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专题4.3 相似三角形
模块一：知识清单
1、相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
2、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
3、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
即：在和中，若
则与相似，记作∽. k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
4、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 沙坪坝区校级期末）如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．65° D．80°
【思路点拨】直接利用相似三角形的对应角相等，再结合三角形内角和定理得出答案．
【答案】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，
∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．
2．（2022 集美区模拟）如图，已知△ABC∽△ACD，则下列哪条线段与AD的比等于相似比（ ）
A．BD B．BC C．AC D．AB
【思路点拨】根据相似三角形的相似比的概念解答即可．
【答案】解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，∴AC与AD的比等于相似比，故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是相似比是解题的关键．
3．（2022 上虞区期末）如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（ ）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°，9 D．30°，6
【思路点拨】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答．
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠α＝40°，x＝，故选：A．
【点睛】此题主要考查的是相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答．
4．（2022 丽水模拟）如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A．4 B．3.2 C．20 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可．
由相似三角形的性质可得：，则，故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．
5．（2022 江苏期中）如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【解析】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．
6.（2022 浙江期末）如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ）
A． B．的面积：的面积
C．的度数：的度数 D．的周长：的周长
【答案】D
【分析】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.
【解析】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是，故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.故选：D
【点睛】相似三角形性质.理解基本性质是关键.
7．（2022 长宁区期末）如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（ ）
A．AB2＝BE BC B．CD AB＝AD AC C．AE2＝CD BE D．AB AC＝BE CD
【思路点拨】根据相似三角形的性质，由△ABE∽△CBA得到AB：BC＝BE：AB，则可对A选项进行判断；由△ABE∽△CBA得到∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，则证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质得CD：AC＝AD：AB，则可对B选项进行判断；证明△CAD∽△ABE得到AD：BE＝CD：AE，加上AD＝AE，则可对C选项进行判断；利用△CBA∽△ABE得到AB AC＝AE CB，由于AE2＝CD BE，AE≠CB，则可对D选项进行判断．
【答案】解：∵△ABE∽△CBA，∴AB：BC＝BE：AB，
∴AB2＝BE BC，所以A选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，∴∠ADE＝∠BAC，
∵∠ADC＝∠BAC，∴△CAD∽△CBA，∴CD：AC＝AD：AB，
即CD AB＝AD AC，所以B选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，∴△CAD∽△ABE，
∴AD：BE＝CD：AE，即AD AE＝CD BE，
∵AD＝AE，∴AE2＝CD BE，所以C选项的结论正确；
∵△CBA∽△ABE，∴AC：AE＝CB：AB，∴AB AC＝AE CB，
∵AE2＝CD BE，AE≠CB，∴AB AC≠BE CD，所以D选项的结论不正确．故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．也考查了相似三角形的判定．
8．（2022 郧西县期末）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．AC2＝AD AB D．＝
【思路点拨】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【答案】解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，＝，，∴AC2＝AD AB，
∴A、B、C成立，不符合题意；D错误，符合题意，故选：D．
【点睛】考查了相似三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形列出比例式，难度不大．
9．（2022 沂南县期末）如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（ ）
A．150° B．147° C．135° D．120°
【思路点拨】根据相似三角形的性质分别求出∠BAC、∠DAC，结合图形计算，得到答案．
【答案】解：∵△ABC∽△DCA，
∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DCA＝∠B＝33°，
∴∠DAC＝180°﹣117°﹣33°＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝147°，故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
10．（2022 历下区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【思路点拨】由△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长，然后利用勾股定理，求得EF的长．
【答案】解：∵△ABE∽△DEF，∴，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，∴，解得：DF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，
∴EF＝＝．故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 鲤城区校级期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是 ．
【思路点拨】直接利用相似三角形的性质得出＝，即可得出答案．
【答案】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的关系是解题关键．
12．（2022 江华县一模）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是 ．
【思路点拨】根据相似三角形的性质和题目中的数据，可以得到△A′B′C′的另外两条边的长，从而可以得到△A′B′C′的周长．
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′的最短边为10，
∴相似比是：＝，
∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，
∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，故答案为：36．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质解答．
13．（2022 越秀区校级开学）如图，△ABC∽△ACD，∠ACB＝∠D＝90°，AB∥CD，AC2＝ ．
【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．
【答案】解：∵∠ACB＝∠D＝90°，且△ABC∽△ACD，
∴，即AC2＝AB DC，故答案为：AB DC．
【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质得出线段比例解答．
14．（2022 松江区月考）已知△ABC与△A′B′C′相似，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′是对应顶点，其中∠A＝80°∠B′＝60°，则∠C＝ 度．
【思路点拨】根据相似三角形对应角相等求出∠B＝∠B′，再利用三角形内角和等于180°列式进行计算即可得解．
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，∴∠B＝∠B′＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．故答案为：40．
【点睛】本题考查了相似三角形对应角相等，三角形内角和定理，熟记性质并准确找出对应角是解题的关键．
15．（2022 江阴市校级月考）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的其中的两边长分别为1和，则第三边长为 ．
【思路点拨】本题可根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，来求出△DEF的第三边的长．
【答案】解：设△DEF的第三边长为x，∵△ABC∽△DEF，
且△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的其中的两边长分别为1和，
∴，∴x＝，即：△DEF的第三边长为．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
16．（2022 昭通模拟）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一动点，若△BPQ与△BAC相似，则CQ的长为 ．
【思路点拨】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．
【答案】解：∵AB＝8，BC＝10，点P是AB边的中点，∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，则＝，故＝，解得BQ＝5∴CQ＝BC﹣BQ＝5；
当△BPQ∽△BCA时，则＝，故＝，解得BQ＝，∴CQ＝BC﹣BQ＝．
综上所述：当CQ＝5或时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：5或．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D的延长线上的处.若△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.
【答案】
【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．
【解析】∵△BED∽△ABC，∴∠DBA＝∠A，又∠DBA＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝30°，设BC为x，则AC＝x，BD＝x，
＝，即△BED与△ABC的相似比是，故答案为．
18．如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.
【答案】：1
【分析】先利用勾股定理求出AC，那么AC：A′C′即是相似比．
【解析】由图可知：AC与A1C1是对应边，A1C1＝1，
再由勾股定理得：AC＝＝，∴AC：A1C1＝：1，
即△ABC与△A1B1C1的相似比是：1，故答案为：1.
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 市中区期中）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．
【分析】由△ABC的三边长分别为6，8，10，可判定△ABC是直角三角形，又由和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，可得相似比为1：3，则可求得另两条边的长，继而求得周长；然后由相似三角形的对应角相等，求得最大角的大小．
【解析】∵△ABC的三边长分别为6，8，10，且62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的最大角是90°，
∵和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：10：30＝1：3，
∴另两条边的长分别为：6×3＝18，8×3＝24，
∴周长为：18+24+30＝72，最大角为90°．
20．（2022 顺义区期末）已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．
【思路点拨】根据相似三角形的性质得到∠ACD＝∠B，＝，把已知数据代入比例式求出AC，根据角平分线的性质、等腰三角形的判定定理求出DC．
【答案】解：∵△ABC∽△ACD，AD＝2，BD＝3，
∴∠ACD＝∠B，＝，即＝，解得，AC＝，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠B，∴DC＝BD＝3．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题关键．
21．（2022 南京期末）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是它们的中线，求证：AD：A′D′＝AB：A′B′．
【思路点拨】根据中线的性质得到BD＝BC，B′D′＝B′C′，证明△ABD∽△A′B′D′，根据相似三角形的性质定理证明即可．
【答案】证明：∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，＝＝＝，
∴△ABD∽△A′B′D′，∴AD：A′D′＝AB：A′B′．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
22．（2022 武侯区校级月考）已知：如图，Rt△ABC∽Rt△ACD，若AC＝3，BC＝4，求AD．
【分析】首先利用勾股定理求得AB的长，然后利用相似三角形的性质求得答案即可．
【解析】∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝5，
∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴，即：，解得：AD，∴AD的长为
23．（2022 宁阳县期末）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．
【分析】利用相似三角形的性质得，利用比例的性质求出AC，从而计算出AC﹣AD即可．
【解析】∵△ADE∽△ABC，∴，
∵AD＝6，AE＝4，AB＝12，∴，∴AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．
24．（2022 桓台县期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm．（1）求DE的长；（2）求 ABCD的面积．
【思路点拨】（1）根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和勾股定理以及四边形的面积公式解答即可．
【答案】解：（1）∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴DE＝6；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°，
∴在Rt△EAD中，，∴AE＝3（cm），
∴S ABCD＝BC AE＝．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据相似三角形的性质和平行四边形的性质解答．
25．（2022 兴化市月考）如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB＝4，CD＝2．P为线段BC上的点，设BC＝m．（1）若m＝9，①若△BAP∽△CDP，求线段BP的长；②若△BAP∽△CPD，求线段BP的长；（2）试求m为何值时，使得△BAP与△CDP相似的点P有且只有2个．
【点拨】（1）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）①当△BAP与△CDP都是等腰直角三角形时，两三角形相似，于是得到结果；
②当根据相似三角形的性质和一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【解析】解：（1）∵BC＝9，∴PC＝9﹣BP，
①∵△BAP∽△CDP，∴，即＝，解得：BP＝6；
②∵△BAP∽△CPD，∴，即＝，解得：BP＝8或1；
（2）①当△BAP与△CDP都是等腰直角三角形时，两三角形相似，
此时∠BPA＝∠CPD＝45°，则BP+PC＝BC＝AB+CD＝6，
②当∠BAP＝∠CPD时，△BAP∽△CPD，∴，即＝，
∴BP2﹣mBP+8＝0，∴△＝m2﹣32＝0，∴m＝4（负值舍去），
综上所述，当m＝4或6时，△BAP与△CDP相似的点P有且只有2个
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键
26．（2022 淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【思路点拨】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ＝CP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据＝，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据＝，可求出时间t．
【答案】解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解
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专题4.3 相似三角形
模块一：知识清单
1、相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
2、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
3、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
即：在和中，若
则与相似，记作∽. k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
4、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 沙坪坝区校级期末）如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．65° D．80°
2．（2022 集美区模拟）如图，已知△ABC∽△ACD，则下列哪条线段与AD的比等于相似比（ ）
A．BD B．BC C．AC D．AB
3．（2022 上虞区期末）如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（ ）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°，9 D．30°，6
4．（2022 丽水模拟）如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A．4 B．3.2 C．20 D．5
5．（2022 江苏期中）如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
6.（2022 浙江期末）如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ）
A． B．的面积：的面积
C．的度数：的度数 D．的周长：的周长
7．（2022 长宁区期末）如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（ ）
A．AB2＝BE BC B．CD AB＝AD AC C．AE2＝CD BE D．AB AC＝BE CD
8．（2022 郧西县期末）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．AC2＝AD AB D．＝
9．（2022 沂南县期末）如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（ ）
A．150° B．147° C．135° D．120°
10．（2022 历下区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 鲤城区校级期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是 ．
12．（2022 江华县一模）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是 ．
13．（2022 越秀区校级开学）如图，△ABC∽△ACD，∠ACB＝∠D＝90°，AB∥CD，AC2＝ ．
14．（2022 松江区月考）已知△ABC与△A′B′C′相似，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′是对应顶点，其中∠A＝80°∠B′＝60°，则∠C＝ 度．
15．（2022 江阴市校级月考）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的其中的两边长分别为1和，则第三边长为 ．
16．（2022 昭通模拟）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一动点，若△BPQ与△BAC相似，则CQ的长为 ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D的延长线上的处.若△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.
18．如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 市中区期中）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．
20．（2022 顺义区期末）已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．
21．（2022 南京期末）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是它们的中线，求证：AD：A′D′＝AB：A′B′．
22．（2022 武侯区校级月考）已知：如图，Rt△ABC∽Rt△ACD，若AC＝3，BC＝4，求AD．
23．（2022 宁阳县期末）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．
24．（2022 桓台县期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm．（1）求DE的长；（2）求 ABCD的面积．
25．（2022 兴化市月考）如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB＝4，CD＝2．P为线段BC上的点，设BC＝m．（1）若m＝9，①若△BAP∽△CDP，求线段BP的长；②若△BAP∽△CPD，求线段BP的长；（2）试求m为何值时，使得△BAP与△CDP相似的点P有且只有2个．
26．（2022 淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
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