2022-2023学年浙教版数学九年级下册2.3 三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1．（2022九下·重庆开学考）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内切圆圆心到三角形三个顶点的距离相等
B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的内切圆与内心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：三角形的内切圆圆心到三角形三边的距离相等；故A不符合题意；
对角线相等且平分的四边形是矩形；故B不符合题意；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故C不符合题意；
顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，是真命题，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】三角形的内切圆圆心到三角形三边的距离相等，据此判断A；根据矩形的判定定理可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据平行四边形的判定定理可判断D.
2．（2021九下·武汉月考）如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接 ，得出 ，由 ，可求出，从而得出结论.
3．（2021九下·苏州开学考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠A+∠FIE=360°-∠AFI-∠AEI
∴∠FIE=360°-50°-90°-90°=130°，
∵
∴∠EFD=∠FIE=65°.
故答案为：C.
【分析】连接IF，IE，利用切线的性质可证得∠AFI=∠AEI=90°；再利用四边形的内角和为360°，可求出∠FIE的度数；然后利用圆周角定理求出∠EDF的度数.
4．（2021九下·厦门开学考）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故答案为：D.
【分析】根据三角形的周长乘以内切圆半径，再除以2即得三角形的面积，据此即可求解.
5．（2020九下·盐都期中）如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数.
6．（2020九下·江油开学考）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心 B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点 D．AO＝CO
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，
∴点O是△ABC的内切圆的圆心；
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质及三角形内心的定义求解即可。
7．（2020九下·石家庄开学考）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ 内心的是各个角的平分线的交点，
∴C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义逐项判定即可。
8．（2019九下·青山月考）如图，弓形 中， ， .若点 在优弧 上由点 移动到点 ，记 的内心为 ，点 随点 的移动所经过的路径长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，将圆补全，过点O作OD⊥BC交 于点D，
设I为△PBC的内心，连接BI、PD、BO、CO、BD、CD、PB、PC，
∵DO⊥BC，
∴BD=CD，∠BPD=∠CPD，
∵∠PBI+∠BPI=∠BID，∠DBC+∠CBI=∠IBD，∠BPD=∠BCD，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD，
∵∠BAC=60°，BC=2 ，
∴∠BOD=60°，△BDO是等边三角形，
∴BO= =2，∠BDC=120°，
∴BD=BO=ID=2，
∴动点I到定点D的距离为2，即点I随点P的移动所经过的路径长是：以点D为圆心，2为半径的 ，
的长为： ，
故答案为：B.
【分析】作辅助线，先确定点I的轨迹是以点D为圆心，以OD为半径的 的长，先求半径OD 的长，再根据弧长公式求出 的长即可.
9．（2020九下·重庆月考）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6.按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连结OC，则OC为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO＝OG＝ ＝2，
∴CO＝2 .
故答案为：A.
【分析】过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，根据尺规作图可知O是三角形角平分线的交点，即O是△ACB的内心，可得OG=OD，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°，从而可得四边形OGCD是正方形，由直角三角形内切圆半径=即可求出DO=2，由CO=DO即可求出结论.
10．（2020九下·襄阳月考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= ∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD= = ，
同理求出CD= ，
即BC=2 .
故答案为：D.
【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可.
二、填空题
11．（2021九下·自贡开学考）如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
【答案】15
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AD和AF为切线，
∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x,
∵∠C=90°
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x+3）2+(x+4)2=82,
整理得，x2+8x-5=0,
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，
∴S△ABC=AB×AC=15，
故答案为：15.
【分析】利用切线长定理得出求出AF和BE的长，CE=CF，设EF=CE=x, 根据勾股定理列方程求解，则可求出AC、BC的长，最后求面积即可.
12．（2020九下·渠县开学考）如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
，
，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
，
∴DQ=5-4=1，
．
故答案为2．
【分析】利用内切圆的性质及正方形的性质得到OQ、DQ的长，再利用正切的定义求解即可。
13．（2020九下·广陵月考）已知一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，则此直角三解形的内切圆半径r＝ .
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是10.
根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是2.
故答案为：2.
【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是10，再根据其内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算.
14．（2019九下·江阴期中）如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，那么△ABC的内切圆半径为
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，
则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= AB2sin60°= ，
∴AB=6，
∴三角形ABC的高h=3 ，
则△ABC的内切圆半径r= h= .
故答案为： .
【分析】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，根据平行四边形的性质及等边三角形的性质得出故可知黑色部分的面积=白色部分的面积=三角形ABC的面积，又三角形ABC的面积等于两边与其夹角正弦函数值乘积的一半，从而列出方程求解算出等边三角形的边长，进而算出等边三角形的高根据内心的性质即可得出答案。
15．如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为 （结果保留π）
【答案】π
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OE、OF，
∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=5，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴FB=DB，CE=CF，AD=AF，
OE⊥BC，OF⊥AC，
又∵∠C=90°，OF=OE，
∴四边形ECFO为正方形，
∴设OE=OF=CF=CE=x，
∴BE=4﹣x，FA=3﹣x；
∴DB=4﹣x，AD=3﹣x，
∴3﹣x+4﹣x=5，
解得：x=1，
则⊙O的面积为：π．
故答案为：π．
【分析】连接OE、OF，首先根据勾股定理算出AB的长，根据切线长定理得出FB=DB，CE=CF，AD=AF，OE⊥BC，OF⊥AC，进而判断出四边形ECFO为正方形，根据正方形的性质得出设OE=OF=CF=CE=x，进而判断出BE,FA,BD,AD,然后根据AB=AD+BD列出方程，求解得出x的值，最后根据圆的面积计算方法算出答案。
16．（2017九下·永春期中）如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依次类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 ， ， ，…， ，则 = .
【答案】π
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】（1）如下图1，
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴由勾股定理可得：AB= .
设△ABC的内切圆O的半径为 ，则 ，
∴S⊙O= .
（ 2 ）如下图2，过点C作CD⊥AB于点D，
则由S△ABC= AC·BC= AB·CD可得： CD，解得：CD= ，
∴在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理可解得：AD= ，BD= ，
设⊙O1的半径为 ，⊙O2的半径为 ，则 ， ，
∴S⊙O1+S⊙O2= .
（ 3 ）如图3，过点D作DE⊥BC于点E，
设三个圆的半径分别为 ，则同（2）可知 ，可解得DE= ，CE= ，BE= ，由此解得 ， ，
∴S⊙O1+S⊙O2+ S⊙O3= .
（ 4 ）综上所述，在图4中，S1+S2+S3+S4= ；
在图10中，S1+S2+S3+ +S10= .
故答案为：π .
【分析】设△ABC的内切圆O的半径为 r ，过点C作CD⊥AB于点D，根据切线长定理用r表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r，圆面积公式=πr2求出面积=π；设⊙O1的半径为 r 1 ，⊙O2的半径为 r 2，已知面积现在可以求CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r求两个圆的半径，可以求出两圆的面积和=π；过点D作DE⊥BC于点E，求DE和CE、BE，利用半径r求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π.
三、解答题
17．（2020九下·广陵月考）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可.
18．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
19．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
20．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60°，求弦AB的长．
【答案】解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB，OA⊥AP
∴∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°
∵∠P=60°
∴∠PAB=（180°-60°）=60°
∴∠CAB=90°-60°=30°
在Rt△ABC中，AC= 12
∴cos∠CAB=cos30°===
解之：AB=6
∴弦AB的长为：6
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【分析】连接BC，利用圆周角定理构造直角三角形，由切线长定理及∠P的度数，可求出∠CAB的度数，再利用解直角三角形求出AB的长。
21．（2021九下·松山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）尺规作图：作三角形ABC的内切圆⊙O，⊙O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F保留作图痕迹，不写作法．
（2）求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）解：如图，连接OC，OD，OF，
设△ABC内切圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝10，
∴S△ABC＝ AC BC＝ ×6×8＝24，AB+AC+BC＝24，
∵S△ABC＝S△AOB + S△BOC+ S△AOC
＝ AB·OD+ BC·OE+ AC·OF
＝ AB·r + BC·r + AC·r
＝ （AB+AC+BC）r，
∴r＝
＝
＝2．
【知识点】三角形的内切圆与内心；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）设△ABC内切圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，先求出AB的长，再根据S△ABC＝S△AOB + S△BOC+ S△AOC＝（AB+AC+BC）r，可得r＝，再求出r的值即可。
22．（2020九下·湖州月考）在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两个顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O是原点.现在将正方形OABC绕原点O顺时针旋转，当点A第一次落在直线y=x上时停止.旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点Ｎ。
（1）若点A（ ，b），求此时点C的坐标及b的值
（2）若△MNB的周长是p，在旋转过程中，p值是否会发生变化？若不变，请求出这个定值，若有变化，请说明理由；
（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△MNB内切圆半径。
【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵ 点A（ ，b）
∴，
∵正方形ABCD，
∴OA=OC=1，∠AOC=90°
在Rt△AOE中，
；
∵∠AOE+∠FOC=90°，∠FOC+∠FCO=90°
∴∠AOE=∠FCO，
在△AOE和△OCF中
∴△AOE≌△OCF（AAS）
∴，
∴点C；
（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．
理由：将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．
∴OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．
∵直线OM的解析式为y＝x，
∴∠MON＝45°．
∴∠EON＝90°-45°=45°．
在△MON和△EON中，
∴△MON≌△EON（SAS），
∴MN＝EN
∴MN=CN＋AM．
∴P＝BM＋BN＋MN＝BM＋AM＋BN＋CN＝2AB=2×1=2，
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变，其值为2.
（3）答：当m为时， △OMN的面积最小，为 ;Rt△MNB的内切圆的半径为.
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；旋转的性质；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）将△CON逆时针旋转90°得到△AON'，连接OE，EM，EN'，过点E作EF⊥MN'于点F,
∴△ONM≌△OMN'
∴S△ONM=S△OMN'，
作△ON'M的外接圆E，设外接圆的半径为r，
∵OA=1，∠MON'=45°，
∴∠MEN'=2∠MON'=90°
∴MN=，EF=EN'sin45°=
∵OE+EF≥0A
∴
解之：
∴MN'的最小值为；
∴ △OMN的面积最小值为
∴m为时， △OMN的面积最小 ;
∵（2）中△MNB的周长为2，
设Rt△MNB的两直角边的长分别为x，y，
∴
∴
∴Rt△MNB的内切圆的半径为
【分析】 （1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由点A的坐标可得到OE的长，利用正方形的性质，可证得OA=OC=1，∠AOC=90°，利用勾股定理求出b的值；再利用AAS证明△AOE≌△OCF，利用全等三角形的对应边相等，可求出OF，CF的长，即可得到点C的坐标。
（2）将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．，利用旋转的性质，可证得OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．利用一次函数解析式可证得∠MON=∠EON=45°，利用SAS证明△MON≌△EON，利用全等三角形的对应边相等去证明MN＝EN，由此可以推出P=2AB，即可求出p的值。
（3）将△CON逆时针旋转90°得到△AON'，连接OE，EM，EN'，过点E作EF⊥MN'于点F，可证得S△ONM=S△OMN'，作△ON'M的外接圆E，设外接圆的半径为r，利用圆周角定理可证得△MEN'是等腰直角三角形，利用解直角三角形可得到MN，EF的值，再根据OE+EF≥0A，可得到r的取值范围，由此可求出MN'的最小值及此时△OMN的最小面积；设Rt△MNB的两直角边的长分别为x，y，可求出x+y的值，再利用直角三角形的内切圆的半径计算方法可求出△MNB的内切圆的半径。
23．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=(AC+BC AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=(AC+BC AB)，代入即可。
24．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
【答案】（1）解：∵在△ABO中，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOB=180° 2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠APB=360° 120° 90° 90°=60°.
（2）解：连接OP
∵AP、BP是圆O的切线
∴∠OAP=90°，∠APO=∠APB=×60°=30°
在Rt是△AOP中，tan∠APO=
∴
解之：AP=3
∴AP的长为：3
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形的内角和为360°，可求出∠APB的度数。
（2）根据切线长定理求出∠APO的度数，再利用解直角三角形求出AP的长。
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册2.3 三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1．（2022九下·重庆开学考）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内切圆圆心到三角形三个顶点的距离相等
B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
2．（2021九下·武汉月考）如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九下·苏州开学考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
4．（2021九下·厦门开学考）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2020九下·盐都期中）如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
6．（2020九下·江油开学考）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心 B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点 D．AO＝CO
7．（2020九下·石家庄开学考）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 内心的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019九下·青山月考）如图，弓形 中， ， .若点 在优弧 上由点 移动到点 ，记 的内心为 ，点 随点 的移动所经过的路径长为（ ）.
A． B． C． D．
9．（2020九下·重庆月考）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6.按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连结OC，则OC为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
10．（2020九下·襄阳月考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
11．（2021九下·自贡开学考）如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
12．（2020九下·渠县开学考）如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 ．
13．（2020九下·广陵月考）已知一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，则此直角三解形的内切圆半径r＝ .
14．（2019九下·江阴期中）如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，那么△ABC的内切圆半径为
15．如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为 （结果保留π）
16．（2017九下·永春期中）如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依次类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 ， ， ，…， ，则 = .
三、解答题
17．（2020九下·广陵月考）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
18．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
19．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
20．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60°，求弦AB的长．
21．（2021九下·松山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）尺规作图：作三角形ABC的内切圆⊙O，⊙O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F保留作图痕迹，不写作法．
（2）求⊙O的半径r．
22．（2020九下·湖州月考）在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两个顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O是原点.现在将正方形OABC绕原点O顺时针旋转，当点A第一次落在直线y=x上时停止.旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点Ｎ。
（1）若点A（ ，b），求此时点C的坐标及b的值
（2）若△MNB的周长是p，在旋转过程中，p值是否会发生变化？若不变，请求出这个定值，若有变化，请说明理由；
（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△MNB内切圆半径。
23．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
24．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的内切圆与内心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：三角形的内切圆圆心到三角形三边的距离相等；故A不符合题意；
对角线相等且平分的四边形是矩形；故B不符合题意；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故C不符合题意；
顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，是真命题，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】三角形的内切圆圆心到三角形三边的距离相等，据此判断A；根据矩形的判定定理可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据平行四边形的判定定理可判断D.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接 ，得出 ，由 ，可求出，从而得出结论.
3．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠A+∠FIE=360°-∠AFI-∠AEI
∴∠FIE=360°-50°-90°-90°=130°，
∵
∴∠EFD=∠FIE=65°.
故答案为：C.
【分析】连接IF，IE，利用切线的性质可证得∠AFI=∠AEI=90°；再利用四边形的内角和为360°，可求出∠FIE的度数；然后利用圆周角定理求出∠EDF的度数.
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故答案为：D.
【分析】根据三角形的周长乘以内切圆半径，再除以2即得三角形的面积，据此即可求解.
5．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，
∴点O是△ABC的内切圆的圆心；
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质及三角形内心的定义求解即可。
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ 内心的是各个角的平分线的交点，
∴C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义逐项判定即可。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，将圆补全，过点O作OD⊥BC交 于点D，
设I为△PBC的内心，连接BI、PD、BO、CO、BD、CD、PB、PC，
∵DO⊥BC，
∴BD=CD，∠BPD=∠CPD，
∵∠PBI+∠BPI=∠BID，∠DBC+∠CBI=∠IBD，∠BPD=∠BCD，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD，
∵∠BAC=60°，BC=2 ，
∴∠BOD=60°，△BDO是等边三角形，
∴BO= =2，∠BDC=120°，
∴BD=BO=ID=2，
∴动点I到定点D的距离为2，即点I随点P的移动所经过的路径长是：以点D为圆心，2为半径的 ，
的长为： ，
故答案为：B.
【分析】作辅助线，先确定点I的轨迹是以点D为圆心，以OD为半径的 的长，先求半径OD 的长，再根据弧长公式求出 的长即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO＝OG＝ ＝2，
∴CO＝2 .
故答案为：A.
【分析】过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，根据尺规作图可知O是三角形角平分线的交点，即O是△ACB的内心，可得OG=OD，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°，从而可得四边形OGCD是正方形，由直角三角形内切圆半径=即可求出DO=2，由CO=DO即可求出结论.
10．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= ∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD= = ，
同理求出CD= ，
即BC=2 .
故答案为：D.
【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可.
11．【答案】15
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AD和AF为切线，
∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x,
∵∠C=90°
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x+3）2+(x+4)2=82,
整理得，x2+8x-5=0,
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，
∴S△ABC=AB×AC=15，
故答案为：15.
【分析】利用切线长定理得出求出AF和BE的长，CE=CF，设EF=CE=x, 根据勾股定理列方程求解，则可求出AC、BC的长，最后求面积即可.
12．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
，
，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
，
∴DQ=5-4=1，
．
故答案为2．
【分析】利用内切圆的性质及正方形的性质得到OQ、DQ的长，再利用正切的定义求解即可。
13．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是10.
根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是2.
故答案为：2.
【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是10，再根据其内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，
则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= AB2sin60°= ，
∴AB=6，
∴三角形ABC的高h=3 ，
则△ABC的内切圆半径r= h= .
故答案为： .
【分析】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，根据平行四边形的性质及等边三角形的性质得出故可知黑色部分的面积=白色部分的面积=三角形ABC的面积，又三角形ABC的面积等于两边与其夹角正弦函数值乘积的一半，从而列出方程求解算出等边三角形的边长，进而算出等边三角形的高根据内心的性质即可得出答案。
15．【答案】π
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OE、OF，
∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=5，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴FB=DB，CE=CF，AD=AF，
OE⊥BC，OF⊥AC，
又∵∠C=90°，OF=OE，
∴四边形ECFO为正方形，
∴设OE=OF=CF=CE=x，
∴BE=4﹣x，FA=3﹣x；
∴DB=4﹣x，AD=3﹣x，
∴3﹣x+4﹣x=5，
解得：x=1，
则⊙O的面积为：π．
故答案为：π．
【分析】连接OE、OF，首先根据勾股定理算出AB的长，根据切线长定理得出FB=DB，CE=CF，AD=AF，OE⊥BC，OF⊥AC，进而判断出四边形ECFO为正方形，根据正方形的性质得出设OE=OF=CF=CE=x，进而判断出BE,FA,BD,AD,然后根据AB=AD+BD列出方程，求解得出x的值，最后根据圆的面积计算方法算出答案。
16．【答案】π
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】（1）如下图1，
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴由勾股定理可得：AB= .
设△ABC的内切圆O的半径为 ，则 ，
∴S⊙O= .
（ 2 ）如下图2，过点C作CD⊥AB于点D，
则由S△ABC= AC·BC= AB·CD可得： CD，解得：CD= ，
∴在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理可解得：AD= ，BD= ，
设⊙O1的半径为 ，⊙O2的半径为 ，则 ， ，
∴S⊙O1+S⊙O2= .
（ 3 ）如图3，过点D作DE⊥BC于点E，
设三个圆的半径分别为 ，则同（2）可知 ，可解得DE= ，CE= ，BE= ，由此解得 ， ，
∴S⊙O1+S⊙O2+ S⊙O3= .
（ 4 ）综上所述，在图4中，S1+S2+S3+S4= ；
在图10中，S1+S2+S3+ +S10= .
故答案为：π .
【分析】设△ABC的内切圆O的半径为 r ，过点C作CD⊥AB于点D，根据切线长定理用r表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r，圆面积公式=πr2求出面积=π；设⊙O1的半径为 r 1 ，⊙O2的半径为 r 2，已知面积现在可以求CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r求两个圆的半径，可以求出两圆的面积和=π；过点D作DE⊥BC于点E，求DE和CE、BE，利用半径r求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π.
17．【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可.
18．【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
19．【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
20．【答案】解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB，OA⊥AP
∴∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°
∵∠P=60°
∴∠PAB=（180°-60°）=60°
∴∠CAB=90°-60°=30°
在Rt△ABC中，AC= 12
∴cos∠CAB=cos30°===
解之：AB=6
∴弦AB的长为：6
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【分析】连接BC，利用圆周角定理构造直角三角形，由切线长定理及∠P的度数，可求出∠CAB的度数，再利用解直角三角形求出AB的长。
21．【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）解：如图，连接OC，OD，OF，
设△ABC内切圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝10，
∴S△ABC＝ AC BC＝ ×6×8＝24，AB+AC+BC＝24，
∵S△ABC＝S△AOB + S△BOC+ S△AOC
＝ AB·OD+ BC·OE+ AC·OF
＝ AB·r + BC·r + AC·r
＝ （AB+AC+BC）r，
∴r＝
＝
＝2．
【知识点】三角形的内切圆与内心；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）设△ABC内切圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，先求出AB的长，再根据S△ABC＝S△AOB + S△BOC+ S△AOC＝（AB+AC+BC）r，可得r＝，再求出r的值即可。
22．【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵ 点A（ ，b）
∴，
∵正方形ABCD，
∴OA=OC=1，∠AOC=90°
在Rt△AOE中，
；
∵∠AOE+∠FOC=90°，∠FOC+∠FCO=90°
∴∠AOE=∠FCO，
在△AOE和△OCF中
∴△AOE≌△OCF（AAS）
∴，
∴点C；
（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．
理由：将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．
∴OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．
∵直线OM的解析式为y＝x，
∴∠MON＝45°．
∴∠EON＝90°-45°=45°．
在△MON和△EON中，
∴△MON≌△EON（SAS），
∴MN＝EN
∴MN=CN＋AM．
∴P＝BM＋BN＋MN＝BM＋AM＋BN＋CN＝2AB=2×1=2，
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变，其值为2.
（3）答：当m为时， △OMN的面积最小，为 ;Rt△MNB的内切圆的半径为.
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；旋转的性质；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）将△CON逆时针旋转90°得到△AON'，连接OE，EM，EN'，过点E作EF⊥MN'于点F,
∴△ONM≌△OMN'
∴S△ONM=S△OMN'，
作△ON'M的外接圆E，设外接圆的半径为r，
∵OA=1，∠MON'=45°，
∴∠MEN'=2∠MON'=90°
∴MN=，EF=EN'sin45°=
∵OE+EF≥0A
∴
解之：
∴MN'的最小值为；
∴ △OMN的面积最小值为
∴m为时， △OMN的面积最小 ;
∵（2）中△MNB的周长为2，
设Rt△MNB的两直角边的长分别为x，y，
∴
∴
∴Rt△MNB的内切圆的半径为
【分析】 （1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由点A的坐标可得到OE的长，利用正方形的性质，可证得OA=OC=1，∠AOC=90°，利用勾股定理求出b的值；再利用AAS证明△AOE≌△OCF，利用全等三角形的对应边相等，可求出OF，CF的长，即可得到点C的坐标。
（2）将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．，利用旋转的性质，可证得OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．利用一次函数解析式可证得∠MON=∠EON=45°，利用SAS证明△MON≌△EON，利用全等三角形的对应边相等去证明MN＝EN，由此可以推出P=2AB，即可求出p的值。
（3）将△CON逆时针旋转90°得到△AON'，连接OE，EM，EN'，过点E作EF⊥MN'于点F，可证得S△ONM=S△OMN'，作△ON'M的外接圆E，设外接圆的半径为r，利用圆周角定理可证得△MEN'是等腰直角三角形，利用解直角三角形可得到MN，EF的值，再根据OE+EF≥0A，可得到r的取值范围，由此可求出MN'的最小值及此时△OMN的最小面积；设Rt△MNB的两直角边的长分别为x，y，可求出x+y的值，再利用直角三角形的内切圆的半径计算方法可求出△MNB的内切圆的半径。
23．【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=(AC+BC AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=(AC+BC AB)，代入即可。
24．【答案】（1）解：∵在△ABO中，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOB=180° 2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠APB=360° 120° 90° 90°=60°.
（2）解：连接OP
∵AP、BP是圆O的切线
∴∠OAP=90°，∠APO=∠APB=×60°=30°
在Rt是△AOP中，tan∠APO=
∴
解之：AP=3
∴AP的长为：3
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形的内角和为360°，可求出∠APB的度数。
（2）根据切线长定理求出∠APO的度数，再利用解直角三角形求出AP的长。
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