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专题5.3 一元一次方程的解法
模块一：知识清单
1.合并同类项解一元一次方程
（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程。 方法：1）合并同类项；2）系数化为1
2.移项解一元一次方程
（1）移项：①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。同时，我们还发现，在这个化简的过程中，实际就是把一项移到了另一边，并变号的过程。
②移项：把等式一边的项变号后移动到另一边的过程。（注：整体移动，整体变号）
（2）解一元一次方程的步骤：①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。
3.去括号
去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
方法：与整式的运算中去括号的过程一样（注：整体去括号）
顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）
去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
4.去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）
模块二：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 福清市期中）在解方程x﹣2＝4x+5时，下列移项正确的是（ ）
A．x+4x＝5﹣2 B．x+4x＝2+5 C．x﹣4x＝5+2 D．x﹣4x＝﹣2﹣5
【思路点拨】由移项法则即可得到答案．
【答案】解：解方程x﹣2＝4x+5，移项得：x﹣4x＝5+2，故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握移项要变号．
2．（2022 侯马市期末）把方程去分母，下列变形正确的是（ ）
A．2x﹣x+1＝1 B．2x﹣（x+1）＝1 C．2x﹣x+1＝6 D．2x﹣（x+1）＝6
【思路点拨】先方程两边都乘以6，再根据去括号法则去掉括号，最后逐个判断即可．
【答案】解：，
去分母，得2x﹣（x+1）＝6，
去括号，得2x﹣x﹣1＝6，故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，去括号法则，解一元一次方程等知识点，能灵活运用等式的性质和去括号法则进行变形是解此题的关键．
3．（2022·浙江·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
4．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
根据题意得：2m-1=6m，
解得：m=-．故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（2022·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．
【详解】解：∵关于的方程有解，∴，∴；故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
6．（2022·长沙市七年级月考）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
【答案】A
【详解】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6）， 去括号得：2ax=2x+6，移项，合并得，x=，因为无解，所以a﹣1=0，即a=1．故选A．
点睛：此类方程要用字母表示未知数后，清楚什么时候是无解，然后再求字母的取值．
7．（2022·重庆·七年级阶段练习）下列结论：
①若关于x的方程的解是，则；
②若，则关于x的方程的解为；
③若，且，则一定是方程的解．其中正确的结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据方程解的定义即可得出答案．
【详解】解：把x=1代入方程得：a+b=0，∴①符合题意；
∵ax+b=0，∴ax=b，∵a≠0，∴x=，∵b=2a，∴x=2，∴②不符合题意；
∵把x=1代入方程ax+b=1一定有a+b=1成立，∴③符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，理解一元一次方程的解的定义是解决问题的关键．
8．（2022·福建）小明在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，则此方程正确的解为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值，把a的值代入方程，求出解即可．
【详解】解：把x=1代入得：2+1=3a+2，解得：a=；
把a=代入原方程得：，
去分母得：6-（x-4）=3-6x，
去括号得：6-x+4=3-6x，
移项得：-x+6x=3-6-4，
合并同类项得：5x=-7，
解得：，故选A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
9．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
【答案】D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可．
【详解】根据题意得=-4m-2×7，
∵=6，
∴-4m-2×7=6，
解得m=-5．故选：D
【点睛】本题主要考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的列方程．
10．（2022·浙江七年级期末）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的那个最小的正数求出．
【详解】解：∵最后输出的数为656，∴5x+1=656，得：x=131＞0，
∴5x+1=131，得：x=26＞0，∴5x+1=26，得：x=5＞0，
∴5x+1=5，得：x=0.8＞0；∴5x+1=0.8，得：x=-0.04＜0，不符合题意，
故x的值可取131，26，5，0.8共4个．故选：B．
【点睛】本题立意新颖，借助新运算，实际考查一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
【答案】15
【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出k即可；
【详解】解：，
，
，
，
，
解方程：，
，
，
，
根据题意列出方程，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，解题关键正确应用运算法则．
12．（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： x - 3 = 2（x + 1）- ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是 x = -5 ，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是____．
【答案】
【分析】设这个常数为a，将x=－5代入方程中求解关于a的方程即可．
【详解】解：设这个常数为a，将x=－5代入方程中得：×(－5)－3=2（－5+1）－a，
解得：a=，故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键．
13．（2022·浙江·七年级期末）已知关于x的方程只有一个解，那么的值为_______．
【答案】40
【分析】根据一元一次方程的解的情况，可得a+2=0，从而可得a和x的值，代入计算即可．
【详解】解：∵方程只有一个解，
∴a+2=0，∴a=-2，∴x=-1，
∴==，故答案为：40．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解，掌握绝对值的性质、一元一次方程的解的定义是解题的关键．
14．（2022·湖南）我们称使成立的一对数m，n为“好朋友数对”，记为（m，n）．如：当m=n=0时，等式成立，记为（0，0）．若（3，a）是“好朋友数对”，则a的值为_____．
【答案】
【分析】根据“好朋友数对”的定义即可求出a的值．
【详解】由题意可知：，解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是正确理解“好朋友数对”的定义，本题属于基础题型．
15．（2022·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________
【答案】
【解析】去括号，得：2ax-2a=（3-a）x+3b，移项、合并同类项得：（3a-3）x=2a+3b，
根据方程有无数多解，可得： ，解得：a=1，b=-，因此ab=-．故答案为：-.
16．（2022·江阴市周庄中学七年级月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为_________________.
【答案】-2或-3
【分析】先解含a的方程，用a表示x，根据方程的解是正整数，求出a的值.
【详解】解：（a＋1）x＋2＝0 x= ，
∵方程的解是正整数，∴-(a+1)=1或-(a+1)=2，∴a=-2或a=-3故答案为：-2或-3
【点睛】本题考查的是利用方程解的条件确定字母系数的取值问题，根据解的特征得到含a的方程是解答此题的关键.
17．（2022·湖南七年级期末）规定：用{}表示大于的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整数，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整数满足关系式2[]{}=29，那么=______．
【答案】
【分析】根据题意可将化为，解出即可．
【详解】解：由题意，得，，
∴可化为
合并同类项，得
解得： 故答案为：-8．
【点睛】本题结合新定义考查解一元一次方程的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义．
18．（2022·河南信阳·七年级期末）已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是________．
【答案】
【分析】参照已知方程的形式，将方程变形为，由此即可得．
【详解】解：，
，
，
由题意可知，方程的解是（由得出），
即方程的解是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂解题干中特定形式的方程的方法是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江七年级期末）解方程：
（1） （2）
【答案】（1）x=；（2）x=
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可．
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可．
【详解】解：（1），
去分母得45-5（2x-1）=3（4-3x）-15x，
去括号得45-10x+5=12-9x-15x，
移项得-10x+9x+15x=12-45-5，
合并得14x=-38，
系数化为1得x=；
（2），
方程组化简为：，
去分母得3（2x-4）-15x=5（5x-20），
去括号得6x-12-15x=25x-100，
移项得6x-15x-25x=-100+12，
合并同类项得-34x=-88，
系数化为1得x=．
【点睛】本题考查了解一元一次方程：掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）；针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
20．（2022·浙江杭州·七年级期末）解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（4）方程化简后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：（1），
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2），
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（3），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（4）方程变形为，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
21．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
【答案】x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
【详解】解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原．
22．（2022·浙江金华·七年级期末）已知关于x的方程是一元一次方程．(1)求k的值．(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值．
(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义可知，，求解即可；
（2）求出已知方程与方程的解，令其相加为0，求解即可；
（3）求出知方程与的解，令其相等，求解即可．
(1)解：∵是一元一次方程，
∴，，解之得：；
(2)解：将代入，得，解之得：，
解方程，得，
∵它们的解互为相反数，∴，解之得：；
(3)解：由（2）知已知方程的解为，
解方程，得，
∵它们的解相同，∴，解之得：．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解．解题的关键是根据一元一次方程的定义求出k的值，再解方程，比较方程的解．
23．（2022·河南）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①；②；③；④…
（1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由；
（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？
【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析，
【分析】（1）观察方程，可得出规律；（2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可；（3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程
【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可））
（2）正确．验证如下：把代入到方程中，左边，
右边，所以是方程的解，小明的推测正确．
第四个方程为．
（3）（为正整数，且）．
【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键．
24．（2022·福建福州·七年级期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数．(1)当时，则______；(2)当时，且m是整数，求正整数的值；(3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)(2)或2(3)
【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可；
（2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可；
（3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可．
(1)解：∵关于x的一元一次方程：的解是，
∴将代入一元一次方程：得：
，解得：．故答案为：．
(2)解：当时，代入方程得，整理得：，
把代入得， ，
∵m是整数，k为正整数，∴、3，∴或2 ．
(3)解：整理方程得：，
∵无解，∴，即，
把代入得，整理方程得，
把代入得，解得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键．
25．（2022·河南·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【答案】(1)(2)m＝﹣3，n＝﹣(3)-9
【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，
解得：k＝；
（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）解：解方程3x＝mn+n得：
x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴＝3+mn+n，
∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（）
＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
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专题5.3 一元一次方程的解法
模块一：知识清单
1.合并同类项解一元一次方程
（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程。 方法：1）合并同类项；2）系数化为1
2.移项解一元一次方程
（1）移项：①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。同时，我们还发现，在这个化简的过程中，实际就是把一项移到了另一边，并变号的过程。
②移项：把等式一边的项变号后移动到另一边的过程。（注：整体移动，整体变号）
（2）解一元一次方程的步骤：①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。
3.去括号
去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
方法：与整式的运算中去括号的过程一样（注：整体去括号）
顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）
去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
4.去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）
模块二：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 福清市期中）在解方程x﹣2＝4x+5时，下列移项正确的是（ ）
A．x+4x＝5﹣2 B．x+4x＝2+5 C．x﹣4x＝5+2 D．x﹣4x＝﹣2﹣5
2．（2022 侯马市期末）把方程去分母，下列变形正确的是（ ）
A．2x﹣x+1＝1 B．2x﹣（x+1）＝1 C．2x﹣x+1＝6 D．2x﹣（x+1）＝6
3．（2022·浙江·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·长沙市七年级月考）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
7．（2022·重庆·七年级阶段练习）下列结论：
①若关于x的方程的解是，则；
②若，则关于x的方程的解为；
③若，且，则一定是方程的解．其中正确的结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2022·福建）小明在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，则此方程正确的解为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
10．（2022·浙江七年级期末）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
12．（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： x - 3 = 2（x + 1）- ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是 x = -5 ，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是____．
13．（2022·浙江·七年级期末）已知关于x的方程只有一个解，那么的值为_______．
14．（2022·湖南）我们称使成立的一对数m，n为“好朋友数对”，记为（m，n）．如：当m=n=0时，等式成立，记为（0，0）．若（3，a）是“好朋友数对”，则a的值为_____．
15．（2022·福建·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________
16．（2022·江阴市七年级月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为__________.
17．（2022·湖南七年级期末）规定：用{}表示大于的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整数，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整数满足关系式2[]{}=29，那么=______．
18．（2022·河南信阳·七年级期末）已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江七年级期末）解方程：
（1） （2）
20．（2022·浙江杭州·七年级期末）解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
21．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
22．（2022·浙江金华·七年级期末）已知关于x的方程是一元一次方程．(1)求k的值．(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值．
(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值．
23．（2022·河南）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①；②；③；④…
（1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由；（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？
24．（2022·福建·七年级期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数．(1)当时，则______；(2)当时，且m是整数，求正整数的值；(3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由．
25．（2022·河南·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
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