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专题4.1 比例线段
模块一：知识清单
1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。
2．比例中项：如果a:b= b:c ,那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项。
3．比例的性质：（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
（2）合比性质：如果 如果
注意：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
4.黄金分割定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
5.作一条线段的黄金分割点：
图1
如图1，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB；（2）连接AD，在DA上截取DE=DB；（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·浙江·九年级期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．0.5，3，2，10 B．3，4，6，2 C．5，6，15，18 D．1.5，4，1.2，5
【答案】C
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
【解析】解：∵，故选项A中的线段不成比例，不符合题意；
∵，故选项B中的线段不成比例，不符合题意；
∵，故选项C中的线段成比例，符合题意；
∵，故选项D中的线段不成比例，不符合题意，故选：C
【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2.（2022·浙江温州市·九年级期末）已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例的基本性质以及合比性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．由，不能得到x＝3，y＝4，故本选项错误；
B．由，不能得到y﹣x＝1，故本选项错误；
C．由，可得4x＝3y；由，可得xy＝12，故本选项错误；
D．由，可得，即，故本选项正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键．
3.（2022.重庆市初三期中）已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（ ）
A．1cm B．10cm C．cm D．cm
【答案】B
【分析】根据第四比例项的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．
【解析】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，∴a：b＝c：d∴
∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，∴cm
∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm．故选：B．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解是关键．
4.（2022.广东初三期中）如图，点C是线段AB的黄金分割点，（），下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解析】设AB为整体1，BC的长为x，则AC=1-x，
根据黄金分割定义，得，∴，
所以B选项正确，不符合题意；由，得：，
解得（不符合题意，舍去）．
∴，所以A、D选项正确，不符合题意；
所以C选项错误，符合题意；故选 C
【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题关键．
5．（2022.浙江初三期中）如果，那么下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、由合比性质，可得，故本选项不符合要求；
B、由等比性质，可得，故本选项不符合要求；
C、由得，ad=bc，由得，ad=bc，故本选项不符合要求；
D、由得，ab=cd，所以，不能由得，故本选项符合要求．故选：D．
6．（2022.江苏初三期末）已知线段是线段、的比例中项，且，，则等于（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】线段b是线段a，c的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解析】解：∵a=3，c=4，∴=，
∴b2=ac=3×4=12，∴b=，b=- (舍去).故答案为
【点睛】本题考查了比例中项，解题的关键是熟练的掌握利用比例中项的定义来列方程.
7．（2022.浙江初三期末）下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，（），那么
D．如果，那么
【答案】D
【分析】对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可．
【解析】解：A：设，则，，
∴，，∴，故A不符合题意；
B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意；
C：设，则，， ，
∴，
又∵，∴，故C不符合题意；
D：设，则，， ，
∴，，，∴，故D符合题意；选：D．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键．
8.（2022 衢州期末）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（ ）
A．3.71cm B．4.14cm C．4.32cm D．4.86cm
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可．
【解析】解：∵P是AB的黄金分割点，，
∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．
7．（2022 海淀区校级期末）如图在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，在OB上截取BC＝AB，在AO上截取OP＝OC，OA在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【思路点拨】根据勾股定理求出OB，进而求出OC即可．
【答案】解：∵∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝＝，
∵BC＝AB＝1，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1，∴OP＝﹣1，
∴P点对应的实数是﹣1，P是AO的黄金分割点，故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割、勾股定理以及实数与数轴；由勾股定理求出OB的长是解题的关键．
10．（2022 于洪区校级月考）如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．
【解析】解：根据黄金比的比值，，则，
…依此类推，则线段，故选C．
【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 金山区校级月考）已知，则_________．
【答案】
【分析】由，设 则 再代入代数式求值即可得到答案．
【解析】解： ，设 则
故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例的问题是解题的关键．
12．（2022 市中区校级月考）已知三条长分别为3cm，6cm，9cm的线段，现添加一条线段a使得这四条线段成比例，则线段a的长度的所有可能值为 cm．
【思路点拨】根据四条线段成比例，可得3：6＝9：a或3：9＝6：a或6：9＝3：a或a：9＝3：6，分别求出x的值即可求解．
【答案】解：依题意有：当3：6＝9：a时，解得a＝18；
当9：3＝6：a时，解得a＝2；当6：9＝3：a时，解得a＝4.5．当a：9＝3：6时，解得a＝4.5；
故符合条件的值有3个，分别是18cm，2cm，4.5cm．故答案为：18cm或2cm或4.5．
【点睛】考查了比例线段，本题解题关键是找出各种情况，使这四个数各自成比例，算出d的值．
13.（2022·安徽合肥·九年级期末）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是 米
【答案】38000米
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．
【解析】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
14．（2022 泰山区期末）已知线段长是是线段上的一点，且满足那么长为____．
【答案】
【分析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到，把AB=2代入计算即可．
【解析】解：∵点P在线段AB上，AP2=AB BP，
∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，较长线段是整个线段的倍．
15．（2022 江阴市月考）若，则的值为_______．
【答案】或﹣1
【分析】设，根据比例的性质得出，，，将它们相加得出，再分与两种情况进行讨论即可．
【解析】解：设，
则，，，
①如果，那么，
此时，，，
，
②如果，那么，，
此时，，，
，故答案为：或﹣1．
【点睛】本题考查了比例的性质，进行分类讨论是解题的关键．
16．（2022 浙江期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
【答案】
【分析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
【解析】∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=AB=，BC=AB，
∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣20．故答案为：10﹣20．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
17.（2022 江北区校级期中）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
【答案】##
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【解析】∵点E是AB的黄金分割点，∴．
∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
18.（2022·广东·佛山市华英学校九年级月考）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC）．已知AB＝160cm，BC的长为 ___cm．（结果保留根号）
【答案】
【分析】利用黄金分割的定义得到，再把AB＝160cm代入计算即可．
【详解】点C为线段AB的黄金分割点（ACcm，故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，属于基础题，记住黄金分割比是是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2022·广东顺德·九年级月考）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
【解析】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3．
（2）设x＝4k，y＝3k，∴＝＝．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20．（2022 浙江月考）已知线段，，满足，且．
求，，的值；若线段是线段，的比例中项，求．
【答案】（1），，；（2）
【分析】设比值为，然后用表示出，，，再代入等式求解得到，然后求解即可；
根据比例中项的定义列式求解即可．
【解析】解：设，
则，，，
所以，解得，
所以，，．
∵线段是线段，的比例中项，
∴ ，∴ 线段．
【点睛】此题考查的是比例的性质和比例中项，掌握比例的性质和比例中项的定义是解决此题的关键．
21．（2022 重庆校级月考）如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设AC＝1，则DE＝DC，利用勾股定理得到AD，所以AE，则AB，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．
【解析】解：（1）如图，点B为所作；
（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD，∴DE＝DC，
∵AD=，∴AE＝AD﹣DE，
∴AB， BC，
即，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键
22．（2022 杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
【思路点拨】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD＝＝，则AM＝AF＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣；
（2）根据（1）中的数据得：＝，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【答案】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，
DM＝AD﹣AM＝3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于＝，∴点M是AD的黄金分割点．
【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
23．（2022 沧州期中）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图；
（2）求得△BDC各个角的度数，根据题意进行判断即可．
【答案】解：（1）作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，如图所示：
（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，∴△BDC是黄金三角形．
【点睛】本题考查了黄金三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键
24．（2022 高新区校级月考）阅读与思考：黄金分割是指把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．它们的比值为．
我们可以通过下面的方法得到线段的黄金分割点：
①过点B作，使；②连接，在上截取；③在上截取．则点C为线段的黄金分割点．
如下是证明点C是线段的黄金分割点的部分证明过程：
证明：设，则，…
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）应用：如图②是一个包装盒的封口面，线段是这个包装盒的造型线．为了视觉美观，现要在造型线上找一点作为丝带打结点．请你用尺规作图的方式找出这个点（保留作图痕迹，不写作法）．
（图①） （图②）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）∵，∴．
∴在中，，
由题意得，，∴，
∴，
∴，
∴，即点C是线段的黄金分割点；
（2）如解图，点P即为丝带打结的点．（答案不唯一，合理即可）
【解法提示】①分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，交于两点，连接这两点交于点F；
②延长至N，以点D为圆心画弧，分别交于两点；
③分别以这两点为圆心以大于某一个点到点D的距离为半径画弧，两弧交的上方于点M，连接并延长；
④以点D为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，连接；
⑤以点G为圆心，长为半径作弧交于点H；⑥再以点B为圆心，长为半径作弧，交于点P，则点P即为丝带打结点．
25．（2022·广东黄埔区·九年级）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；
（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．
（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）设AB=a，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
（2）根据要求作出图形即可．（3）设AB=a，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【详解】解：（1）如图，设，，．
由，得．∴，即，
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
所以，黄金比．
（2）（1）如图所示．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；
②过点B作垂线l；
方法2：如图所示，用圆规过点B作垂线l．③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；
④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；
⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．
（2）证明：设，由以上作法可知，，
在中，，∴．
∴，所以点C是线段的黄金分割点．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（2022·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否
【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可；（2）利用作差法比较与的大小，即可解答；
（3）设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较、的大小解答；
（4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可；
【详解】解：（1）∵，，，…
∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，故填：变大；
（2）由（1）得：＜，理由如下：，
∵ ，∴ ，∴ ＜0，∴ ；
（3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，则-＜0，
∴ ＜，∴ 采光条件变差，故选A ；
（4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似，故填：否．
【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
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专题4.1 比例线段
模块一：知识清单
1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。
2．比例中项：如果a:b= b:c ,那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项。
3．比例的性质：（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
（2）合比性质：如果 如果
注意：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
4.黄金分割定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
5.作一条线段的黄金分割点：
图1
如图1，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB；（2）连接AD，在DA上截取DE=DB；（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·浙江·九年级期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．0.5，3，2，10 B．3，4，6，2 C．5，6，15，18 D．1.5，4，1.2，5
2.（2022·浙江温州市·九年级期末）已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A．， B． C． D．
3.（2022.重庆市初三期中）已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（ ）
A．1cm B．10cm C．cm D．cm
4.（2022.广东初三期中）如图，点C是线段AB的黄金分割点，（），下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022.浙江初三期中）如果，那么下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022.江苏初三期末）已知线段是线段、的比例中项，且，，则等于（ ）．
A． B． C． D．无法确定
7．（2022.浙江初三期末）下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，（），那么
D．如果，那么
8.（2022 衢州期末）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（ ）
A．3.71cm B．4.14cm C．4.32cm D．4.86cm
9．（2022 海淀区校级期末）如图在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，在OB上截取BC＝AB，在AO上截取OP＝OC，OA在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．
10．（2022 于洪区校级月考）如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 金山区校级月考）已知，则_________．
12．（2022 市中区校级月考）已知三条长分别为3cm，6cm，9cm的线段，现添加一条线段a使得这四条线段成比例，则线段a的长度的所有可能值为 cm．
13.（2022·安徽合肥·九年级期末）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是 米
14．（2022 泰山区期末）已知线段长是是线段上的一点，且满足那么长为____．
15．（2022 江阴市月考）若，则的值为_______．
16．（2022 浙江期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
17.（2022 江北区校级期中）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
18.（2022·广东·佛山市华英学校九年级月考）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC）．已知AB＝160cm，BC的长为 ___cm．（结果保留根号）
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2022·广东顺德·九年级月考）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
20．（2022 浙江月考）已知线段，，满足，且．
求，，的值；若线段是线段，的比例中项，求．
21．（2022 重庆校级月考）如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
22．（2022 杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
23．（2022 沧州期中）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
24．（2022 高新区校级月考）阅读与思考：黄金分割是指把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．它们的比值为．
我们可以通过下面的方法得到线段的黄金分割点：
①过点B作，使；②连接，在上截取；③在上截取．则点C为线段的黄金分割点．
如下是证明点C是线段的黄金分割点的部分证明过程：
证明：设，则，…
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）应用：如图②是一个包装盒的封口面，线段是这个包装盒的造型线．为了视觉美观，现要在造型线上找一点作为丝带打结点．请你用尺规作图的方式找出这个点（保留作图痕迹，不写作法）．
（图①） （图②）
25．（2022·广东黄埔区·九年级）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；
（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．
（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．
26．（2022·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
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