中小学教育资源及组卷应用平台
专题 平行直角坐标系中图形面积的求法压轴题三种模型全攻略
考点一 直接利用面积公式求图形的面积 考点二 利用补形法或分割法求图形的面积
考点三 与图形面积相关的点的存在性问题
考点一 直接利用面积公式求图形的面积
例题：（2022·北京大兴·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接AB交y轴于点C．
(1)求三角形AOB的面积；
(2)求点C的坐标．
【变式训练】
1．（2022·河南洛阳·八年级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，点为垂足，则的面积为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）在平面直角坐标系中，顺次连接A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3）各点，并求出该图形的面积．
3．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，已知，，．
(1)写出点C到x轴的距离______；
(2)连接AB、BC、AC，求的面积；
(3)点P在y轴上，当的面积是6时，求出点P的坐标．
4．（2022·湖北鄂州·七年级期中）已知在平面直角坐标系中有三点，，请回答如下问题：
(1)在坐标系内描出点，，的位置；
(2)求出以，，三点为顶点的三角形的面积；
(3)在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点二 利用补形法或分割法求图形的面积
例题：（2022·河南三门峡·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，求的面积．
【变式训练】
1．（2022·河北邯郸·七年级期中）四边形ABCD各顶点的位置如图所示，求四边形ABCD的面积．
2．（2021·安徽芜湖·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
(1)求△ABC的面积；
(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
3．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）（1）请画出△ABC关于y轴对称 (其中、、分别是A、B、C的对应点)；
（2）直接写出△A1B1C1三点的坐标_______， _______，________．
（3）求出△ABC的面积．
4．（2022·山东临沂·七年级期末）四边形ABCD各个顶点的坐标分别为、、、．
(1)确定这个四边形的面积，你是怎么做的？写出简要计算过程．
(2)如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标增加2，纵坐标都减少3，所得的四边形和原四边形ABCD的面积是否发生变化？面积是多少？
(3)请用数学原理说出（2）其中的规律？
考点三 与图形面积相关的点的存在性问题
例题：（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．
(1)求此四边形的面积；
(2)在x轴上，你能否找到一点P，使？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
【变式训练】
1．（2022·贵州·贵阳市南湖实验中学八年级期中）如图，A（a，0），C（b，2），且a，b满足，CB⊥x轴于B．
(1)求S△ABC；
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△ABC＝S△ACP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，的三个顶点位置分别是．
(1)求的面积是多少？
(2)若点的位置不变，当点P在y轴上时，且，求点P的坐标？
(3)若点的位置不变，当点Q在x轴上时，且，求点Q的坐标？
3．（2020·江苏·建新中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中．
(1)作△ABC关于x轴对称的；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得与△ABC面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．（2022·广东广州·七年级期中）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．
(1)求OA，OB长度；
(2)在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB、AP，当运动的时间t为几秒时， ？并求出此时点P的坐标．
5．（2022·浙江台州·七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且，，满足关系式，点在第一象限．
(1)求，，的值；
(2)如图1，当时，的面积等于10，求的值；
(3)如图2，连接，当的面积等于的面积时，求满足上述条件的整点（，都是整数）的坐标．
6．（2022·广东·惠州市惠阳区朝晖学校八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且满足，线段交轴于点．
(1)求点，的坐标；
(2)点为轴正半轴上一点，若，且，分别平分，，如图，求的度数；
(3)如图，（也可以利用图1）
①求点的坐标；
②坐标轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由（不与重合）．中小学教育资源及组卷应用平台
专题 平行直角坐标系中图形面积的求法压轴题三种模型全攻略
考点一 直接利用面积公式求图形的面积 考点二 利用补形法或分割法求图形的面积
考点三 与图形面积相关的点的存在性问题
考点一 直接利用面积公式求图形的面积
例题：（2022·北京大兴·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接AB交y轴于点C．
(1)求三角形AOB的面积；
(2)求点C的坐标．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA、点B到OA的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据三角形面积和列等式，根据（1）中：△AOB的面积=6，即可得解．
(1)
解：过点B作BM垂直于x轴点M．
∵，
∴BM＝2．
∵，
∴OA＝2．
∴．
(2)
过点B作BN垂直于y轴点N．
，
∴．
∵点C在y轴的正半轴，
∴点C的坐标是．
【点睛】本题考查了三角形的面积和点的坐标，熟练掌握坐标和图形的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南洛阳·八年级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，点为垂足，则的面积为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，利用三角形面积公式直接计算即可．
【详解】解：如图，
∵A（-2,3），过点A作轴，点为垂足，
∴AB=3，OB=2，，
∴的面积==3，
故选：C．
【点睛】此题考查了坐标与图形，直角三角形面积计算公式，正确理解题意作出图形辅助做题是解题的关键．
2．（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）在平面直角坐标系中，顺次连接A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3）各点，并求出该图形的面积．
【答案】图见解析，4
【分析】在平面直角坐标系中描绘出格点并连接，根据各个点的坐标跟别计算出AB的长度和三角形的高CD，最后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】如图：过点C作CD⊥AB，垂足为点D；
∵A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3），
∴AB=1-（-1）=2，CD=2-（-2）=4，
∴
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标、已知点的坐标求线段的长度和图形的面积，熟练地掌握平面直角坐标系中点的坐标表示方法和根据点的坐标求线段的长度是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，已知，，．
(1)写出点C到x轴的距离______；
(2)连接AB、BC、AC，求的面积；
(3)点P在y轴上，当的面积是6时，求出点P的坐标．
【答案】(1)3
(2)15
(3)或
【分析】（1）根据点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值解答即可；
（2）利用面积公式计算即可；
（3）设点P的坐标为，根据面积求出b即可．
（1）
解：∵，
∴点C到x轴的距离是3，
故答案为：3；
（2）
如图，，
（3）
设点P的坐标为，则点P到AB的距离为，
∵，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，利用面积求点坐标，正确理解坐标与图形的关系是解题的关键．
4．（2022·湖北鄂州·七年级期中）已知在平面直角坐标系中有三点，，请回答如下问题：
(1)在坐标系内描出点，，的位置；
(2)求出以，，三点为顶点的三角形的面积；
(3)在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)或
【分析】（1）根据题意描出各点，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式计算，即可求解；
（3）分两种情况讨论，即可求解．
（1）
解：如图所示
（2）
解：
（3）
解：设点P（0，m），则，
∵点，，
∴AB=5，
∵以，，三点为顶点的三角形的面积为10，
当点P在AB的上方时，
，解得：m=5；
当点P在AB的上方时，
，解得：m=-3；
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积是解题的关键．
考点二 利用补形法或分割法求图形的面积
例题：（2022·河南三门峡·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，求的面积．
【答案】5
【分析】根据割补法可进行求解三角形的面积．
【详解】解：由题意画出如下草图：
∵A(－1，3)，B(－2，0)，C(2，2)，
∴D（2，0），E（－2，3），F（2，3），
∴，
∴
=
=5．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握利用割补法求解图形的面积是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河北邯郸·七年级期中）四边形ABCD各顶点的位置如图所示，求四边形ABCD的面积．
【答案】15.5
【分析】根据图象得出各点的坐标，过D点分别作x轴、y轴的垂线，分别交于点F、点E，利用分割法求每部分的面积相加即可．
【详解】解：由图可知，A（0，4），B（-1，0），C（5，0），D（3，3）
过D点分别作x轴、y轴的垂线，分别交于点F、点E，
S四边形ABCD=S△ABO+S△ADE+S△DCF+S正方形OFDE
=×1×4+×3×1+×3×2+3×3
=15.5．
【点睛】本题主要考查坐标与图形及面积计算，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
2．（2021·安徽芜湖·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
(1)求△ABC的面积；
(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【答案】(1)4
(2)（10，0）或（﹣6，0）
【分析】（1）如图所示，S△ABC＝S四边形CDOE﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD，根据三角形面积公式计算即可；
（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|，根据三角形面积公式，列出关于x的方程，解出方程即可得出结果．
（1）
解：过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．
S△ABC＝S四边形CDOE﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD
＝3×42×41×22×3
＝12﹣4﹣1﹣3
＝4．
（2）
设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴1×|x﹣2|＝4．
解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．
【点睛】本题考查直角坐标系，三角形面积计算，方程思想，分类讨论思想，熟练运用三角形面积公式是解题的关键．
3．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）（1）请画出△ABC关于y轴对称 (其中、、分别是A、B、C的对应点)；
（2）直接写出△A1B1C1三点的坐标_______， _______，________．
（3）求出△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）(2，3)，(3，1)，(-1，-2)；
（3）．
【分析】（1）根据A（-2，3），B（-3，1），C（1，-2），关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，写出，，，描点，顺次连接各点；
（2）根据（1）所得点的坐标，，书写；
（3）根据割补法解答，用梯形面积公式和三角形面积公式计算，把一个直角梯形的面积减去两个直角三角形的面积即得．
【详解】（1）∵A（-2，3），B（-3，1），C（1，-2），
∴，，，
描出各点，顺次连接各点；
（2）由（1）知，，，；
故答案为：(2，3)，(3，1)，(-1，-2)；
（3）
．
故△ABC的面积为．
【点睛】本题主要考查了作图：作轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征，梯形面积公式和三角形面积公式，用割补法计算图形的面积．
4．（2022·山东临沂·七年级期末）四边形ABCD各个顶点的坐标分别为、、、．
(1)确定这个四边形的面积，你是怎么做的？写出简要计算过程．
(2)如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标增加2，纵坐标都减少3，所得的四边形和原四边形ABCD的面积是否发生变化？面积是多少？
(3)请用数学原理说出（2）其中的规律？
【答案】(1)见解析；
(2)所得的四边形和原四边形ABCD的面积不改变，面积是；
(3)见解析；
【分析】（1）分别作DM⊥y轴于M， CN⊥y轴于N，然后利用S四边形ABCD=S△CBN+S四边形ADCN=S△CBN+S梯形MNCD-S△ADM，进行计算；
（2）所得的四边形和原四边形ABCD的面积相等；
（3）利用平移进行说明．
（1）
解：分别作DM⊥y轴于M， CN⊥y轴于N，如图，
S四边形ABCD=S△CBN+S四边形ADCN=S△CBN+S梯形MNCD-S△ADM，
，
；
（2）
解：所得的四边形和原四边形ABCD的面积不发生变化，其面积是；
（3）
解：如果把原来四边形A BCD各个顶点的横坐标增加2，纵坐标都减少3，相当于把四边形向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的四边形和原四边形ABCD的面积不发生变化．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，能利用点的坐标得到相应的线段长是解题的关键．
考点三 与图形面积相关的点的存在性问题
例题：（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．
(1)求此四边形的面积；
(2)在x轴上，你能否找到一点P，使？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)44
(2)（-13，0）或（27，0）
【分析】（1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；
（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用三角形的面积求得答案即可．
（1）
解：如图，
过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S=S△AED+S梯形EFCD-S△CFB
=×AE×DE+×（CF+DE）×EF-×FC×FB．
=×2×7+×（7+5）×7-×2×5
=44．
故四边形ABCD的面积为44．
（2）
当点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）；
如图，
S△PBC=|7-x|×5=50，
解得：x=-13或27，
点P坐标为（-13，0），（27，0）．
【点睛】此题考查了坐标与图形，四边形的面积，数形结合是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·贵州·贵阳市南湖实验中学八年级期中）如图，A（a，0），C（b，2），且a，b满足，CB⊥x轴于B．
(1)求S△ABC；
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△ABC＝S△ACP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)存在，或
【分析】(1)先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、C两点坐标后根据三角形面积公式即可求解．
(2)先进行分类讨论：设，当P在y轴正半轴上时，过P作轴，轴，利用可得到关于t的方程，解方程即可求解；当P在y轴负半轴上时，同理可得．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，，
∴
∵CB⊥x轴于B
∴，
∴，
∴
故面积为4
（2）①当P在y轴正半轴上时，如图1，设
过P作轴，轴
∴，，
∴，，，
∵，
∴
∴
解得：，
②当P在y轴负半轴上时，如图2，设
∴M(2，-t)，N(-2，-t)
由①同理可得：，
∴
∴，
解得：，
∴综上所述或．
【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形的性质以及三角形、梯形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，的三个顶点位置分别是．
(1)求的面积是多少？
(2)若点的位置不变，当点P在y轴上时，且，求点P的坐标？
(3)若点的位置不变，当点Q在x轴上时，且，求点Q的坐标？
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；
（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．
【详解】（1）∵，
∴，
点B到的距离为3，
∴的面积；
（2）∵，
∴以为底时，的高，
∴点P在y轴正半轴时，；
点P在y轴负半轴时，；
（3）∵，
∴以为底时，的高为3，底边，
∴点Q在C的左边时，，即；
点Q在C的右边时，，即．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积解决本题的关键在于要分情况讨论．
3．（2020·江苏·建新中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中．
(1)作△ABC关于x轴对称的；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得与△ABC面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，点P坐标为或
【分析】（1）根据轴对称的性质先找出△ABC各顶点关于x轴对称的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）设点P坐标为（a，0），根据与△ABC面积相等列方程求出a的值即可．
（1）
解：如图所示，即为所求；
（2）
解：；
（3）
解：存在，
设点P坐标为（a，0），
根据题意，得：，
解得：a＝或a＝，
∴点P的坐标为（，0）或（，0）．
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，割补法，坐标与图形性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
4．（2022·广东广州·七年级期中）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．
(1)求OA，OB长度；
(2)在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB、AP，当运动的时间t为几秒时， ？并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)存在；或
(3)当移动2.25秒，此时 或移动4.5秒，此时时，．
【分析】（1）根据非负性求出的值即可；
（2）利用进行计算即可；
（3），，利用进行计算即可．
（1）
解：∵， ，
∴，，
解得：，
∴，
∴；
（2）
解：存在．
设
则：，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或
（3）
解：设
，
，
∵，
∴，
∴ ，
整理得：，
解得：或，
当时：（秒），
当时：（秒）；
∴当移动2.25秒，此时 或移动4.5秒，此时时，．
【点睛】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解题的关键．
5．（2022·浙江台州·七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且，，满足关系式，点在第一象限．
(1)求，，的值；
(2)如图1，当时，的面积等于10，求的值；
(3)如图2，连接，当的面积等于的面积时，求满足上述条件的整点（，都是整数）的坐标．
【答案】(1)
(2)4
(3)（2，6）或（6，3）
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求解；
（2）过点P作PD⊥y轴于点D，根据梯形OAPD的面积等于三个三角形的面积之和，即可求解；
（3）先求出△ABC的面积，然后分四种情况讨论，即可求解．
（1）
解：∵，
∴，
解得：；
（2）
解：如图，过点P作PD⊥y轴于点D，，
∵，，
∴PD=m，OD=AE=5，
由（1）得：，，
∴OA=4，OB=3，
∴BD=2，
∵的面积等于10，
∴，
解得：；
（3）
解：∵，，，
∴AC=6，OB=3，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴，
∵点在第一象限．
∴AE=OD=n，DE=OA=4，
当，时，
如图，过点P作PD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥PD交DP延长线于点E，则轴，，
∴，
∴，
∴，
∵，都是整数，
∴m=2，n=6，
此时P（2，6）；
如图，过点B作BG⊥AE于点G，则AG=OB=3，BG=OA=4，
∴△ABG的面积为，
∴，不成立；
当，时，如图，过点P作PF⊥x轴于点F，
∴，
∴，
∵，都是整数，
∴m=6，n=3，
此时点P（6，3）；
当，时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，
∴，
∴，
∵，都是整数，
此时无解；
综上所述，点P的坐标为（2，6）或（6，3）．
【点睛】绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形，点到坐标轴的距离，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键．
6．（2022·广东·惠州市惠阳区朝晖学校八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且满足，线段交轴于点．
(1)求点，的坐标；
(2)点为轴正半轴上一点，若，且，分别平分，，如图，求的度数；
(3)如图，（也可以利用图1）
①求点的坐标；
②坐标轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由（不与重合）．
【答案】(1)，
(2)
(3)①；②存在，P点坐标为或或
【分析】（1）利用平方和绝对值的非负性求出a和b，即可求解；
（2）设AM与y轴交于N点，先利用平行线的性质推出，再利用角平分线的定义推出，进而推出，即可得出；
（3）①连接OB，设，根据列式求出t；②分点在轴上和点在轴上两种情况讨论．
（1）
解：，
，，
，
解得，，
，．
（2）
解：如图，设AM与y轴交于N点，
，
，
而，
，
，
，分别平分，，
，，
，
而，
，
，
，
，
即．
（3）
解：①连接，如图，
设，
，
，
解得，
点坐标为，
②存在，
的面积，
当点在轴上时，设，
，
，
解得或，
此时点坐标为或，
当点在轴上时，设，
则，
解得或，
点与点不重合，
此时点坐标为，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，涉及非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识，综合性较强，难度适中，解题的关键是：（1）注意非负数的性质；（2）利用三角形内角和定理及角平分线的性质推出；（3）注意分类讨论．
