2022-2023学年浙教版数学九年级下册1.2 锐角三角函数的计算 同步练习
一、单选题
1．如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
2．已知β为锐角，cos β≤ ，则β的取值范围为（ ）
A．30°≤β<90° B．0°<β≤60°
C．60°≤β<90° D．30°≤β<60°
3．四位学生用计算器求cos 27°40'的近似值的结果如下，正确的是（ ）
A．0.885 7 B．0.885 6 C．0.885 2 D．0.885 1
4．已知β为锐角，且tan β=3.387，则β约等于（ ）
A．73°33' B．73°27' C．16°27' D．16°21'
5．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是（ ）
A．tan 25°C．sin 27°6．用科学计算器求sin 9°的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．sin9= B．9sin= C．sin9 D．9sin
7．在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，用科学计算器求∠A约等于（ ）
A．24°38' B．65°22' C．67°23' D．22°37'
8．如果∠A为锐角，cos A= ，那么（ ）
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45°
C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
9．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022九下·淮安开学考）比较大小：sin35° cos45°.
12．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
13．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，展开后，若AB∶BC=4∶5，则∠CFD≈ .(精确到0.01°)
14．比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30° 2sin15°cos15°；
②sin36° 2sin18°cos18°；
③sin45° 2sin22.5°cos22.5°；
④sin60° 2sin30°cos30°；
⑤sin80° 2sin40°cos40°．
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α 2sinαcosα．
15．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A、如图，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O、B、C是格点，则扇形OBC的面积等于
B、用科学计算器计算：133sin18°= （结果精确到0.1）
16．请从以下两个小题中任选一题作答，若多选，则按第一题计分．
儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元．那么设一个文具盒标价为x元，依据题意列方程得
三、解答题
17．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
18．已知sin A=0.328 6,tan B=10.08,利用计算器求锐角A,B.(结果精确到0.01°)
19．已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：
均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：AB边上的高（精确到0.01）；
21．（2020九下·镇江月考）
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
22．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
23．如图
（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
24．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解: ∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角函数的增减性解答.当45°＜a＜90°，sina随角度的增大而增大，cosa随角度的增大而减小.
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：当角度是锐角时，余弦函数是随着角度的增加而减小的，
因为cos β≤=cos60°，
所以60°≤cosβ≤90°，
故答案为：C。
【分析】考查余弦函数的增减性：当0°<α<90°，则cosα随着α的增大而减小。
3．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：根据计算器，可得到cos27°40'≈0.8857
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法，并精确到0.0001。
4．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
5．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：因为sin27°tan 25°≈0.4663，
cos25°>cos 30°=，
所以sin 27°故答案为：C。
【分析】根据三角函数不能比较出两个三角函数值的就需要用计算器计算更为快捷。
6．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：计算器上有“sin”这个按键，按完后再按9，即可。
故答案为：A。
【分析】需要对科学计算器上的键比较熟悉。
7．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13
则sin A=.
则∠A≈22°37'
故答案为：D.
【分析】由sin A=求出sinA的值，再根据“反三角函数”的按键求出∠A的值。
8．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：当角度是锐角时，余弦函数是随着角度的增加而减小的，
而cos A=
则0即60°<∠A<90°
故答案为：Ｄ。
【分析】考查余弦函数的增减性：当0°<α<90°，则cosα随着α的增大而减小。
9．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= = =0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选A．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
10．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由tan∠B= ，得
AC=BC tanB=5×tan26．
故选：D．
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B= ，根据计算器的应用，可得答案．
11．【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
13．【答案】53.13°
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由折叠可知，CB=CF.矩形ABCD中，AB=CD，sin ∠CFD= = = .再用计算器求∠CFD≈53.13°.
【分析】在Rt△CDF中，不难得出sin∠CFD==，然后再利用计算器上的反三角函数上的按键有，一种是在三角函数前面加“arc”，一种是在三角函数的“-1”次幂。
14．【答案】=；=；=；=；=；=
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°=2sin15°cos15°；
②sin36°=2sin18°cos18°；
③sin45°=2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°=2sin30°cos30°；
⑤sin80°=2sin40°cos40°．
【分析】根据计算器的使用，可得2倍角三角函数；
15．【答案】7.85；678.9
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由勾股定理，得OB=OC=，BC=，
由勾股定理逆定理，得∠BOC=90°．
扇形OBC的面积等于=π（）2==7.85；
133sin18°=2197×0.309=678.873≈678.9，
故答案为：7.85，678.9．
【分析】根据勾股定理，可得半径的长，根据扇形的面积公式，可得答案；
根据计算器的应用，对计算器给出的结果四舍五入可得答案．
16．【答案】（x+3x﹣6）×（1﹣0.8）=13.2
【知识点】计算器—三角函数
【解析】解：设一个文具盒标价为x元，则书包的标价为（3x﹣6）元，
根据题意得，（x+3x﹣6）×（1﹣0.8）=13.2；
【分析】先表示出书包的标价，再根据节省的钱为打折优惠的部分列出方程即可；
17．【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA= ，cosA= ，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，
∴an+bn＜cn
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，即可得到它们的关系．
18．【答案】解:在计算器中运用表示“反三角函数”的按键，如“arcsin”或“sin-1”，“arctan”或“tan-1”,
分别计算得∠A≈19.18°,∠B≈84.33°。
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】计算器上的反三角函数上的按键有两种，一种是在三角函数前面加“arc”，一种是在三角函数的“-1”次幂。
19．【答案】解：∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取 ， ，1，
若sinA1= ，
∵sinA2≥ ，sinA3≥ ，
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1﹣sinA2）≤4（ ﹣ ）＜0，
方程①无实根，与已知矛盾，
故sinA1≠ ，
同理sinA2≠ ，sinA3≠ ，
若sinA1= ，则sinA2≥ ，sinA3≥ ，
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1﹣sinA2）=4 （ ﹣ ）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，
∴sinA1≠ ，同理sinA2≠ ，sinA3≠ ，
综上，sinA1=1，A1=90°，
这样，其余4n﹣1个内角之和为4n×180°﹣3×90°=720° n﹣270°，这些角均不大于150°，
∴720° n﹣270°≤（4n﹣1） 150°，
故n≤1，又n为正整数，
∴n=1，即多边形为凸六边形，且A4+A5+A6=4×180°﹣3×90°=450°，
∵A4，A5，A6≤150°，
∴A4=A5=A6=150°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角；锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】首先根据30°的倍数得到各个内角的度数可能有的情况，再根据它们的锐角三角函数值结合方程根的情况进行分析．
20．【答案】解：作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中，，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69；
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；
21．【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，科研解答表格中的问题。
（2）观察特殊角的三角函数值随角度的变化规律，可得到角度随函数值的变化情况。
（3）根据一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等，可得答案。
（4）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（5）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（6）观察表中特殊角的三角函数值，可得答案。
22．【答案】（1）解：由题目中的图可以发现：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小
∵18°<34°<50°<62°<88°，
∴sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
（2）=；<；>
（3）解：由cos30°=sin60°，cos70°=sin20°，
∵10°<20°<50°<60°，
∴sin10°即sin10°【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】（2）若α=45°，则sin 45°=cos 45°=；
若α<45°，则sin αcos 45° ，sin45°=cos 45°，则sin α若α>45°，则sin α>sin 45°，而cos αcos α.
故答案为：=；<；>；
【分析】此题考查正弦值与余弦值的增减性，当角是锐角时，正弦值随着角度的增大而增加；余弦值随着角度的增大而减小。
（1）根据发现的规律，判断角度的大小，可直接判断它们的正弦值和余弦值的大小关系；
（2）根据正弦值和余弦值的增减性，分别比较sinα与sin45°，cos α与cos45°的大小关系。
（3）将余弦值根据互余角的两个角中一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，都转化成正弦值作比较。
23．【答案】（1）解：在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC= ，sin∠B2AC= ，sin∠B3AC= ，
而 ＞ ＞ ．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B1AC= ，cos∠B2AC= ，cos∠B3AC= ，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴ ＞ ＞ ．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC
（2）解：sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°
（3）=；＜；＞
（4）解：cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：（（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
24．【答案】（1）解：在Rt△BPE中，sin∠EBP= =sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP= =sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF
（2）解：根据（1）得
sin∠EBP= =sinα，sin∠FBP= =sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册1.2 锐角三角函数的计算 同步练习
一、单选题
1．如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解: ∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角函数的增减性解答.当45°＜a＜90°，sina随角度的增大而增大，cosa随角度的增大而减小.
2．已知β为锐角，cos β≤ ，则β的取值范围为（ ）
A．30°≤β<90° B．0°<β≤60°
C．60°≤β<90° D．30°≤β<60°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：当角度是锐角时，余弦函数是随着角度的增加而减小的，
因为cos β≤=cos60°，
所以60°≤cosβ≤90°，
故答案为：C。
【分析】考查余弦函数的增减性：当0°<α<90°，则cosα随着α的增大而减小。
3．四位学生用计算器求cos 27°40'的近似值的结果如下，正确的是（ ）
A．0.885 7 B．0.885 6 C．0.885 2 D．0.885 1
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：根据计算器，可得到cos27°40'≈0.8857
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法，并精确到0.0001。
4．已知β为锐角，且tan β=3.387，则β约等于（ ）
A．73°33' B．73°27' C．16°27' D．16°21'
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
5．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是（ ）
A．tan 25°C．sin 27°【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：因为sin27°tan 25°≈0.4663，
cos25°>cos 30°=，
所以sin 27°故答案为：C。
【分析】根据三角函数不能比较出两个三角函数值的就需要用计算器计算更为快捷。
6．用科学计算器求sin 9°的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．sin9= B．9sin= C．sin9 D．9sin
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：计算器上有“sin”这个按键，按完后再按9，即可。
故答案为：A。
【分析】需要对科学计算器上的键比较熟悉。
7．在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，用科学计算器求∠A约等于（ ）
A．24°38' B．65°22' C．67°23' D．22°37'
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13
则sin A=.
则∠A≈22°37'
故答案为：D.
【分析】由sin A=求出sinA的值，再根据“反三角函数”的按键求出∠A的值。
8．如果∠A为锐角，cos A= ，那么（ ）
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45°
C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：当角度是锐角时，余弦函数是随着角度的增加而减小的，
而cos A=
则0即60°<∠A<90°
故答案为：Ｄ。
【分析】考查余弦函数的增减性：当0°<α<90°，则cosα随着α的增大而减小。
9．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= = =0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选A．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由tan∠B= ，得
AC=BC tanB=5×tan26．
故选：D．
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B= ，根据计算器的应用，可得答案．
二、填空题
11．（2022九下·淮安开学考）比较大小：sin35° cos45°.
【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
12．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
13．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，展开后，若AB∶BC=4∶5，则∠CFD≈ .(精确到0.01°)
【答案】53.13°
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由折叠可知，CB=CF.矩形ABCD中，AB=CD，sin ∠CFD= = = .再用计算器求∠CFD≈53.13°.
【分析】在Rt△CDF中，不难得出sin∠CFD==，然后再利用计算器上的反三角函数上的按键有，一种是在三角函数前面加“arc”，一种是在三角函数的“-1”次幂。
14．比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30° 2sin15°cos15°；
②sin36° 2sin18°cos18°；
③sin45° 2sin22.5°cos22.5°；
④sin60° 2sin30°cos30°；
⑤sin80° 2sin40°cos40°．
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α 2sinαcosα．
【答案】=；=；=；=；=；=
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°=2sin15°cos15°；
②sin36°=2sin18°cos18°；
③sin45°=2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°=2sin30°cos30°；
⑤sin80°=2sin40°cos40°．
【分析】根据计算器的使用，可得2倍角三角函数；
15．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A、如图，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O、B、C是格点，则扇形OBC的面积等于
B、用科学计算器计算：133sin18°= （结果精确到0.1）
【答案】7.85；678.9
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由勾股定理，得OB=OC=，BC=，
由勾股定理逆定理，得∠BOC=90°．
扇形OBC的面积等于=π（）2==7.85；
133sin18°=2197×0.309=678.873≈678.9，
故答案为：7.85，678.9．
【分析】根据勾股定理，可得半径的长，根据扇形的面积公式，可得答案；
根据计算器的应用，对计算器给出的结果四舍五入可得答案．
16．请从以下两个小题中任选一题作答，若多选，则按第一题计分．
儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元．那么设一个文具盒标价为x元，依据题意列方程得
【答案】（x+3x﹣6）×（1﹣0.8）=13.2
【知识点】计算器—三角函数
【解析】解：设一个文具盒标价为x元，则书包的标价为（3x﹣6）元，
根据题意得，（x+3x﹣6）×（1﹣0.8）=13.2；
【分析】先表示出书包的标价，再根据节省的钱为打折优惠的部分列出方程即可；
三、解答题
17．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA= ，cosA= ，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，
∴an+bn＜cn
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，即可得到它们的关系．
18．已知sin A=0.328 6,tan B=10.08,利用计算器求锐角A,B.(结果精确到0.01°)
【答案】解:在计算器中运用表示“反三角函数”的按键，如“arcsin”或“sin-1”，“arctan”或“tan-1”,
分别计算得∠A≈19.18°,∠B≈84.33°。
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】计算器上的反三角函数上的按键有两种，一种是在三角函数前面加“arc”，一种是在三角函数的“-1”次幂。
19．已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：
均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．
【答案】解：∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取 ， ，1，
若sinA1= ，
∵sinA2≥ ，sinA3≥ ，
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1﹣sinA2）≤4（ ﹣ ）＜0，
方程①无实根，与已知矛盾，
故sinA1≠ ，
同理sinA2≠ ，sinA3≠ ，
若sinA1= ，则sinA2≥ ，sinA3≥ ，
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1﹣sinA2）=4 （ ﹣ ）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，
∴sinA1≠ ，同理sinA2≠ ，sinA3≠ ，
综上，sinA1=1，A1=90°，
这样，其余4n﹣1个内角之和为4n×180°﹣3×90°=720° n﹣270°，这些角均不大于150°，
∴720° n﹣270°≤（4n﹣1） 150°，
故n≤1，又n为正整数，
∴n=1，即多边形为凸六边形，且A4+A5+A6=4×180°﹣3×90°=450°，
∵A4，A5，A6≤150°，
∴A4=A5=A6=150°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角；锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】首先根据30°的倍数得到各个内角的度数可能有的情况，再根据它们的锐角三角函数值结合方程根的情况进行分析．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：AB边上的高（精确到0.01）；
【答案】解：作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中，，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69；
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；
21．（2020九下·镇江月考）
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，科研解答表格中的问题。
（2）观察特殊角的三角函数值随角度的变化规律，可得到角度随函数值的变化情况。
（3）根据一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等，可得答案。
（4）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（5）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（6）观察表中特殊角的三角函数值，可得答案。
22．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
【答案】（1）解：由题目中的图可以发现：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小
∵18°<34°<50°<62°<88°，
∴sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
（2）=；<；>
（3）解：由cos30°=sin60°，cos70°=sin20°，
∵10°<20°<50°<60°，
∴sin10°即sin10°【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】（2）若α=45°，则sin 45°=cos 45°=；
若α<45°，则sin αcos 45° ，sin45°=cos 45°，则sin α若α>45°，则sin α>sin 45°，而cos αcos α.
故答案为：=；<；>；
【分析】此题考查正弦值与余弦值的增减性，当角是锐角时，正弦值随着角度的增大而增加；余弦值随着角度的增大而减小。
（1）根据发现的规律，判断角度的大小，可直接判断它们的正弦值和余弦值的大小关系；
（2）根据正弦值和余弦值的增减性，分别比较sinα与sin45°，cos α与cos45°的大小关系。
（3）将余弦值根据互余角的两个角中一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，都转化成正弦值作比较。
23．如图
（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
【答案】（1）解：在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC= ，sin∠B2AC= ，sin∠B3AC= ，
而 ＞ ＞ ．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B1AC= ，cos∠B2AC= ，cos∠B3AC= ，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴ ＞ ＞ ．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC
（2）解：sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°
（3）=；＜；＞
（4）解：cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：（（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
24．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【答案】（1）解：在Rt△BPE中，sin∠EBP= =sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP= =sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF
（2）解：根据（1）得
sin∠EBP= =sinα，sin∠FBP= =sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
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