2022-2023学年浙教版数学九年级下册2.1 直线和圆的位置关系 同步练习
一、单选题
1．（2022九下·巴中月考）如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九下·北京市开学考）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
3．（2022九下·渝北期中）如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
4．（2022九下·巴中月考）若A，B为圆O上两个点，当A，B两点间优弧所对的圆周角为110°时，则圆O在A，B两点处的两条切线相交形成的锐角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
5．（2022九下·宁波月考）如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD<90°，⊙O与边AB，AD都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（ ）
A．2.5 B． C．2 D．3
6．（2020九下·兰州月考）下列命题中，假命题是（ ）
A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
7．（2020九下·湖州月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BA，BC，AC于点E，F，D，点P在弧DE上。如果∠EPF=70°，那么∠B=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2017九下·莒县开学考）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC，BC. 若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC= ，则图中阴影部分的面积是 ．
12．（2021九下·青羊开学考）如图，点C在以 为直径的半圆上， ， ，点D在线段 上运动，点E与点D关于 对称， 于点D，并交 的延长线于点F.有下列结论：
① ；②线段 的最小值为 ；③当 时， 与半圆相切；④若点F恰好落在弧 上，则 ；⑤当点D从点A运动到点B时，线段 扫过的面积是 ，其中正确结论的序号是 .
13．（2022九下·哈尔滨开学考）点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO=50°，则∠CAB为 °．
14．（2022九下·定海开学考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，且PC＝12，则⊙O的半径为
15．（2021九下·平果期中）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，接OA，OB，若∠P＝50°，则∠BAC＝ .
16．（2020九下·上海月考）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相切，那么⊙D的半径等于 ．
三、解答题
17．（2020九下·广陵月考）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.求证：AE与⊙O相切.
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= .求证：CB是⊙O的切线.
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.2直线与圆的位置关系 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由.
20．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R．求证：RP=RQ．
21．（2022九下·磐安期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，已知 .
（1）
求抛物线的函数表达式；
（2）
若点 在 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 ，满足 ？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）
若点 在 轴上，满足 的点 是否存在？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.
22．（2022九下·磐安期中）如图， 是 的外接圆， 为直径，点 在半圆 上，且与点 在 的异侧， 交 的延长线于点 ， .
（1）
求证： ；
（2）
求证： 是 的切线；
（3）
若 ， ，求 .
23．（2022九下·乐平期中）如图，在 ABCO中，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O分别交BC．OA于点E、F，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD、AE，已知AE是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若AB＝BE＝6，求的长（保留π）．
24．（2022九下·巴中月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点P.
（1）求证：EP与⊙O相切；
（2）连结BD，求证：AD·DP＝BD·AP
（3）若AB＝6，AD＝，求DP的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是.
故答案为：C.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当r>d时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当r2．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交圆O1于M，
∴PM=8-3-1=4，
圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，
∴根据图形得出有5次．
故答案为：B．
【分析】⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O1于M，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得解。
3．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC，且∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝OC＝2，且OB＝OA，
∴OA＝2OB＝2×2＝4，
∴AB＝
故答案为：B.
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠ABO＝90°，由圆周角定理可得∠BDC＝∠BOC，则∠BOC＝60°，∠A＝90°-∠BOC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OB＝OA，求出OA的值，然后利用勾股定理进行计算.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵A，B两点间优弧所对的圆周角为110°，
∴优弧AB的度数为，
∴劣弧AB的度数为，
，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360° ∠OAP-∠OBP-∠AOB=360° 90°-90°-140°=40°.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，由题意可得优弧AB的度数为220°，劣弧AB的度数为140°，则∠AOB=140°，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形内角和为360°进行计算.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，取F点，连接OF，连接BD，交AC于E点，
∵AD为切线，
∴OF⊥AF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵S菱形ABCD= AC×BD=80，
又∵DE2+AE2=AD2，即AC2+BD2=400，
∴，
解得：AC= 或 (舍去)，
∴BD= ，
∴ED= ，
∵∠AED=∠AFO=90°，∠OAF=∠EAD，
∴△AOF∽△AED，
∴，即 ，
解得：OF= .
故答案为：B.
【分析】取F点，连接OF，连接BD，交AC于E点，根据切线的性质得出OF⊥AF，根据菱形的性质得出BD⊥AC，然后根据菱形的面积公式和勾股定理分别列式，再联立求出AC，从而求出AE，再证明△AOF∽△AED，列比例式即可求出OF，即半径长.
6．【答案】A
【知识点】切线的性质；切线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误；
B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意；
C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意；
D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据切线的判定定理及性质定理即可一一判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：连接OE，OF，
∵弧EF=弧EF，
∴∠EOF=2∠EPF=2×70°=140°，
∵AB，BC是圆O的切线，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∴∠B=360°-∠BEO-∠BFO-∠EOF=360°-90°-90°-140°=40°.
故答案为：A.
【分析】连接OE，OF，利用圆周角定理求出∠EOF的度数，再利用切线的性质，可证得∠BEO=∠BFO=90°，然后根据四边形的内角和为360°可求出∠B的度数。
8．【答案】C
【知识点】切线的判定；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB．
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是： =2π．
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，利用切线的性质及四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用弧长公式就可求出劣弧AB的长。
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD= BC，
∵AB=BD，
∴AB= BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误.
故答案为：B.
【分析】连接DO，①由直径所对的圆周角是直角和圆的切线的性质可得∠BDC=∠ADO=90°，结合已知易求得∠A=∠C=30°，所以AD=DC；②由① 的计算可得∠A=30°，∠AOD=60°，由三角形外角的性质可求得∠ADB=∠A=30°，所以AB=BD；③在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=BC，结合②的结论可得AB=BD=BC；④由前面的计算可得：∠C＜∠CBD，由大角对大边可得CD﹥BD。
10．【答案】A
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠BAC=2∠BCO，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=30°，
∵AC=3，
∴PA= .
故答案为：A
【分析】先证明△OAC为等边三角形，可得∠AOC=60°，再根据切线的性质可求得∠OAP=90°，然后根据正切的定义求得PA的值.
11．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，
∵OA=OT，AT平分∠BAC，
∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PC⊥AC，
∴OT⊥PC，
∵OT为半径，
∴PC是⊙O的切线，
∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，
∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°，
∴四边形OMCT是矩形，
∴OM=TC= ，
∵OA=2，
∴sin∠OAM= ，
∴∠OAM=60°，
∴∠AOM=30°
∵AC∥OT，
∴∠AOT=180°﹣∠OAM=120°，
∵∠OAM=60°，OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠TOD=120°﹣60°=60°，
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC=∠CAT= ∠BAC=30°，
∴tan30°= = ，
∴DC=1，
∴阴影部分的面积是S梯形OTCD﹣S扇形OTD= ×（2+1）× ﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，根据等边对等角得出∠OTA=∠OAT，根据纠平分线的定义得出∠BAT=∠CAT，故∠OTA=∠CAT，根据内错角相等二直线平行得出OT∥AC，根据平行线的性质得出OT⊥PC，从而判断出PC是⊙O的切线，进而判断出四边形OMCT是矩形，根据矩形的性质得出OM的长，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出∠OAM=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAD是等边三角形，根据平行线的性质及角的和差得出∠TOD=60°，根据弦切角定理及圆周角定理得出∠DTC=∠CAT= ∠BAC=30°，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值算出DC的长，最后根据阴影部分的面积是S梯形OTCD﹣S扇形OTD，由梯形面积计算方法及扇形面积计算方法即可算出答案。
12．【答案】①②④⑤
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接 CD ，如图1所示
∵点E与点D关于 AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论①正确；
②当 CD⊥AB 时，如图2所示；
∵ AB是半圆的直径，
∴
∵ ， ，
∴ ， ， .
∵ ， ，
∴ .
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时， CD 的最小值为 .
∵ ，
∴ ，
∴线段EF的最小值为 ，
∴结论②正确.
③当 时，连接OC ，如图3所示.
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ OC不垂直于EF ，
∵经过半径OC 的外端，且OC不垂直EF ，
∴ EF与半圆不相切，
∴结论③错误.
④当点F恰好落在 上时，连接FB 、AF ，如图4所示.
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
∵ ，
∴
∴ .
∴ .
∴
∵ AB是半圆的直径，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴结论④正确.
⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM 与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB 与AB关于BC对称，
∴ EF扫过的图形就是图5中阴影部分，
∴ ，
∴ 扫过的面积为 ，
∴结论⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
【分析】连接CD，由轴对称的性质可得CE=CD，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠CDE，由等角的余角相等可得∠F=∠CDF，推出CD=CF，据此判断①；当CD⊥AB时，由圆周角定理可得∠ACB=90°，易得AC、BC、CD的值，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD的最小值，然后根据CE=CD=CF可得EF=2CD，据此得到EF的最小值，进而判断②；当AD=3时，连接OC，易得△OAC是等边三角形，得到CA=CO，∠ACO=60°，根据轴对称的性质可得∠ECA=∠DCA，推出OC不垂直于 EF，据此判断③；当点F恰好落在上时，连接FB、AF，证明△FHC∽△FDE，由相似三角形的性质可得FH=FD，推出FH=DH，易得BF=BD，∠FBD=60°，∠FAB=30°，求出FB，DB，进而得到AD，据此判断④；易知EF扫过的图形的面积=2S△ABC，据此判断⑤.
13．【答案】20或70
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CPO=50°，
∴∠POC=90°－50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠POC=2∠CAB，
∴∠CAB=20°，
如图2，∠CBA=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°－∠CBA=70°，
综上，∠CAB=20°或70°．
故答案为：20或70
【分析】 由切线的性质得出∠OCP的度数，由圆周角定理及等腰三角形的性质求出∠CAB或∠CBA的度数可得出答案。
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∵∠BOC=2∠A=60°，tan∠BOC=，
∴OC===.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线的性质得OC⊥PC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC的度数，然后在Rt△PCO中根据正切三角函数的定义求OC长即可.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵与相切于点，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据切线的性质可得∠OAC=90°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠P=100°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAB=∠OBA=40°，然后根据∠BAC=∠OAC-∠OAB进行计算.
16．【答案】8或18
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接BD
由勾股定理得，BD＝ ＝13，
∵点A在⊙B上
∴⊙B的半径为5
当⊙D与⊙B外切时，⊙D的半径＝13﹣5＝8
当⊙D与⊙B内切时，⊙D的半径＝13+5＝18
故答案为：8或18．
【分析】连接BD，由勾股定理求出圆心距BD＝13，分两圆外切时和两圆内切时两种情况，求出⊙D的半径．
17．【答案】证明：如图：连接OA，交BC于F，
∵OA＝OB，
∴∠D＝∠DAO，
∵∠D＝∠C，
∴∠C＝∠DAO，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠DAO
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
即∠DAO+∠BAO＝90°，
∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D＝∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE＝∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得到∠BAD＝90°，可得结论.
18．【答案】证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ，
∴OE= ，
根据勾股定理得：BE= ，CE=OC-OE= ，
在Rt△CEB中，BC= =4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 要证BC是圆的切线，只需
连接OD，证明BC⊥OB即可。连接OD，可得OB=OD， 由等腰三角形的三线合一可得
AE垂直平分BD，解直角三角形BOE可求得OE的值，于是用勾股定理可求出BE的值，所以CE=OC-OE，在直角三角形CEB中，由勾股定理可求出BC的值，用勾股定理的逆定理可求得∠OBC=90°，根据圆的切线的判定可求解。
19．【答案】解：⊙A与直线BC相交.
过A作AD⊥BC，垂足为点D.
∵AB=AC，BC=16，
∴BD= BC= ×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD= =6，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，
⊙A与直线BC相交.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】
过A作AD⊥BC，垂足为点D，由等腰三角形的三线合一可得BD=
BC，在Rt△ABC中， 用勾股定理可求得AD的值，把AD的值与圆的半径比较大小可知AD
＜r，根据直线和圆的位置关系可得⊙A与直线BC相交。
20．【答案】证明：连接OQ， ∵RQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥QR， ∴∠OQB+∠BQR=90°． ∵OA⊥OB， ∴∠OPB+∠B=90°． 又∵OB=OQ， ∴∠OQB=∠B． ∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ． ∴RP=RQ．
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】 连接OQ， 格努切线的性质得出 OQ⊥QR， 故 ∠OQB+∠BQR=90°，根据直角三角形两锐角互余得出 ∠OPB+∠B=90°． 根据等边对等角得出 ∠OQB=∠B，根据等角的余角相等及对顶角相等得出 ∠PQR=∠BPO=∠RPQ，根据等角对等边得出 RP=RQ．
21．【答案】（1） 解： ， ，
∽ ，
，
，
，
，
抛物线 与 轴交于点 ， ，
设 ，
把 代入得 ，解得 ，
抛物线的函数表达式 ；
（2） 解：存在，
抛物线的对称轴上是否存在唯一的点 ，满足 ，就是指以 为直径的圆与对称轴：直线 有唯一的交点，即相切.
如图，
设 的中点为 ，
，
点 的横坐标为 ，
点 到直线 的距离为 ，
直径 的长为 ，
，
点 的坐标为 或 ；
（3） 解：存在，如图：
当点 在以 为弦的 上，圆心角 .
过点 做 于 ，则 .
，
.
，
，
或 ，
设 ，
，
当 时， ，
或 ，
同理，当 时， 或
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由已知条件知∠OAC=∠OCB，∠AOC=∠COB=90°，证明△OAC∽△OCB，根据相似三角形的性质可得OC的值，设y=a(x-1)(x-9)，将点C的坐标代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）由题意可得以AP为直径的圆与对称轴x=5有唯一的交点，即相切，设AP的中点为M，易得点M的横坐标为0.5，则点M到直线x=5的距离为4.5，然后求出OP，据此可得点P的坐标；
（3）当点P在以AB为弦的⊙N上时，根据圆周角定理可得∠ANB=2∠APB，过点N做NH⊥AB于H，则∠ANH=∠APB，结合三角函数的概念可得AN=6，利用勾股定理求出NH，据此可得点N的坐标，设P（0，p），根据两点间距离公式可得p的值，据此可得点P的坐标.
22．【答案】（1） 证明： 四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
，
，
弧 弧 ，
，
，
；
（2） 证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径
是 的切线；
（3） 解：过点 作 于点 ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
由（1）可知： ，
又 ， ，
≌ ，
，
，
，
，
弧 弧 ，
，
为 的直径，
，
，
.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠BAD+∠BCD=180°，根据邻补角的性质可得∠BCE+∠BCD=180°，则∠BAD=∠BCE，由已知条件知∠1=∠BCE，则∠BAD=∠1，根据圆周角定理可得∠1=∠BDA，推出∠BAD=∠BDA，据此证明；
（2）连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠1=∠OBC，由已知条件知∠1=∠BCE，则∠OBC=∠BCE，推出OB∥DC，结合BE⊥CD可得OB⊥BE，据此证明；
（3）过点B作BF⊥AC于点F，易证△FBC≌△EBC，得到FC=EC=1，由（1）可知AB=BD，证明△ABF≌ △DBE，得到AF=DE，易得DE=AF=5，则AC=6，根据圆周角定理可得∠DBA=∠DCA，∠ADC=90°，然后根据三角函数的概念进行计算.
23．【答案】（1）证明：连接OE，
在 ABCO中，AO//BC，
∴∠AOD＝∠OCE，∠AOE＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠AOD＝∠AOE，
在△AOD和△AOE中，，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴∠AEO＝∠ADO，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠ADO＝90°，即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝BE＝6，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵在 ABCO中，AO//BC，∠BAO＝∠BCO，AB＝OC＝6，
∴∠OAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠OAE，
∴∠BAO＝2∠OAE，
∵∠BCO＝2∠OAE，
由（1）可知∠AOE＝∠OEC＝∠OCE，
∴∠AOE＝2∠OAE，
∵∠AEO＝90°，
∴∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴∠AOE＝∠OEC＝∠OCE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴∠COF＝∠EOC＋∠AOE＝120°，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△AOD≌△AOE可得∠AEO＝∠ADO，再证明∠AEO＝∠ADO＝90°，即OD⊥AD，即可得到AD是⊙O的切线；
（2）先求出∠COF＝∠EOC＋∠AOE＝120°，再利用弧长公式求解即可。
24．【答案】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠ODA＝∠EAD.
∴OD∥AE.
∵，
∴
∵D在⊙O上，
∴EP与⊙O相切.
（2）证明：，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
即，
∴，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴AD·DP＝BD·AP.
（3）解：作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，AD＝4，
∴BD＝＝2，，
∵AB DG＝AD BD，
∴DG＝，
∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，
∴DE＝DG＝，
∴AE＝＝，
∵OD∥AE，
∴△ODP∽△AEP，
∴＝，即，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的概念可得∠OAD＝∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ODA＝∠OAD，则∠ODA＝∠EAD，推出OD∥AE，进而推出OD⊥PE，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由同角的余角相等可得∠ODA=∠BDP，根据等腰三角形的性质可得∠ODA＝∠OAD，则∠OAD=∠BDP，证明△APD∽△DPB，然后根据相似三角形的性质可得结论；
（3）作DG⊥AB于G，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，利用勾股定理可得BD，根据三角形的面积公式可得DG，根据角平分线的性质可得DE＝DG＝，利用勾股定理求出AE，证明△ODP∽△AEP，然后根据相似三角形的性质进行计算.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册2.1 直线和圆的位置关系 同步练习
一、单选题
1．（2022九下·巴中月考）如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是.
故答案为：C.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当r>d时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当r2．（2022九下·北京市开学考）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交圆O1于M，
∴PM=8-3-1=4，
圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，
∴根据图形得出有5次．
故答案为：B．
【分析】⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O1于M，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得解。
3．（2022九下·渝北期中）如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC，且∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝OC＝2，且OB＝OA，
∴OA＝2OB＝2×2＝4，
∴AB＝
故答案为：B.
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠ABO＝90°，由圆周角定理可得∠BDC＝∠BOC，则∠BOC＝60°，∠A＝90°-∠BOC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OB＝OA，求出OA的值，然后利用勾股定理进行计算.
4．（2022九下·巴中月考）若A，B为圆O上两个点，当A，B两点间优弧所对的圆周角为110°时，则圆O在A，B两点处的两条切线相交形成的锐角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵A，B两点间优弧所对的圆周角为110°，
∴优弧AB的度数为，
∴劣弧AB的度数为，
，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360° ∠OAP-∠OBP-∠AOB=360° 90°-90°-140°=40°.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，由题意可得优弧AB的度数为220°，劣弧AB的度数为140°，则∠AOB=140°，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形内角和为360°进行计算.
5．（2022九下·宁波月考）如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD<90°，⊙O与边AB，AD都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（ ）
A．2.5 B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，取F点，连接OF，连接BD，交AC于E点，
∵AD为切线，
∴OF⊥AF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵S菱形ABCD= AC×BD=80，
又∵DE2+AE2=AD2，即AC2+BD2=400，
∴，
解得：AC= 或 (舍去)，
∴BD= ，
∴ED= ，
∵∠AED=∠AFO=90°，∠OAF=∠EAD，
∴△AOF∽△AED，
∴，即 ，
解得：OF= .
故答案为：B.
【分析】取F点，连接OF，连接BD，交AC于E点，根据切线的性质得出OF⊥AF，根据菱形的性质得出BD⊥AC，然后根据菱形的面积公式和勾股定理分别列式，再联立求出AC，从而求出AE，再证明△AOF∽△AED，列比例式即可求出OF，即半径长.
6．（2020九下·兰州月考）下列命题中，假命题是（ ）
A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【答案】A
【知识点】切线的性质；切线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误；
B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意；
C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意；
D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据切线的判定定理及性质定理即可一一判断得出答案.
7．（2020九下·湖州月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BA，BC，AC于点E，F，D，点P在弧DE上。如果∠EPF=70°，那么∠B=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：连接OE，OF，
∵弧EF=弧EF，
∴∠EOF=2∠EPF=2×70°=140°，
∵AB，BC是圆O的切线，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∴∠B=360°-∠BEO-∠BFO-∠EOF=360°-90°-90°-140°=40°.
故答案为：A.
【分析】连接OE，OF，利用圆周角定理求出∠EOF的度数，再利用切线的性质，可证得∠BEO=∠BFO=90°，然后根据四边形的内角和为360°可求出∠B的度数。
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】C
【知识点】切线的判定；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB．
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是： =2π．
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，利用切线的性质及四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用弧长公式就可求出劣弧AB的长。
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD= BC，
∵AB=BD，
∴AB= BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误.
故答案为：B.
【分析】连接DO，①由直径所对的圆周角是直角和圆的切线的性质可得∠BDC=∠ADO=90°，结合已知易求得∠A=∠C=30°，所以AD=DC；②由① 的计算可得∠A=30°，∠AOD=60°，由三角形外角的性质可求得∠ADB=∠A=30°，所以AB=BD；③在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=BC，结合②的结论可得AB=BD=BC；④由前面的计算可得：∠C＜∠CBD，由大角对大边可得CD﹥BD。
10．（2017九下·莒县开学考）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC，BC. 若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠BAC=2∠BCO，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=30°，
∵AC=3，
∴PA= .
故答案为：A
【分析】先证明△OAC为等边三角形，可得∠AOC=60°，再根据切线的性质可求得∠OAP=90°，然后根据正切的定义求得PA的值.
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC= ，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，
∵OA=OT，AT平分∠BAC，
∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PC⊥AC，
∴OT⊥PC，
∵OT为半径，
∴PC是⊙O的切线，
∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，
∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°，
∴四边形OMCT是矩形，
∴OM=TC= ，
∵OA=2，
∴sin∠OAM= ，
∴∠OAM=60°，
∴∠AOM=30°
∵AC∥OT，
∴∠AOT=180°﹣∠OAM=120°，
∵∠OAM=60°，OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠TOD=120°﹣60°=60°，
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC=∠CAT= ∠BAC=30°，
∴tan30°= = ，
∴DC=1，
∴阴影部分的面积是S梯形OTCD﹣S扇形OTD= ×（2+1）× ﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，根据等边对等角得出∠OTA=∠OAT，根据纠平分线的定义得出∠BAT=∠CAT，故∠OTA=∠CAT，根据内错角相等二直线平行得出OT∥AC，根据平行线的性质得出OT⊥PC，从而判断出PC是⊙O的切线，进而判断出四边形OMCT是矩形，根据矩形的性质得出OM的长，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出∠OAM=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAD是等边三角形，根据平行线的性质及角的和差得出∠TOD=60°，根据弦切角定理及圆周角定理得出∠DTC=∠CAT= ∠BAC=30°，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值算出DC的长，最后根据阴影部分的面积是S梯形OTCD﹣S扇形OTD，由梯形面积计算方法及扇形面积计算方法即可算出答案。
12．（2021九下·青羊开学考）如图，点C在以 为直径的半圆上， ， ，点D在线段 上运动，点E与点D关于 对称， 于点D，并交 的延长线于点F.有下列结论：
① ；②线段 的最小值为 ；③当 时， 与半圆相切；④若点F恰好落在弧 上，则 ；⑤当点D从点A运动到点B时，线段 扫过的面积是 ，其中正确结论的序号是 .
【答案】①②④⑤
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接 CD ，如图1所示
∵点E与点D关于 AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论①正确；
②当 CD⊥AB 时，如图2所示；
∵ AB是半圆的直径，
∴
∵ ， ，
∴ ， ， .
∵ ， ，
∴ .
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时， CD 的最小值为 .
∵ ，
∴ ，
∴线段EF的最小值为 ，
∴结论②正确.
③当 时，连接OC ，如图3所示.
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ OC不垂直于EF ，
∵经过半径OC 的外端，且OC不垂直EF ，
∴ EF与半圆不相切，
∴结论③错误.
④当点F恰好落在 上时，连接FB 、AF ，如图4所示.
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
∵ ，
∴
∴ .
∴ .
∴
∵ AB是半圆的直径，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴结论④正确.
⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM 与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB 与AB关于BC对称，
∴ EF扫过的图形就是图5中阴影部分，
∴ ，
∴ 扫过的面积为 ，
∴结论⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
【分析】连接CD，由轴对称的性质可得CE=CD，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠CDE，由等角的余角相等可得∠F=∠CDF，推出CD=CF，据此判断①；当CD⊥AB时，由圆周角定理可得∠ACB=90°，易得AC、BC、CD的值，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD的最小值，然后根据CE=CD=CF可得EF=2CD，据此得到EF的最小值，进而判断②；当AD=3时，连接OC，易得△OAC是等边三角形，得到CA=CO，∠ACO=60°，根据轴对称的性质可得∠ECA=∠DCA，推出OC不垂直于 EF，据此判断③；当点F恰好落在上时，连接FB、AF，证明△FHC∽△FDE，由相似三角形的性质可得FH=FD，推出FH=DH，易得BF=BD，∠FBD=60°，∠FAB=30°，求出FB，DB，进而得到AD，据此判断④；易知EF扫过的图形的面积=2S△ABC，据此判断⑤.
13．（2022九下·哈尔滨开学考）点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO=50°，则∠CAB为 °．
【答案】20或70
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CPO=50°，
∴∠POC=90°－50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠POC=2∠CAB，
∴∠CAB=20°，
如图2，∠CBA=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°－∠CBA=70°，
综上，∠CAB=20°或70°．
故答案为：20或70
【分析】 由切线的性质得出∠OCP的度数，由圆周角定理及等腰三角形的性质求出∠CAB或∠CBA的度数可得出答案。
14．（2022九下·定海开学考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，且PC＝12，则⊙O的半径为
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∵∠BOC=2∠A=60°，tan∠BOC=，
∴OC===.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线的性质得OC⊥PC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC的度数，然后在Rt△PCO中根据正切三角函数的定义求OC长即可.
15．（2021九下·平果期中）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，接OA，OB，若∠P＝50°，则∠BAC＝ .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵与相切于点，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据切线的性质可得∠OAC=90°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠P=100°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAB=∠OBA=40°，然后根据∠BAC=∠OAC-∠OAB进行计算.
16．（2020九下·上海月考）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相切，那么⊙D的半径等于 ．
【答案】8或18
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接BD
由勾股定理得，BD＝ ＝13，
∵点A在⊙B上
∴⊙B的半径为5
当⊙D与⊙B外切时，⊙D的半径＝13﹣5＝8
当⊙D与⊙B内切时，⊙D的半径＝13+5＝18
故答案为：8或18．
【分析】连接BD，由勾股定理求出圆心距BD＝13，分两圆外切时和两圆内切时两种情况，求出⊙D的半径．
三、解答题
17．（2020九下·广陵月考）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.求证：AE与⊙O相切.
【答案】证明：如图：连接OA，交BC于F，
∵OA＝OB，
∴∠D＝∠DAO，
∵∠D＝∠C，
∴∠C＝∠DAO，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠DAO
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
即∠DAO+∠BAO＝90°，
∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D＝∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE＝∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得到∠BAD＝90°，可得结论.
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= .求证：CB是⊙O的切线.
【答案】证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ，
∴OE= ，
根据勾股定理得：BE= ，CE=OC-OE= ，
在Rt△CEB中，BC= =4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 要证BC是圆的切线，只需
连接OD，证明BC⊥OB即可。连接OD，可得OB=OD， 由等腰三角形的三线合一可得
AE垂直平分BD，解直角三角形BOE可求得OE的值，于是用勾股定理可求出BE的值，所以CE=OC-OE，在直角三角形CEB中，由勾股定理可求出BC的值，用勾股定理的逆定理可求得∠OBC=90°，根据圆的切线的判定可求解。
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.2直线与圆的位置关系 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由.
【答案】解：⊙A与直线BC相交.
过A作AD⊥BC，垂足为点D.
∵AB=AC，BC=16，
∴BD= BC= ×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD= =6，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，
⊙A与直线BC相交.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】
过A作AD⊥BC，垂足为点D，由等腰三角形的三线合一可得BD=
BC，在Rt△ABC中， 用勾股定理可求得AD的值，把AD的值与圆的半径比较大小可知AD
＜r，根据直线和圆的位置关系可得⊙A与直线BC相交。
20．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R．求证：RP=RQ．
【答案】证明：连接OQ， ∵RQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥QR， ∴∠OQB+∠BQR=90°． ∵OA⊥OB， ∴∠OPB+∠B=90°． 又∵OB=OQ， ∴∠OQB=∠B． ∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ． ∴RP=RQ．
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】 连接OQ， 格努切线的性质得出 OQ⊥QR， 故 ∠OQB+∠BQR=90°，根据直角三角形两锐角互余得出 ∠OPB+∠B=90°． 根据等边对等角得出 ∠OQB=∠B，根据等角的余角相等及对顶角相等得出 ∠PQR=∠BPO=∠RPQ，根据等角对等边得出 RP=RQ．
21．（2022九下·磐安期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，已知 .
（1）
求抛物线的函数表达式；
（2）
若点 在 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 ，满足 ？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）
若点 在 轴上，满足 的点 是否存在？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1） 解： ， ，
∽ ，
，
，
，
，
抛物线 与 轴交于点 ， ，
设 ，
把 代入得 ，解得 ，
抛物线的函数表达式 ；
（2） 解：存在，
抛物线的对称轴上是否存在唯一的点 ，满足 ，就是指以 为直径的圆与对称轴：直线 有唯一的交点，即相切.
如图，
设 的中点为 ，
，
点 的横坐标为 ，
点 到直线 的距离为 ，
直径 的长为 ，
，
点 的坐标为 或 ；
（3） 解：存在，如图：
当点 在以 为弦的 上，圆心角 .
过点 做 于 ，则 .
，
.
，
，
或 ，
设 ，
，
当 时， ，
或 ，
同理，当 时， 或
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由已知条件知∠OAC=∠OCB，∠AOC=∠COB=90°，证明△OAC∽△OCB，根据相似三角形的性质可得OC的值，设y=a(x-1)(x-9)，将点C的坐标代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）由题意可得以AP为直径的圆与对称轴x=5有唯一的交点，即相切，设AP的中点为M，易得点M的横坐标为0.5，则点M到直线x=5的距离为4.5，然后求出OP，据此可得点P的坐标；
（3）当点P在以AB为弦的⊙N上时，根据圆周角定理可得∠ANB=2∠APB，过点N做NH⊥AB于H，则∠ANH=∠APB，结合三角函数的概念可得AN=6，利用勾股定理求出NH，据此可得点N的坐标，设P（0，p），根据两点间距离公式可得p的值，据此可得点P的坐标.
22．（2022九下·磐安期中）如图， 是 的外接圆， 为直径，点 在半圆 上，且与点 在 的异侧， 交 的延长线于点 ， .
（1）
求证： ；
（2）
求证： 是 的切线；
（3）
若 ， ，求 .
【答案】（1） 证明： 四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
，
，
弧 弧 ，
，
，
；
（2） 证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径
是 的切线；
（3） 解：过点 作 于点 ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
由（1）可知： ，
又 ， ，
≌ ，
，
，
，
，
弧 弧 ，
，
为 的直径，
，
，
.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠BAD+∠BCD=180°，根据邻补角的性质可得∠BCE+∠BCD=180°，则∠BAD=∠BCE，由已知条件知∠1=∠BCE，则∠BAD=∠1，根据圆周角定理可得∠1=∠BDA，推出∠BAD=∠BDA，据此证明；
（2）连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠1=∠OBC，由已知条件知∠1=∠BCE，则∠OBC=∠BCE，推出OB∥DC，结合BE⊥CD可得OB⊥BE，据此证明；
（3）过点B作BF⊥AC于点F，易证△FBC≌△EBC，得到FC=EC=1，由（1）可知AB=BD，证明△ABF≌ △DBE，得到AF=DE，易得DE=AF=5，则AC=6，根据圆周角定理可得∠DBA=∠DCA，∠ADC=90°，然后根据三角函数的概念进行计算.
23．（2022九下·乐平期中）如图，在 ABCO中，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O分别交BC．OA于点E、F，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD、AE，已知AE是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若AB＝BE＝6，求的长（保留π）．
【答案】（1）证明：连接OE，
在 ABCO中，AO//BC，
∴∠AOD＝∠OCE，∠AOE＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠AOD＝∠AOE，
在△AOD和△AOE中，，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴∠AEO＝∠ADO，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠ADO＝90°，即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝BE＝6，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵在 ABCO中，AO//BC，∠BAO＝∠BCO，AB＝OC＝6，
∴∠OAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠OAE，
∴∠BAO＝2∠OAE，
∵∠BCO＝2∠OAE，
由（1）可知∠AOE＝∠OEC＝∠OCE，
∴∠AOE＝2∠OAE，
∵∠AEO＝90°，
∴∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴∠AOE＝∠OEC＝∠OCE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴∠COF＝∠EOC＋∠AOE＝120°，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△AOD≌△AOE可得∠AEO＝∠ADO，再证明∠AEO＝∠ADO＝90°，即OD⊥AD，即可得到AD是⊙O的切线；
（2）先求出∠COF＝∠EOC＋∠AOE＝120°，再利用弧长公式求解即可。
24．（2022九下·巴中月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点P.
（1）求证：EP与⊙O相切；
（2）连结BD，求证：AD·DP＝BD·AP
（3）若AB＝6，AD＝，求DP的长.
【答案】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠ODA＝∠EAD.
∴OD∥AE.
∵，
∴
∵D在⊙O上，
∴EP与⊙O相切.
（2）证明：，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
即，
∴，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴AD·DP＝BD·AP.
（3）解：作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，AD＝4，
∴BD＝＝2，，
∵AB DG＝AD BD，
∴DG＝，
∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，
∴DE＝DG＝，
∴AE＝＝，
∵OD∥AE，
∴△ODP∽△AEP，
∴＝，即，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的概念可得∠OAD＝∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ODA＝∠OAD，则∠ODA＝∠EAD，推出OD∥AE，进而推出OD⊥PE，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由同角的余角相等可得∠ODA=∠BDP，根据等腰三角形的性质可得∠ODA＝∠OAD，则∠OAD=∠BDP，证明△APD∽△DPB，然后根据相似三角形的性质可得结论；
（3）作DG⊥AB于G，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，利用勾股定理可得BD，根据三角形的面积公式可得DG，根据角平分线的性质可得DE＝DG＝，利用勾股定理求出AE，证明△ODP∽△AEP，然后根据相似三角形的性质进行计算.
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