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专题4.6 相似多边形
模块一：知识清单
相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.
相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.
注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
注意：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·浙江·九年级期中）下列结论不正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似
【答案】A
【分析】根据相似图形的判定判断即可；
【解析】所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意；
因为正三角形的每个角都等于满足两个角对应相等，
所有的正三角形都相似，故B正确；
因为等腰直角三角形的三个角分别为 满足两个角对应相等，
所有的等腰直角三角形都相似，故C正确；
因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等，
所有的正八边形都相似，故D正确；故选A．
【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，准确分析判断是解题的关键．
2．（2022·山东·九年级期末）如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
3．（2022·重庆九年级课时练习）已知矩形中，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．
【详解】解：∵，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项正确；
∵，∴B选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误；
∵，∴C选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误；
∵，∴D选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误．故选A．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．
4.（2022·浙江九年级课时练习）如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
【答案】B
【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可．
【解析】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，∴五边形和五边形的周长之比是3：2，故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比是解题的关键．
5．（2022·江苏如皋·）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论．
【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，故选：C．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．
6.（2022·江苏九年级课时练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【答案】B
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
【解析】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
7．（2022 历下区校级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3
【思路点拨】将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形，原矩形的长宽之比与新矩形的长宽之比不一定相等，则可对A进行判断；根据线段的比对B进行判断；根据黄金分割的定义对C进行判断；根据相似多边形的性质对D进行判断．
【答案】解：A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，则A选项的说法错误，所以A选项符合题意；
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2，则B选项的说法正确，所以B选项不符合题意；
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝AB＝cm，则C选项的说法正确，所以C选项不符合题意；
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，则D选项的说法正确，所以D选项符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等，面积的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性质和黄金分割．
8．（2022·广东九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，现将四边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到四边形，则四边形的面积与四边形的面积之比为（ ）
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．5:1
【答案】C
【分析】判断出四边形A1B1C1D1与四边形ABCD相似并求出相似比，再根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．
【解析】∵四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：1，
∴四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为4：1．故选C．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，坐标与图形性质，熟记性质并判断出两个四边形相似是解题的关键．
9．（2022 河北模拟）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】利用相似多边形的性质，构建方程求解即可．
【答案】解：由题意，两个矩形相似，
∴＝或＝，解得x＝3或0（0不符合题意舍弃），故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似多边形的性质，构建方程解决问题．
10．（2022·浙江九年级期中）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．
【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第二个六角形的面积为：，第三个六角形的面积为：，
第四个六角形的面积为：，故选D．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．如图，四边形和四边形相似，已知，，，，，，则______，______．
【答案】
【分析】根据相似多边形对应角相等，对应边成比例可得出答案.
【解析】∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，
∴∠A1=∠A=120°，∠B1=∠B=85°，∠C1=∠C=75°，
∴∠D1=360°-∠A-∠B-∠C=80°，
，解得故答案为80°，.
【点睛】本题考查相似多边形的性质，找准对应角与对应边是关键.
12．（2022 铁岭月考）如图，五边形ABCDE～五边形A′B′C′D′E′，则这两个五边形的相似比是 ．
【思路点拨】直接找出对应边，利用对应边的比值得出相似比．
【答案】解：∵五边形ABCDE～五边形A′B′C′D′E′，
∴这两个五边形的相似比是：CD：C′D′＝2：1＝2．故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边的比值是解题关键．
13．（2022 门头沟区校级期中）北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 丈．
【思路点拨】设三大殿宫院的宽为x丈，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【答案】解：设三大殿宫院的宽为x丈，
由题意得，x：40＝9：5，解得，x＝72丈，故答案为：72．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
14．（2022·子长县齐家湾中学九年级期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB上一点，MN∥BC，交CD于N，AD=2，BC=8，当MN=_____时，MN所分的梯形AMND与梯形MBCN相似
【答案】4
【分析】根据相似图形对应边成比例得，即可求出MN的长．
【详解】解：若梯形AMND与梯形MBCN相似，
则，即，解得．故答案是：4．
【点睛】本题考查相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应边成比例的性质．
15．（2022·浙江九年级月考）如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为__m．
【答案】1.8
【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解答即可．
【详解】解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为（60-2.4）m，∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴，解得，x＝1.8，故答案为：1.8
【点睛】题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键．
16.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是 。
【答案】
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
【解析】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，∴．．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
17．（2022·北京·九年级月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___．
【答案】
【分析】利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵＝2×4 ×1×2 ×1×2 1×1 ×1×1＝．
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，∴：＝＝＝，
∴＝×＝．故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，解决问题．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF=_____．
【答案】5或．
分析：若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：
①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长； ②当AD与AE对应时，同理可得CF的长．
【解析】延长GF交BC于M．∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE．∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时．∵相似比为．∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3．在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF==5．
②当AD与AE对应时．∵相似比为，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1．在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF==．故答案为5或．
点睛：本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由．
【答案】第（1）组的两个矩形相似；第（2）组的两个矩形不相以，证明见解析．
【分析】利用相似多边形的判定定理进行证明即可．
【解析】解：第（1）组的两个矩形相似；
，第（1）组的两个矩形相似；
，第（2）组的两个矩形不相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定定理，解题的关键是掌握相应的判定定理．
，所以当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可．
【答案】解：当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
解得x＝1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
20．（2022 金山区校级月考）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
【思路点拨】（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
【答案】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；
③两个大小不同的正方形相似，是真命题；
故答案为：假，假，真；
（2）证明：如图，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，
∵，∴，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠ABD＝∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，
∴，
∴∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
21．（2022 未央区月考）如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，3AE＝2AD．（1）求证：∠1＝∠2．（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．
【思路点拨】（1）根据相似多边形的性质得到＝，∠DAB＝∠EAG，证明△DAE∽△BAG，根据相似三角形的对应角相等证明结论；
（2）根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程即可．
【答案】（1）证明：∵矩形AGFE∽矩形ABCD，
∴＝，∠DAB＝∠EAG，
∴∠DAB﹣∠EAB＝∠EAG﹣∠EAB，即∠DAE＝∠BAG，
∴△DAE∽△BAG，∴∠1＝∠2．
（2）解：∵3AE＝2AD，
∴＝，∴＝（）2＝，
∴＝，
解得：S矩形ABCD＝450（cm2）．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析．
【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．
【解析】解：（1）存在
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则，
由①，得：，③ 把③代入②，得，
解得，．
所以“减半”矩形长和宽分别为与．
（2）不存在 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
【点睛】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．
23．（2022·广东九年级课时练习）如图，矩形草坪的长为a米，宽为b米（），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路．
（1）草坪的长与宽的比值________，外围矩形的长与宽的比值________；（用含有a、b、x的代数式表示）（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？
【答案】（1）， ；（2）；（3）图中的两个矩形不相似，见解析
【分析】（1）根据即可求解出m的值，然后分别求出外围矩形的长为a+2x，宽为b+2x由此求解即可；
（2）利用作差法进行求解即可得到答案；（3）假设两个矩形相似那么m=n与事实矛盾，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米，
∴草坪的长与宽的比值，外围矩形的长与宽的比值；
（2），∵，∴，∴；
（3）若图中的两个矩形相似，则，∵，∴图中的两个矩形不相似．
【点睛】本题主要考查了假设法，分式的混合运算，相似图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．如图，四边形和四边形相似，，，，，，．
（1）求、的长度；（2）求、的大小；
（3）若，求四边形和四边形的周长的比．
【答案】（1），；（2），；（3）
【解析】（1）根据相似多边形对应边成比例列出比例式，代入数据即可求解；
（2）根据相似多边形对应角相等和四边形内角和即可求解；
（3）根据相似多边形的周长比等于对应边之比即可得出答案.
【解析】（1）∵四边形∽四边形，
∴即，即．
∴，．
（2）∵四边形∽四边形，
∴．
∵，
∴，即．
（3）∵
∴四边形和四边形的周长的比=．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比是解决本题的关键.
25．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
【答案】（1）2，2；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；（3）A8纸张的重量是（）7a克．
【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是， A4纸的长是， 宽是， A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；
（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；
（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．
【解析】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．故答案为：2，2；
（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；
（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，∴A2纸的重量为a，
同理，A3纸的重量是a克，∴A8纸张的重量是a克．
故答案为：（1）2，2；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；（3）A8纸张的重量是（）7a克．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键
26．彼此相似的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，点B3的坐标是（，），求5k﹣bk的值．
【思路点拨】根据直线解析式求出点OA1，得到第一个正方形的边长，根据点B3的坐标求出第三个正方形的边长以及A3的坐标，然后求出第二个正方形的边长，再表示出A2B1、A3B2，然后求出△A1A2B1和△A2A3B2相似，根据相似三角形对应边成比例列式求b，再把点A3的坐标代入直线求出k，然后代入代数式进行计算即可得解．
【答案】解：令x＝0，则y＝b，
所以，OA1＝b，
∵点B3的坐标是（，），
∴第三个正方形的边长A3C2＝，A3（，），
∴第二个正方形的边长为﹣b，
∴A2B1＝﹣2b，A3B2＝﹣（﹣b）＝b﹣，
∵正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3是彼此相似的多边形，
∴点B3的坐标是（，），
∴△A1A2B1∽△A2A3B2，
∴＝，
∴＝，
整理得，4b2﹣29b+25＝0，
解得b1＝1，b2＝（舍去），
所以，直线解析式为y＝kx+1，
把A3（，）代入得，k+1＝，
解得k＝，
所以5k﹣bk＝5×﹣1×＝2．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，用b表示出正方形的边长，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出b是解题的关键，也是本题的难点
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专题4.6 相似多边形
模块一：知识清单
相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.
相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.
注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
注意：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·浙江·九年级期中）下列结论不正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似
2．（2022·山东·九年级期末）如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆九年级课时练习）已知矩形中，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·浙江九年级课时练习）如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
5．（2022·江苏如皋·）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
6.（2022·江苏九年级课时练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
7．（2022 历下区校级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3
8．（2022·广东九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，现将四边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到四边形，则四边形的面积与四边形的面积之比为（ ）
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．5:1
9．（2022 河北模拟）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2022·浙江九年级期中）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．如图，四边形和四边形相似，已知，，，，，，则______，______．
12．（2022 铁岭月考）如图，五边形ABCDE～五边形A′B′C′D′E′，则这两个五边形的相似比是 ．
13．（2022 门头沟区校级期中）北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 丈．
14．（2022·子长县齐家湾中学九年级期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB上一点，MN∥BC，交CD于N，AD=2，BC=8，当MN=___
15．（2022·浙江九年级月考）如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为__m．
16.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是 。
17．（2022·北京·九年级月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF=_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由．
20．（2022 金山区校级月考）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
21．（2022 未央区月考）如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，3AE＝2AD．（1）求证：∠1＝∠2．（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．
22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
23．（2022·广东九年级课时练习）如图，矩形草坪的长为a米，宽为b米（），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路．
（1）草坪的长与宽的比值________，外围矩形的长与宽的比值________；（用含有a、b、x的代数式表示）（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？
24．如图，四边形和四边形相似，，，，，，．
（1）求、的长度；（2）求、的大小；
（3）若，求四边形和四边形的周长的比．
25．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
26．彼此相似的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，点B3的坐标是（，），求5k﹣bk的值．
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