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专题5.1 一元一次方程
模块一：知识清单
1.方程和一元一次方程的概念
1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
2.方程的解与解方程
1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值
2）解方程：求方程的解的过程
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·河南七年级期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式；判断即可．
【详解】解：A、，属于方程，符合题意；B、，不是等式，不属于方程，不符合题意；
C、，不是等式，不属于方程，不符合题意；D、，没有未知数，不属于方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的定义，解题的关键是熟练运用方程的定义，本题属于基础题型．
2．（2022·仁寿县七年级期中）下列方程中，一元一次方程共有( )个
①4x-3=5x-2；②3x-4y=5；③3x+1=； ④+=0；⑤；⑥x-1=12
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义得出即可．
【详解】解：①4x 3＝5x 2，是一元一次方程，符合题意；
②3x-4y=5，含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
③3x＋1＝，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；
④+=0，是一元一次方程，符合题意；
⑤，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；
⑥x 1＝12，是一元一次方程，符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
3．（2022 大英县期末）下列方程中，解是x＝4的是（ ）
A．3x+1＝11 B．﹣2x﹣4＝0 C．3x﹣8＝4 D．4x＝1
【思路点拨】把x＝4代入各方程检验即可．
【答案】解：解是x＝4的方程是3x﹣8＝4，
故选：C．
【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．0或2
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的概念列出方程及不等式求解．
【详解】∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，且，
解得：，故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键．
5．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴即．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义．
6．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2 B．8 C．－3 D．－8
【答案】B
【分析】将x=3代入ax-b=5中得3a-b=5，将该整体代入6a-2b-2中即可得出答案．
【详解】解：将x=3代入ax-b=5中得：3a-b=5，
所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握整体法是解题的关键．
7．（2022·河南开封·七年级期中）若关于x的一元一次方程的解是x＝﹣1，则k的值是（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】方程的解，就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．已知x＝﹣1是方程的解实际就是得到了一个关于k的方程，解方程就可以求出k的值．
【详解】解：把x＝﹣1代入方程得：1，
解得：k＝1，故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义，是一个基础的题目，注意细心运算即可．
8．（2022 瑶海区期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．
【答案】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键．
二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2022·辽宁台安·初一月考）已知式子：①3-4=-1；②；③；④；⑤。其中是方程的有_______。
【答案】③④⑤
【分析】根据方程的定义进行判断即可.
【解析】∵含有未知数的等式叫做方程，∴方程有：③④⑤.
【点睛】本题考查方程的辨别，明确方程的定义是解题的关键.
10．（2022·河南三门峡·初一期末）在方程①，②，③，④，⑤，⑥中，是一元一次方程的有______________________ .(填序号)
【答案】②④⑥
【分析】根据一元一次方程的定义依次判断即可.
【解析】①，分母含有未知数，故不是一元一次方程；②，符合一元一次方程的定义，故是一元一次方程；③，未知数最高次数为2，故不是一元一次方程；④，符合一元一次方程的定义，故是一元一次方程；⑤，含有两个未知数，故不是一元一次方程；⑥符合一元一次方程的定义，故是一元一次方程；则是一元一次方程的有②④⑥.
【点睛】本题主要对一元一次方程的考查，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键．
11．（2022·四川·安岳县七年级期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是______．
【答案】1
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可．
【详解】解：根据题意得：且m＋1≠0，解得：m＝1．故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
12．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
【答案】﹣3
【分析】把x＝2代入方程，得，可得，再根据题意可得4＋b＝0，2a﹣2＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【详解】解：把x＝2代入方程，得：
，
，
4k＋2a＝6﹣4﹣bk，
4k＋bk＋2a﹣2＝0，
，
∵无论k为何值，它的解总是1，∴4＋b＝0，2a﹣2＝0，
解得：b＝﹣4，a＝1则a＋b＝﹣3．故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
13．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
【答案】2（答案不唯一）
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定义得出，即可得出答案．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
，解得，的值可以是．故答案为：答案不唯一．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程定义是解题关键．
14．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知关于的方程的解为，则________．
【答案】5
【分析】把x=2代入原方程得到关于a的方程，解得即可．
【详解】把x=2代入方程得：
2（a-1）+3=3a-4，
解得a=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
15．（2022·仪征市实验初中七年级月考）若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b＋a，则称该方程为“和解方程”，例如：方程2x＝ 4的解为x＝ 2，而 2＝ 4＋2，则方程2x＝ 4为“和解方程”．若关于x的一元一次方程2x＝b－1是“和解方程”，则b的值为________________；
【答案】﹣3
【分析】先解方程得到，再根据新定义得到，然后解关于b的方程即可．
【详解】解：解方程2x＝b－1，得，
∵关于x的一元一次方程2x＝b－1是“和解方程”，
∴，即解得，故答案为：﹣3
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．解题关键是：根据“和解方程”的定义列出关于b的一元一次方程．
16．（2022·重庆市第七中学校八年级开学考试）已知关于x的方程的解是，则m的值为________．
【答案】
【分析】将代入原方程即可得到答案．
【详解】解：将代入，得：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
17．（2022 洪山区期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
【思路点拨】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．
【答案】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，
故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
三、解答题（本大题共9小题，共49分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（2022·重庆潼南区·七年级期中）已知是方程的解，m、n满足关系式，求的值．
【答案】或
【分析】先把代入方程求出m的值，再把求得的m值代入关系式解绝对值方程得n的值，就可以算出结果．
【详解】解：∵是方程的解，
把代入方程，得，解得，
再把代入，得，解得或，
∴或．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程解的定义．
19．（2022·四川自贡·七年级开学考试）已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程
（1）求m的值（2）若|y﹣m|＝3，求y的值
【答案】（1） m＝﹣3；（2）y＝0或y＝﹣6
【分析】（1）利用一元一次方程的定义确定出m的值即可；
（2）把m的值代入已知等式计算即可求出y的值．
【详解】解：（1）∵（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3；
（2）把m＝﹣3代入已知等式得：|y+3|＝3，
∴y+3＝3或y+3＝﹣3，解得：y＝0或y＝﹣6．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
20．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知关于x的方程（|k|－3）x2－（k－3）x＋－1＝0是一元一次方程．(1)求k的值；(2)求解这个一元一次方程．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出且再求出k即可；
（2）把代入方程，再根据等式的性质求出方程的解即可．
（1）解：∵关于x的方程 是一元一次方程，∴ 且 ，解得： ，故答案为：．
（2）解：把代入方程得： ，解得： ，∴方程的解为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和解一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
21．（2022·浙江·七年级课时练习）已知是关于x的一元一次方程，求k的值．
【答案】k的值为2．
【分析】根据一元一次方程的定义，得到二次项系数为0，一次项系数不为0，得到关于k的方程和一元一次不等式，解之即可．
【详解】解：根据题意得：
k2-4=0，
解得：k=2或k=-2，
k+2≠0，
解得：k≠-2，
综上可知：k=2，
即k的值为2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
22．（2022·江苏·七年级专题练习）已知是关于的一元一次方程．
（1）求的值，并写出这个方程；（2）判断是不是方程的解．
【答案】（1），；（2）、不是方程的解，是方程的解
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到关于的方程、不等式，解之即可得解；
（2）在（1）的基础上，根据方程的解的概念进行判断即可得解．
【详解】解：（）∵方程是关于的一元一次方程
∴
∴，即这个方程是：．
（2）①当时，方程的左边，方程的右边
∵方程的左边方程的右边
∴不是方程的解；
②当时，方程的左边，方程的右边
∵方程的左边方程的右边
∴是方程的解；
③当时，方程的左边，方程的右边
∵方程的左边方程的右边
∴不是方程的解．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义、方程的解的定义、解含绝对值的方程等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23．（2022·河北临西七年级阶段练习）已知是方程的解．
（1）求m的值．（2）是否是方程的解？请判断并说明理由．
【答案】（1）m=-1；（2）是方程的解，理由见详解
【分析】（1）把代入方程求解即可；
（2）由（1）把m的值代入方程，然后验证是不是方程的解即可．
【详解】解：（1）把代入方程得：，
∴；
（2）把代入方程得：，
把代入方程得：左边==右边，
∴是方程的解．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．
24．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）已知
(1)求A－2B．(2)若是关于的方程的解，求m的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）把A与B代入A 2B中，去括号合并即可得到结果；
（2）由（1）得，结合题意可得（m 1）x 8m＝0，把x＝3代入得到关于m的方程，解方程即可．
（1）解：∵，
∴A 2B；
（2）由（1）知，A 2B＝mx 3m，
∴mx 3m＝x+5m，∴（m 1）x 8m＝0．
把x＝3代入，得．解得．
【点睛】此题考查了整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（2022·四川达州·七年级期末）已知m，n，t是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且多项式（m+1）x2+mx﹣tx+n+2是关于x的一次多项式．(1)分别求m，n的值，及t的取值范围；
(2)若关于x的一元一次方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0的解是x＝3，求t的值；
(3)若（2）中关于x的一元一次方程的解是整数，求整数t的值．
【答案】(1)m=-1，n=2，t≠-1
(2)t=
(3)3，0，-5，-2，1，-3
【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得结论；
（2）将x=3代入可得t的值；
（3）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论．
(1)解：由题意得：n=2，m+1=0，
∴m=-1；
∵多项式（m+1）x2+mx﹣tx+n+2是关于x的一次多项式，
∴m-t≠0，
∴t≠-1；
(2)（m+1）x2+mx-tx+n+2=0，
当x=3时，3m-3t+n+2=0，
∵n=2，m=-1，
∴-3-3t+2+2=0，
解得：t=；
(3)（m+1）x2+mx-tx+n+2=0，
∵n=2，m=-1，
∴-x-xt+4=0，
解得：x=，t=，
∴t≠-1，x≠0
∵t是整数，x是整数，
∴当x=1时，t=3，
当x=4时，t=0，
当x=-1时，t=-5，
当x=-4时，t=-2，
当x=2时，t=1，
当x=-2时，t=-3．
【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件．
26．（2022·全国·九年级专题练习）已知是有理数，单项式的次数是3，方程是关于的一元一次方程，其中．(1)求的值；(2)若该方程的解是，求的值；(3)若该方程的解是正整数，请直接写出整数的值．
【答案】（1）n=2，m=-1；（2）；（3）3，0，-5，-2，1，-3
【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得n=2，m=-1;
（2）根据第一问中的m和n，将x=3代入可得t的值；
（3）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论，
【详解】解：（1）由题意得：n+1=3，m+1=0，
解得：n=2，m=-1；
（2）由（1）得：，；
，
当时，则，
；
（3），
，，
，
，
，
，
是整数，是整数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，．
【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件．
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专题5.1 一元一次方程
模块一：知识清单
1.方程和一元一次方程的概念
1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
2.方程的解与解方程
1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值
2）解方程：求方程的解的过程
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·河南七年级期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·仁寿县七年级期中）下列方程中，一元一次方程共有( )个
①4x-3=5x-2；②3x-4y=5；③3x+1=； ④+=0；⑤；⑥x-1=12
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022 大英县期末）下列方程中，解是x＝4的是（ ）
A．3x+1＝11 B．﹣2x﹣4＝0 C．3x﹣8＝4 D．4x＝1
4．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．0或2
5．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2 B．8 C．－3 D．－8
7．（2022·河南开封·七年级期中）若关于x的一元一次方程的解是x＝﹣1，则k的值是（ ）
A． B．1 C． D．0
8．（2022 瑶海区期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2022·辽宁台安·初一月考）已知式子：①3-4=-1；②；③；④；⑤。其中是方程的有_______。
10．（2022·河南三门峡·初一期末）在方程①，②，③，④，⑤，⑥中，是一元一次方程的有______________________ .(填序号)
11．（2022·四川·安岳县七年级期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是______．
12．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
13．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
14．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知关于的方程的解为，则________．
15．（2022·仪征市实验初中七年级月考）若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b＋a，则称该方程为“和解方程”，例如：方程2x＝ 4的解为x＝ 2，而 2＝ 4＋2，则方程2x＝ 4为“和解方程”．若关于x的一元一次方程2x＝b－1是“和解方程”，则b的值为________________；
16．（2022·重庆市第七中学校八年级开学考试）已知关于x的方程的解是，则m的值为________．
17．（2022 洪山区期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共49分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（2022·重庆潼南区·七年级期中）已知是方程的解，m、n满足关系式，求的值．
19．（2022·四川自贡·七年级开学考试）已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程
（1）求m的值（2）若|y﹣m|＝3，求y的值
20．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知关于x的方程（|k|－3）x2－（k－3）x＋－1＝0是一元一次方程．(1)求k的值；(2)求解这个一元一次方程．
21．（2022·浙江·七年级课时练习）已知是关于x的一元一次方程，求k的值．
22．（2022·江苏·七年级专题练习）已知是关于的一元一次方程．
（1）求的值，并写出这个方程；（2）判断是不是方程的解．
23．（2022·河北临西七年级阶段练习）已知是方程的解．
（1）求m的值．（2）是否是方程的解？请判断并说明理由．
24．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）已知
(1)求A－2B．(2)若是关于的方程的解，求m的值．
25．（2022·四川达州·七年级期末）已知m，n，t是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且多项式（m+1）x2+mx﹣tx+n+2是关于x的一次多项式．(1)分别求m，n的值，及t的取值范围；
(2)若关于x的一元一次方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0的解是x＝3，求t的值；
(3)若（2）中关于x的一元一次方程的解是整数，求整数t的值．
26．（2022·全国·九年级专题练习）已知是有理数，单项式的次数是3，方程是关于的一元一次方程，其中．(1)求的值；(2)若该方程的解是，求的值；(3)若该方程的解是正整数，请直接写出整数的值．
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