中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.5 相似三角形的性质及其应用
模块一：知识清单
1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：1）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
3.相似三角形的性质
1）对应角相等，对应边的比相等；
2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案．
【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，
∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3，故选A.
【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
2．（2022·浙江·九年级课时练习）如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
【答案】B
【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：EC＝2：3，∴BE：AD＝2：5，
∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，
∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3.（2022·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【答案】B
【分析】由入射角等于反射角可以证明再证明再利用相似三角形的性质可得答案.
【详解】解：如图，由题意得：
而
所以树高为 故选：
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟悉实际问题中存在的相似三角形是解题的关键.
4．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知：，可得：，再由，代入即可求得答案．
【详解】由题意知：，∴∴
∵，，∴∴故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型．
5．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，根据两角对应相等得出Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得，从而CD的长即可
【详解】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，FD=4，ED=1；
则∠ECF=∠EDC=∠CDF=90°，∴∠ECD+∠E=90°，∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠E=∠FCD∴Rt△EDC∽Rt△CDF∴
即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=4，∴DC=2．故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是掌握三角形的相似的性质和判定
6．（2022·山东中区·一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云图”的水平距离为，则“步云图”的高度是（ ）m．
A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
【答案】C
【分析】先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．
【详解】在和中，，∴，
∴，即，解得：，
∵，∴，即“步云图”的高度为．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键．
7．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，∴，∴（cm），故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
8．（2022 大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．16 B．24 C．30 D．36
【思路点拨】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【答案】解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
9．（2022 南安市模拟）△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，则该三角形的重心与外心之间的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】连接CG并延长，交AB于D，根据等腰直角三角形的性质求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算，得到答案．
【答案】解：设△ABC的重心为G，连接CG并延长，交AB于D，则D为AB的中点，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴点D为△ABC的外心，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝6，
∴AB＝AC＝12，
在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝6，
∵点G为△ABC的重心，
∴GD＝CD＝×6＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
10．（2022·安徽·月考）如图，若内有一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰中，∠EDF=90 ，若点Q为的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
【答案】D
【分析】通过证明△DQF∽△FQE，可得，可求FQ，EQ的长，即可求解．
【解析】解：如图，在等腰直角三角形中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°， ∴∠QEF=∠DFQ，且∠2=∠3，
∴， ∴，
∵DQ=1， ∴FQ=，EQ=2， ∴EQ+FQ=，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 武进区模拟）如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB＝ m．
【思路点拨】首先利用勾股定理计算出EF长，再证明△DCB∽△DEF，由相似三角形的性质可得＝，求出BC长，进而可得答案．
【答案】解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，即：402+EF2＝502 ∴EF＝30，
由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，＝，
∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，∴＝，解得：BC＝9米，
∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5（m）．故答案是：10.5．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握三角形相似对应边成比例．
12．（2022 岱岳区期末）如图，△ABC∽△ACD，相似比为2：1，则面积之比S△BDC：S△DAC为 ．
【思路点拨】由△ABC∽△ACD，相似比为2：1，可得S△ABC：S△ACD＝4：1，则易得S△BDC：S△DAC＝3k：k＝3：1．
【答案】解：∵△ABC∽△ACD，相似比为2：1，
故面积比S△ABC：S△ACD＝4：1，
设S△ABC＝4k，则S△ACD＝k，
∴S△BDC＝S△ABC﹣S△ACD＝4k﹣k＝3k，
故S△BDC：S△DAC＝3k：k＝3：1．
故答案为：3：1．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
13．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
【答案】4.5
【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，∴GD=4.5cm，故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
14．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．
【答案】30
【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB．∴，
∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，∴，∴AB=30．故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是判定相似三角形△OCD∽△OAB．
15．（2022·山东·八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么树高应为____________．
【答案】4.2m
【分析】作CD⊥AB于E，连接AD，根据四边形BCDE是矩形，得到DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m，根据同一时刻物高与影长成正比例，即可求出AE，问题得解．
【详解】解：如图，作CD⊥AB于E，连接AD，
由题意得AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m，
∵同一时刻物高与影长成正比例，∴，即，
∴AE=3m，∴AB=AE+BD=4.2m，即树高为4.2m．故答案为：4.2m
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及应用，明确同一时刻物高与影长成正比例，根据题意添加辅助线构造三角形是解题关键．
16．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
【答案】
【分析】过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，先证明，可得，再证明DF∥AB，，进而即可求解．
【详解】解：过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，则∠M=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠M=∠CAD，∴AC=CM=5，
∵AB∥CM，∴，∴，
∵EF是AD的中垂线，∴AF=DF，∴∠CAD=∠ADF，
∴∠ADF=∠BAD，∴DF∥AB，∴，∴CF=．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
17．（2022·江苏·扬州市九年级月考）如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，若的面积是1，则五边形的面积是______.
【答案】
【分析】过点作，根据平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质可得，进而求得的面积，根据可得，进而平行四边形的面积，据平行四边形的面积减去即可求得五边形的面积．
【详解】如图，过点作，
四边形是平行四边形，，，，，
，四边形是平行四边形，
同理四边形是平行四边形， 为中点，，
，设则，，，
，，的面积是1，，
，，的面积是1，，
四边形的面积为：，平行四边的面积为，
分别为的中点，平行四边的面积为平行四边的面积的2倍，即，
五边形的面积为=，故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质求得是解题的关键．
18．（2022·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________.
【答案】或
【分析】根据题意得： ，设 ，则 ， ，然后分两种情况：当，即 时；当，即 时，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，∵，可设 ，则 ， ，
当，即 时，∵，，∴ ，解得： ；
当，即 时，∵，，解得： ，
∴当与相似时，的长为或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 平果市期末）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．
【思路点拨】由QR∥ST推△PQR∽△PST，得进而得出PQ的长．
【答案】解：设PQ＝xm，
由题意可知QR∥ST，
∴△PQR∽△PST
∴．
∴，
解得x＝120．
∴PQ的长为120m．
【点睛】本题考查了相似三角形的判断和相似三角形的性质．掌握形似性质的运用，对应线段成比例是解题关键．
20．（2022 萧山区月考）杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB．
【思路点拨】先证明△EDC∽△EBA，利用相似比得到＝①，再证明△FHG∽△FBA，利用相似比得到＝②，由①②得＝，解得CA＝90（米），然后把CA＝90代入①可求出AB的长．
【答案】解：根据题意得CD＝GH＝2米，EC＝3米，FG＝5米，GC＝60米，
∵CD∥AB，∵△EDC∽△EBA，
∴＝，即＝①，
∵HG∥AB，∴△FHG∽△FBA，
∴＝，即＝②，
由①②得＝，解得CA＝90（米），
把CA＝90代入①得＝，解得AB＝62（米），
答：雷峰塔的高度AB为62米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
22．（2021·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．
【答案】8.8米
【分析】过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．
【详解】解：过点D作于点P，交于点N，过点M作于点Q，交于点K，
由题意可得：，米，，米，米．
，，，，
，，，．
，．（米）．
答：这棵樱花树的高度是8.8米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
23．（2022 滨海县一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【思路点拨】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【答案】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，∴＝＝，故答案为1：3．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD．
【点睛】本题考查了作图﹣相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
24．（2022·内蒙古·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米
【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高；(2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高．
【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
米，故甲树的高为5.1米；
如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长，
线段为乙树落在地面上的影长，
与图1中的相似，
又，
故乙树的高为4.2米；故答案为：5.1，4.2；
（2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长，
线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长，
则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米，
又与图1中的相似，
又
故丙树的高为5.56米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键．
25．（2022 淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【思路点拨】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ＝CP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据＝，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据＝，可求出时间t．
【答案】解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；
（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．
26．（2020秋 桐城市期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
【思路点拨】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD＝∠A＝48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．
（2）利用△BCD∽△BAC，得＝，可得结论．
【答案】解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CD＝BD．
理由：∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.5 相似三角形的性质及其应用
模块一：知识清单
1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：1）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
3.相似三角形的性质
1）对应角相等，对应边的比相等；
2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·九年级课时练习）如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
3.（2022·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
4．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
6．（2022·山东中区·一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云图”的水平距离为，则“步云图”的高度是（ ）m．
A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
7．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
8．（2022 大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．16 B．24 C．30 D．36
9．（2022 南安市模拟）△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，则该三角形的重心与外心之间的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022·安徽·月考）如图，若内有一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰中，∠EDF=90 ，若点Q为的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 武进区模拟）如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB＝ m．
12．（2022 岱岳区期末）如图，△ABC∽△ACD，相似比为2：1，则面积之比S△BDC：S△DAC为 ．
13．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
14．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．
15．（2022·山东·八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么树高应为____________．
16．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
17．（2022·江苏·扬州市九年级月考）如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，若的面积是1，则五边形的面积是______.
18．（2022·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 平果市期末）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．
20．（2022 萧山区月考）杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB．
22．（2021·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．
23．（2022 滨海县一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
24．（2022·内蒙古·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
25．（2022 淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
26．（2020秋 桐城市期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
