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专题4.7 图形的位似
模块一：知识清单
1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
5.坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
注意：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 迁西县模拟）下列语句中，不正确的是（ ）
A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
【答案】B
【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．
【解析】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；
B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；
C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；
D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．
2．（2022 浙江模拟）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，下列结论不正确的是（ ）
A．AC∥DF B． C．BC是△OEF的中位线 D．S△ABC：S△DEF＝1：2
【思路点拨】根据位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线的概念判断即可．
【答案】解：A、∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥DF，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，
∴＝＝，本选项说法正确，不符合题意；
C、同B选项可知，＝＝，
∴BC是△OEF的中位线，本选项说法正确，不符合题意；
D、∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴S△ABC：S△DEF＝1：4，本选项说法不正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行是解题的关键．
3．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点C的坐标为（－1，－），则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
【答案】D
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把C点的横纵坐标都乘以-3即可．
【详解】解：在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，相当于在第一象限内与△OCD的位似比为的位似图形△OAB．则以点O为位似中心，位似比为，
而点C的坐标为（-1，-），∴C点的对应点A的坐标为（3，2）．故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
4．（2022 沙坪坝区校级月考）如图，与是位似图形，点和点是对应点，则内的点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据点和点是对应点求出位似比，再结合所在的象限即可求出点的对应点的坐标.
【解析】由点和点是对应点，可得与的相似比为1：2，结合与的位置，可得内的点的对应点的坐标为.故选B.
【点睛】此题主要考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，①当位似图形在原点同侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时.②当时，图形扩大为原来的倍；当时，图形缩小为原来的.
5．（2022 开平区一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【解析】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k．
7．（2021·浙江温州·二模）如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【详解】∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是．故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
8．（2022 新都区模拟）如图，已知，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得，则下列说法正确的有（ ）
①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为1：2；④若的面积为4，则的面积为1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【解析】解：根据位似的定义可得，与是位似图形，也就是特殊的相似图形，故①②正确；∵点D、E、F分别是、、的中点，
∴与的位似比为2∶1，周长比为2∶1，面积比为4∶1，故③错误，
若的面积为4，则的面积为1，故④正确．故选：C.
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决问题的关键．
9．（2022 渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，点A、B、E点在x轴上，若点D的坐标为（1，2），则点G的坐标为（ ）
A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）
【思路点拨】根据位似变换的性质得到△OBC∽△OEF，且＝，根据相似三角形的性质求出BE，得到答案．
【答案】解：∵正方形ABCD中的点D的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2．
∴OB＝3
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，即相似比为1：3，
∴△OBC∽△OEF，且＝，
∴＝＝，
∴＝，即＝
解得，BE＝6，
∴点G的坐标为（3，6），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，注意：两个图形必须是相似形．
10．（2022 两江新区模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【思路点拨】利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，所以＝＝，然后根据相似三角形的性质求解．
【答案】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴＝＝，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝（）2＝，
∴S△DEF＝9S△ABC＝9×2＝18．故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 涵江区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 （﹣1，2）， AB⊥x轴交x轴于点 B，以原点 O为位似中心，将 △OAB放大为原来的2倍得到 △OA1B1，且点 A1在第二象限，则点 A1的坐标为 ．
【思路点拨】把A点的横纵坐标都乘以2得到点 A1的坐标．
【答案】解：∵将 △OAB放大为原来的2倍得到 △OA1B1，且点 A1在第二象限，而A（﹣1，2），∴点 A1的坐标为（﹣1×2，2×2），即（﹣2，4）．故答案为（﹣2，4）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
12．（2022·安徽定远·九年级月考）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）．
【答案】小亮
【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案．
【详解】解：延长、、、分别到、、、，
则四边形是四边形的位似图形，所以小亮正确．
故答案为：小亮．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题关键．
13．（2022 碑林区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标.
【解析】解：若四边形是边长为6的菱形，.
∵是等边三角形∴则
∵，且相似比为3：1∴故答案为：
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
14．（2021 嘉兴一模）如图，四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为，且四边形ABCD的面积为900cm2，则四边形AEFH的面积为 ．
【思路点拨】根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形AEFH的面积．
【答案】解：∵四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为，
∴S四边形AEFH：S四边形ABCD＝4：9，∵四边形ABCD的面积为900cm2，
∴四边形AEFH的面积＝400cm2，故答案是：400cm2．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方．
15．（2022 汝南县模拟）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝3：4，△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为 ．
【思路点拨】利用位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′，AC：A′C′＝OA：OA′＝3：4，然后根据相似三角形的性质求解．
【答案】解：∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，AC：A′C′＝OA：OA′＝3：4，
∴＝（）2＝（）2＝，∴S△A′B′C′＝×9＝16．故答案为16．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
16．（2022·浙江·九年级单元测试）图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是________．
【答案】
【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的差，再根据位似的性质列出比例式计算即可得解．
【详解】解：设点的横坐标为，则间的横坐标的差为，间的横坐标的差为．
∵放大到原来的倍得到，∴ ＝，解得：．故答案为：
【点睛】本题考查的是位似图形的含义与位似图形的性质，掌握位似图形是特殊的相似图形是解题的关键.
17．（2022 龙港区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为 ．
【思路点拨】根据位似图形的概念求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．
【答案】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，
∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，∴＝＝，
∵OA1＝1，∴OA2＝2，∴A1A2＝1，∴正方形A1B1C1A2的面积＝1＝40，
∵OA1＝A1A2＝A1B1＝1，∴∠B1OA1＝45°，∴OA2＝A2B2＝2，
∴正方形A2B2C2A3的面积＝2×2＝41，∵A3B3⊥x轴，∴OA3＝A3B3＝4，
∴正方形A3B3C3A4的面积＝4×4＝16＝42，……
则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021﹣1＝42020＝24040，故答案为：24040．
【点睛】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质、相似多边形的性质是解题的关键．
18．如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．
【答案】 或
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点．
【解析】解：∵平面直角坐标系中有正方形和正方形，点和点的坐标分别为，，∴，，，
（1）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
如图所示：连接，交轴于点，
点即为两个正方形的位似中心，
设所在直线解析式为：，把，代入得：
故，解得：，故；
当时，即，解得，即点坐标为，，
两个正方形的位似中心的坐标是：，．
（2）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
如图所示：连接，，，并延长交于点，
设所在直线解析式为：，把，代入得：
故，解得：，故；
设所在直线解析式为：，把，代入得：
，故，联立直线BH、AG得方程组：
，解得：，故，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或．
故答案为：，或．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 任城区校级一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．（1）在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与△ABC位似比为2的位似图形△A′BC′；（2）求出△A′B′C′的面积．
【思路点拨】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A′B′C′的面积．
【答案】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）△A′B′C′的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4＝6．
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握以原点为位似中心的对应点的坐标的关系是解决问题的关键．
20．（2020秋 桂林期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，正方形OABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（2，2）．
（1）在第一象限内，以O为位似中心，画出正方形OA1B1C1，使正方形OA1B1C1与正方形OABC位似，且位似比为2：1；（2）在第一象限内以O为位似中心，画出正方形OA2B2C2，使正方形OA2B2C2与正方形OABC位似，且位似比为1：2；（3）直接写出正方形OA1B1C1与正方形OA2B2C2的周长之比．
【思路点拨】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据相似多边形的周长之比等于相似比解决问题即可．
【答案】解：（1）如图，正方形OA1B1C1即为所求作．
（2）如图，正方形OA2B2C2即为所求作．
（3）正方形OA1B1C1与正方形OA2B2C2的周长之比＝4：1．
【点睛】本题考查作图﹣位似变换，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
位似图形面积的比等于相似比的平方，掌握位似图形的性质是解题的关键．
21．（2022·江苏·南闸实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
（3）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
【答案】（1）；（2），（3）见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答；
（2）根据位似变换和位似中心的概念解答；
（3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答
【详解】（1）如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点，连接，根据网格的特点可知则△ABC外接圆的半径是，
故答案为：；
（2）如图，连接,交于点,，即位似中心，根据网格的特点可知
故答案为：；
（3）△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
根据网格的特点作出，如图，
即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查的是格点正方形、锐角三角函数的定义、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键．
22．（2022·山东芝罘·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点分别为，和，与是以点为位似中心的位似图形，点，，都在格点上．（1）在图中确定出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标；（2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标；（3）内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标．
【答案】（1）见解析，P（-5,-1）；（2）见解析，；（3）
【分析】(1)连接O1O并延长与A1A的延长线相交，交点即为位似中心P，再根据平面直角坐标系写出点P和B1的坐标；(2)延长OA到A2，使AA2=OA，延长OB到B2，使BB2=OB，连接A2B2，再根据平面直角坐标系写出点B2的坐标； (3)根据位似比是2写出即可．
【详解】（1）点的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为
（2）如图所示，的坐标为．
（3）的坐标为
【点睛】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标．
（2）点是线段BC上的格点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点的坐标．
【答案】（１）点C1的坐标为（ 6，4）；（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．
【分析】（1）连接OB并延长，截取BB1＝OB，连接OA并延长，截取AA1＝ＯA，连接OC并延长，截取CC1＝OC，确定出△A1B1C1，并求出C1点坐标即可；
（2）根据A与A1坐标，B与B1坐标，以及C与C1坐标的关系，确定出变化后点D的对应点D1坐标即可．
【详解】解：（1）根据题意画出图形，如图所示：
则点C1的坐标为（ 6，4）；
（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．
【点睛】此题考查了作图 位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
24．（2022·广西·南宁三模）如图，的三个顶点都在平面直角坐标系的格点上，，请按要求在方格纸内作图．
（1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，使与的位似比为；
（2）在图2的格点中标出点，使得与的面积相等，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，E1(－1，7)，E2(5，5)．
【分析】（1）根据位似图形的性质得出对应点坐标进而画出图形即可；
（2）根据面积相等得到高相等，过点A作BC的平行线找格点写出坐标即可．
【详解】解：（1）∵A(2，6)，B(0，2)，C(6，0)，且与的位似比为1：2，
∴，，，如图所示，即为所求；
（2）如图，过点A作BC的平行线，
∵与的面积相等，∴的高等于的高，即等于点A到BC的距离，
由平行线之间距离处处相等可知，点E1、点E2即为所求，由图可知：E1(－1，7)，E2(5，5)．
【点睛】本题考查了作图-位似变换，平行线的性质，熟练掌握位似图形的作法及平行线间距离处处相等是解题的关键．
25．（2022·酒泉市第二中学初三期中）如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
【答案】作图详见解析；A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使各边都扩大2倍，再根据O为原点，写出新图形各点的坐标即可．
【解析】解：如图所示，新图形为四边形A′B′C′D′，
新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【点睛】本题考查作图——位似变换．
26.（2022·海南·海口市九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2，1)、O(0，0)、B(1，－2)．（1）画出△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2∶1，并写出点A的对应点A2的坐标；（3）判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A1(－1，2)；（2）画图见解析，A2(4，2)；（3）是，Q(－6，2)
【分析】(1)如图所示，画出平移后的,找出点的坐标即可，
(2)如图所示，画出位似图形的性质，找出△A2OB2，求出A2的坐标即可，
(3)根据题意得到△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，找出Q坐标即可，
【详解】（1）如图，A1(－1，2) （2）如图，A2(4，2)
（3）如图，△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，Q(－6，2)
【点睛】此题考查了作图-位似变换，平移变换,画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形
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专题4.7 图形的位似
模块一：知识清单
1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
5.坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
注意：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 迁西县模拟）下列语句中，不正确的是（ ）
A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
2．（2022 浙江模拟）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，下列结论不正确的是（ ）
A．AC∥DF B． C．BC是△OEF的中位线 D．S△ABC：S△DEF＝1：2
3．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点C的坐标为（－1，－），则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
4．（2022 沙坪坝区校级月考）如图，与是位似图形，点和点是对应点，则内的点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022 开平区一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．（2021·浙江温州·二模）如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．（2022 新都区模拟）如图，已知，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得，则下列说法正确的有（ ）
①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为1：2；④若的面积为4，则的面积为1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022 渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，点A、B、E点在x轴上，若点D的坐标为（1，2），则点G的坐标为（ ）
A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）
10．（2022 两江新区模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 涵江区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 （﹣1，2）， AB⊥x轴交x轴于点 B，以原点 O为位似中心，将 △OAB放大为原来的2倍得到 △OA1B1，且点 A1在第二象限，则点 A1的坐标为 ．
12．（2022·安徽定远·九年级月考）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）．
13．（2022 碑林区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______．
14．（2021 嘉兴一模）如图，四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为，且四边形ABCD的面积为900cm2，则四边形AEFH的面积为 ．
15．（2022 汝南县模拟）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝3：4，△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为 ．
16．（2022·浙江·九年级单元测试）图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是________．
17．（2022 龙港区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为 ．
18．如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 任城区校级一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．（1）在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与△ABC位似比为2的位似图形△A′BC′；（2）求出△A′B′C′的面积．
20．（2020秋 桂林期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，正方形OABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（2，2）．（1）在第一象限内，以O为位似中心，画出正方形OA1B1C1，使正方形OA1B1C1与正方形OABC位似，且位似比为2：1；（2）在第一象限内以O为位似中心，画出正方形OA2B2C2，使正方形OA2B2C2与正方形OABC位似，且位似比为1：2；（3）直接写出正方形OA1B1C1与正方形OA2B2C2的周长之比．
21．（2022·江苏·南闸实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
（3）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
22．（2022·山东芝罘·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点分别为，和，与是以点为位似中心的位似图形，点，，都在格点上．（1）在图中确定出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标；（2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标；（3）内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标．
23．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标．
（2）点是线段BC上的格点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点的坐标．
24．（2022·广西·南宁三模）如图，的三个顶点都在平面直角坐标系的格点上，，请按要求在方格纸内作图．
（1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，使与的位似比为；
（2）在图2的格点中标出点，使得与的面积相等，并直接写出点的坐标．
25．（2022·酒泉市第二中学初三期中）如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
26.（2022·海南·海口市九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2，1)、O(0，0)、B(1，－2)．（1）画出△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2∶1，并写出点A的对应点A2的坐标；（3）判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
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