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专题4.2 由平行线截得的比例线段
模块一：知识清单
1、平行线截线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，
则比例式 成立.
A型 X型
注意：上图的变式图形：分A型和X型；
则常用的比例式：依然成立.
2、把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法：1）以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2）连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
注意：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规，不能使用直尺进行量取，尺规作图中的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连线。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·衢州初三期中）如图，已知，那么（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度即可解决问题．
【解析】解：∵AB∥CD，∴；
∵AO=2，CO=6，BO=3，∴，解得：DO=4，故选B.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例.
2.（2022·浙江初三月考）已知线段a、b、c，求作线段，下列作法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】由A得，，则x＝，A错误；由B得，，则x＝，B错误；
由C得，，则x＝，C错误；由D得，，则x＝，D正确.故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
3.（2022·广东初三期中）如图，点、分别在、上，以下能推得的条件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可.
【解析】解：根据平行线分线段成比例定理可知，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，
A. ，不符合题意，错误；
B. ，不符合题意，错误；
C. ，符合题意，正确；
D. ，不符合题意，错误；故选C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，准确找到成比例线段是解题关键.
4.（2022·浙江初三期中）如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出错误的选项．
【解析】∵l1∥l2∥l3，∴，，∴．故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．
5.（2022·湖北初三期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根据DE∥BC，EF∥AB，判断出，在根据DE∥BC，EF∥AB，便可以找到分的线段成比例。，，便可求解了．
【解析】解：DE∥BC，EF∥AB 四边形BFED是平行四边形
DE∥BC AD：BD=5：3
又EF∥AB 又 CF=6 即DE=10故选C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及平行四边形的判定和性质，掌握这些基本知识是解此题的关键．
6.（2022·杭州初三期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由题意易得AB=3，然后根据平行线所截线段成比例直接求解即可．
【解析】解： AH=2，HB=1，BC=5，AB=3，
，；故选A．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
7.（2022·广西初三期中）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
【答案】B
【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．
【解析】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，∴NM∥AG，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴AG＝PG，
∵M是DE的中点，∴DM＝ME＝DE，
∵NM∥AG，AN＝DN，∴＝＝，∴NM＝AG＝PG，
∵DM＝ME，∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．
8．（2022·浙江初三期中）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，BE的延长线交AD于点G，且，则下列结论中错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【分析】根据，可得＝，，即可判断ABC选项，根据，可得△AFD∽△CFH，根据平行线分线段成比例可得＝，即可判断D选项．
【解析】解：∵，∴∴＝，，
∴A选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意；B选项结论正确，不符合题意；
∵，∴＝，D选项结论正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找出对应边是解题的关键．
9．（2022·河北初三期中）如图，在中，，两边上的中线，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是，，根据，可得出，即可得出结论．
【解析】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，∴，DE=BC，
∴，∴，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，根据题意得出，是解题的关键．
10．（2022·山东九年级月考）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可．
【解析】解：，，
，，同理可得：，
，，故选C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
11．（2022·四川成都市·）如图，在中，，，已知，则的长是
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DG∥EH∥FI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长．
【解析】∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，∴DG∥EH∥FI；
∴，即DG=BC；同理可得：EH=BC，FI=BC；
∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3；故选B．
【点睛】此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用．
12．（2022·河南·八年级期末）如图，正方形的边，上各有一个点，，连结，且，点，，分别在，，边上，连结，，，，其中与相交于点，，为求出平行四边形的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解：设，根据正方形的性质及平行四边形的性质利用AAS易证明，得出，再根据平行成比例线段可得出，最后根据平行四边形的面积等于大正方形的面积减去两组全等三角形的面积，化简即可得出答案．
【解析】解：设
四边形ABCD为正方形，
四边形EFGH是平行四边形HG=EF，
，
在和中
， 同理可证明
S△BGH=S△DEF，S△AGF=S△CEH
即
S平行四边形EFGH=故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、平行线成比例线段、全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.（2022·河北八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝_________．
【答案】
【分析】由已知可得到GE是△ADF的中位线，从而根据平行线分线段成比例定理可求得的值．
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∵AE=EF=FC，∴F是CE中点，∴DF∥GE，
∴=．故答案为．
14．（2022·山东桓台县·八年级期末）如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．
【答案】12
【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．
【解析】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，∴，
∵AC=18，∴AF=12．故答案为12．
【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
15．（2022 奉贤区期末）如图，已知点D在△ABC的边BC上，联结AD，P为AD上一点，过点P分别作AB、AC的平行线交BC于点E、F，如果BC＝3EF，那么＝ ．
【思路点拨】利用平行得出比例，进而利用比例性质解答即可．
【答案】解：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴，∴AD＝3PD，∴＝2，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
16．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．
【答案】
【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解析】∵∴AB==10，
过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∵是的角平分线，∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，∴△CBE≌△GBE，∴BC=BG=6，EC=EG，
设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，
即，解得x=3，∴CE=3，AE=5，
过点F作FO⊥AC，垂足为O，，
∴FO∥BC，∴，∴即FO=2OE，
∵AD是中线，BC=6，∴CD=3，
∵FO∥DC，∴，∴，解得OE=，
在直角三角形OEF中，，
∴EF==．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．
17．（2022·厦门市九年级）如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为____．（用含、的式子表示）
【答案】
【分析】过点B作BH∥AC交EF于点H，先证明△BDH≌△CDF，得出BH=CF，再根据得出即可得解．
【解析】解：过点B作BH∥AC交EF于点H，∴，∠C=∠DBH,
∵点是边的中点，∴BD=CD，
∵∠BDH=∠CDF，∴△BDH≌△CDF，∴BH=CF，∴，
∵，∴，∴，故答案为： ．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线．
18.（2022·台州市初三期中）如图中，、为的三等份点，为的中点，与、分别交于、，则________．
【答案】
【分析】首先过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，由M是AC的中点与D、E是BC的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MK=NK=BE=EF=EC，然后根据比例的性质，即可求得BG：GH：HM的值．
【解析】解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，
∵M是AC的中点，∴，
∵E、F是BC的三等分点，∴BE=EF=FC，∴MN=2NK，
∵，，∴MH=BH，MG=BG，
设MH=a，BH=4a，BG=GM=，∴GH=GM-MN=，
∴BG：GH：HM=：：a=5：3：2．故答案为5：3：2．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 兰州期中）如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．
【思路点拨】利用平行线分线段成比例定理证明即可．
【答案】证明：∵AC∥EF，
∴，
∵FE∥BD，
∴，
①+②，得：，
即．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键
20．（2022 石景山区校级月考）已知，如图，△ABC中，DE∥BC，
（1）若AD＝2cm，DB＝3cm，AE＝1cm，求EC的长；
（2）若AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm，求EC的长；
（3）若AE：EC＝2：3，DB﹣AD＝3cm，求AD和DB的长．
【思路点拨】（1）根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例性质求EC；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到＝，再利用比例性质求出AE，然后计算AC﹣AE即可；
（3）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，即DB＝AD，再利用DB﹣AD＝3cm可求出AD、BD的长．
【答案】解：（1）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴EC＝cm；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴AE＝cm，
∴EC＝AC﹣AE＝4﹣＝（cm）；
（3）∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴DB＝AD，
∵DB﹣AD＝3cm，
∴AD﹣AD＝3cm，解得AD＝6cm，
∴DB＝×6＝9cm．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
21．（2022 高平市期末）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
【思路点拨】（1）如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到＝，利用平行线的性质得∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，由∠1＝∠2得∠ACE＝∠E，所以AE＝AC，于是有＝；
（2）先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用（1）中的结论得到＝，即＝，则可计算出BD＝，然后利用勾股定理计算出AD＝，从而可得到△ABD的周长．
【答案】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
22．（2022·北京初三月考）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【解析】解：（1）∵ADBECF，∴，
∵AB=6，BC=8，∴，故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，∴CG=CF-GF=14，∵BECF，
∴，∴，解得BH=6，∴BE=BH+HE=11．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
23．（2022·重庆初三期中）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；（2）求证：AD AG=AF AB．
【答案】（1）6；（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；
（2）由平行可知 ，可得出结论．
【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴，
又，AE=3，∴，解得AC=9，∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）∵DE∥BC，EF∥CG，∴，∴AD AG=AF AB．
24．（2022·广东初三月考）已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长.
【答案】(1)DF:AB=1:3,(2)GH=6.
【解析】试题分析：（1）根据EF∥BD，则CF:CD=EF:BD，再利用平行四边形的性质即可得出DF:AB的值；（2）利用DF∥AB，则FH:AH=DF:AB=1:3，进而得出GH:EF=AH:AF=3:4，求出GH即可．
试题解析：（1）∵EF∥BD，∴CF:CD=EF:BD，
∵BD=12，EF=8，∴CF:CD=2:3，∴DF:CD=1:3，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴DF:AB=1:3；
（2）∵DF∥AB，∴FH:AH=DF:AB=1:3，∴AH:AF=3:4，
∵EF∥BD，∴GH:EF=AH:AF=3:4，∴GH:8=3:4，∴GH=6．
考点：1.平行线分线段成比例；2.平行四边形的性质．
25．（2022·台州市初三月考）如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．（1）求证：DE∥BC；（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）由平行线分线段成比例结合条件可证得，可证得结论；（2）由（1）的结论，结合平行线分线段成比例可得到，结合条件可求得，可求得AM，可求出MN．
【解析】（1）证明：∵，∴，．
∵，∴．∴．
（2）∵，，．∴
∴，∴．∴
∵，∴．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质和判定，掌握线段对应成比例 两直线平行是解题的关键．
26．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在中，，
求证：；若，，，求和长．
【答案】（1）见解析（2），．
【分析】（1）利用平行线性质得到对应边成比例，再通过等量代换即可；
（2）设，则，根据（1）中，等到等式，即可求解．
【详解】解：（1），.
，，．
（2）设，则．由（1）得：，，，
，．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键掌握平行线截得的对应线段成比例，再通过等量代换进行求解．
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专题4.2 由平行线截得的比例线段
模块一：知识清单
1、平行线截线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，
则比例式 成立.
A型 X型
注意：上图的变式图形：分A型和X型；
则常用的比例式：依然成立.
2、把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法：1）以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2）连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
注意：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规，不能使用直尺进行量取，尺规作图中的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连线。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·衢州初三期中）如图，已知，那么（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.（2022·浙江初三月考）已知线段a、b、c，求作线段，下列作法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·广东初三期中）如图，点、分别在、上，以下能推得的条件是（ ）．
A． B． C． D．
4.（2022·浙江初三期中）如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·湖北初三期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6.（2022·杭州初三期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
A． B．2 C． D．
7.（2022·广西初三期中）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
8．（2022·浙江初三期中）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，BE的延长线交AD于点G，且，则下列结论中错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
9．（2022·河北初三期中）如图，在中，，两边上的中线，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山东九年级月考）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·四川成都市·）如图，在中，，，已知，则的长是
A． B．3 C． D．4
12．（2022·河南·八年级期末）如图，正方形的边，上各有一个点，，连结，且，点，，分别在，，边上，连结，，，，其中与相交于点，，为求出平行四边形的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.（2022·河北八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝_________．
14．（2022·山东桓台县·八年级期末）如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．
15．（2022 奉贤区期末）如图，已知点D在△ABC的边BC上，联结AD，P为AD上一点，过点P分别作AB、AC的平行线交BC于点E、F，如果BC＝3EF，那么＝ ．
16．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．
17．（2022·厦门市九年级）如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为____．（用含、的式子表示）
18.（2022·台州市初三期中）如图中，、为的三等份点，为的中点，与、分别交于、，则________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 兰州期中）如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．
20．（2022 石景山区校级月考）已知，如图，△ABC中，DE∥BC，
（1）若AD＝2cm，DB＝3cm，AE＝1cm，求EC的长；
（2）若AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm，求EC的长；
（3）若AE：EC＝2：3，DB﹣AD＝3cm，求AD和DB的长．
21．（2022 高平市期末）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
22．（2022·北京初三月考）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
23．（2022·重庆初三期中）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；（2）求证：AD AG=AF AB．
24．（2022·广东初三月考）已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长.
25．（2022·台州市初三月考）如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．（1）求证：DE∥BC；（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
26．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在中，，
求证：；若，，，求和长．
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