2022-2023学年浙教版数学九年级下册第1章 解直角三角形 单元检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九下·泾阳月考）计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 解：
.
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
2．（2022九下·泉州开学考）在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵ ，
，
∴
故答案为：A.
【分析】直接利用正弦函数的定义求解即可.
3．（2022九下·温州开学考）如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B．100cos20° C． D．100sin20°
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵滑道坡角为20°，
∴，
∵AC为100米，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据坡角可得∠C=20°，然后根据∠C的余弦函数进行计算即可.
4．（2022九下·磐安期中）实数 ， ， ， ， ， ， （相邻两个3之间依次多一个 1） ，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；特殊角的三角函数值；无理数的认识
【解析】【解答】解： 、 、0、 是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有 ， （相邻两个3之间依次多一个1)，共有2个.
故答案为：B.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得tan45°=1，根据立方根的概念可得=4，根据算术平方根的概念可得=3，然后根据无限不循环小数叫做无理数进行判断.
5．（2022九下·衢州开学考）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，
则
，
∴
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴sin∠A=
又
∴sin∠A=
＝
故答案为：C
【分析】连接格点CD，设1个网格的边长为x，可得
，
，根据勾股定理的逆定理可得∠BDC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据sin∠A=
即可求解.
6．（2022九下·内江开学考）在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，求∠A的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：点C如图所示：
AO＝＝2，
cos∠A＝＝＝，
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，利用勾股定理求出AO，然后根据余弦函数的概念进行计算.
7．（2022九下·重庆开学考）如图所示，正方形ABCD中， ，点E为BC中点， 于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
正方形ABCD
正方形ABCD中， ，点E为BC中点，
设 ，则
解得
，
在 中，
故答案为：B.
【分析】过点G分别作 AD、AB的垂线，垂足分别为H、K，根据正方形的性质可得GH∥AK，GH=AK，BE=2，求出∠KAG的正切函数值，根据同角的余角相等可得∠KGB=∠KAG，得到tan∠KGB的值，设KB=x，则KG=2x，AK=4x，根据AB=AK+KB=4可得k的值，进而求出GH、AH、HD，然后利用勾股定理求解即可.
8．（2022九下·义乌开学考）如图，已知点A（ ，2）， B(0，1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∵A（
，2），B（0，1），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=
x+1，
令y=0，得
x+1=0，
解得x=-
，
∴D（-
，0），
∴，
∴∠ADC=30°，
∴∠ACE=∠ADC+∠BAC=30°+30°=60°，
∴CE=
，
∴OC=OE-CE=
，
∴C（
，0），
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点A，C，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，先求出直线AB的解析式，求出点D的坐标，根据锐角三角函数的定义得出∠ADC=30°，从而得出∠ACE=60°，求出CE的长，从而得出点C的坐标，再把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，即可得出a，b的值.
9．（2022九下·义乌开学考）如图，在⊙O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是⊙O优弧AEB上一点.则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．80°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OC⊥AB于点C，OA=OB，
∴AC=
AB=
，∠AOB=2∠AOC，
∵OC=6，
∴，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=
∠AOB=60°，
故答案为：A.
【分析】连接OA，OB，根据垂径定理得出AC的长，再根据等腰三角形的性质得出∠AOB=2∠AOC，利用特殊角的三角函数值得出∠AOC的度数，从而得出∠AOB的度数，再根据圆周角定理得出∠AEB=
∠AOB，即可得出答案.
10．（2022九下·安庆开学）在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴设BC= 、AC= ，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据正切三角函数的概念可设BC=4x，AC=3x，根据勾股定理可得AB=5x，然后根据正弦函数的概念进行计算.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九下·杭州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝ ，则斜边上的高等于 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵sinA= ，
∴BC=ABsinA= ，AC= = ，
∴S△ACB= AC×BC= AB×CD，
∴CD= = = .
故答案为： .
【分析】根据题意作图，然后解直角三角形求出BC和AC长，然后利用等积法求斜边上的高即可.
12．（2022九下·长沙开学考）如图，河坝的横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=6m，则坡面AB的长度是 m.
【答案】12
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
迎水坡AB的坡比是
，
，
，
.
故答案为：12.
【分析】根据坡比的定义可得
，由特殊角三角形函数值可得∠A=30°，可得AB=2BC=12cm.
13．（2022九下·海曙开学考）已知是锐角，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
可设
的对边长为
，则邻边长为2x
斜边的长为
故答案为：
.
【分析】根据三角函数的概念可设∠A的对边长为
x ，则邻边长为2x，利用勾股定理表示出斜边长，然后根据正弦函数的概念进行计算.
14．（2022九下·长沙开学考）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图，
由勾股定理得，
根据等积关系得，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
故答案为：
.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，如图，根据勾股定理求出AC=2
，利用△ABC的面积求出BD的长，再利用勾股定理求出AD，从而求出CD=AC=AD的长，根据
即可求解.
15．（2022九下·哈尔滨开学考）如图．点E在正方形ABCD的边BC上，2BE=3CE，过点D作AE的垂线交AB于F，点G为垂足，若FG=3，则EG的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，且四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵，即
，
∴，
设
，则
，则
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
．
【分析】先利用“AAS”证明
，可得
，
，
，设
，则
，则
，即可得到
，因此
，再求出
，最后利用
计算即可。
16．（2022九下·吉林开学考）将一架长为3米的梯子斜靠在竖直的墙AB上，梯子与地面的夹角，则梯子底端C与墙根A点的距离为 米．（结果精确到米）[参考数据：，，]
【答案】1.3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】依题意在Rt△ABC中，
∴AC
1.3
故答案为：1.3．
【分析】根据解直角三角形的方法可得
，再求出AC的值即可。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九下·长兴月考）如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m的E处行注目礼（即BE=20m），当国旗升至旗杆顶端A时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m．求旗杆AB的高度（结果精确到0.01m）．
参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．
【答案】解：由题意，得CD=BE=20（m），
在Rt△ACD中，AC=tan42°×CD≈0.9004×20≈18.0（m）
∵BC=DE=1.60（m），
∴AB=AC+BC=18.01+1.60=19.61（m）
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得CD=BE=20m，BC=DE=1.60m，再在Rt△ACD中，可得AC=tan42°·CD≈18.0m，最后由AB=AC+BC代入数据即可求得AB的高度.
18．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
19．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中
【答案】解：
将代入上式，得：
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出m的值，最后将m的值代入计算即可。
20．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：原式
，
当时，代入：
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
21．（2022九下·重庆市期中）如图大金鹰雕塑用线段MN表示，雄居在重庆南山鹞鹰岩上且垂直于地面，水泥浇铸，重千吨，外敷金箔，内设通道，游客可直登鹰的头部，上设有观景台，凭栏远眺，重庆数十里景物尽收眼底.如图，小明沿坡度的斜坡AN登山浏览大金鹰，小明在坡脚A测得大金鹰顶部M的仰角为45°，然后沿坡面AN行走52米到达B处，在B处测得大金鹰顶部M的仰角为60°（点A、B、M、N均在同一平面内）.（结果精确到1米，参考数据：，）
（1）求B处的竖直高度；
（2）求大金鹰MN的高.
【答案】（1）解：如图，过点B作于点H，
设，
的坡度为，
，
在中，，，
，
解得，（舍去），
，
故B处的竖直高度为20米；
（2）解：如图，延长MN交AK于点G，作于点F，
由题意得，，，，
，
，
设，则，
，
，
又，
，
解得，
，，
的坡度为，
，
（米）
故大金鹰MN的高为50米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BH⊥AK于点H，设BH=x，根据坡度可得AH=2.4x，然后利用勾股定理求解即可；
（2）延长MN交AK于点G，作BF⊥MG于点F，由题意得∠MBF=60°，∠MAG=45°，∠AGM=90°，则∠AMG=45°，AG=MG，设HG=a，则BF=HG=a，根据三角函数的概念可得MF，根据MG=MF+FG可得MG，根据AG=AH+HG可得AG，然后根据AG=MG可求出a的值，根据AN的坡度可得NF，然后根据MN=MF-NF进行计算.
22．（2022九下·开州期中）如图，建筑物后有一座小山，，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为.
（1）求凉亭到地面的距离；
（2）求建筑物的高.（精确到）
（参考数据：，，，，，，）
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
在中，米，
米，
答：凉亭到地面的距离为10米；
（2）解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
米，，
在中，（米），
由题意得：米，，
米，
在中，（米），
则（米），
答：建筑物的高约为米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点E作EM⊥CF于点M，根据含30°角的直角三角形的性质可得EM=CE，据此计算；
（2）过点E作EN⊥AB于点N，则四边形BMEN是矩形，得到BN=EM=10米，EN=BM，利用三角函数的概念求出CM，然后求出EN，再利用三角函数的概念求出AN，接下来根据AB=AN+BN进行计算.
23．（2022九下·诸暨月考）图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 、箱长 、拉杆 的长度都相等，即 ，点 ， 在线段 上，点 在 上，支撑点 到箱底 的距离 ， ： ： ， 于点 ， ，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆 的长度；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离 的值 结果保留到 参考数据： ， ， .
【答案】（1）解： 于点 ， ，
在 中， ，
，
： ： ，
；
（2）解：如图，过A作 ，交 的延长线于G，
， ，
，
在 中， ，
.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据∠DCF的余弦函数可得CD，然后根据CE∶CD=1∶5就可求出DE；
（2）过A作AG⊥ED，交ED的延长线于G，根据已知条件可知DE=BC=AB，结合DE的值可得AC，然后根据∠DCF的正弦函数可求出AG，即h的值.
24．（2022九下·儋州月考）如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠B=60°，AC为对角线，点E、F分别在边AB、BC上（不与端点重合），且AE=BF，连接CE、AF交于点G.
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）求∠FGC的度数；
（3）连接EF，DG，若EF⊥BC，求线段DG的长.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC.
∵ ∠B=60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=∠B=60°，AB=AC.
又∵ AE=BF，
∴ △ABF≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵ △ABF≌△CAE，
∴ ∠BAF=∠ACE.
∵ ∠FGC=∠GAC＋∠ACE，
∴ ∠FGC=∠GAC＋∠BAF=∠BAC=60°；
（3）解：设AE=BF=x，则BE=3-x.
在Rt△BFE中，∠B=60°，
∴，即，
解得：x=1，
∴ AE=BF=x=1，则BE=2，EF =.
在Rt△EFC中，CF=3-1=2，
=.
∵ ∠BAF =∠ACE，∠AEG =∠AEC，
∴ △AEG∽△CEA，
∴，
∴，
由，得，即.
∵ △ABF≌△CAE，
∴ ∠AFB =∠AEC.
∵ AD∥BC，
∴ ∠AFB=∠DAG，
∴ ∠AEC=∠DAG.
∵，
∴ △AEG∽△DAG，
∴，
∴ DG=3AG=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠B=60°，AB=AC，根据SAS证明 △ABF≌△CAE；
（2） 由△ABF≌△CAE可得∠BAF=∠ACE，根据三角形外角的性质可得∠FGC=∠GAC＋∠ACE=∠BAC，继而得解；
（3）设AE=BF=x，则BE=3-x，根据，求出x=1，从而求出BE=2，EF =， 在Rt△EFC中 利用勾股定理出EF=；证明△AEG∽△CEA，利用相似三角形的性质可求出AG，继而得出，再证△AEG∽△DAG，可得， 继而得出DG=3AG，即得结论.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册第1章 解直角三角形 单元检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九下·泾阳月考）计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
2．（2022九下·泉州开学考）在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九下·温州开学考）如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B．100cos20° C． D．100sin20°
4．（2022九下·磐安期中）实数 ， ， ， ， ， ， （相邻两个3之间依次多一个 1） ，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
5．（2022九下·衢州开学考）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九下·内江开学考）在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，求∠A的余弦值（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九下·重庆开学考）如图所示，正方形ABCD中， ，点E为BC中点， 于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）
A． B．4 C． D．
8．（2022九下·义乌开学考）如图，已知点A（ ，2）， B(0，1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2022九下·义乌开学考）如图，在⊙O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是⊙O优弧AEB上一点.则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．80°
10．（2022九下·安庆开学）在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九下·杭州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝ ，则斜边上的高等于 ．
12．（2022九下·长沙开学考）如图，河坝的横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=6m，则坡面AB的长度是 m.
13．（2022九下·海曙开学考）已知是锐角，则 .
14．（2022九下·长沙开学考）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值为 .
15．（2022九下·哈尔滨开学考）如图．点E在正方形ABCD的边BC上，2BE=3CE，过点D作AE的垂线交AB于F，点G为垂足，若FG=3，则EG的长为 ．
16．（2022九下·吉林开学考）将一架长为3米的梯子斜靠在竖直的墙AB上，梯子与地面的夹角，则梯子底端C与墙根A点的距离为 米．（结果精确到米）[参考数据：，，]
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九下·长兴月考）如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m的E处行注目礼（即BE=20m），当国旗升至旗杆顶端A时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m．求旗杆AB的高度（结果精确到0.01m）．
参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．
18．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中．
19．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中
20．（2022九下·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式的值，其中．
21．（2022九下·重庆市期中）如图大金鹰雕塑用线段MN表示，雄居在重庆南山鹞鹰岩上且垂直于地面，水泥浇铸，重千吨，外敷金箔，内设通道，游客可直登鹰的头部，上设有观景台，凭栏远眺，重庆数十里景物尽收眼底.如图，小明沿坡度的斜坡AN登山浏览大金鹰，小明在坡脚A测得大金鹰顶部M的仰角为45°，然后沿坡面AN行走52米到达B处，在B处测得大金鹰顶部M的仰角为60°（点A、B、M、N均在同一平面内）.（结果精确到1米，参考数据：，）
（1）求B处的竖直高度；
（2）求大金鹰MN的高.
22．（2022九下·开州期中）如图，建筑物后有一座小山，，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为.
（1）求凉亭到地面的距离；
（2）求建筑物的高.（精确到）
（参考数据：，，，，，，）
23．（2022九下·诸暨月考）图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 、箱长 、拉杆 的长度都相等，即 ，点 ， 在线段 上，点 在 上，支撑点 到箱底 的距离 ， ： ： ， 于点 ， ，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆 的长度；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离 的值 结果保留到 参考数据： ， ， .
24．（2022九下·儋州月考）如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠B=60°，AC为对角线，点E、F分别在边AB、BC上（不与端点重合），且AE=BF，连接CE、AF交于点G.
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）求∠FGC的度数；
（3）连接EF，DG，若EF⊥BC，求线段DG的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 解：
.
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵ ，
，
∴
故答案为：A.
【分析】直接利用正弦函数的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵滑道坡角为20°，
∴，
∵AC为100米，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据坡角可得∠C=20°，然后根据∠C的余弦函数进行计算即可.
4．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；特殊角的三角函数值；无理数的认识
【解析】【解答】解： 、 、0、 是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有 ， （相邻两个3之间依次多一个1)，共有2个.
故答案为：B.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得tan45°=1，根据立方根的概念可得=4，根据算术平方根的概念可得=3，然后根据无限不循环小数叫做无理数进行判断.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，
则
，
∴
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴sin∠A=
又
∴sin∠A=
＝
故答案为：C
【分析】连接格点CD，设1个网格的边长为x，可得
，
，根据勾股定理的逆定理可得∠BDC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据sin∠A=
即可求解.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：点C如图所示：
AO＝＝2，
cos∠A＝＝＝，
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，利用勾股定理求出AO，然后根据余弦函数的概念进行计算.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
正方形ABCD
正方形ABCD中， ，点E为BC中点，
设 ，则
解得
，
在 中，
故答案为：B.
【分析】过点G分别作 AD、AB的垂线，垂足分别为H、K，根据正方形的性质可得GH∥AK，GH=AK，BE=2，求出∠KAG的正切函数值，根据同角的余角相等可得∠KGB=∠KAG，得到tan∠KGB的值，设KB=x，则KG=2x，AK=4x，根据AB=AK+KB=4可得k的值，进而求出GH、AH、HD，然后利用勾股定理求解即可.
8．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∵A（
，2），B（0，1），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=
x+1，
令y=0，得
x+1=0，
解得x=-
，
∴D（-
，0），
∴，
∴∠ADC=30°，
∴∠ACE=∠ADC+∠BAC=30°+30°=60°，
∴CE=
，
∴OC=OE-CE=
，
∴C（
，0），
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点A，C，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，先求出直线AB的解析式，求出点D的坐标，根据锐角三角函数的定义得出∠ADC=30°，从而得出∠ACE=60°，求出CE的长，从而得出点C的坐标，再把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，即可得出a，b的值.
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OC⊥AB于点C，OA=OB，
∴AC=
AB=
，∠AOB=2∠AOC，
∵OC=6，
∴，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=
∠AOB=60°，
故答案为：A.
【分析】连接OA，OB，根据垂径定理得出AC的长，再根据等腰三角形的性质得出∠AOB=2∠AOC，利用特殊角的三角函数值得出∠AOC的度数，从而得出∠AOB的度数，再根据圆周角定理得出∠AEB=
∠AOB，即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴设BC= 、AC= ，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据正切三角函数的概念可设BC=4x，AC=3x，根据勾股定理可得AB=5x，然后根据正弦函数的概念进行计算.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵sinA= ，
∴BC=ABsinA= ，AC= = ，
∴S△ACB= AC×BC= AB×CD，
∴CD= = = .
故答案为： .
【分析】根据题意作图，然后解直角三角形求出BC和AC长，然后利用等积法求斜边上的高即可.
12．【答案】12
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
迎水坡AB的坡比是
，
，
，
.
故答案为：12.
【分析】根据坡比的定义可得
，由特殊角三角形函数值可得∠A=30°，可得AB=2BC=12cm.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
可设
的对边长为
，则邻边长为2x
斜边的长为
故答案为：
.
【分析】根据三角函数的概念可设∠A的对边长为
x ，则邻边长为2x，利用勾股定理表示出斜边长，然后根据正弦函数的概念进行计算.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图，
由勾股定理得，
根据等积关系得，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
故答案为：
.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，如图，根据勾股定理求出AC=2
，利用△ABC的面积求出BD的长，再利用勾股定理求出AD，从而求出CD=AC=AD的长，根据
即可求解.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，且四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵，即
，
∴，
设
，则
，则
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
．
【分析】先利用“AAS”证明
，可得
，
，
，设
，则
，则
，即可得到
，因此
，再求出
，最后利用
计算即可。
16．【答案】1.3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】依题意在Rt△ABC中，
∴AC
1.3
故答案为：1.3．
【分析】根据解直角三角形的方法可得
，再求出AC的值即可。
17．【答案】解：由题意，得CD=BE=20（m），
在Rt△ACD中，AC=tan42°×CD≈0.9004×20≈18.0（m）
∵BC=DE=1.60（m），
∴AB=AC+BC=18.01+1.60=19.61（m）
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得CD=BE=20m，BC=DE=1.60m，再在Rt△ACD中，可得AC=tan42°·CD≈18.0m，最后由AB=AC+BC代入数据即可求得AB的高度.
18．【答案】解：
，
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
19．【答案】解：
将代入上式，得：
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出m的值，最后将m的值代入计算即可。
20．【答案】解：原式
，
当时，代入：
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
21．【答案】（1）解：如图，过点B作于点H，
设，
的坡度为，
，
在中，，，
，
解得，（舍去），
，
故B处的竖直高度为20米；
（2）解：如图，延长MN交AK于点G，作于点F，
由题意得，，，，
，
，
设，则，
，
，
又，
，
解得，
，，
的坡度为，
，
（米）
故大金鹰MN的高为50米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BH⊥AK于点H，设BH=x，根据坡度可得AH=2.4x，然后利用勾股定理求解即可；
（2）延长MN交AK于点G，作BF⊥MG于点F，由题意得∠MBF=60°，∠MAG=45°，∠AGM=90°，则∠AMG=45°，AG=MG，设HG=a，则BF=HG=a，根据三角函数的概念可得MF，根据MG=MF+FG可得MG，根据AG=AH+HG可得AG，然后根据AG=MG可求出a的值，根据AN的坡度可得NF，然后根据MN=MF-NF进行计算.
22．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
在中，米，
米，
答：凉亭到地面的距离为10米；
（2）解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
米，，
在中，（米），
由题意得：米，，
米，
在中，（米），
则（米），
答：建筑物的高约为米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点E作EM⊥CF于点M，根据含30°角的直角三角形的性质可得EM=CE，据此计算；
（2）过点E作EN⊥AB于点N，则四边形BMEN是矩形，得到BN=EM=10米，EN=BM，利用三角函数的概念求出CM，然后求出EN，再利用三角函数的概念求出AN，接下来根据AB=AN+BN进行计算.
23．【答案】（1）解： 于点 ， ，
在 中， ，
，
： ： ，
；
（2）解：如图，过A作 ，交 的延长线于G，
， ，
，
在 中， ，
.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据∠DCF的余弦函数可得CD，然后根据CE∶CD=1∶5就可求出DE；
（2）过A作AG⊥ED，交ED的延长线于G，根据已知条件可知DE=BC=AB，结合DE的值可得AC，然后根据∠DCF的正弦函数可求出AG，即h的值.
24．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC.
∵ ∠B=60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=∠B=60°，AB=AC.
又∵ AE=BF，
∴ △ABF≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵ △ABF≌△CAE，
∴ ∠BAF=∠ACE.
∵ ∠FGC=∠GAC＋∠ACE，
∴ ∠FGC=∠GAC＋∠BAF=∠BAC=60°；
（3）解：设AE=BF=x，则BE=3-x.
在Rt△BFE中，∠B=60°，
∴，即，
解得：x=1，
∴ AE=BF=x=1，则BE=2，EF =.
在Rt△EFC中，CF=3-1=2，
=.
∵ ∠BAF =∠ACE，∠AEG =∠AEC，
∴ △AEG∽△CEA，
∴，
∴，
由，得，即.
∵ △ABF≌△CAE，
∴ ∠AFB =∠AEC.
∵ AD∥BC，
∴ ∠AFB=∠DAG，
∴ ∠AEC=∠DAG.
∵，
∴ △AEG∽△DAG，
∴，
∴ DG=3AG=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠B=60°，AB=AC，根据SAS证明 △ABF≌△CAE；
（2） 由△ABF≌△CAE可得∠BAF=∠ACE，根据三角形外角的性质可得∠FGC=∠GAC＋∠ACE=∠BAC，继而得解；
（3）设AE=BF=x，则BE=3-x，根据，求出x=1，从而求出BE=2，EF =， 在Rt△EFC中 利用勾股定理出EF=；证明△AEG∽△CEA，利用相似三角形的性质可求出AG，继而得出，再证△AEG∽△DAG，可得， 继而得出DG=3AG，即得结论.
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