2022-2023学年浙教版数学九年级下册1.1 锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2022九下·铁岭月考）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九下·南平期中）在下列实数中，无理数是（ ）
A．sin45° B． C．0.3 D．tan45°
3．（2022九下·汕头期末）在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sinA= ，tanC= ，则∠ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
4．（2022九下·汕头期末）如图，直线y= x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，则cos∠BAO的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·扬州期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，则BC的长为（ ）
A． B．3 C． D．
6．（2022九下·鄂州月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点 P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 （ ）
A．10 B．5 C．10－10 D．10－5
7．（2022九下·达州月考）在Rt中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九下·长兴月考）已知α是锐角，若sinα=
，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（2022九下·锦江开学考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
10．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022九下·南平期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为 .
12．（2022九下·磐安期中）如图，在 中， ， ， ， 于 ，与 等长的线段 在边 上沿 方向以 的速度向终点 运动 运动前 与 重合 ，过 ， 分别作 的垂线交直角边于 ， 两点，设 运动的时间为 .
（1）线段 运动过程中，四边形 成为矩形时 的值 ；
（2）以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时 的值 .
13．（2022九下·开州期中）如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D在边BC上，以OA为半径的经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC，若∠BAC = 60°，的半径为2，则阴影部分的面积为 .
14．（2022九下·诸暨月考）△ABC内接于圆 ，且 ，圆 的直径为 ， ，则 .
15．（2022九下·黄石月考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④ ；⑤若连接AG，则 ；⑥HF2+HK2＝2HB2.结论正确的有 （只填序号）.
16．（2022九下·长沙月考）如图，在⊙O中，弦AB的长为，圆心到弦AB的距离为1，则∠BOC的度数为 .
三、解答题
17．（2022九下·汕头期末）已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=10，求△ABC的面积。
18．（2022九下·厦门月考）先化简，再求值：，其中.
19．（2022九下·达州月考）先化简，再求值：，其中.
20．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
21．（2022九下·雨花期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N.
（1）若此抛物线过点A（，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且满足CA=CB，求点C的坐标；
（3）已知点M（，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN=60°时，求抛物线的解析式.
22．（2022九下·重庆市期中）如图，在△ABC中，将线段AC绕点C逆时针旋转60°到线段CD，点D恰好落在AB边上，点E是BC边上一点，连接AE、DE，∠AEC=∠BED=60°.
（1）如图1，已知，，求AE的长度；
（2）如图2，在AC上截取，连接DF交AE于点G，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，，将△ABE沿AB所在直线翻折到△ABC同一平面内，得到，连接交AB于点M，请直接写出的值.
23．（2022九下·厦门月考）已知在中，的对边分别是，关于x的方程有两个相等实根.
（1）试判断的形状；
（2）若，求.
24．（2022九下·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：B．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB和BC的长，再利用等面积法求出CD＝，最后利用正弦的定义可得sin∠ABC＝＝＝。
2．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；无理数的认识
【解析】【解答】解： ，
∵、0.3与1是有理数，是无理数，
∴选项A满足题意.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin45°=，tan45°=1，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA= ，tanC=，
∴∠A=60°，∠C=60°，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A=60°，∠C=60°，从而得出∠B=∠A=∠C=60°，即可判断△ABC是等边三角形.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，
令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴cos∠BAO=.
故答案为：A.
【分析】先求出点A、B的坐标，从而得出OA=4，OB=3，AB=5，再利用锐角三角函数的定义即可得出cos∠BAO=.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC，
∴sin∠BDC＝，
∵BD＝4，
∴BC＝3.
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC，然后根据正弦函数的概念进行计算.
6．【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，
在菱形中，
，，
，
，都是等边三角形，
①若以边为底，则垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，最小，最小值；
②若以边为底，为顶角时，以点C为圆心，长为半径作圆，与相交于一点，则弧（除点B外）上的所有点都满足是等腰三角形，当点P在上时，最小，如图所示，
连接交 于O，
为菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
最小值为；
③若以边为底，为顶角，以点B为圆心，为半径作圆，则弧上的点A与点D均满足为等腰三角形，当点P与点A重合时，最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，的最小值为；
故答案为：.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=10，∠A=∠C=60°，推出△ABD、△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，根据垂线段最短的性质可得当点P与点D重合时，PA最小；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，连接AC交BD 于O，根据菱形的性质可得∠ABD=60°，AC=2AO，AC⊥BD，根据三角函数的概念可得AO，进而得到AC，由AP=AC-CP可得PA的最小值；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，据此解答.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ， ，
，
.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据余弦函数的概念进行计算.
8．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵a是锐角，sina=
，
∴a=30°.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，sin30°=
，即可判断a的度数.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，cosA＝
，AE＝3，
∴，解得：AD＝5.
∴DE＝
＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，
∴BE＝5﹣3＝2，
∴tan∠DBE＝
＝2.
故答案为：B.
【分析】根据余弦函数的概念可得AD的值，利用勾股定理求出DE，根据菱形的性质可得AD=AB=5，然后求出BE的值，再根据正切函数的概念进行计算.
10．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】
，
，
， A不符合题意；
，B符合题意；
， C不符合题意；
， D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正弦、余弦和正切的定义逐项判断即可。
11．【答案】或
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：或.
【分析】利用勾股定理可得AB，根据旋转的性质可得B′C′=BC=8，AC′=AC=6，∠B'C'B=90°，则BC′=AB-AC′=4，利用勾股定理可求出BB′，然后根据三角函数的概念进行计算.
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）当四边形PEFQ是矩形时，有 ，
由已知得 ，
与求 类似可求出 ，
，
解得 ，
当 时，四边形PEFQ是矩形.
故答案为： .
（2）当 时， ∽ ，
且四边形PEFQ 是矩形，此时 ，
当 时，
由三角形面积公式得： ，
， ， ，
，
在 中， ， ，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
∽ ，
，
即 ，
解得 ，
当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似.
故答案为： .
【分析】（1）根据矩形的性质可得PE=QF，由已知可得PE=x，QF=(-x)，求解可得x的值；
（2）当∠APQ=∠B时，△APQ∽△ABC，且四边形PEFQ为矩形，同（1）可得x的值；当∠APQ=∠C时，根据三角形的面积公式可得AD，由勾股定理求出BD，然后表示出CF，根据三角函数的概念可得CQ，然后表示出AQ，利用相似三角形的性质求出x，据此解答.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OD、DE，作DH垂直AB于H
∵，且AD平分
∴
∵AE为直径
∴
∴
∵
∴，为等边三角形
∴，
∴OD∥AC，
在中，
∴，
∴阴影部分的面积
故答案为： .
【分析】连接OD、DE，作DH垂直AB于H，根据角平分线的概念可得∠CAD=∠DAB=30°，根据圆周角定理可得∠ADE=90°，则∠AED=60°，推出△ODE为等边三角形，利用三角函数的概念求出DH、OB、AB，然后根据S阴影=S△ADB-S△AOD-S扇形ODE进行计算.
14．【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图1，延长AO交BC于D ，连接OB ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
，
；
如图2， ，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当△ABC为锐角三角形时，延长AO交BC于D，连接OB，由垂径定理得AD⊥BC，BD=CD，利用勾股定理可得OD，根据AD=AO+OD可得AD，然后利用勾股定理求出AB，再根据三角函数的概念进行计算即可；当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理求出AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
15．【答案】①②③④⑤⑥
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AL⊥BE交CD于点L，
∴四边形AHKL是平行四边形，
∴AL＝HK，
∵AB＝AD，∠ADL＝∠BAP＝90°，
∵∠DAJ＋∠APB＝∠DAL＋∠ALD＝90°，
∴∠APB＝∠ALD，
∴△ADL≌△BAP（AAS），
∴BP＝AL＝HK，故①正确；
延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠BFN＝∠FBN＝∠BFA，
∴BM＝BA＝BC，
∴∠FEG＝∠KEG，
∴△EFG≌△EKG（ASA），
∴FG＝KG，
∴BE垂直平分FK，
∴BF＝BK，
∵BA＝BC，
∴Rt△ABF≌Rt△CBK（HL），
∴∠ABF＝∠CBK，
∴∠FBK＝∠ABF＋∠ABK＝∠CBK＋∠ABK＝90°，
∴∠FBE＝∠KBE＝45°，
∴∠ABF＋∠FEB＝∠ABF＋∠BED＝∠ABF＋∠ABP＝∠FBE＝45°，故②正确；
∵∠DFK＝90° ∠EKG＝∠BEC，
∴tan∠DFK＝tan∠BEC＝ ＝ ，
∴BG＝FG＝2PG，
∴PE＝PB＝PG＋BG＝3PG，
∴PG：BG：PE＝1：2：3，故③正确；
设正方形边长为a，由 ＝tan∠DFK＝ ，
∴DF＝2DK，
即：a＋AF＝2（a CK），
∴AF＝CK＝ a，
∴BF＝ = a，
∴sin∠ABF＝ = ，故④正确；
过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，
∵∠PGF＝∠HGB，FG＝BG，∠PFG＝∠HBG，
∴△FPG≌△BHG（ASA），
∴PF＝BH，PG＝HG，
∵∠AGQ＝∠FGB＝90°，
∴∠AGQ ∠FGQ=∠BGF ∠FGQ，
∴∠AGF＝∠BGQ，
∵∠AFG＝∠QBG，FG＝BG，
∴△AFG≌△BHG（ASA），
∴AG＝QG，AF＝BQ，
∴HQ＝BH BQ＝PF AF＝AP，
∴ AG＝AQ＝AH＋HQ＝AH＋AP，故⑤正确；
在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH＝CI，
∴△AFH≌△CKI（SAS），
∴∠AFH＝∠CKI，
∴KI＝FH，
∴∠HKI＝180° ∠FKD ∠AFH＝180° ∠FKD ∠CKI＝90°，
∴HF2＋HK2＝KI2＋HK2＝HI2＝2BH2，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥.
【分析】过点A作AL⊥BE交CD于点L，根据平行四边形的性质可得AL＝HK，根据同角的余角相等可得∠APB＝∠ALD，证明△ADL≌△BAP，据此判断①；延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，由等腰三角形的性质可得∠FEG＝∠KEG，证明△EFG≌△EKG，得到FG＝KG，由垂直平分线的性质可得BF＝BK，证明Rt△ABF≌Rt△CBK，得到∠ABF＝∠CBK，易得∠FBE＝∠KBE＝45°，进而判断②；根据三角函数的概念可得BG＝FG＝2PG，则PE＝PB＝3PG，据此判断③；设正方形边长为a，由三角函数的概念得DF＝2DK，则AF＝CK＝a，由勾股定理得BF，然后根据三角函数的概念可判断④；过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，证明△FPG≌△BHG，得到PF＝BH，PG＝HG，根据角的和差关系可推出∠AGF＝∠BGQ，证△AFG≌△BHG，得到AG＝QG，AF＝BQ，则HQ＝BH-BQ＝PF-AF＝AP，据此判断⑤；在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH=CI，证△AFH≌△CKI，得到∠AFH＝∠CKI，根据内角和定理可得∠HKI＝90°，结合勾股定理可判断⑥.
16．【答案】60°
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝，∠OCB＝90°
∴△OBC为直角三角形
∵OC＝1，
∴tan∠BOC＝，
∴∠BOC＝60°.
故答案为：60°.
【分析】根据垂径定理可得AC＝BC＝，∠OCB＝90°，则△OBC为直角三角形，然后根据三角函数的概念求出tan∠BOC的值，根据特殊角的三角函数值就可得到∠BOC的度数.
17．【答案】解：∵，
设BC=2x，AB=3x
∴
解得x1= （舍去），x2=
∴BC= AB=
∴S△ABC=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
18．【答案】解：
=
=
=.
∵=2×+1=+1，
∴原式===.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对括号中的第二个分式的分母进行分解，然后对括号中的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
19．【答案】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
当＝ 时，
原式＝
＝
＝
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对第一个分式的分子、分母进行分解因式，对括号中的式子进行通分计算，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简；根据特殊角的三角函数值可得x的值，然后代入化简后的式子中进行计算即可.
20．【答案】解：原式＝﹣×
＝﹣
＝，
∵a＝tan60°﹣6sin30°＝﹣6×＝﹣3，
∴原式＝＝＝1﹣2．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
21．【答案】（1）解：把A（，1）代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴点B的坐标为（0，4），
设直线AB的解析式为，把A、B两个点的坐标代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵CA=CB，
∴点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C，如图所示：
∵点M为AB的中点，
∴点M的坐标为，即，
设CM的解析式为：，把代入得：
，解得：，
∴CM的解析式为：，
联立，
解得：，，
∴点C的坐标为或；
（3）解：由y＝ x2＋kx 2k＝k（x 2） x2，
当x 2＝0时，x＝2，y＝ 4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2， 4），
二次函数的顶点N，
①如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，连接HN，若时，则k＞4，
，H（2， 4），
，，
，
∴∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴∠NHI＝30°，
即∠GNH＝30°，
由图可知，，
解得：或（不合题意舍去）；
②如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若时，则k＜4，
同理可得，∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴NH⊥HI，
即，
解得k＝4（不符合题意舍弃）；
③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为：.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出B点的坐标，求出直线AB的解析式，由题意易知点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C， 再利用中点坐标公式表示出M点坐标，利用待定系数法求出CM的关系式， 与抛物线的关系式联立方程组，即可求解；
（3）先求出定点H的坐标，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI= 30°，然后分 ①若时，则k＜4，②若时，则k＜4，③若＝2，三种情况讨论，即可解决问题.
22．【答案】（1）解：过点C作CH⊥AE于点H，
∵将线段AC绕点C逆时针旋转60°到线段CD，
∴AC= CD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，则∠CAD=∠CDA=60°，AD=AC=CD，
∵∠BCD=15°，∠AEC=∠BED=60°，
∴∠EAD=180°-∠CDA-∠AQD=180°-∠CEA-∠CQE=∠ECQ=15°，
∴∠CAH=∠CAD-∠EAD =45°，
∵AC=，∠CAH=45°，CH⊥AE，
∴CH=AH=AC=，
∵∠CEH=60°，
∴EH=，
∴AE= AH+ EH=；
（2）解：作∠CDB的平分线DM，交AE的延长线于点M，连接BM，
∵∠CEH=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠CDM=∠BDM=60°，
∴∠ADM=∠CDB=120°，
由（1）知∠EAD=∠ECQ，AD=CD，
∴△ADM≌△CDB（ASA），
∴DM=DB，
∴△MBD是等边三角形，
∵∠CAD=∠MDB=60°，
∴AF∥MD，
∴∠FAG=∠GMD，
∵AF=DB，
∴AF=DB=MD，∠FGA=∠MGD，
∴△FAG≌△GMD （AAS），
∴FG=DG；
（3）解：如图，过点作，连接交于点，
，
，
，，
，，
对称
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
在与中，，∠AEC=∠BED=60°.
，
，
即，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥AE于点H，根据旋转的性质可得AC= CD，∠ACD=60°，推出△ACD是等边三角形，得到∠CAD=∠CDA=60°，AD=AC=CD，易得∠EAD=15°，∠CAH=45°，由等腰直角三角形的性质可得CH=AH=AC=，利用三角函数的概念得EH，然后根据AE= AH+EH进行计算；
（2）作∠CDB的平分线DM，交AE的延长线于点M，连接BM，证明△ADM≌△CDB，得到DM=DB，推出△MBD是等边三角形，得到∠CAD=∠MDB=60°，则AF∥MD，根据平行线的性质可得∠FAG=∠GMD，则AF=DB，证明△FAG≌△GMD，据此可得结论；
（3）过点C作CP⊥AB，连接EE′交AB于点Q，证明△MCP∽△ME′Q，△BEQ∽△BCP，根据轴对称的性质可得E′Q=EQ，根据三角函数的概念可得AP、PC，然后求出AB、PB，利用勾股定理求出BC，证明△BDE∽△BCA，根据相似三角形的性质求出BE，据此计算.
23．【答案】（1）解：由题意，得 =4b2-4a2-4c2=0，
∴b2-a2-c2=0，
∴b2=a2+c2，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵b2=a2+c2，
∴b2=(3b-3c)2+c2，
∴4b2+5c2-9bc=0，
∴，
∴，或，
为直角三角形的内角，
舍去
∴=.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根可得 =0，代入并化简可得b2=a2+c2，据此可确定出△ABC的形状；
（2）根据已知条件可得a=3b-3c，结合b2=a2+c2可得4b2+5c2-9bc=0，两边同时除以b2可得的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
24．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB．
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°，AE＝AD．
∴△ABE≌△DFA．
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB＝DF＝6
在直角 中， ，
在直角 中， ，
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°， 从而得出∠DAF＝∠AEB，AE＝AD，根据垂直的定义得出∠AFD＝90°，利于AAS即可证出△ABE≌△DFA；
（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DF＝6，根据勾股定理求出AF=8，从而求出EF=2，再根据勾股定理求出DE=，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册1.1 锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2022九下·铁岭月考）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：B．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB和BC的长，再利用等面积法求出CD＝，最后利用正弦的定义可得sin∠ABC＝＝＝。
2．（2022九下·南平期中）在下列实数中，无理数是（ ）
A．sin45° B． C．0.3 D．tan45°
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；无理数的认识
【解析】【解答】解： ，
∵、0.3与1是有理数，是无理数，
∴选项A满足题意.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin45°=，tan45°=1，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
3．（2022九下·汕头期末）在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sinA= ，tanC= ，则∠ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA= ，tanC=，
∴∠A=60°，∠C=60°，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A=60°，∠C=60°，从而得出∠B=∠A=∠C=60°，即可判断△ABC是等边三角形.
4．（2022九下·汕头期末）如图，直线y= x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，则cos∠BAO的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，
令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴cos∠BAO=.
故答案为：A.
【分析】先求出点A、B的坐标，从而得出OA=4，OB=3，AB=5，再利用锐角三角函数的定义即可得出cos∠BAO=.
5．（2022九下·扬州期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，则BC的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC，
∴sin∠BDC＝，
∵BD＝4，
∴BC＝3.
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC，然后根据正弦函数的概念进行计算.
6．（2022九下·鄂州月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点 P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 （ ）
A．10 B．5 C．10－10 D．10－5
【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，
在菱形中，
，，
，
，都是等边三角形，
①若以边为底，则垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，最小，最小值；
②若以边为底，为顶角时，以点C为圆心，长为半径作圆，与相交于一点，则弧（除点B外）上的所有点都满足是等腰三角形，当点P在上时，最小，如图所示，
连接交 于O，
为菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
最小值为；
③若以边为底，为顶角，以点B为圆心，为半径作圆，则弧上的点A与点D均满足为等腰三角形，当点P与点A重合时，最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，的最小值为；
故答案为：.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=10，∠A=∠C=60°，推出△ABD、△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，根据垂线段最短的性质可得当点P与点D重合时，PA最小；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，连接AC交BD 于O，根据菱形的性质可得∠ABD=60°，AC=2AO，AC⊥BD，根据三角函数的概念可得AO，进而得到AC，由AP=AC-CP可得PA的最小值；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，据此解答.
7．（2022九下·达州月考）在Rt中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ， ，
，
.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据余弦函数的概念进行计算.
8．（2022九下·长兴月考）已知α是锐角，若sinα=
，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵a是锐角，sina=
，
∴a=30°.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，sin30°=
，即可判断a的度数.
9．（2022九下·锦江开学考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，cosA＝
，AE＝3，
∴，解得：AD＝5.
∴DE＝
＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，
∴BE＝5﹣3＝2，
∴tan∠DBE＝
＝2.
故答案为：B.
【分析】根据余弦函数的概念可得AD的值，利用勾股定理求出DE，根据菱形的性质可得AD=AB=5，然后求出BE的值，再根据正切函数的概念进行计算.
10．（2022九下·嘉祥开学考）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】
，
，
， A不符合题意；
，B符合题意；
， C不符合题意；
， D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正弦、余弦和正切的定义逐项判断即可。
二、填空题
11．（2022九下·南平期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为 .
【答案】或
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：或.
【分析】利用勾股定理可得AB，根据旋转的性质可得B′C′=BC=8，AC′=AC=6，∠B'C'B=90°，则BC′=AB-AC′=4，利用勾股定理可求出BB′，然后根据三角函数的概念进行计算.
12．（2022九下·磐安期中）如图，在 中， ， ， ， 于 ，与 等长的线段 在边 上沿 方向以 的速度向终点 运动 运动前 与 重合 ，过 ， 分别作 的垂线交直角边于 ， 两点，设 运动的时间为 .
（1）线段 运动过程中，四边形 成为矩形时 的值 ；
（2）以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时 的值 .
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）当四边形PEFQ是矩形时，有 ，
由已知得 ，
与求 类似可求出 ，
，
解得 ，
当 时，四边形PEFQ是矩形.
故答案为： .
（2）当 时， ∽ ，
且四边形PEFQ 是矩形，此时 ，
当 时，
由三角形面积公式得： ，
， ， ，
，
在 中， ， ，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
∽ ，
，
即 ，
解得 ，
当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似.
故答案为： .
【分析】（1）根据矩形的性质可得PE=QF，由已知可得PE=x，QF=(-x)，求解可得x的值；
（2）当∠APQ=∠B时，△APQ∽△ABC，且四边形PEFQ为矩形，同（1）可得x的值；当∠APQ=∠C时，根据三角形的面积公式可得AD，由勾股定理求出BD，然后表示出CF，根据三角函数的概念可得CQ，然后表示出AQ，利用相似三角形的性质求出x，据此解答.
13．（2022九下·开州期中）如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D在边BC上，以OA为半径的经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC，若∠BAC = 60°，的半径为2，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OD、DE，作DH垂直AB于H
∵，且AD平分
∴
∵AE为直径
∴
∴
∵
∴，为等边三角形
∴，
∴OD∥AC，
在中，
∴，
∴阴影部分的面积
故答案为： .
【分析】连接OD、DE，作DH垂直AB于H，根据角平分线的概念可得∠CAD=∠DAB=30°，根据圆周角定理可得∠ADE=90°，则∠AED=60°，推出△ODE为等边三角形，利用三角函数的概念求出DH、OB、AB，然后根据S阴影=S△ADB-S△AOD-S扇形ODE进行计算.
14．（2022九下·诸暨月考）△ABC内接于圆 ，且 ，圆 的直径为 ， ，则 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图1，延长AO交BC于D ，连接OB ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
，
；
如图2， ，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当△ABC为锐角三角形时，延长AO交BC于D，连接OB，由垂径定理得AD⊥BC，BD=CD，利用勾股定理可得OD，根据AD=AO+OD可得AD，然后利用勾股定理求出AB，再根据三角函数的概念进行计算即可；当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理求出AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
15．（2022九下·黄石月考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④ ；⑤若连接AG，则 ；⑥HF2+HK2＝2HB2.结论正确的有 （只填序号）.
【答案】①②③④⑤⑥
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AL⊥BE交CD于点L，
∴四边形AHKL是平行四边形，
∴AL＝HK，
∵AB＝AD，∠ADL＝∠BAP＝90°，
∵∠DAJ＋∠APB＝∠DAL＋∠ALD＝90°，
∴∠APB＝∠ALD，
∴△ADL≌△BAP（AAS），
∴BP＝AL＝HK，故①正确；
延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠BFN＝∠FBN＝∠BFA，
∴BM＝BA＝BC，
∴∠FEG＝∠KEG，
∴△EFG≌△EKG（ASA），
∴FG＝KG，
∴BE垂直平分FK，
∴BF＝BK，
∵BA＝BC，
∴Rt△ABF≌Rt△CBK（HL），
∴∠ABF＝∠CBK，
∴∠FBK＝∠ABF＋∠ABK＝∠CBK＋∠ABK＝90°，
∴∠FBE＝∠KBE＝45°，
∴∠ABF＋∠FEB＝∠ABF＋∠BED＝∠ABF＋∠ABP＝∠FBE＝45°，故②正确；
∵∠DFK＝90° ∠EKG＝∠BEC，
∴tan∠DFK＝tan∠BEC＝ ＝ ，
∴BG＝FG＝2PG，
∴PE＝PB＝PG＋BG＝3PG，
∴PG：BG：PE＝1：2：3，故③正确；
设正方形边长为a，由 ＝tan∠DFK＝ ，
∴DF＝2DK，
即：a＋AF＝2（a CK），
∴AF＝CK＝ a，
∴BF＝ = a，
∴sin∠ABF＝ = ，故④正确；
过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，
∵∠PGF＝∠HGB，FG＝BG，∠PFG＝∠HBG，
∴△FPG≌△BHG（ASA），
∴PF＝BH，PG＝HG，
∵∠AGQ＝∠FGB＝90°，
∴∠AGQ ∠FGQ=∠BGF ∠FGQ，
∴∠AGF＝∠BGQ，
∵∠AFG＝∠QBG，FG＝BG，
∴△AFG≌△BHG（ASA），
∴AG＝QG，AF＝BQ，
∴HQ＝BH BQ＝PF AF＝AP，
∴ AG＝AQ＝AH＋HQ＝AH＋AP，故⑤正确；
在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH＝CI，
∴△AFH≌△CKI（SAS），
∴∠AFH＝∠CKI，
∴KI＝FH，
∴∠HKI＝180° ∠FKD ∠AFH＝180° ∠FKD ∠CKI＝90°，
∴HF2＋HK2＝KI2＋HK2＝HI2＝2BH2，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥.
【分析】过点A作AL⊥BE交CD于点L，根据平行四边形的性质可得AL＝HK，根据同角的余角相等可得∠APB＝∠ALD，证明△ADL≌△BAP，据此判断①；延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，由等腰三角形的性质可得∠FEG＝∠KEG，证明△EFG≌△EKG，得到FG＝KG，由垂直平分线的性质可得BF＝BK，证明Rt△ABF≌Rt△CBK，得到∠ABF＝∠CBK，易得∠FBE＝∠KBE＝45°，进而判断②；根据三角函数的概念可得BG＝FG＝2PG，则PE＝PB＝3PG，据此判断③；设正方形边长为a，由三角函数的概念得DF＝2DK，则AF＝CK＝a，由勾股定理得BF，然后根据三角函数的概念可判断④；过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，证明△FPG≌△BHG，得到PF＝BH，PG＝HG，根据角的和差关系可推出∠AGF＝∠BGQ，证△AFG≌△BHG，得到AG＝QG，AF＝BQ，则HQ＝BH-BQ＝PF-AF＝AP，据此判断⑤；在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH=CI，证△AFH≌△CKI，得到∠AFH＝∠CKI，根据内角和定理可得∠HKI＝90°，结合勾股定理可判断⑥.
16．（2022九下·长沙月考）如图，在⊙O中，弦AB的长为，圆心到弦AB的距离为1，则∠BOC的度数为 .
【答案】60°
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝，∠OCB＝90°
∴△OBC为直角三角形
∵OC＝1，
∴tan∠BOC＝，
∴∠BOC＝60°.
故答案为：60°.
【分析】根据垂径定理可得AC＝BC＝，∠OCB＝90°，则△OBC为直角三角形，然后根据三角函数的概念求出tan∠BOC的值，根据特殊角的三角函数值就可得到∠BOC的度数.
三、解答题
17．（2022九下·汕头期末）已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=10，求△ABC的面积。
【答案】解：∵，
设BC=2x，AB=3x
∴
解得x1= （舍去），x2=
∴BC= AB=
∴S△ABC=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
18．（2022九下·厦门月考）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
=
=
=.
∵=2×+1=+1，
∴原式===.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对括号中的第二个分式的分母进行分解，然后对括号中的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
19．（2022九下·达州月考）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
当＝ 时，
原式＝
＝
＝
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对第一个分式的分子、分母进行分解因式，对括号中的式子进行通分计算，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简；根据特殊角的三角函数值可得x的值，然后代入化简后的式子中进行计算即可.
20．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
【答案】解：原式＝﹣×
＝﹣
＝，
∵a＝tan60°﹣6sin30°＝﹣6×＝﹣3，
∴原式＝＝＝1﹣2．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
21．（2022九下·雨花期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N.
（1）若此抛物线过点A（，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且满足CA=CB，求点C的坐标；
（3）已知点M（，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN=60°时，求抛物线的解析式.
【答案】（1）解：把A（，1）代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴点B的坐标为（0，4），
设直线AB的解析式为，把A、B两个点的坐标代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵CA=CB，
∴点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C，如图所示：
∵点M为AB的中点，
∴点M的坐标为，即，
设CM的解析式为：，把代入得：
，解得：，
∴CM的解析式为：，
联立，
解得：，，
∴点C的坐标为或；
（3）解：由y＝ x2＋kx 2k＝k（x 2） x2，
当x 2＝0时，x＝2，y＝ 4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2， 4），
二次函数的顶点N，
①如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，连接HN，若时，则k＞4，
，H（2， 4），
，，
，
∴∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴∠NHI＝30°，
即∠GNH＝30°，
由图可知，，
解得：或（不合题意舍去）；
②如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若时，则k＜4，
同理可得，∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴NH⊥HI，
即，
解得k＝4（不符合题意舍弃）；
③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为：.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出B点的坐标，求出直线AB的解析式，由题意易知点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C， 再利用中点坐标公式表示出M点坐标，利用待定系数法求出CM的关系式， 与抛物线的关系式联立方程组，即可求解；
（3）先求出定点H的坐标，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI= 30°，然后分 ①若时，则k＜4，②若时，则k＜4，③若＝2，三种情况讨论，即可解决问题.
22．（2022九下·重庆市期中）如图，在△ABC中，将线段AC绕点C逆时针旋转60°到线段CD，点D恰好落在AB边上，点E是BC边上一点，连接AE、DE，∠AEC=∠BED=60°.
（1）如图1，已知，，求AE的长度；
（2）如图2，在AC上截取，连接DF交AE于点G，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，，将△ABE沿AB所在直线翻折到△ABC同一平面内，得到，连接交AB于点M，请直接写出的值.
【答案】（1）解：过点C作CH⊥AE于点H，
∵将线段AC绕点C逆时针旋转60°到线段CD，
∴AC= CD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，则∠CAD=∠CDA=60°，AD=AC=CD，
∵∠BCD=15°，∠AEC=∠BED=60°，
∴∠EAD=180°-∠CDA-∠AQD=180°-∠CEA-∠CQE=∠ECQ=15°，
∴∠CAH=∠CAD-∠EAD =45°，
∵AC=，∠CAH=45°，CH⊥AE，
∴CH=AH=AC=，
∵∠CEH=60°，
∴EH=，
∴AE= AH+ EH=；
（2）解：作∠CDB的平分线DM，交AE的延长线于点M，连接BM，
∵∠CEH=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠CDM=∠BDM=60°，
∴∠ADM=∠CDB=120°，
由（1）知∠EAD=∠ECQ，AD=CD，
∴△ADM≌△CDB（ASA），
∴DM=DB，
∴△MBD是等边三角形，
∵∠CAD=∠MDB=60°，
∴AF∥MD，
∴∠FAG=∠GMD，
∵AF=DB，
∴AF=DB=MD，∠FGA=∠MGD，
∴△FAG≌△GMD （AAS），
∴FG=DG；
（3）解：如图，过点作，连接交于点，
，
，
，，
，，
对称
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
在与中，，∠AEC=∠BED=60°.
，
，
即，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥AE于点H，根据旋转的性质可得AC= CD，∠ACD=60°，推出△ACD是等边三角形，得到∠CAD=∠CDA=60°，AD=AC=CD，易得∠EAD=15°，∠CAH=45°，由等腰直角三角形的性质可得CH=AH=AC=，利用三角函数的概念得EH，然后根据AE= AH+EH进行计算；
（2）作∠CDB的平分线DM，交AE的延长线于点M，连接BM，证明△ADM≌△CDB，得到DM=DB，推出△MBD是等边三角形，得到∠CAD=∠MDB=60°，则AF∥MD，根据平行线的性质可得∠FAG=∠GMD，则AF=DB，证明△FAG≌△GMD，据此可得结论；
（3）过点C作CP⊥AB，连接EE′交AB于点Q，证明△MCP∽△ME′Q，△BEQ∽△BCP，根据轴对称的性质可得E′Q=EQ，根据三角函数的概念可得AP、PC，然后求出AB、PB，利用勾股定理求出BC，证明△BDE∽△BCA，根据相似三角形的性质求出BE，据此计算.
23．（2022九下·厦门月考）已知在中，的对边分别是，关于x的方程有两个相等实根.
（1）试判断的形状；
（2）若，求.
【答案】（1）解：由题意，得 =4b2-4a2-4c2=0，
∴b2-a2-c2=0，
∴b2=a2+c2，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵b2=a2+c2，
∴b2=(3b-3c)2+c2，
∴4b2+5c2-9bc=0，
∴，
∴，或，
为直角三角形的内角，
舍去
∴=.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根可得 =0，代入并化简可得b2=a2+c2，据此可确定出△ABC的形状；
（2）根据已知条件可得a=3b-3c，结合b2=a2+c2可得4b2+5c2-9bc=0，两边同时除以b2可得的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
24．（2022九下·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB．
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°，AE＝AD．
∴△ABE≌△DFA．
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB＝DF＝6
在直角 中， ，
在直角 中， ，
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°， 从而得出∠DAF＝∠AEB，AE＝AD，根据垂直的定义得出∠AFD＝90°，利于AAS即可证出△ABE≌△DFA；
（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DF＝6，根据勾股定理求出AF=8，从而求出EF=2，再根据勾股定理求出DE=，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案.
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