2022-2023学年浙教版数学九年级下册1.3 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022九下·汕头期末）如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡度 i1 =1：2，背水坡CD的坡度i2=1：1，若坡面CD的长度为 米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
2．（2022九下·义乌月考）如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B． C． D．
3．（2022九下·长兴月考）如图，若△ABC底边BC上的高为h1，△DEF底边EF上的高为h2，则h1与h2的大小关系是（ ）
A．h1=h2 B．h1C．h1>h2 D．以上都有可能
4．（2022九下·哈尔滨开学考）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
5．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．（2022九下·泉州开学考）已知一道斜坡的坡比为1： ，坡长为24米，那么坡高为（ ）米.
A． B．12 C． D．6
7．（2022九下·长沙开学考）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高 ，则坡面AB的长度是（ ）m
A．8 B．16 C． D．
8．（2022九下·内江开学考）如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
9．（2022九下·义乌开学考）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022九下·萧山开学考）在 中，∠C= ，AB=4， ，则 的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
11．（2022九下·福州期中）平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为，∠B为，边AB的长为2m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是 m.（参考数据：，，）.
12．（2022九下·长沙期中）如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为6，则的度数为 .
13．（2022九下·厦门月考）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米.
14．（2022九下·扬州期中）如图，已知斜坡AC的坡度i＝1：2，小明沿斜坡AC从点A行进10m至点B，在这个过程中小明升高 m.
15．（2022九下·黄石月考）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度 .（结果保留根号）
16．（2022九下·厦门月考）某通信公司准备逐步在山上建设5G基站.如图，某处斜坡的坡角的正切值为，通讯塔垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段长26米则通讯塔的高度约为 米.（参考数据：，，）
三、解答题
17．（2022九下·磐安期中）
某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量.
课题
测量嵩岳寺塔的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案
在点 处放置高为 米的测角仪 ，此时测得塔顶端 的仰角为 ，再沿 方向走 米到达点 处，此时测得塔顶端 的仰角为 .
说明： 、 、 三点在同一水平线上
请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔 的高度.
精确到0.1米，参考数据： ， ，
18．（2022九下·巴中月考）如图，小丽家住在巴河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC. 为了测量大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为45°，爬上楼顶D处得大厦顶部B的仰角为30°. 已知小丽家所住的电梯公寓高36米，请你帮助小丽计算出大厦高度BC，结果保留整数.（参考数据：，）
19．（2022九下·扬州期中）扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成.周末汐汐和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度.于是汐汐走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了40米至点E处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知汐汐的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
20．（2022九下·儋州月考）在一次户外综合实践活动中，九年级数学兴趣小组用无人机航拍测量公园内一条笔直的骑行步道AB的长度.由于无人机控制距离有限，为了安全，不能直接测量，他们采用如下方法：如图，在起点A的正上方点C处测得终点B的俯角α＝17.1°；接着无人机往终点B方向水平飞行0.9km到达点D处， 此时测得终点B的俯角β＝45°.求骑行步道AB的长度.（结果精确到0.1km，参考数据：sin17.1°≈0.29，cos17.1°≈0.96，tan17.1°≈0.31，）
四、综合题
21．（2022九下·铁岭月考）如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
22．（2022九下·渝北期中）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4（即AB：AE＝1：4），坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°.
（1）求AB的高；
（2）求树高CD.（结果保留根号）
23．（2022九下·义乌期中）图（1）为某大型商场的自动扶梯．图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（ ）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）．
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）．
24．（2022九下·江津期中）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在F处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面距离EF为1.6m，
（1）若F与BC相距12m，求建筑物BC的高度；
（2）若旗杆AB长3.15m，求建筑物BC的高度．（结果精确到0.1m）（参考数据： ≈1.414，sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，
∵tanA==1：2，tanB==1：2，
∴AE=2BE，CF=DF，
∵CF2+DF2=CD2，
∴CF2+CF2=（6）2，
∴CF=6米，
∵DC∥AB，
∴四边形EFCD为矩形，
∴BE=CF=6米，
∴AE=12米，
∴AB=米.
故答案为：C.
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，根据题意求出CF=BE=6米，AE=12米，再根据勾股定理即可得出AB的长.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠C=20°，
∴，
∴BC=AC·=100.
故答案为：B.
【分析】根据余弦的定义得出，即可得出BC=100.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，
∴在Rt△ABC中，h1=AH=5·sin50°，
在Rt△DGF中，h2=DG=5·sin50°，
∴h1=h2.
故答案为：A.
【分析】分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，分别在Rt△ABC中和Rt△DGF中，利用锐角三角函数表示出h1和h2，再比较大小即可得出正确答案.
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°.
故答案为：A．
【分析】利用解直角三角形的方法可得AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°。
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： ，
，
米，
米；
故答案为：D．
【分析】利用解直角三角形的方法可得 。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设坡度为
∴
∴
∴坡高=
坡长=12.
故答案为：B
【分析】 由斜坡的坡比为1： ，可得坡度为30°，再利用30°角的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴BC：AC＝1：2，
∵BC＝4m，
∴AC＝8m，
则
（m）.
故答案为：C.
【分析】由坡比可得BC：AC＝1：2，据此求出AC，再利用勾股定理求出AB即可.
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过B作BM⊥AD于M，如图：
由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴BC＝AC＝100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，sin∠BCM＝，
∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50，
即B点到河岸AD的距离为50米.
故答案为：D.
【分析】过B作BM⊥AD于M，由题意得：∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，结合外角的性质可得∠ABC＝30°，推出BC＝AC＝100米，然后根据∠BCM的正弦函数就可求出BM，即B点到河岸AD的距离.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=BC=1 ，
在Rt △OAB中， sinα =
∴OB=
∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2
∴OC2 =( )2+12=
故答案为：B.
【分析】由正弦函数的定义得sin α = ，从而表示出OB的长，再由勾股定理OB2+BC2=OC2，可表示出OC2，由此得出答案.
10．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
，
∴∠A=60°，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出∠A的度数，再利用解直角三角形求出BC的长.
11．【答案】0.7
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
在中， ，
则 ，
则 ，
故答案为：0.7.
【分析】利用三角形的内角和定理可得到∠C=90°，再利用解直角三角形求出BC的长；然后根据CD=BC-BD，可求出CD的长.
12．【答案】60°
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，AB=，
∴AC=BC=，
在Rt△OBC中，OC=6，
∵
∴∠BOC=60°.
故答案为：60°.
【分析】利用垂径定理可求出BC的长，再利用解直角三角形求出∠BOC的度数.
13．【答案】750
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，
AC=30×25=750（米），
∴AD=AC sin45°=375（米），
∴AB=2AD= 750 （米）.
故答案为： 750 .
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，易得∠ACD=45°，AC=30×25=750米，根据三角函数的概念可求出AD，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥水平面于点D，
∵斜坡AC的坡度i＝1：2，
∴AD＝2BD，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
即（2BD）2+BD2＝102，
解得：BD＝2，
∴在这个过程中小明升高了2m.
故答案为：2.
【分析】过点B作BD⊥水平面于点D，根据坡度可得AD＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出BD，即小明升高的距离.
15．【答案】（6+4 ）米
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
∴DE DC＝2(米)，
过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF＝DF＝x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴ （米），
BD BF x米，DC＝4米，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得： ，
解得：x＝4+4 ，
则AB＝（6+4 ）米.
故答案为：（6+4 ）米.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得DE=CD=2米，过D作DF⊥AB，交AB于点F，易得△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，根据矩形的性质可得AF＝DE＝2米，则AB＝(x+2)米，根据三角函数的概念可得BC、BD，在Rt△BCD中，根据勾股定理可求出x，进而可得AB.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DG⊥AF，G为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡角∠BCD的正切值为，
∴，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，CD=26米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即（5k）2+（12k）2=262，
解得k=2，
∴DM=10（米），CM=24（米），
∵斜坡CB的坡角∠BCE的正切值为，
设DG=12a米，则BG=5a米，
∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=CM+MF=（24+12a）米，
∴AG=AF-GF=24+12a-10=（14+12a）米，
在Rt△ADG中，DG=12a米，AG=（14+12a）米，
∵，
∴，
解得，
∴DG=12a=42（米），AG=14+12a=56（米），
BG=5a=（米），
∴AB=AG-BG=56-=（米），
故答案为：.
【分析】延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DG⊥AF，G为垂足，连接AC，AD，由题意知tan∠BCE=，可设DM=5k米，则CM=12k米，利用勾股定理得CM2+DM2=CD2，据此建立方程求出k值，即得DM、CM的长，由tan∠BCE=tan∠BDG=，设DG=12a米，则BG=5a米，可得AF=CF=CM+MF=（24+12a）米，AG=AF-GF=（14+12a）米，在Rt△ADG中，根据建立关于a的方程并解之，继而得解.
17．【答案】 解：延长 交 于点 ，
则 ， 米， 米，
设 米，
在 中， ，
米 ，
米，
在 中， ，
，
，
经检验， 是原方程的根，
米，
米 ，
嵩岳寺塔 的高度约为37.2米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长FD交AB于点G，则CD=GB=1.3米，DF=CE=22米， 设AG=x，根据三角函数的概念可得GD=x，则GF=GD+DF=(x+22)米，根据三角函数的概念求出x，然后根据AB=AG+BG进行计算.
18．【答案】解：过B作于E，如图所示：
楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，
，
在中，，，
可得，即，
在Rt△ABC中，，，可得，即，
又，，，
，
解得，
答：大厦高度BC约为米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过B作BE⊥DE于E，由题意可得∠DBE=30°，∠BAC=45°，利用三角函数的概念可得DE=BE，BC=AC，结合AC=BE可得BC=AE=AD+DE，据此可得BC.
19．【答案】解：由题意得∠DCB＝∠EFB＝∠GBF＝∠BGD＝90°，CDEFAB，
则四边形DCFE、EFBG、DCBG均为矩形.
所以BG＝EF＝CD＝1.2米，DE＝CF＝40米，
在Rt△AGE中，∠AEG＝∠EAG＝45°，则AG＝EG.
设AG＝EG＝x米，
在Rt△AGD中，tan∠ADG＝，
则tan37°＝，，
解得：x＝120，
所以AG＝120米，
则AB＝120+1.2＝121.2（米）.
答：塔AB的高度为121.2米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得∠DCB＝∠EFB＝∠GBF＝∠BGD＝90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCFE、EFBG、DCBG均为矩形，根据矩形的性质可得BG＝EF＝CD＝1.2米，DE＝CF＝40米，设AG＝EG＝x米，根据∠ADG的正切函数可得x的值，然后求出AB即可.
20．【答案】解：过点B作BE⊥CD于点E.设BE ＝xkm.
在Rt△BED中，BE＝x，∠BDE＝45°，
∴ DE＝BE＝x km.
在Rt△BEC中，BE＝x，∠BCE＝17.1°，
∵ tan∠BCE＝，
∴ CE＝，
∴，
解得：x ≈ 0.40，
∴ AB＝CE ≈ 0.9＋0.40 ≈ 1.3（km）.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点B作BE⊥CD于点E，设BE ＝xkm，可得DE＝BE＝x km， 根据tan∠BCE＝求出CE＝，根据CE-DE=CD列出关于x方程并求出x值，根据AB=CE即得解.
21．【答案】（1）证明：四边形为矩形，
．
，垂足为F，
．
，，
．
∽．
（2）解：∽，
，
．
在中，，，
，
即的长为2．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据四边形为矩形，得出，再推出，则，即可得出结论；
（2）由三角形相似得出∽，得出，在中，，，求出AE的值，即可得解。
22．【答案】（1）解：作BF⊥CD于点F，
根据题意可得ABCF是矩形，
∴CF=AB，
∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，
∴AB=2（米），
（2）解：∵AB=2，
∴CF=2，
设DF=x米，
在Rt△DBF中，，
则（米），
在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，
在直角△DCE中，
∴米.
∵BF-CE=AE，即.
解得：x=4+1，
则米.
答：CD的高度是（）米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作BF⊥CD于点F，则四边形ABCF是矩形，CF=AB，然后根据斜坡BE的坡度就可求出AB的值；
（2）根据AB的值可得CF，设DF=x米，利用三角函数的概念可得BF、EC，根据BF-CE=AE求出x，进而可得CD.
23．【答案】（1）解：过点B作BE⊥MN于E，
设AE＝x m，
∵AB的坡度为1：2.4，
∴，
∴BE＝
在Rt△ABE中，
x2＋（）2＝132，
解得：x＝12，
∴AE＝12，BE＝5，
答：B到一楼地面的高度为5m.
（2）解：过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，
∵ 之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（ ）向正前方走了2m，
∴BG＝2，
易证四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，
∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，
∵AF＝AE＋EF＝12＋2＝14，
∴DJ＝14，
在Rt△CDJ中，
∴CJ≈0.75DJ＝0.75×14＝10.5，
∴CF＝CJ＋FJ＝10.5＋1.8＝12.3
日光灯C 到一楼地面的高度为12.3m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥MN于E，设AE＝x m，利用坡度的定义可可表示出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出AE，BE的长.
（2）过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，根据题意可得到BG的长，易证四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，∠CDJ＝37°，再求出DJ的长；利用解直角三角形求出CJ的长，根据CF＝CJ＋FJ，可求出CF的长.
24．【答案】（1）解：过点E作ED⊥BC于D，根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，
∴四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°，
∴∠EBD=45°，
∴BD=ED=FC=12，
∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6，
答：建筑物BC的高度为13.6m．
（2）解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠AED=52°
∴tan∠AED=
∴BD=11.25
∴BC=11.25+1.6=12.85≈12.9m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点E作ED⊥BC于D，则EF⊥FC，ED∥FC， 由已知底部B的仰角为45°得BD＝ED＝FC＝12，再结合DC＝EF＝1.6，从而求出BC的长度；
（2）在Rt△ADB中，根据正切函数得出tan∠AED= ＝1.28，从而求得BD=11.25，最后由BC＝BD+DC，代入数据即可求得BC的长度.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册1.3 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022九下·汕头期末）如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡度 i1 =1：2，背水坡CD的坡度i2=1：1，若坡面CD的长度为 米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，
∵tanA==1：2，tanB==1：2，
∴AE=2BE，CF=DF，
∵CF2+DF2=CD2，
∴CF2+CF2=（6）2，
∴CF=6米，
∵DC∥AB，
∴四边形EFCD为矩形，
∴BE=CF=6米，
∴AE=12米，
∴AB=米.
故答案为：C.
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，根据题意求出CF=BE=6米，AE=12米，再根据勾股定理即可得出AB的长.
2．（2022九下·义乌月考）如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠C=20°，
∴，
∴BC=AC·=100.
故答案为：B.
【分析】根据余弦的定义得出，即可得出BC=100.
3．（2022九下·长兴月考）如图，若△ABC底边BC上的高为h1，△DEF底边EF上的高为h2，则h1与h2的大小关系是（ ）
A．h1=h2 B．h1C．h1>h2 D．以上都有可能
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，
∴在Rt△ABC中，h1=AH=5·sin50°，
在Rt△DGF中，h2=DG=5·sin50°，
∴h1=h2.
故答案为：A.
【分析】分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，分别在Rt△ABC中和Rt△DGF中，利用锐角三角函数表示出h1和h2，再比较大小即可得出正确答案.
4．（2022九下·哈尔滨开学考）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°.
故答案为：A．
【分析】利用解直角三角形的方法可得AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°。
5．（2022九下·哈尔滨开学考）如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： ，
，
米，
米；
故答案为：D．
【分析】利用解直角三角形的方法可得 。
6．（2022九下·泉州开学考）已知一道斜坡的坡比为1： ，坡长为24米，那么坡高为（ ）米.
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设坡度为
∴
∴
∴坡高=
坡长=12.
故答案为：B
【分析】 由斜坡的坡比为1： ，可得坡度为30°，再利用30°角的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
7．（2022九下·长沙开学考）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高 ，则坡面AB的长度是（ ）m
A．8 B．16 C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴BC：AC＝1：2，
∵BC＝4m，
∴AC＝8m，
则
（m）.
故答案为：C.
【分析】由坡比可得BC：AC＝1：2，据此求出AC，再利用勾股定理求出AB即可.
8．（2022九下·内江开学考）如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过B作BM⊥AD于M，如图：
由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴BC＝AC＝100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，sin∠BCM＝，
∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50，
即B点到河岸AD的距离为50米.
故答案为：D.
【分析】过B作BM⊥AD于M，由题意得：∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，结合外角的性质可得∠ABC＝30°，推出BC＝AC＝100米，然后根据∠BCM的正弦函数就可求出BM，即B点到河岸AD的距离.
9．（2022九下·义乌开学考）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=BC=1 ，
在Rt △OAB中， sinα =
∴OB=
∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2
∴OC2 =( )2+12=
故答案为：B.
【分析】由正弦函数的定义得sin α = ，从而表示出OB的长，再由勾股定理OB2+BC2=OC2，可表示出OC2，由此得出答案.
10．（2022九下·萧山开学考）在 中，∠C= ，AB=4， ，则 的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
，
∴∠A=60°，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出∠A的度数，再利用解直角三角形求出BC的长.
二、填空题
11．（2022九下·福州期中）平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为，∠B为，边AB的长为2m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是 m.（参考数据：，，）.
【答案】0.7
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
在中， ，
则 ，
则 ，
故答案为：0.7.
【分析】利用三角形的内角和定理可得到∠C=90°，再利用解直角三角形求出BC的长；然后根据CD=BC-BD，可求出CD的长.
12．（2022九下·长沙期中）如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为6，则的度数为 .
【答案】60°
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，AB=，
∴AC=BC=，
在Rt△OBC中，OC=6，
∵
∴∠BOC=60°.
故答案为：60°.
【分析】利用垂径定理可求出BC的长，再利用解直角三角形求出∠BOC的度数.
13．（2022九下·厦门月考）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米.
【答案】750
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，
AC=30×25=750（米），
∴AD=AC sin45°=375（米），
∴AB=2AD= 750 （米）.
故答案为： 750 .
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，易得∠ACD=45°，AC=30×25=750米，根据三角函数的概念可求出AD，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
14．（2022九下·扬州期中）如图，已知斜坡AC的坡度i＝1：2，小明沿斜坡AC从点A行进10m至点B，在这个过程中小明升高 m.
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥水平面于点D，
∵斜坡AC的坡度i＝1：2，
∴AD＝2BD，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
即（2BD）2+BD2＝102，
解得：BD＝2，
∴在这个过程中小明升高了2m.
故答案为：2.
【分析】过点B作BD⊥水平面于点D，根据坡度可得AD＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出BD，即小明升高的距离.
15．（2022九下·黄石月考）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度 .（结果保留根号）
【答案】（6+4 ）米
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
∴DE DC＝2(米)，
过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF＝DF＝x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴ （米），
BD BF x米，DC＝4米，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得： ，
解得：x＝4+4 ，
则AB＝（6+4 ）米.
故答案为：（6+4 ）米.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得DE=CD=2米，过D作DF⊥AB，交AB于点F，易得△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，根据矩形的性质可得AF＝DE＝2米，则AB＝(x+2)米，根据三角函数的概念可得BC、BD，在Rt△BCD中，根据勾股定理可求出x，进而可得AB.
16．（2022九下·厦门月考）某通信公司准备逐步在山上建设5G基站.如图，某处斜坡的坡角的正切值为，通讯塔垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段长26米则通讯塔的高度约为 米.（参考数据：，，）
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DG⊥AF，G为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡角∠BCD的正切值为，
∴，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，CD=26米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即（5k）2+（12k）2=262，
解得k=2，
∴DM=10（米），CM=24（米），
∵斜坡CB的坡角∠BCE的正切值为，
设DG=12a米，则BG=5a米，
∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=CM+MF=（24+12a）米，
∴AG=AF-GF=24+12a-10=（14+12a）米，
在Rt△ADG中，DG=12a米，AG=（14+12a）米，
∵，
∴，
解得，
∴DG=12a=42（米），AG=14+12a=56（米），
BG=5a=（米），
∴AB=AG-BG=56-=（米），
故答案为：.
【分析】延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DG⊥AF，G为垂足，连接AC，AD，由题意知tan∠BCE=，可设DM=5k米，则CM=12k米，利用勾股定理得CM2+DM2=CD2，据此建立方程求出k值，即得DM、CM的长，由tan∠BCE=tan∠BDG=，设DG=12a米，则BG=5a米，可得AF=CF=CM+MF=（24+12a）米，AG=AF-GF=（14+12a）米，在Rt△ADG中，根据建立关于a的方程并解之，继而得解.
三、解答题
17．（2022九下·磐安期中）
某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量.
课题
测量嵩岳寺塔的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案
在点 处放置高为 米的测角仪 ，此时测得塔顶端 的仰角为 ，再沿 方向走 米到达点 处，此时测得塔顶端 的仰角为 .
说明： 、 、 三点在同一水平线上
请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔 的高度.
精确到0.1米，参考数据： ， ，
【答案】 解：延长 交 于点 ，
则 ， 米， 米，
设 米，
在 中， ，
米 ，
米，
在 中， ，
，
，
经检验， 是原方程的根，
米，
米 ，
嵩岳寺塔 的高度约为37.2米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长FD交AB于点G，则CD=GB=1.3米，DF=CE=22米， 设AG=x，根据三角函数的概念可得GD=x，则GF=GD+DF=(x+22)米，根据三角函数的概念求出x，然后根据AB=AG+BG进行计算.
18．（2022九下·巴中月考）如图，小丽家住在巴河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC. 为了测量大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为45°，爬上楼顶D处得大厦顶部B的仰角为30°. 已知小丽家所住的电梯公寓高36米，请你帮助小丽计算出大厦高度BC，结果保留整数.（参考数据：，）
【答案】解：过B作于E，如图所示：
楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，
，
在中，，，
可得，即，
在Rt△ABC中，，，可得，即，
又，，，
，
解得，
答：大厦高度BC约为米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过B作BE⊥DE于E，由题意可得∠DBE=30°，∠BAC=45°，利用三角函数的概念可得DE=BE，BC=AC，结合AC=BE可得BC=AE=AD+DE，据此可得BC.
19．（2022九下·扬州期中）扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成.周末汐汐和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度.于是汐汐走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了40米至点E处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知汐汐的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【答案】解：由题意得∠DCB＝∠EFB＝∠GBF＝∠BGD＝90°，CDEFAB，
则四边形DCFE、EFBG、DCBG均为矩形.
所以BG＝EF＝CD＝1.2米，DE＝CF＝40米，
在Rt△AGE中，∠AEG＝∠EAG＝45°，则AG＝EG.
设AG＝EG＝x米，
在Rt△AGD中，tan∠ADG＝，
则tan37°＝，，
解得：x＝120，
所以AG＝120米，
则AB＝120+1.2＝121.2（米）.
答：塔AB的高度为121.2米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得∠DCB＝∠EFB＝∠GBF＝∠BGD＝90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCFE、EFBG、DCBG均为矩形，根据矩形的性质可得BG＝EF＝CD＝1.2米，DE＝CF＝40米，设AG＝EG＝x米，根据∠ADG的正切函数可得x的值，然后求出AB即可.
20．（2022九下·儋州月考）在一次户外综合实践活动中，九年级数学兴趣小组用无人机航拍测量公园内一条笔直的骑行步道AB的长度.由于无人机控制距离有限，为了安全，不能直接测量，他们采用如下方法：如图，在起点A的正上方点C处测得终点B的俯角α＝17.1°；接着无人机往终点B方向水平飞行0.9km到达点D处， 此时测得终点B的俯角β＝45°.求骑行步道AB的长度.（结果精确到0.1km，参考数据：sin17.1°≈0.29，cos17.1°≈0.96，tan17.1°≈0.31，）
【答案】解：过点B作BE⊥CD于点E.设BE ＝xkm.
在Rt△BED中，BE＝x，∠BDE＝45°，
∴ DE＝BE＝x km.
在Rt△BEC中，BE＝x，∠BCE＝17.1°，
∵ tan∠BCE＝，
∴ CE＝，
∴，
解得：x ≈ 0.40，
∴ AB＝CE ≈ 0.9＋0.40 ≈ 1.3（km）.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点B作BE⊥CD于点E，设BE ＝xkm，可得DE＝BE＝x km， 根据tan∠BCE＝求出CE＝，根据CE-DE=CD列出关于x方程并求出x值，根据AB=CE即得解.
四、综合题
21．（2022九下·铁岭月考）如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形为矩形，
．
，垂足为F，
．
，，
．
∽．
（2）解：∽，
，
．
在中，，，
，
即的长为2．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据四边形为矩形，得出，再推出，则，即可得出结论；
（2）由三角形相似得出∽，得出，在中，，，求出AE的值，即可得解。
22．（2022九下·渝北期中）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4（即AB：AE＝1：4），坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°.
（1）求AB的高；
（2）求树高CD.（结果保留根号）
【答案】（1）解：作BF⊥CD于点F，
根据题意可得ABCF是矩形，
∴CF=AB，
∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，
∴AB=2（米），
（2）解：∵AB=2，
∴CF=2，
设DF=x米，
在Rt△DBF中，，
则（米），
在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，
在直角△DCE中，
∴米.
∵BF-CE=AE，即.
解得：x=4+1，
则米.
答：CD的高度是（）米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作BF⊥CD于点F，则四边形ABCF是矩形，CF=AB，然后根据斜坡BE的坡度就可求出AB的值；
（2）根据AB的值可得CF，设DF=x米，利用三角函数的概念可得BF、EC，根据BF-CE=AE求出x，进而可得CD.
23．（2022九下·义乌期中）图（1）为某大型商场的自动扶梯．图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（ ）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）．
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）．
【答案】（1）解：过点B作BE⊥MN于E，
设AE＝x m，
∵AB的坡度为1：2.4，
∴，
∴BE＝
在Rt△ABE中，
x2＋（）2＝132，
解得：x＝12，
∴AE＝12，BE＝5，
答：B到一楼地面的高度为5m.
（2）解：过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，
∵ 之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（ ）向正前方走了2m，
∴BG＝2，
易证四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，
∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，
∵AF＝AE＋EF＝12＋2＝14，
∴DJ＝14，
在Rt△CDJ中，
∴CJ≈0.75DJ＝0.75×14＝10.5，
∴CF＝CJ＋FJ＝10.5＋1.8＝12.3
日光灯C 到一楼地面的高度为12.3m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥MN于E，设AE＝x m，利用坡度的定义可可表示出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出AE，BE的长.
（2）过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，根据题意可得到BG的长，易证四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，∠CDJ＝37°，再求出DJ的长；利用解直角三角形求出CJ的长，根据CF＝CJ＋FJ，可求出CF的长.
24．（2022九下·江津期中）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在F处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面距离EF为1.6m，
（1）若F与BC相距12m，求建筑物BC的高度；
（2）若旗杆AB长3.15m，求建筑物BC的高度．（结果精确到0.1m）（参考数据： ≈1.414，sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）．
【答案】（1）解：过点E作ED⊥BC于D，根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，
∴四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°，
∴∠EBD=45°，
∴BD=ED=FC=12，
∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6，
答：建筑物BC的高度为13.6m．
（2）解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠AED=52°
∴tan∠AED=
∴BD=11.25
∴BC=11.25+1.6=12.85≈12.9m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点E作ED⊥BC于D，则EF⊥FC，ED∥FC， 由已知底部B的仰角为45°得BD＝ED＝FC＝12，再结合DC＝EF＝1.6，从而求出BC的长度；
（2）在Rt△ADB中，根据正切函数得出tan∠AED= ＝1.28，从而求得BD=11.25，最后由BC＝BD+DC，代入数据即可求得BC的长度.
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