2022-2023学年浙教版数学九年级下册2.2 切线长定理 同步练习
一、单选题
1．（2021九下·渝中月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的.
综上可知：只有D是错误的.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠APO=∠BPO，PA=PB，由等腰三角形的三线合一可得AB⊥OP，AD=BD；结合各选项可求解.
2．（2021九下·射洪月考）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】C
【知识点】弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：
故答案为：C.
【分析】连接OA，OB，由圆的切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，结合已知根据四边形的内角和等于360°可得∠AOB=120°，再根据弧长公式l=可求解.
3．（2020九下·北碚月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
4．（2020九下·江阴期中）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°.
故答案为：A.
【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE=∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数.
5．（2022九下·诸暨月考）如图， 中， ， ，它的周长为 若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解： 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，
， ， ，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据切线长定理可得AD=AF，BE=BD，CE=CF，根据BC=6可得BD+CF=6，推出△ADF是等边三角形，得到AD=AF=DF，根据周长可得AB+AC=10，则AD+AF=4，据此计算.
6．（2022九下·长兴月考）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P=80° ，则∠ABO的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=80°，
∴∠PAB=∠PBA=（180°-80°）÷2=50°，
∴∠ABO=∠PBO-∠PBA=90°-50°=40°.
故答案为：A.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，再由∠P=80°，根据三角形内角和定理求得∠PBA=50°，最后再由互余关系可求得∠ABO的度数.
7．（2022九下·重庆月考）如图，在Rt△ABC中， ， ， ，以 边上一点 为圆心作 ，恰与边 ， 分别相切于点 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OC，
∵以AB边上一点O为圆心作 ，恰与边AC ，BC分别相切于点A， D ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵ ， ，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA= =30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3× ，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°= ，
∴OD=OA=1，DC=AC= ，
∴ ， ，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴ ，
S阴影= .
故答案为：A.
【分析】连结OC，利用切线长定理可证得DC=AC，OC平分∠ACD，从而可求∠B，∠ACD，∠OCD的度数；在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△AOC中，利用解直角三角形求出AO的长，即可得到OD，DC的长；利用三角形的面积公式求出△AOC和△OCD的面积，同时可求出∠AOD的度数；利用扇形的面积公式求出扇形AOD的面积，然后求出阴影部分的面积即可.
8．（2020九下·金山月考）如图，∠MON=30°，p是∠MON的角平分线，PQ平行ON交OM于点Q，以P为圆心半径为4的圆ON相切，如果以Q为圆心半径为r的圆与 相交，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜12 B．2＜r＜12 C．4＜r＜8 D．r＞4
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；切线长定理
【解析】【解答】过点Q作QA⊥AN于A，过点P作PB⊥ON于B，
∵PQ∥ON，
∴PQ⊥PB，
∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，
∴四边形ABPQ是矩形，
∴QA=PB=4，
∵∠MON=30°，
∴OQ=2QA=8，
∵OP平分∠MON，PQ∥ON，
∴∠QOP=∠PON=∠QPO，
∴PQ=OQ=8，
当以Q为圆心半径为r的圆与 相外切时，r=8-4=4，
当以Q为圆心半径为r的圆与 相内切时，r=8+4=12，
∴以Q为圆心半径为r的圆与 相交，4故答案为：A.
【分析】过点Q作QA⊥AN于A，过点P作PB⊥ON于B，得到四边形ABPQ是矩形，QA=PB=4，根据∠MON=30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r，即可得到两圆相交时的半径r的取值范围.
9．（2020九下·齐齐哈尔期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
故答案为：C．
【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝10，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
10．（2019九下·昆明期中）如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】设⊙O与AB、AD相切于点M、N.连接OM、ON，则四边形AMON是正方形.
∵DE、DA是⊙O的切线，
∴DE＝DN＝3，∠ODE＝∠ODN，
∵AD＝5，
∴AN＝ON＝2，
在Rt△OND中，tan∠ODE＝tan∠ODN＝ .
故答案为：B.
【分析】设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON，易证四边形AMON是正方形．由切线长定理可得DE＝DN＝3，∠ODE＝∠ODN，根据tan∠ODE＝tan∠ODN=计算即可；
二、填空题
11．（2020九下·广陵月考）如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ .
【答案】9
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9.
【分析】根据切线长定理得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，进而三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差即可算出答案.
12．（2022九下·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形性质得∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由切线性质可得∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，可证明四边形AFOE，FBGO是正方形，得AF＝BF＝AE＝BG＝4，进而求得DE＝6；根据切线长定理可得DN＝DE＝6，MN＝MG，可求得CM＝6﹣MN，再在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2＝CD2+CM2，即（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，求得NM＝ ，进而可求出DM的长.
13．（2021九下·江油开学考）如图，AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，OA＝2，∠ACB＝60°，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解： 连接OC，如图，
∵AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，
在Rt△OAC中，AC=OA=，
∴阴影部分的面积=2S△OAC-S扇形AOB=2×××2-=.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线长定理和切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，则∠AOB=120°，∠ACO=∠BCO=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OAC-S扇形AOB进行计算.
14．（2020九下·西安月考）如图，P是⊙O外一点，PA与PB分别⊙O切于A、B两点，DE也是⊙O的切线，切点为C，PA=PB=5cm，△PDE的周长为 .
【答案】10cm
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PB，DE是 ⊙O 的切线，∴CE=EB，∵PA，DE是⊙O的切线，∴DC=DA，∴△PDE的周长=PE+DE+PD=PE+CE+CD+PD=PE+BE+AD+PD=PA+PB=5+5=10cm.
故答案为：10cm.
【分析】根据切线长定理得出CE=EB，DC=DA，进而根据三角形周长的计算方法及线段的和差及等量代换即可得出答案.
15．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ．
【答案】4
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PC切半圆与点C，
∴PC2=PA PB，
即PA=9，
则AB=9﹣1=8，
则圆的半径是4．
故答案为4．
【分析】利用切割线定理得出PC2=PA PB，利用等积式即可算出AB的长，进而得出答案。
三、解答题
16．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷A）如图，已知E为圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．求证：EF=FG．
【答案】解：连接EF，
∵EF∥CB，
∴∠BCD=∠FED，又∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠FED，又∠EFD=∠EFD，
∴△FED∽△FAE，
∴ = ，
∴EF2=FD FA，
∵FG切圆于G，
∴GF2=FD FA，
∴EF=FG．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】 连接EF， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠BCD=∠FED，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BCD=∠BAD， 故 ∠BAD=∠FED，从而判断出 △FED∽△FAE， 根据相似三角形对应边成比例得出 EF2=FD FA， 根据切割线定理得出 GF2=FD FA， 从而得出结论。
17．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习）如图，☉O与四边形ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°，求∠COD的度数.
【答案】解：∵☉O为四边形ABCD的内切圆，∴∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA.∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.∴∠COD=180°-∠AOB=110°
【知识点】三角形内角和定理；切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理得出∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA.根据等式的性质得出∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.根据三角形的内角和及等式的性质得出∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.从而得出答案。
18．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，与斜边AC交于点D，过点D作☉O的切线交BC边于点E.求证：EB=EC=ED
【答案】证明：连结OD，BD，∵AB是☉O的直径，∠ABC=90°，∴BC是☉O的切线，且∠ADB=∠BDC=90°.∵DE是☉O的切线，∴ED=EB.∴∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°，∴∠C=∠EDC，∴ED=EC.∴EB=EC=ED
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】连结OD，BD，根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线及直径所对的圆周角是直角得出：BC是☉O的切线，且∠ADB=∠BDC=90°，根据切线长定理得出ED=EB，根据等边对等角得出∠EBD=∠EDB.根据等角的余角相等得出∠C=∠EDC，根据等角对等边得出ED=EC，从而得出结论。
19．（2022九下·浦江月考）如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB=2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵PB，PC 是OO的两条切线 ∴PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°， ∴∠CPB+ㄥBOC=180° ∵∠DOC+∠BOC=180° ∴∠CPB =∠COD ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC ∴∠COD=2∠ABC ∴∠CPB=2∠ABC.
（2）解：∵PC 是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵圆O 的半径为2，sin∠PDB=，
∴sin∠CDO=，
∴OD=3，
∴DC=
设 PC=x，
∴BD2+PB2=PD2
∴(x+ )2=x2+52，
解得 x= ，
∴PC= .
【知识点】勾股定理；同角三角函数的关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°，再结合∠DOC+∠BOC=180°，从而得到∠CPB =∠COD，再通过∠COD=2∠ABC等量代换即可求证∠CPB=2∠ABC成立；
（2）由切线性质及sin ∠PDB= ，可得出sin∠CDO＝，求出OD＝3，设PC＝x，利用勾股定理列出关于x的一元二次方程，解得x即可求出PC.
20．（2021九下·江油开学考）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）OP与⊙O相交于点D，直线CD交PB于点E，若CE⊥PB，CE＝4，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OC，过点O作OT⊥PB于T
∵PA是⊙O的切线，
∵OC⊥PA，
∵OP平分∠APB，OT⊥PB.
∴OC=OT，
∴PB是⊙O的切线
（2）解：∵CE⊥PB，OT⊥PB
∴∠CEP=∠OTP=90°
∴CE//OT，
∴∠ODC=∠DOT，
∵PA，PB是00的切线，
∴PC=PT，
在△OPC与△OPT 中，
∴OOPC≌OOPT(SSS)，
∴∠ POC=∠POT=∠ODC
∵OC=OD
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠COD=∠OCD=∠ODC=60°
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=OD，
∴∠OPC=90°-60°=30°
∵∠ODC=∠DCP+∠DPC，
∴∠DCP=∠DPC=30°，
∴DC=DP=OD，
∵DE//OT，
∴ET=EP，
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OC，过点O作OT⊥PB于T，利用角平分线的性质定理，证明OC=OT即可；
（2）根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得CE//OT，由切线长定理可得PC=PT，然后证明△OPC≌△OPT，根据全等三角形的性质以及平行线的性质可推出∠POC=∠POT=∠ODC，得到CD=OC=OD，然后由外角的性质求出∠DCP=∠DPC=30°，得到DC=DP=OD，接下来求出CE、OC的值即可.
21．（2020九下·台州月考）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB 的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H.
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
（2）求证：AH是⊙O的切线；
（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为 .
【答案】（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E是AB的中点，
∴AE＝ AB.
∵CD是⊙O的直径，
∴OC＝ CD.∴AE∥OC，AE＝OC.
∴四边形AECO为平行四边形.
（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，
∴AO∥EC
∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC.
∵OF＝OC
∴∠OCF＝∠OFC.
∴∠AOD＝∠AOF.
∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF
∴△AOD≌△AOF.
∴∠ADO＝∠AFO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADO＝90°.
∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF.
∵点F在⊙O上，
∴AH是⊙O的切线.
（3）
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：（3）∵HC、FH为圆O的切线，AD、AF是圆O的切线
∴AD=AF，CH=FH=2，
设AD=x，则AF=x，AH=x+2，BH=x-2，
在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2，
即（x+2）2=62+（x-2）2，
解得x=
∴AH= +2= .
【分析】（1）根据矩形的性质得到AE∥OC，AE＝OC即可证明；（2）根据平行四边形的性质得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC.故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS证明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可证明；（3）根据切线长定理可得AD=AF，CH=FH=2，设AD=x，则AF=x，AH=x+2，BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2，代入即可求x，即可得到AH的长.
22．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD．
（1）求DC的长；
（2）求cosB的值．
【答案】（1）解：连接OC、BC、AD，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD，
又∵∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，
∴∠CBD=∠CBA，
∴∠DBA=2∠CBA，
又∵∠COA=2∠CBA，
∴∠DBA=∠COA，
∴OC∥BD，
设CD=x，
∴CP：CD=OP：OB，
∴CP：x=8：4，
∴CP=2x，
∴CP PD=AP BP，
∴2x （2x+x）=4×（4+4+4），
∴x=2 ，
即CD=2 ；
（2）解：∵OC∥BD，
∴OC：BD=OP：PB，
∴4：BD=（4+4）：4，
∴BD=6，
∴在Rt△ABD中，cosB= = = ．
【知识点】圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【分析】 （1） 连接OC、BC、AD， 根据等边对等角得出 ∠CDA=∠CAD，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB， 故 ∠CBD=∠CBA， 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠DBA=2∠CBA， 故 ∠DBA=2∠CBA， 根据同位角相等，二直线平行得出 OC∥BD， 设CD=x， 根据平行线分线段成比例定理得出 CP：CD=OP：OB， 根据比例式表示出CP的长，根据割线长定理得出 CP PD=AP BP， 根据等积式建立方程，求解得出x的值，从而得出答案；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出 OC：BD=OP：PB， 根据比例式建立方程，求解得出BD的值，然后根据余弦函数的定义即可得出答案。
23．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷A）如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H，连接GH，BH．
（1）求证：△DFA∽△HBG；
（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3 ，CF：FB=1：2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．
【答案】（1）证明：∵∠HBG=∠HFG，∠HFG=∠AFD，
∴∠HBG=∠AFD．
∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG，
∴△DFA∽△HBG．
（2）解：∵CD∥AB，CD=AB，
∴ ， ．
即AG=3AB．
∵AE为⊙O的切线，
∴AE2=AB AG．
∴AB=3．
（3）解：∵AD=BC=6，CF：FB=1：2，
∴CF=2，BF=4．
∵∠ABC=90°，
∴AF= ．
∵AE2=AF AH，
∴AH= FH=AH﹣AF= ．
∴FH=AH﹣AF= ．
∵∠FBG=90°，FG= ，
∵FG为圆的直径，
∴HG= ．
∴tan∠HGF= = ．
∵∠HBC=∠HGF
∴tan∠HBC=
【知识点】圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；同角三角函数的关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠HBG=∠HFG，根据对顶角相等得出∠HFG=∠AFD， 故 ∠HBG=∠AFD，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠BHG=∠BFG，根据二直线平行内错角相等得出∠CFD=∠ADG，又 ∠CFD=∠BFG，故∠BHG=∠ADG，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出 △DFA∽△HBG；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出，故 = ，进而得出 ， 即AG=3AB，根据切割线定理得出 AE2=AB AG． ，从而得出方程，求解即可；
（3）首先根据 AD=BC=6，CF：FB=1：2， 算出CF，BF的长，根据勾股定理算出AF的长，根据切割线定理得出 AE2=AF AH， 根据等积式算出AH，进而算出FH，根据90°圆周角所对的弦是直径得出 FG为圆的直径， 再根据勾股定理算出HG，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠HBC=∠HGF ，根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义即可得出答案。
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册2.2 切线长定理 同步练习
一、单选题
1．（2021九下·渝中月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
2．（2021九下·射洪月考）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
3．（2020九下·北碚月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
4．（2020九下·江阴期中）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．（2022九下·诸暨月考）如图， 中， ， ，它的周长为 若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022九下·长兴月考）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P=80° ，则∠ABO的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．（2022九下·重庆月考）如图，在Rt△ABC中， ， ， ，以 边上一点 为圆心作 ，恰与边 ， 分别相切于点 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九下·金山月考）如图，∠MON=30°，p是∠MON的角平分线，PQ平行ON交OM于点Q，以P为圆心半径为4的圆ON相切，如果以Q为圆心半径为r的圆与 相交，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜12 B．2＜r＜12 C．4＜r＜8 D．r＞4
9．（2020九下·齐齐哈尔期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．（2019九下·昆明期中）如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020九下·广陵月考）如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ .
12．（2022九下·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
13．（2021九下·江油开学考）如图，AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，OA＝2，∠ACB＝60°，则阴影部分的面积为 .
14．（2020九下·西安月考）如图，P是⊙O外一点，PA与PB分别⊙O切于A、B两点，DE也是⊙O的切线，切点为C，PA=PB=5cm，△PDE的周长为 .
15．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ．
三、解答题
16．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷A）如图，已知E为圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．求证：EF=FG．
17．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习）如图，☉O与四边形ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°，求∠COD的度数.
18．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，与斜边AC交于点D，过点D作☉O的切线交BC边于点E.求证：EB=EC=ED
19．（2022九下·浦江月考）如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB=2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长．
20．（2021九下·江油开学考）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）OP与⊙O相交于点D，直线CD交PB于点E，若CE⊥PB，CE＝4，求⊙O的半径.
21．（2020九下·台州月考）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB 的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H.
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
（2）求证：AH是⊙O的切线；
（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为 .
22．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD．
（1）求DC的长；
（2）求cosB的值．
23．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷A）如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H，连接GH，BH．
（1）求证：△DFA∽△HBG；
（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3 ，CF：FB=1：2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的.
综上可知：只有D是错误的.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠APO=∠BPO，PA=PB，由等腰三角形的三线合一可得AB⊥OP，AD=BD；结合各选项可求解.
2．【答案】C
【知识点】弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：
故答案为：C.
【分析】连接OA，OB，由圆的切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，结合已知根据四边形的内角和等于360°可得∠AOB=120°，再根据弧长公式l=可求解.
3．【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°.
故答案为：A.
【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE=∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数.
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解： 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，
， ， ，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据切线长定理可得AD=AF，BE=BD，CE=CF，根据BC=6可得BD+CF=6，推出△ADF是等边三角形，得到AD=AF=DF，根据周长可得AB+AC=10，则AD+AF=4，据此计算.
6．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=80°，
∴∠PAB=∠PBA=（180°-80°）÷2=50°，
∴∠ABO=∠PBO-∠PBA=90°-50°=40°.
故答案为：A.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，再由∠P=80°，根据三角形内角和定理求得∠PBA=50°，最后再由互余关系可求得∠ABO的度数.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OC，
∵以AB边上一点O为圆心作 ，恰与边AC ，BC分别相切于点A， D ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵ ， ，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA= =30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3× ，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°= ，
∴OD=OA=1，DC=AC= ，
∴ ， ，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴ ，
S阴影= .
故答案为：A.
【分析】连结OC，利用切线长定理可证得DC=AC，OC平分∠ACD，从而可求∠B，∠ACD，∠OCD的度数；在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△AOC中，利用解直角三角形求出AO的长，即可得到OD，DC的长；利用三角形的面积公式求出△AOC和△OCD的面积，同时可求出∠AOD的度数；利用扇形的面积公式求出扇形AOD的面积，然后求出阴影部分的面积即可.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；切线长定理
【解析】【解答】过点Q作QA⊥AN于A，过点P作PB⊥ON于B，
∵PQ∥ON，
∴PQ⊥PB，
∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，
∴四边形ABPQ是矩形，
∴QA=PB=4，
∵∠MON=30°，
∴OQ=2QA=8，
∵OP平分∠MON，PQ∥ON，
∴∠QOP=∠PON=∠QPO，
∴PQ=OQ=8，
当以Q为圆心半径为r的圆与 相外切时，r=8-4=4，
当以Q为圆心半径为r的圆与 相内切时，r=8+4=12，
∴以Q为圆心半径为r的圆与 相交，4故答案为：A.
【分析】过点Q作QA⊥AN于A，过点P作PB⊥ON于B，得到四边形ABPQ是矩形，QA=PB=4，根据∠MON=30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r，即可得到两圆相交时的半径r的取值范围.
9．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
故答案为：C．
【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝10，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
10．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】设⊙O与AB、AD相切于点M、N.连接OM、ON，则四边形AMON是正方形.
∵DE、DA是⊙O的切线，
∴DE＝DN＝3，∠ODE＝∠ODN，
∵AD＝5，
∴AN＝ON＝2，
在Rt△OND中，tan∠ODE＝tan∠ODN＝ .
故答案为：B.
【分析】设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON，易证四边形AMON是正方形．由切线长定理可得DE＝DN＝3，∠ODE＝∠ODN，根据tan∠ODE＝tan∠ODN=计算即可；
11．【答案】9
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9.
【分析】根据切线长定理得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，进而三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差即可算出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形性质得∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由切线性质可得∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，可证明四边形AFOE，FBGO是正方形，得AF＝BF＝AE＝BG＝4，进而求得DE＝6；根据切线长定理可得DN＝DE＝6，MN＝MG，可求得CM＝6﹣MN，再在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2＝CD2+CM2，即（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，求得NM＝ ，进而可求出DM的长.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解： 连接OC，如图，
∵AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，
在Rt△OAC中，AC=OA=，
∴阴影部分的面积=2S△OAC-S扇形AOB=2×××2-=.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线长定理和切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，则∠AOB=120°，∠ACO=∠BCO=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OAC-S扇形AOB进行计算.
14．【答案】10cm
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PB，DE是 ⊙O 的切线，∴CE=EB，∵PA，DE是⊙O的切线，∴DC=DA，∴△PDE的周长=PE+DE+PD=PE+CE+CD+PD=PE+BE+AD+PD=PA+PB=5+5=10cm.
故答案为：10cm.
【分析】根据切线长定理得出CE=EB，DC=DA，进而根据三角形周长的计算方法及线段的和差及等量代换即可得出答案.
15．【答案】4
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PC切半圆与点C，
∴PC2=PA PB，
即PA=9，
则AB=9﹣1=8，
则圆的半径是4．
故答案为4．
【分析】利用切割线定理得出PC2=PA PB，利用等积式即可算出AB的长，进而得出答案。
16．【答案】解：连接EF，
∵EF∥CB，
∴∠BCD=∠FED，又∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠FED，又∠EFD=∠EFD，
∴△FED∽△FAE，
∴ = ，
∴EF2=FD FA，
∵FG切圆于G，
∴GF2=FD FA，
∴EF=FG．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】 连接EF， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠BCD=∠FED，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BCD=∠BAD， 故 ∠BAD=∠FED，从而判断出 △FED∽△FAE， 根据相似三角形对应边成比例得出 EF2=FD FA， 根据切割线定理得出 GF2=FD FA， 从而得出结论。
17．【答案】解：∵☉O为四边形ABCD的内切圆，∴∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA.∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.∴∠COD=180°-∠AOB=110°
【知识点】三角形内角和定理；切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理得出∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA.根据等式的性质得出∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.根据三角形的内角和及等式的性质得出∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.从而得出答案。
18．【答案】证明：连结OD，BD，∵AB是☉O的直径，∠ABC=90°，∴BC是☉O的切线，且∠ADB=∠BDC=90°.∵DE是☉O的切线，∴ED=EB.∴∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°，∴∠C=∠EDC，∴ED=EC.∴EB=EC=ED
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】连结OD，BD，根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线及直径所对的圆周角是直角得出：BC是☉O的切线，且∠ADB=∠BDC=90°，根据切线长定理得出ED=EB，根据等边对等角得出∠EBD=∠EDB.根据等角的余角相等得出∠C=∠EDC，根据等角对等边得出ED=EC，从而得出结论。
19．【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵PB，PC 是OO的两条切线 ∴PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°， ∴∠CPB+ㄥBOC=180° ∵∠DOC+∠BOC=180° ∴∠CPB =∠COD ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC ∴∠COD=2∠ABC ∴∠CPB=2∠ABC.
（2）解：∵PC 是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵圆O 的半径为2，sin∠PDB=，
∴sin∠CDO=，
∴OD=3，
∴DC=
设 PC=x，
∴BD2+PB2=PD2
∴(x+ )2=x2+52，
解得 x= ，
∴PC= .
【知识点】勾股定理；同角三角函数的关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°，再结合∠DOC+∠BOC=180°，从而得到∠CPB =∠COD，再通过∠COD=2∠ABC等量代换即可求证∠CPB=2∠ABC成立；
（2）由切线性质及sin ∠PDB= ，可得出sin∠CDO＝，求出OD＝3，设PC＝x，利用勾股定理列出关于x的一元二次方程，解得x即可求出PC.
20．【答案】（1）证明：连接OC，过点O作OT⊥PB于T
∵PA是⊙O的切线，
∵OC⊥PA，
∵OP平分∠APB，OT⊥PB.
∴OC=OT，
∴PB是⊙O的切线
（2）解：∵CE⊥PB，OT⊥PB
∴∠CEP=∠OTP=90°
∴CE//OT，
∴∠ODC=∠DOT，
∵PA，PB是00的切线，
∴PC=PT，
在△OPC与△OPT 中，
∴OOPC≌OOPT(SSS)，
∴∠ POC=∠POT=∠ODC
∵OC=OD
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠COD=∠OCD=∠ODC=60°
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=OD，
∴∠OPC=90°-60°=30°
∵∠ODC=∠DCP+∠DPC，
∴∠DCP=∠DPC=30°，
∴DC=DP=OD，
∵DE//OT，
∴ET=EP，
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OC，过点O作OT⊥PB于T，利用角平分线的性质定理，证明OC=OT即可；
（2）根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得CE//OT，由切线长定理可得PC=PT，然后证明△OPC≌△OPT，根据全等三角形的性质以及平行线的性质可推出∠POC=∠POT=∠ODC，得到CD=OC=OD，然后由外角的性质求出∠DCP=∠DPC=30°，得到DC=DP=OD，接下来求出CE、OC的值即可.
21．【答案】（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E是AB的中点，
∴AE＝ AB.
∵CD是⊙O的直径，
∴OC＝ CD.∴AE∥OC，AE＝OC.
∴四边形AECO为平行四边形.
（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，
∴AO∥EC
∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC.
∵OF＝OC
∴∠OCF＝∠OFC.
∴∠AOD＝∠AOF.
∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF
∴△AOD≌△AOF.
∴∠ADO＝∠AFO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADO＝90°.
∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF.
∵点F在⊙O上，
∴AH是⊙O的切线.
（3）
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：（3）∵HC、FH为圆O的切线，AD、AF是圆O的切线
∴AD=AF，CH=FH=2，
设AD=x，则AF=x，AH=x+2，BH=x-2，
在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2，
即（x+2）2=62+（x-2）2，
解得x=
∴AH= +2= .
【分析】（1）根据矩形的性质得到AE∥OC，AE＝OC即可证明；（2）根据平行四边形的性质得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC.故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS证明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可证明；（3）根据切线长定理可得AD=AF，CH=FH=2，设AD=x，则AF=x，AH=x+2，BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2，代入即可求x，即可得到AH的长.
22．【答案】（1）解：连接OC、BC、AD，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD，
又∵∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，
∴∠CBD=∠CBA，
∴∠DBA=2∠CBA，
又∵∠COA=2∠CBA，
∴∠DBA=∠COA，
∴OC∥BD，
设CD=x，
∴CP：CD=OP：OB，
∴CP：x=8：4，
∴CP=2x，
∴CP PD=AP BP，
∴2x （2x+x）=4×（4+4+4），
∴x=2 ，
即CD=2 ；
（2）解：∵OC∥BD，
∴OC：BD=OP：PB，
∴4：BD=（4+4）：4，
∴BD=6，
∴在Rt△ABD中，cosB= = = ．
【知识点】圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【分析】 （1） 连接OC、BC、AD， 根据等边对等角得出 ∠CDA=∠CAD，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB， 故 ∠CBD=∠CBA， 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠DBA=2∠CBA， 故 ∠DBA=2∠CBA， 根据同位角相等，二直线平行得出 OC∥BD， 设CD=x， 根据平行线分线段成比例定理得出 CP：CD=OP：OB， 根据比例式表示出CP的长，根据割线长定理得出 CP PD=AP BP， 根据等积式建立方程，求解得出x的值，从而得出答案；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出 OC：BD=OP：PB， 根据比例式建立方程，求解得出BD的值，然后根据余弦函数的定义即可得出答案。
23．【答案】（1）证明：∵∠HBG=∠HFG，∠HFG=∠AFD，
∴∠HBG=∠AFD．
∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG，
∴△DFA∽△HBG．
（2）解：∵CD∥AB，CD=AB，
∴ ， ．
即AG=3AB．
∵AE为⊙O的切线，
∴AE2=AB AG．
∴AB=3．
（3）解：∵AD=BC=6，CF：FB=1：2，
∴CF=2，BF=4．
∵∠ABC=90°，
∴AF= ．
∵AE2=AF AH，
∴AH= FH=AH﹣AF= ．
∴FH=AH﹣AF= ．
∵∠FBG=90°，FG= ，
∵FG为圆的直径，
∴HG= ．
∴tan∠HGF= = ．
∵∠HBC=∠HGF
∴tan∠HBC=
【知识点】圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；同角三角函数的关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠HBG=∠HFG，根据对顶角相等得出∠HFG=∠AFD， 故 ∠HBG=∠AFD，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠BHG=∠BFG，根据二直线平行内错角相等得出∠CFD=∠ADG，又 ∠CFD=∠BFG，故∠BHG=∠ADG，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出 △DFA∽△HBG；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出，故 = ，进而得出 ， 即AG=3AB，根据切割线定理得出 AE2=AB AG． ，从而得出方程，求解即可；
（3）首先根据 AD=BC=6，CF：FB=1：2， 算出CF，BF的长，根据勾股定理算出AF的长，根据切割线定理得出 AE2=AF AH， 根据等积式算出AH，进而算出FH，根据90°圆周角所对的弦是直径得出 FG为圆的直径， 再根据勾股定理算出HG，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠HBC=∠HGF ，根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义即可得出答案。
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