3≥ 0 223
∴ 2 a= 3 -5a+ 6b- 3 ，解这个方程组，得 . (2) ∵ 2a- b=-1,3 = 4 b= 5 ∴ a= b- 12 ,
x< 5a+ 1
(2)将 b = a代入不等式组,得 > a- 3 ,根据题 ∴
3 b- 1
x 2 ≤ 2 ≤ 2,解得 4≤ b≤ 5，3
11
意,应有 5a+ 1≤ a- 33 ,解这个不等式，得 a≤-
3
7 .
∴ 2 ≤ a+ b≤ 7;
a= 3 3 (3)a- b=m,
3 ≤ a≤ 2,
【答案】（1） = .（2）a≤- 7 . 2b 5
∴ 32 ≤m+ b≤ 2
3
，即 2 -m≤ b≤ 2-m,
28.已知 a+ 1 b+ 2 ≥ a+ 1 c+ 1 ，其中 a，b，c是 ∵ b≤ 1,
常数，且 c≠ 1. 3
（1）当 b=- , = ∴ -m≤ b≤ 1,2 c 3时，求 a的范围. 2
（2）当 a<-2时，比较 b和 c大小. ∴ 3-m≤ a+ b≤ 3
3
（3）若当 a>-1时，b≤ c- 1 b成立，则 c- 1 的值是
【答案】 1 2 ≤ a≤ 2;
多少？ 2 11 2 ≤ a+ b≤ 7;
【解析】(1)把 b=-2，c= 3代入 (a+ 1) (b+ 2) ≥ (a 3 3-m≤ a+ b≤ 3
+ 1) (c+ 1)得，0≥ 4(a+ 1),解得，a≤-1;
(2)当 a<-2时，a+ 1< 0， 30.我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，
不等式 (a+ 1) (b+ 2)≥ (a+ 1) (c+ 1) 那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等的两边都除以
(a+ 1) 式是另一个不等式的“云不等式”．得，b+ 2≤ c+ 1,即 b≤ c- 1,∴ b< c;
(3) a>-1 （1）不等式 x≥ 2 x≤ 2 的“云不等式”：（填当 时，a+ 1> 0，
不等式 (a+ 1) (b+ 2)≥ (a+ 1) (c+ 1) “是”或“不是”）．的两边都除以
( + 1) + 2≥ + 1, ≥ - 1 ∵ ≤ - 1, （2）若关于 x的不等式 x+ 2m≥ 0不是 2x- 3＜ xa 得，b c 即 b c ，又 b c
b + 1的“云不等式”，求m的取值范围；∴ b= c- 1,∴ c- 1 = 1. （3）若 a≠-1，关于 x的不等式 x+ 3＞ a与不等式
b
【答案】（1）a≤-1（; 2）b< c（; 3） = 1. ax- 1≤ a- x互为“云不等式”，求 a的取值范围．c- 1
【解析】(1) ∵不等式 x≥ 2和不等式 x≤ 2有公共整
29.阅读下列材料： 数解 2∴不等式 x> 2是不等式 x< 2的“云不等式’
解答“已知 x- y= 2，且 x> 1，y< 0，试确定 x+ y 故答案为:是;
的取值范围“有如下解法， (2) ∵ x+ 2m≥ 0.
解：∵ x- y= 2，又∵ x> 1，∴ y+ 2> 1，即 y>-1． ∴ x≥-2m
又 y< 0，∴-1< y< 0． ① ∵ 2x- 3< x+ 1
同理，得：1< x< 2． ② ∴ 2x- x< 1+ 3.
由①+②，得-1+ 1< y+ x< 0+ 2，∴ x+ y的取 ∴ x< 4
值范围是 0< x+ y< 2． ∵关于 x的不等式 x+ 2m> 0不是 2x- 3< x+ 1的
请按照上述方法，完成下列问题： “云不等式”.
2x+ y= 1
已知关于 x、y的方程组 - = - 的解都为 ∴-2m> 3x y 5 3a
∴m<- 3
非负数． 2
(1)求 a的取值范围． (3) ∵ x+ 3> a.∴ x> a- 3
(2)已知 2a- b=-1，求 a+ b的取值范围． ∵ ax- 1≤ a- x.∴ ax+ x≤ a+ 1.
(3) a- b=m 1 0时，即 a>-1时，这时 (a+ 1)x≤ a+ 1∴
的取值范围 (用含m的代数式表示)．
x≤ 1
·4·
由题意得:a- 3< 1∴ a< 4∴-1< a< 4 【答案】 1 6; 2 2< x≤ 6.
当 a+ 1< 0时，即 a<-1时，这时 (a+ 1)x≤ a+ 1
33.定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组
∴ x≥ 1∵ a- 3< 1∴ a<-1时，始终符合题意
的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方
综上所述 a的取值范围为 a<-1或-1< a< 4.
程”．例如：方程 2x- 6＝ 0的解为 x＝ 3，不等式组
【答案】(1)是;(2)m<-3;(3)a<-1或-1< a< 4.
x- 2> 0 的解集为 2＜ x＜ 5．因为 2＜ 3＜ 5．所
31.规定 min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为 x< 5
实数 ，且 m ≠ n），例如 ：min { 3 ，- 1 } ＝ - 1 ， x- 2> 0以称方程 2x- 6＝ 0为不等式组 的相伴
min 2, 3 = 2, x< 5据此解决下列问题：
1 min - 1
方程．
（ ） 2 ,-
1
3 = ； （ 1）若关于 x 的方程 2 x - k ＝ 2 是不等式组
2 min 2x- 1（ ）若 ,2 3 = 2，求 x的取值范围； 3x- 6> 4- x x- ≥ - 的相伴方程 ，则 k 的取值范围为1 4x 10
（3）若min{2x- 5，x+ 3}＝-2，求 x的值．
；
【解析】(1) ∵- 1 12 <- 3 2x- 1（2）若方程 2x+ 4＝ 0， 3 =-1都是关于 x的
∴min -
1 ,- 1 12 3 =- 2 m- 2 x(2) 2x- 1由题意 3 > 2,解得:x> 3.5; -x>-2x+ 1（3）若关于 x的不等式组 的所有相(3)若 2x- 5=-2，解得:x= 1.5，此时 x+ 3= 4.5> 2x≤n+ 2
-2，满足题意; 伴方程的解中，有且只有 2个整数解，则 n的取值范围为
若 x + 3 = -2，解得:x = -5，此时 2x - 5 = -15< ．
-2 3x- 6> 4- x，不符合题意，综上，x= 1.5. 【解析】(1) 5不等式组为 - ≥ - ，解得 < xx 1 4x 10 2
【答案】x= 1.5.
≤ 3,
32.阅读下列材料解答问题： ∵方程为 2x- k= 2,解得 x= 2+ k
新定义：对非负数 x“四舍五入”到个位的值记为＜ 2
∴ 5 < 2+ k1 1 根据题意可得， ≤ 3, ∴解得:3< k≤ 4，x＞，即：当 n为非负整数时，如果 n- ≤ x＜ n+ ， 2 22 2
故 k取值范围为:3< k≤ 4.
则＜ x＞＝ n；反之，当 n为非负整数时，如果＜ x＞＝
2x- 1
n n - 1 ≤ x 1 (2)方程为 2x+ 4= 0, =-1，则 2 ＜ n + 2 ．例如：＜ 0.1 ＞＝＜ 0.49 3
解得:x=-2，x=-1;
＞＝ 0，＜ 1.51 ＞＝＜ 2.48 ＞＝ 2，＜ 3 ＞＝ 3，＜ 4.5
(m- 2)x＞＝＜ 5.25＞＝ 5，… 不等式组为 x+ 5≥m
试解决下列问题：
x> 1
（1）①＜ π+ 2.4＞＝ （π为圆周率）； 当m< 2时，不等式组为 ，x>m- 5
②如果＜ x - 1 ＞＝ 2 ，则数 x 的取值范围为 此时不等式组解集为 x> 1，不符合题意，舍;
； ∴当m> 2时不等式组解集为m- 5≤ x< 1,
（2）求出满足＜ x>= 54 x-1的 x的取值范围． ∴ m> 2根据题意可得， - ≤- ，解得 2【解析】(1)由题意可得:< π+ 2.4>= 6;故答案为:6；
②∵< x- 1>= 2,∴ 1.5≤ x- 1< 2.5,∴ 2.5≤ x< 故m取值范围为:2-x>-2x+ 1
3.5;故答案为:2.5≤ x< 3.5; (3)不等式组为 2x< + ，n 2
(2) ∵ x≥ 0, 5 x- 1 54 为整数，设 4 x= k,k为整数， 解得 1< x≤ n+ 22
∴ 54 k = k- 1, n+ 2根据题意可得，3≤ < 4，解得 4≤n< 6,
∴ k- 1- 1 ≤ 5
2
2 4 x< k- 1+
1
2 ,k≥ 0, 故n取值范围为 4≤n< 6
∴ 5 < k≤ 15 ,∴ 5 < 5 x≤ 15 【答案】（1）3< k≤ 4. 2 2∴ 2< x≤ 6. 34.某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价
比乙种书包每个售价 2倍少 30元，网购 2个甲种书包
·5·
和 3个乙种书包共花费 255元（免运费）． 4解得，m= 3 (舍).
请解答下列问题：
综上所述，甲书包赠送 1个，乙书包赠送 3个
（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？
【答案】（1）该网店甲种书包每个售价 60元，乙种书包
（列方程组解答此问）
每个售价 45元;
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过 8900元
2 该网店有 3种进货方案:
购进甲、乙两种书包共 200个，且甲种书包的数量超过 87
方案一、购进甲种书包 88个，乙种书包 112个;
个，已知甲种书包每个进价为 50元，乙种书包每个进价
方案二、购进甲种书包 89个，乙种书包 111个;
为 40元，该网店有哪几种进货方案；
方案三、购进甲种书包 90个，乙种书包 110个;
（3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购
3 甲书包赠送 1个，乙书包赠送 3个
买同一种书包超过 10个，赠送 1个相同的书包，该网店这
次所购进书包全部售出，共赠送了 4 个书包，获利 1250
元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个．
【解析】(1)设甲种书包每个售价 x元，乙种书包每个
售价 y元.
x= 2y- 30 x= 60
根据题意得 2x+ 3y= 解得255 y= 45
答:该网店甲种书包每个售价 60元，乙种书包每个售
价 45元;
(2)设购进甲种书包m个，则购进乙种书包 (200 -
m)个，根据题意可得 50m+ 40(200-m) < 8900解
得m< 90.
∵m> 87，∴ 87.m为整数，∴m= 88、89、90，
200-m= 112，111，110.
该网店有 3种进货方案:
方案一、购进甲种书包 88个，乙种书包 112个;
方案二、购进甲种书包 89个，乙种书包 111个;
方案三、购进甲种书包 90个，乙种书包 110个;
(3)分三种情况:
①购进甲种书包 88个，乙种书包 112个时:
设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了 (4-
m)个，根据题意得，
(88-m) (60- 50) -m × 50+ (112- 4+m) (45-
40) - (4-m) × 40= 1250
m= 2解得， 3 (舍)
②购进甲种书包 89个，乙种书包 111个时:
设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了 (4-
m)个，根据题意得，
(89-m) (60- 50) -m× 50+ (111- 4+m) × (45-
40) - (4-m) × 40= 1250
解得，m= 1，4-m= 3
故甲书包赠送 1个，乙书包赠送 3个
③购进甲种书包 90个，乙种书包 110个时;
设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了 (4-
m)个，根据题意得，
(90-m) (60- 50) -m× 50+ (110- 4+m) × (45-
40) - (4-m) × 40= 1250
·6·
