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专题4.8 相似三角形 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·九年级）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
2．（2022·北京·九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（ ）对．
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；
③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；
④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°．∴∠B=65°．
∵∠C=∠C′，∠B=∠B′．∴△ABC∽△A′B′C′．
②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6．
∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′．∴△ABC∽△A′B′C′．
③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25．
∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′．∴△ABC∽△A′B′C′．
④∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
3．（2022·沙坪坝区·八年级月考）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，那么她应穿（ ）cm高的鞋子才能好看．（精确到1cm，参考数据：黄金分割比为≈2.236）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【分析】如果设她应该穿xcm的鞋子，那么她肚脐以下的高度为（x+95）cm．根据她肚脐以上的高度与肚脐以下的高度之比等于黄金比，列出方程求解即可．
【详解】解：设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得：，解得x10cm．故选择：D
【点睛】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
4．（2022·山东沂源县·八年级期末）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论．
【详解】解：，，，，
，即，．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．
5．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，根据两角对应相等得出Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得，从而CD的长即可
【详解】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，FD=4，ED=1；
则∠ECF=∠EDC=∠CDF=90°，∴∠ECD+∠E=90°，∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠E=∠FCD∴Rt△EDC∽Rt△CDF∴
即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=4，∴DC=2．故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是掌握三角形的相似的性质和判定
6．（2022·河北·九年级专题练习）如图，两个三角形是以点P为位似中心的为似图形，则点P的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过图中三角形的两对对应点作直线，两条直线的交点即为位似中心．
【详解】如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(-3,2)． 故选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，准确找到位似中心是解题的关键．
7．（2022·安徽·合肥月考）如图，若内有一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰中，∠EDF=90 ，若点Q为的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
【答案】D
【分析】通过证明△DQF∽△FQE，可得，可求FQ，EQ的长，即可求解．
【解析】解：如图，在等腰直角三角形中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°， ∴∠QEF=∠DFQ，且∠2=∠3，
∴， ∴，
∵DQ=1， ∴FQ=，EQ=2， ∴EQ+FQ=，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
8．（2022·内蒙古·九年级月考）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设，则，分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，设，则，
当时，，即，解得，
当时，，即，解得或6，
∴或2或6，∴满足条件的点的个数有3个．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，解答时，注意分类讨论思想的灵活运用．
9．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对
【答案】B
【详解】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
答案详解：如图所示：当PE∥AB．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，
由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．
∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．
10．（2022·初三月考）两队相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中，，，若，，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设EF=GH=a，由题意可EH=FG=2a，DH=BF=x，AE=CG=y．利用相似三角形的性质构建方程组，求出x，y（用a表示），再利用勾股定理求出AD，CD（用a表示）即可解决问题．
【解析】解：，，且，
设EF=GH=a，EH=FG=2a，DH=BF=x，AE=CG=y．∴AH=y+2a，BE=x+a，
∵△ADH∽△BAE，
∵∠AHD=90°，，
∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比=故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江九年级专题练习）用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有______________．
【答案】③
【分析】根据相似多边形的性质，对每个选项进行逐一解答即可；
【详解】解：根据题意，∵四边形的边长被放大为原来的10倍，
∴放大后的∠B与原来的∠B相等，故①错误；
放大后的四边形的边是原来的10倍，故②错误；
两个四边形的对应角相等，故③正确；故答案为：③．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，相似多边形的对应角相等．
12．（2021·四川德阳市·中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________．
【答案】或4
【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可；
②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可．
【详解】解：分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，
矩形的周长为：；
②边为矩形的宽时，则矩形的长为：，矩形的周长为；
综上所述，该矩形的周长为或4，故答案为：或4．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
13．（2022·山西省初三期中）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为_____ m．
【答案】134
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.
【解析】据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度为，则可列比例为：，
解得：米.故答案为：.
【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比.考查利用所学知识解决实际问题的能力.
14．（2022·大邑·初三期中）在平面直角坐标系中，关于的一次函数，其中常数k满足，常数满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数的解析式为______．
【答案】或
【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用得到，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.
【解析】∵b是2和8的比例中项，∴2：b=b：8，解得b=，
∵b＞0，∴b=4，∵，∴
∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，当a+b+c时，解得k=，当a+b+c=0时，k=-1，
∴该一次函数的解析式为或，故答案为：或.
【点睛】此题考查分式方程的化简计算，解三元一次方程组，比例的性质，题中利用求出k的值是解题的关键.
15．（2022·黑龙江·哈尔滨九年级月考）如图，点E在菱形ABCD的边BC上，连接AE，点F为AD的中点，FG⊥AE于点G，∠B＝60°，AE＝7，FG＝2，则AG的长为 ___．
【答案】
【分析】过点A作AM⊥BC于M，先根据菱形的性质和勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得到，，然后证明△AME∽△FGA，得到，由此求出AB的长从而得到AF的长，最后在直角三角形AGF中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，∴∠AMB=∠AME=90°，∴
∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∴，∴，∴，
∵四边形ABCD是菱形，F为AD的中点，FG⊥AE，∠B=60°
∴，∠BAD=120°，∠AGF=90°，
∵∠BAM=30°，∴∠MAD=∠BAD-∠BAM=90°，
∴∠MAE+∠MEA=∠MAE+∠FAG=90°，∴∠MEA=∠GAF，
又∵∠AME=∠FGA=90°，∴△AME∽△FGA，∴即，
∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于利用相似三角形的性质求出AB的长．
16、（2022·温州初三三模）如图，点是的重心，的延长线交于点,连结.若的面积为,则的面积为__________．
【答案】
【分析】连接AG，并延长，交BC于E，连接DE，根据重心的性质可得，而，又可得，从而可得结论．
【解析】连接AG，并延长，交BC于E，连接DE，如图所示，
∵点是的重心，为的中线，
∴点D，点E为中点，是的中位线，
∴， ，
，，，，
，，
．故答案为：12．
【点睛】本题考查的是三角形重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点，正确理解中线的性质是解答此题的关键．
17．（2022·江苏·苏州八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___．
【答案】或
【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、，
∴，，∴，
当与相似时，则可分：①当时，有，如图所示：
∴，即，解得：，∴，
∴，∴；
②当时，有，如图所示：
∴，即，解得：，∴，∴，∴；
综上所述：当与相似时，或；故答案为或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
18、（2020·浙江初三二模）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽厘米，托架斜面长厘米，它有到共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位到的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长是15厘米，是支点且厘米（支架的厚度忽略不计）.当支架调到档时，点离水平面的距离为_______厘米；当支架从档调到档时，点离水平面的距离下降了_________厘米.
【答案】
【分析】（1）如图，作OM⊥BE，垂足为M，作DN⊥BN，垂足为N，作GH⊥AH，垂足为H，证明△BOM∽△BDN，求出BN，AN，AD，根据△BOM∽△BDN，即可求解；
（2）根据，求出,问题得解．
【解析】如图，作OM⊥BE，垂足为M，作DN⊥BN，垂足为N，作GH⊥AH，垂足为H，
由题意得BE=BC+CE=2.4+0.8×2=4厘米，
∵厘米，∴BM=ME=2厘米，
∵∠BMO=∠DNB=90°, ∠OBM=∠DBN，∴△BOM∽△BDN，∴,
即 ， ∴BN=4.8厘米，∴在中，厘米，
AN=AB+BN= 6厘米，∴在中，厘米，
∵DN⊥AN，GH⊥AH，∴△BOM∽△BDN，∴,
即 ，∴ ；
如图当支架从档调到档时，由题意得BF=BC+CF=2.4+0.8×3=4.8厘米，
∵厘米∴BM=ME=2.4厘米，
∵，∴
∴,即 ∴厘米，
∴在中，厘米，∴D下降了厘米．
故答案为：，.
【点睛】本题考查了勾股定理，相似等知识，综合性较强，认真审题，根据题意转化为数学问题，找到图形中相似三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·海南·海口九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2，1)、O(0，0)、B(1，－2)．（1）画出△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2∶1，并写出点A的对应点A2的坐标；（3）判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A1(－1，2)；（2）画图见解析，A2(4，2)；（3）是，Q(－6，2)
【分析】(1)如图所示，画出平移后的,找出点的坐标即可，
(2)如图所示，画出位似图形的性质，找出△A2OB2，求出A2的坐标即可，
(3)根据题意得到△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，找出Q坐标即可，
【详解】（1）如图，A1(－1，2) （2）如图，A2(4，2)
（3）如图，△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，Q(－6，2)
【点睛】此题考查了作图-位似变换，平移变换,画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形．
20．（2022·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否
【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可；（2）利用作差法比较与的大小，即可解答；
（3）设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较、的大小解答；
（4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可；
【详解】解：（1）∵，，，…
∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，故填：变大；
（2）由（1）得：＜，理由如下：，
∵ ，∴ ，∴ ＜0，∴ ；
（3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，则-＜0，
∴ ＜，∴ 采光条件变差，故选A ；
（4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似，故填：否．
【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
21．（2022·江苏初三月考）我们把有一组邻边相等，一组对边平行但不相等的四边形称作“准菱形”．（1）证明“准菱形”性质：“准菱形”的一条对角线平分一个内角．
(要求：根据图1写出已知，求证，证明)
已知：
求证：
证明：
（2）已知．在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．若点D，E分别在边BC，AC上，且四边形ABDE为“准菱形”．请在下列给出的△ABC中，作出满足条件的所有“准菱形”ABDE，并写出相应DE的长．(所给△ABC不一定都用，不够可添)
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据准菱形的定义写出已知，结合图形写出求证，利用平行线的性质定理进行证明；
（2）分AE＝AB，DE∥AB、BA＝BD，DE∥AB、EA＝ED，DE∥AB、DE＝BD，DE∥AB四种情况，利用相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．
【解析】（1）已知：如图，“准菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，()．
求证：BD平分∠ABC．
证明：∵AB=AD，∴∠ABD=∠BDA．
又∵AD∥BC，∴∠DBC=∠BDA，
∴∠ABD=∠DBC．即BD平分∠ABC．
（2）可以作出如下四种图形：
（2）可以作出如下四种图形，
∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，
如图2，当AE＝AB，DE∥AB时，，即，解得，DE＝；
如图3，当BA＝BD，DE∥AB时，，即，解得，DE＝；
如图4，当EA＝ED，DE∥AB时，，即，解得，DE＝；
如图5，当DE＝BD，DE∥AB时，，即，解得，DE＝．
故答案为：，，，.
【点睛】本题考查的是新定义、相似三角形的判定和性质，正确理解准菱形的定义、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，在解答时注意分情况讨论思想是灵活运用．
22、（2022·泰兴市初三二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=6，求邻余线AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）20.
【分析】（1）AB=AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB=90°，则∠FAB与∠EBA互余，即可求解；（2）如图所示（答案不唯一），四边形ABEF即为所求； （3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解.
【解析】（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形ABEF即为所求；
（3）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，
∵DE=2BE，∴BD=CD=3BE，∴CE=CD+DE=5BE，
∵∠EDF=90°，M为EF中点，∴DM=ME．∴∠MDE=∠MED，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，
∵QB=6，∴NC=10， ∵AN=CN，∴AC=2CN=20，∴AB=AC=20．
【点睛】本题主要考查了新定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质.
23．（2022·四川初三）再读教材：宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形(提示：)．
第一步：在矩形纸片一端 ，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；
图1 图2
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；
第四步：展平纸片，按照所得的点折出，使，则图4中就会出现黄金矩形．
图3 图4
(1)在图3中_________ (保留根号)；(2)如图3，则四边形的形状是_________；
(3)在图4中黄金矩形是_________．（以上各题都要写出解答过程）
【答案】 菱形 矩形，矩形
【分析】（1）勾股定理可求得AB的长；
（2）易知BQ∥AD，再证AB∥QD证四边形BADQ是平行四边形；最后在证BA=AD得菱形；
（3）寻找边长为和2的矩形，即矩形BCDE是黄金矩；还可以寻找和2的矩形，使为分母，分母有理化后也可得到，即矩形MNDE
【解析】（1）∵MN=2，∴AC=1，BC=2
∴在Rt△BAC中，根据勾股定理，AB=
（2）∵四边形MNCB是正方形，∴BQ∥AD
∵折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处
∴∠BAQ=∠QAD，∠BQA=∠AQD，AB=AD
∵BQ∥AD，∴∠BQA=∠QAD，∴∠BAQ=∠AQD
∴AB∥QD，∴四边形BADQ是平行四边形
∵AB=AD，∴平行四边形BADQ是菱形
（3）∵四边形BADQ是菱形，∴AD=AB=
∵AN=AC=1，∴CD=
∵BC=2，∴，∴矩形BCDE是黄金矩形
∵，∴矩形MNDE是黄金矩形
【点睛】本题主要是通过构造来得出黄金矩，需要注意，黄金矩BCDE比较好寻找，但是黄金矩MNDE容易遗漏.这儿寻找黄金矩还用到了分母有理化，在此处要多留意.
24．（2021·上海市复旦初级中学九年级月考）如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点．
（1）求的长；（2）连接，当时，求的长；
（3）连接，当和相似时，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长度即可；
（2）过点作,垂足为，容易证得,设，根据相似的性质可求出的值即可得出结果；（3）由（2）得，设，根据相似的性质可求出的值，在解题时要注意分类讨论．
【详解】解：（1）∵在直角中，，，，∴；
（2）过点作,垂足为，
∵,∴,∴，
设，∵,∴,
∵,∴,∴,∴,
∵,∴，化简，得，
解得：(负值舍去),∴；
（3）由（2）得，设，
∵,∴,
∵,∴,∴,
当和相似时，有两种情况：
①,∴,即，解得，∴；
②,∴,即，解得，∴，
综上： 当和相似时，的长为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
25．（2022·湖北初三其他）问题提出：
（1）如图一，请在图中找到一组相似的三角形 ．
问题探究：（2）如图二，点D为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点，AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连接BE，求∠ADC与∠E的关系．
（3）如图三，点D是等边三角形ABC的AC上的动点.连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接EA，EC，若AB=2，直接写出EA+EC的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）EA+EC最小= ．
【分析】（1）根据，得，，，可得，，可证；
（2）根据为等腰直角三角形，AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，可证，可得，即有；
（3）延长AC到F，使CF=BC，根据为等边直角三角形，DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，可证, ，根据点E在∠BFE的边FE上运动，找C关于FE的对称点，则当EA+EC最小时，即A，E，共线，且，最小，四边形是矩形，据此可得EA+EC最小．
【解析】（1）∵，∴，，
∴，
∴， ∴；
（2）∵为等腰直角三角形，AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，
∴也为等腰直角三角形，∴
∴，，，
∴，，∴，
∴；
（3）延长AC到F，使CF=BC，
∵为等边直角三角形，DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，
∴，， ∴,
∴，∴ ∴
∴点E在∠BFE的边FE上运动，找C关于FE的对称点，
又∵∴,，
∴，∴， ，
当EA+EC最小时，即A，E，共线，且，最小，
则四边形是矩形 ∴EA+EC最小．
【点睛】本题是几何综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
26．（2022·四川龙泉驿·八年级期末）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据已知条件直接证明，再证明，从而可得，设，则,根据勾股定理求得,求得，即可得证；
（2）根据题意可知，，设则,求得,分别求得,根据，即可求得；（3）根据（2）的方法，旋转放缩,缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接,则,当点三点共线时，取等于号，接下来根据相似的性质分别求得各边的长度，最后根据勾股定理求得即可求得最小值
【详解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°，
即
设，则,
（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且
将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，
， ，
三点共线，
，设则
（3）如图，设,将绕点逆时针旋转，并缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接
则，当点三点共线时，取等于号
由作图知:， 且,
，AB＝5,
四边形是矩形
在中
在中，
四边形是矩形,四边形是矩形
,
在中，
的最小值为
【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，旋转放缩法构造相似三角形，线段和最值问题，勾股定理，正确的作出图形和辅助线是解题的关键．
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专题4.8 相似三角形 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·九年级）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（ ）对．
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；
③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；
④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．（2022·沙坪坝区·八年级月考）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，那么她应穿（ ）cm高的鞋子才能好看．（精确到1cm，参考数据：黄金分割比为≈2.236）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
4．（2022·山东沂源县·八年级期末）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
6．（2022·河北·九年级专题练习）如图，两个三角形是以点P为位似中心的为似图形，则点P的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022·安徽·合肥月考）如图，若内有一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰中，∠EDF=90 ，若点Q为的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
8．（2022·内蒙古·九年级月考）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对
10．（2022·初三月考）两队相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中，，，若，，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江九年级专题练习）用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有______________．
12．（2021·四川德阳市·中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________．
13．（2022·山西省初三期中）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为_____ m．
14．（2022·大邑·初三期中）在平面直角坐标系中，关于的一次函数，其中常数k满足，常数满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数的解析式为______．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨九年级月考）如图，点E在菱形ABCD的边BC上，连接AE，点F为AD的中点，FG⊥AE于点G，∠B＝60°，AE＝7，FG＝2，则AG的长为 ___．
16、（2022·温州初三三模）如图，点是的重心，的延长线交于点,连结.若的面积为,则的面积为__________．
17．（2022·江苏·苏州八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___．
18、（2020·浙江初三二模）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽厘米，托架斜面长厘米，它有到共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位到的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长是15厘米，是支点且厘米（支架的厚度忽略不计）.当支架调到档时，点离水平面的距离为_______厘米；当支架从档调到档时，点离水平面的距离下降了_________厘米.
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·海南·海口九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2，1)、O(0，0)、B(1，－2)．（1）画出△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2∶1，并写出点A的对应点A2的坐标；（3）判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
20．（2022·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
21．（2022·江苏初三月考）我们把有一组邻边相等，一组对边平行但不相等的四边形称作“准菱形”．（1）证明“准菱形”性质：“准菱形”的一条对角线平分一个内角．
(要求：根据图1写出已知，求证，证明)
已知：
求证：
证明：
（2）已知．在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．若点D，E分别在边BC，AC上，且四边形ABDE为“准菱形”．请在下列给出的△ABC中，作出满足条件的所有“准菱形”ABDE，并写出相应DE的长．(所给△ABC不一定都用，不够可添)
22、（2022·泰兴市初三二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=6，求邻余线AB的长．
23．（2022·四川初三）再读教材：宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形(提示：)．
第一步：在矩形纸片一端 ，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；
图1 图2 图3 图4
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；
第四步：展平纸片，按照所得的点折出，使，则图4中就会出现黄金矩形．
(1)在图3中_________ (保留根号)；(2)如图3，则四边形的形状是_________；
(3)在图4中黄金矩形是_________．（以上各题都要写出解答过程）
24．（2021·上海市复旦初级中学九年级月考）如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点．
（1）求的长；（2）连接，当时，求的长；
（3）连接，当和相似时，请直接写出的长．
25．（2022·湖北初三其他）问题提出：
（1）如图一，请在图中找到一组相似的三角形 ．
问题探究：（2）如图二，点D为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点，AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连接BE，求∠ADC与∠E的关系．
（3）如图三，点D是等边三角形ABC的AC上的动点.连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接EA，EC，若AB=2，直接写出EA+EC的最小值．
26．（2022·四川龙泉驿·八年级期末）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值．
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