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专题4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
模块一：知识清单
1．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
2．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
3.两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
（都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导）
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁鞍山·七年级期中）点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】位于x轴下方，y轴左侧，那么所求点在第三象限；距离x轴4个单位长度，可得点P的纵坐标；距离y轴2个单位长度，可得点P的横坐标．
【详解】解：∵点P位于x轴下方，y轴左侧，∴点P在第三象限；
∵距离y轴2个单位长度，∴点P的横坐标为﹣2；
∵距离x轴4个单位长度，∴点P的纵坐标为﹣4；
∴点P的坐标为（﹣2，﹣4），故选：B．
【点睛】考查了点的坐标，本题用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；易错点为判断出所求点所在的象限．
2．（2022·陕西西安·八年级期末）四盏灯笼的位置如图，已知，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A．将向左平移个单位 B．将向左平移个单位
C．将向左平移个单位 D．将向左平移个单位
【答案】C
【分析】注意到，关于轴对称，只需要，对称即可，可以将点向左移动到，移动个单位，或可以将向左移动到，移动个单位．
【详解】解：，，，这四个点的纵坐标都是，
这四个点在一条直线上，这条直线平行于轴，
，，，关于轴对称，只需要，对称即可，
，，可以将点向左移动到，移动5.个单位，
或可以将向左移动到，移动个单位，故选：C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，关于轴对称的点的坐标，注意关于轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
3．（2022·浙江·八年级期末）点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为（5，3），将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（8，0） C．（8，5） D．（8，1）
【答案】D
【分析】将问题看作求在原来的坐标系中，将点先沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度后的点的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：由题意，将所求问题转为求在原来的坐标系中，将点先沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度后的点的坐标，
则平移后的点的坐标为，即为，
所以在新坐标系中，点的坐标为，选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
4．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形可得平移方法，再根据平移方法可得P的坐标．
【详解】解：根据图可得△ABC向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，
因此点的坐标为（a，b）变为点P的坐标为，故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
5．（2022·广西·柳州市柳江区穿山中学七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18 B．20 C．28 D．36
【答案】A
【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积求解即可．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），
∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到的位置，
∴m=1，n=1，∴与坐标分别是（1，4）和（3，1），
∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积=2××6×3=18，
故选：A．
【点睛】本题主要考查坐标系中线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
6．（2022·河北保定·七年级期末）已知点在第一象限内，连接PQ，将线段PQ平移，使平移后的点P，Q分别在x，y轴上，则点Q平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平移后点的坐标的位置可知平移规律：即横坐标减去m，纵坐标减去n，进而求出点Q平移后的对应点的坐标，解答即可．
【详解】设平移后点，的对应点分别是，．
∵点在x轴上，点在y轴上，
∴点的纵坐标为0，点的横坐标为0，
∴平移前后点的坐标变化规律是：横坐标减去m，纵坐标减去n，
∴点Q平移后的对应点的坐标是，即（0，-2）．故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的平移及平移的特征，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．
7．（2021·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1）
【答案】A
【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，即，故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
8．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）如图，将的三个顶点坐标的横坐标都乘以－1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）
A．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 B．关于轴对称
C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D．关于轴对称
【答案】D
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），分别关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．
【详解】解：根据对称的性质，得三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，就是横坐标变成相反数．即所得到的点与原来的点关于y轴对称．
∴所得图形与原图形的关系是关于y轴对称．故选D．
【点睛】题目主要考查点的对称的性质，理解轴对称的性质是解题关键．
9．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【答案】B
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可．
【详解】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b= 2，
∴a+2b=3+2×( 2)=-1．故选B．
【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
10．（2022·山东·济南外国语学校八年级期末）已知有序数对及常数k，我们称有序数对为有序数对的“k阶结伴数对”．如的“1阶结伴数”对为即．若有序数对与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．－2 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据“k阶结伴数对”的定义求出有序数对的“k阶结伴数对”为，再利用和关于y轴对称，求出，进一步可求出．
【详解】解：由题意可知：有序数对的“k阶结伴数对”为，
∵和关于y轴对称，∴，解得：．故选：B
【点睛】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，解题的关键是理解新定义，求出有序数对的“k阶结伴数对”为，掌握坐标轴对称的特点，得到．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·甘肃·八年级期末）点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求关于轴对称的点的坐标，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
12．（2022·湖北孝感·七年级期末）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标是_____．
【答案】（1，-5）
【分析】根据点的平移规律进行求解即可得出答案．
【详解】解：由点的平移规律得，
点先向右平移3个单位长度，横坐标加3，再向下平移2个单位长度，纵坐标减2，
所以，平移后点的坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了点的平移规律，解题关键是熟练掌握：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
13．（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标是_____．
【答案】（1，-2）
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【详解】解：点A（-1，2）向右平移2个单位长度得到的B的坐标为（-1+2，2），即（1，2），
则点B关于x轴的对称点的坐标是（1，-2），故答案为：（1，-2）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
14．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为___________
【答案】（4，2）
【分析】根据A、B两点的坐标可得坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2，再把C点的坐标横坐标加3，纵坐标加2，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC平移，使点B落在点A处，点A（1，2），B（﹣2，0），
∴坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2，
∵C（1，0），∴点C的对应点的坐标为是（1+3，0+2），即（4，2）．故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查了坐标系中的点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移过程中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
15．（2022·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______．
【答案】
【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值．
【详解】解：设顶点A的坐标为：．由题意可知：
∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，∴，
∵，∴，，解得：，，∴，故答案为：
【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”．
16．（2022·宁夏·吴忠市第二中学八年级期末）点M(a，5)与点N(-3，b)关于y轴对称，则2a - b =______．
【答案】
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出a，b的值，再利用有理数的运算法则求出答案．
【详解】解：∵点M（a，5），点N（ 3，b）关于y轴对称，
∴a＝3，b＝5，∴2a b＝2×3 5＝1．故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
17．（2022·湖南邵阳·八年级期末）已知点和点关于x轴对称，则______．
【答案】1
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而得出a，b的值即可．
【详解】解：∵点A（a，3）与点B（4，b）关于x轴对称，
∴a=4，b=-3，则a+b=4-3=1．故答案为：1．
【点睛】此题主要考查关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．
18．（2022·江苏·八年级专题练习）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______．
【答案】5+##
【分析】作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，然后判断当，C，D，在同一直线上时，四边形ABCD的周长最小，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解∶作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，连接交y轴于点D，交x轴于点C，
则，，，，
∴ ，
AD+CD+BC=，
当，C，D，在同一直线上时，最小，即AD+CD+BC最小，
此时四边形ABCD的周长也最小，最小值为．故答案是：．
【点睛】本题考查了轴对称和两点之间线段最短，解题的关键是判断出A关于y轴的对称点， B关于x轴的对称点，C，D在同一直线上，四边形ABCD的周长最小．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
【答案】(1)见解析 (2)；；将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（答案不唯一） (3)
【分析】（1）根据坐标，，描点，连接即可得；
（2）根据点A的平移方式确定的平移方式，从而得到点、点平移后的所得点的坐标和平移过程的描述；（3）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到的面积．
（1）如图，即为所求；
（2）由图可知，点B平移后对应的坐标为：；点C平移后对应的坐标为：；
平移方式：将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（或将向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到新的三角形；或将沿AO方向平移个单位长度得到新的三角形；答案不唯一）；
（3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形中的描点、平移、求三角形的面积，熟练掌握点平移的坐标特征是本题的关键．
20．（2022·湖南湘西·七年级期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为．
(1)直接写出点，，的坐标；(2)在图中画出；(3)写出的面积．
【答案】(1)A1 （3，1），B1 （1，-1），C1（4，-2）(2)见解析 (3)6
【分析】（1）根据点P、的坐标确定出平移规律，再求出的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用△AO所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
（1）解：∵点P（a，b）的对应点为（a+6，b-2），
∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位，
∴A（-3，3），B（-5，1），C（-2，0）的对应点的坐标为（3，1），（1，-1），（4，-2）；
（2）解：如图所示；
（3）解：△AOA1的面积=6×3-×3×3-×3×1-×6×2=18---6=18-12=6．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．（2022·黑龙江绥化·七年级期末）在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点．
(1)A（0，3）， B（1，-3）， C（3，-5），D（-3，-5），E（3，5），F（5，7）
(2)A点到原点O的距离是 ．(3)将点C向轴的负方向平移6个单位， 它与点 重合．
(4)连接CE，则直线CE与轴是什么关系？
【答案】(1)见解析 (2)3 (3)D (4)直线CE与y轴平行．
【分析】（1）在坐标系描点即可；（2）根据A点的纵坐标即可得出答案；
（3）将点C向x轴的负方向平移6个单位即可得出答案；
（4）C，E两点的横坐标相等，直线CE与y轴平行．
（1）解：如图所示：
（2）解：A点到原点O的距离是3，故答案为：3；
（3）解：将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与D点重合，故答案为：D；
（4）解：∵点C与点E的横坐标相等，都等于3，∴直线CE与y轴平行．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，掌握C、E两点的横坐标相等，直线CE与y轴平行是解题的关键．
22．（2022·山东·济南外国语学校八年级期末）已知，，．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；
(2)画出△ABC关于y轴对称的；
(3)点P在x轴上，并且使得的值最小，请标出点P位置并写出最小值．
【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析，最小值为．
【分析】（1）根据点的坐标描出点A，B，C，连接各点即可；
（2）找出，，．连接各点即可；
（3）作点C关于x轴的对称点，连接，此时的值最小，为，与x轴的交点为点P，结合勾股定理即可求出答案．
（1）解：∵，，．
∴点A，B，C，△ABC如下图所示：
（2）解：∵△ABC关于y轴对称的，
∴，，．
连接各点即可构成，如下图：
（3）解：作点C关于x轴的对称点，连接，
利用垂直平分线的性质可知：，再根据两点之间，线段最短可知：此时的值最小，为，与x轴的交点为点P，
过点A作轴，过点C1作轴，两线交与点D，如图：
∵，．∴，，由勾股定理可得：．
【点睛】本题考查点的坐标，以及点的坐标关于y轴对称的特点．画轴对称图形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握轴对称的特点，勾股定理．
23．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)已知点的坐标为，画出经过平移后得到的，写出顶点、的坐标；
(2)动点P在x轴上，画出为最小值时点P的位置，并求出的最小值．
【答案】(1)画图见解析，
(2)画图见解析，的最小值为
【分析】（1）根据，，可知向右平移5个单位，向下平移1个单位，据此画出；
（2）找到关于轴的对称点，连接，交轴于点，根据对称性可得的最小值为，勾股定理即可求解．
（1）如图所示，
（2）找到关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值为，，，，则．
【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理求坐标系中两点距离，掌握平移的性质以及勾股定理是解题的关键．
24．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都是格点，在给定的网格中仅用无刻度的直尺完成画图．
(1)在图1中，画格点F，使∠ACF＝45°；
(2)在图1中，先画点C关于AB的对称点D；再在BC上画点N，AB上画点M，使CM＋MN的值最小；
(3)在图2中，N是格点，直线l是网格线，在AB上画点H，在直线l上画点G，使HG⊥l，且CH＋NG的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）以AC为直角边构造等腰直角三角形即可；
（2）利用对称性可得，CM=DM，使CM＋MN的值最小，即CM和MN在一直线上即可；
（3）只要CH∥N，通过平移，它们能够构造一条线段，则CH＋NG的值最小．
(1)
格点F如图所示；
(2)
点M和点N作图如图所示；
(3)
点H和点G作图如图所示；
【点睛】本题考查了网格作图，涉及到了作一个已知角的问题，轴对称的知识，垂线段最短，造桥选址的问题等，解题关键是充分利用网格中的隐含条件，并能正确运用相关概念与知识．
26．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，6），C（c，3），a，b，c满足．(1)若a＝2，求三角形ABC的面积；(2)将线段BC向右平移m个单位，使平移后的三角形ABC的面积小于3，求m的取值范围；(3)若点D（a+6，6），连接AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)6 (2)或 (3)
【分析】（1）解方程组得出B（a，6），C（a-2，3），根据a＝2，求出B（2，6），C（0，3），判断出ABy轴，进而用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）延长BC交x轴于H，根据平移得出点H的坐标，再分两种情况，得出△AEF的面积，再用平移后的三角形ABC的面积小于3，即可得出结论；
（3）先表示出点B，C平移后对应的点P，Q坐标，最后用点P，Q分别落在线段AD上，即可得出结论．
（1）解：∵a，b，c满足∴
∴B（a，6），C（a-2，3），
当a=2时，B（2，6），C（0，3），A（2，0），如图，
∴ABy轴，∴，∴三角形ABC的面积为6；
（2）如图2，延长BC交x轴于H，
∵B（a，6），C（a-2，3），
∴点B向下平移3个单位，再左平移2到点C，
∴点C向下平移3个单位，再向左平移2个单位到点H，∴H（a-4，0）
∵A（a，0），B（a，6），C（a-2，3），∴线段BC向右平移m个单位得到EF，
∴E（a+m，6），F（a-2+m，3），
当点F在点G左边时，
=（m+a-a+4）×6-3m-（m+a-a+4）×3=3（m+4）-3m-（m+4）=-m+6，
∵线段BC向右平移m个单位到达EF处，使三角形ABC的面积小于3，
∴0＜-m+6＜3，∴2＜m＜4，
当点F在点G右边时，
=3m+（m+a-a+4）×3-（m+a-a+4）×6=3m+（m+4）-3（m+4）=m-6，
∵线段BC向右平移m个单位，使三角形ABC的面积小于3，∴0＜m-6＜3，∴4＜m＜6，
综上所述：m的取值范围是2＜m＜4或4＜m＜6；
（3）如图3，B（a，6），C（a-2，3），
将线段BC向右平移n个单位得到线段PQ，∴P（a+n，6），Q（a-2+n，3），
∵A（a，0），D（a+6，6），∴点A向上平移6个单位，再向右平移6个单位到点D，
∴点A每向上平移一个单位，再向右移动一个单位得到的点必在线段AD上，
当线段BC平移到端点C和线段AD相交时，
即：点Q在线段AD上，此时点A向上平移3个单位，再先右平移3个单位得到点Q（a+3，3），
∴a-2+n=a+3，∴n=5，当线段BC平移到端点B和线段AD相交时，
即：点P在线段AD上，此时点A向上平移6个单位，再先右平移6个单位得到点P（a+6，6），此时点P与点D重合，∴a+n=a+6，∴n=6，
∵线段BC与线段AD有公共点，∴5≤n≤6，故答案为：5≤n≤6．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，解方程组的方法，解不等式，找出分界点是解本题的关键．
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专题4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
模块一：知识清单
1．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
2．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
3.两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
（都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导）
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁鞍山·七年级期中）点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西西安·八年级期末）四盏灯笼的位置如图，已知，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A．将向左平移个单位 B．将向左平移个单位
C．将向左平移个单位 D．将向左平移个单位
3．（2022·浙江·八年级期末）点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为（5，3），将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（8，0） C．（8，5） D．（8，1）
4．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广西·柳州市柳江区穿山中学七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18 B．20 C．28 D．36
6．（2022·河北保定·七年级期末）已知点在第一象限内，连接PQ，将线段PQ平移，使平移后的点P，Q分别在x，y轴上，则点Q平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1）
8．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）如图，将的三个顶点坐标的横坐标都乘以－1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）
A．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 B．关于轴对称
C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D．关于轴对称
9．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
10．（2022·山东·济南外国语学校八年级期末）已知有序数对及常数k，我们称有序数对为有序数对的“k阶结伴数对”．如的“1阶结伴数”对为即．若有序数对与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．－2 B． C．0 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·甘肃·八年级期末）点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标为________．
12．（2022·湖北孝感·七年级期末）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标是_____．
13．（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标是_____．
14．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为___________
15．（2022·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______．
16．（2022·宁夏·吴忠市第二中学八年级期末）点M(a，5)与点N(-3，b)关于y轴对称，则2a - b =______．
17．（2022·湖南邵阳·八年级期末）已知点和点关于x轴对称，则______．
18．（2022·江苏·八年级专题练习）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
20．（2022·湖南湘西·七年级期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为．
(1)直接写出点，，的坐标；(2)在图中画出；(3)写出的面积．
21．（2022·黑龙江绥化·七年级期末）在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点．
(1)A（0，3）， B（1，-3）， C（3，-5），D（-3，-5），E（3，5），F（5，7）
(2)A点到原点O的距离是 ．(3)将点C向轴的负方向平移6个单位， 它与点 重合．
(4)连接CE，则直线CE与轴是什么关系？
22．（2022·山东·济南外国语学校八年级期末）已知，，．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；
(2)画出△ABC关于y轴对称的；
(3)点P在x轴上，并且使得的值最小，请标出点P位置并写出最小值．
23．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)已知点的坐标为，画出经过平移后得到的，写出顶点、的坐标；
(2)动点P在x轴上，画出为最小值时点P的位置，并求出的最小值．
24．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都是格点，在给定的网格中仅用无刻度的直尺完成画图．
(1)在图1中，画格点F，使∠ACF＝45°；
(2)在图1中，先画点C关于AB的对称点D；再在BC上画点N，AB上画点M，使CM＋MN的值最小；(3)在图2中，N是格点，直线l是网格线，在AB上画点H，在直线l上画点G，使HG⊥l，且CH＋NG的值最小．
26．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，6），C（c，3），a，b，c满足．(1)若a＝2，求三角形ABC的面积；(2)将线段BC向右平移m个单位，使平移后的三角形ABC的面积小于3，求m的取值范围；(3)若点D（a+6，6），连接AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围．
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