2022-2023学年浙教版数学九年级下册第2章 直线与圆的位置关系 单元检测
一、单选题
1．（2022九下·重庆开学考）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（ ）
A．70° B．60° C．55° D．35°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AC为切线，OC为半径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=55°，
∴∠B=90°－55°=35°，
∵∠COD和∠B是 所对的圆心角和圆周角，
∴∠DOC=2∠B=35°×2=70°.
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质可得∠ACB=90°，根据余角的性质可得∠B的度数，然后根据圆周角定理进行解答.
2．（2022九下·长兴开学考）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆心O到直线a的距离为d，则d=6 cm
∵⊙O的半径为6 cm，
即半径=d=6 cm，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切.
故答案为：B.
【分析】由⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离d=6cm，根据直线与圆的位置关系判定方法：当d＞r时，直线与圆相离，当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，即可判断.
3．（2022九下·蓬安开学考）在同一平面内，有一半径为6的 和直线 ，直线 上有一点 ，且 ；则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为6.直线m上有一点P，OP=4，4＜6，
∴直线与圆O相交.
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系判断，即：d＞r，相离；d=r，相切；d＜r，相交.
4．（2022九下·舟山月考）如图，AB是⊙0的直径，点C为⊙0外一点，CA，CD分别与⊙0相切于点A，点D，连结BD，AD，若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（ ）
A．15° B．35° C．65° D．75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，
∴CA=CD，∠CAB=90°，
又∵∠ACD=50°，
∴∠CAD=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠DAB=90°-65°=25°，
∵AB是⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=90°-25°=65°.
故答案为：C.
【分析】由切线长性质得CA=CD，∠CAB=90°，从而求得∠CAD的度数，进而求得∠DAB的度数，再根据直径所对的圆周角为90°，即∠ADB=90°，进而求得∠DBA度数.
5．（2022九下·温州开学考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝25°，
∴∠CAB＝∠OCA＝25°，
∴∠COD＝∠CAB+∠OCA＝50°，
∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案为：D.
【分析】连接OC，由OA＝OC，∠CAB＝25°，得∠CAB＝∠OCA＝25°，根据外角定理求得∠COD＝50°，由切线的性质得∠OCD＝90°，在根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数.
6．（2022九下·义乌开学考）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是
上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．60° B．65° C．68° D．70°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F是切点
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，又∠B=60°
∴∠EOF=120°
∴∠EPF= ∠EOF=60°
故答案为：A.
【分析】连接OE、OF，根据切线的性质及四边形的内角和定理得到∠EOF的度数，之后再运用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案.
7．（2021九下·兴业期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=140°，
∴∠AOP=40°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=90°-40°=50°，
故答案为：C．
【分析】根据题意，连接OA，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C=140°，再根据切线的性质及三角形内角和定理即可得到∠P的度数．
8．（2021九下·容县期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，
由圆周角定理得，
，
∴，
∵AP是⊙O的切线，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOB的度数，根据邻补角的性质求出∠AOP的度数，由切线的性质得出∠OAP=90°，最后根据直角三角形的性质求∠P即可.
9．（2021九下·江北期中）如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．65° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝15°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝30°，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠COD＝60°.
故答案为：C.
【分析】连接OD，由等腰三角形的性质可得∠ODA＝∠A＝15°，然后根据外角的性质可得∠COD的度数，由切线的概念可得∠CDO＝90°，据此求解.
10．（2021九下·盐城期中）若⊙O半径是2，点A在直线l上，且OA=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=r=2，
∴当OA⊥l时，l和 ⊙O 相切，
当OA与l不垂直时，直线l与⊙O 相交，
故答案为：D.
【分析】因为OA=r=2，分两种情况讨论，即当OA⊥l时，l和 ⊙O 相切；当OA与l不垂直时，直线l与⊙O 相交.
二、填空题
11．（2022九下·汕头期末）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2-2x-15=0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是
【答案】相切
【知识点】因式分解法解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵x2-2x-15=0，
∴（x-5）（x+3）=0，
∴x=5或x=-3（不符合题意，舍去），
∴圆的半径为5，
∵⊙A的圆心坐标为（3，5），
∴点A到x轴的距离=5，
∴⊙A与x轴的位置关系是相切.
故答案为：相切.
【分析】先求出方程的解，得出圆的半径为5，再根据点A到x轴的距离=半径，即可得出⊙A与x轴的位置关系是相切.
12．（2022九下·虹口期中）已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．
【答案】3或7
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆的半径为rcm
如图一所示，
r-5=2，得r=7cm，
如图二所示，
r+2=5，得r=3cm，
故答案为：3或7．
【分析】分类讨论平行线的位置，就可算出
13．（2021九下·咸宁月考）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， cos∠OAB= ，则AB的长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC.
∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，AC=BC，
∵cos∠OAB= ，
∴设
根据勾股定理得，
.
故答案为： .
【分析】连接OC，由切线的性质可得OC⊥AB，AC=BC，设AC=2x，则OA=3x，然后在Rt△OAC中利用勾股定理表示出OC，由OC=OD=2可求得x的值，进而得到AC、AB的值.
14．（2021九下·鄞州月考）如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OD
∵CE是切线，
∴OD⊥EC，
∴∠EDO=90°，
∵点A为OE的中点，
∴AE=OE=OB=4
∴BE=12，OE=8,
在Rt△EOD中
;
∵∠E=∠E，∠EDO=∠B=90°，
∴△EOD∽△EBC
∴
∴
解之：.
在Rt△ABC中
.
故答案为：.
【分析】连接OD，利用切线的性质可证得∠EDO=90°，利用线段中点的定义求出BE，AB，OE的长；在Rt△EOD中，利用勾股定理求出ED的长；再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△EOD∽△EBC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BC的长；然后利用勾股定理求出AC的长.
15．（2021九下·哈尔滨开学考）如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．AC是⊙O 的直径，若∠P=80°，则∠BAC的度数为 ．
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA．
∵∠P=80°，
∴∠PAB=（180°-80°）÷2=50°．
∵AC是⊙O 的直径，A为切点，
∴∠PAC=90°，
∴∠BAC=90°－50°=40°．
故答案为40°．
【分析】先根据切线长定理得出PA=PB，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠PAB=（180°-80°）÷2=50°．再根据切线的性质得出∠PAC=90°，在计算即可得出∠BAC。
16．（2021九下·福州开学考）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为 .
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如题所示，连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝1，
∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：
故答案为：.
【分析】连接OC、OD，由圆的切线的性质可得OC⊥AC，OD⊥BD，结合已知可得AC=OC，由计算可得OD=BD，于是由等腰直角三角形的性质可得∠BOD=45°，再根据平角定义可求得∠COD的度数，然后根据弧长公式l=可求解.
三、解答题
17．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
【答案】解：∵，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F
∴AD=AE=20，DB=BF，FC=EC
∵△ABC的周长为：AB+BF+CF+AC
∴△ABC的周长为：AB+DB+CE+AC=AD+AE=20+20=40.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】利用切线长定理可得出AD=AE=20，DB=BF，FC=EC，将△ABC的周长转化为AD+AE，代入计算可得出答案。
18．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OA
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AB⊥PO
∴∠AEC=90°
∴∠OCA+∠BAC=90°
∵∠EAC=∠CAP
∴∠OAC+∠CAP=90°
∴OA⊥AP
∴PA是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】要证PA是⊙O的切线，就需连接OA，证明OA⊥AP。利用等腰三角形的性质证明∠OCA=∠OAC，再根据垂直的定义及∠EAC=∠CAP，去证明∠OAC+∠CAP=90°，即可证得结论。
19．如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
求证：AE平分∠CAB；
【答案】证明：连接OE
∵OE=OA
∴∠1=∠OEA
∵BC是圆O的切线
∴OE⊥BC
∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∴OE∥AB
∴∠OEA=∠BAE
∴∠1=∠BAE
∴AE平分∠CAB。
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】利用切线的性质可得出OE⊥BC，再由已知Rt△ABC，去证明OE∥AB，由平行线的性质及等腰三角形的性质，再证明∠OEA=∠BAE，∠1=∠OEA，就可证得结论。
20．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
【答案】（1）解：∵MA、MB分别切⊙O于点A、B．
∴AM=BM，OA⊥AM
∴∠MBA=∠MAB
∴∠BAC+∠MAB=90°
∵∠BAC=23°
∴∠MBA=∠MAB=90°-23°=67°
∴∠AMB=180°-2×67°=46°
（2）解：连接AB、AD
BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∴BE=DE，
∴AC垂直平分BD
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）利用切线长定理及切线的性质，可得出AM=BM，OA⊥AM，可推出∠MBA=∠MAB，∠BAC+∠MAB=90°，结合已知求出∠BAM的度数，从而求出∠AMB的度数。
（2）由BD∥AM，DB=AM，证明四边形BMAD是平行四边形，再利用垂径定理证明AB=AD=BM，然后证明△BMA是等边三角形，就可求得结果。
21．（2022九下·雨花期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC=DE，求tan∠ABD的值.
【答案】（1）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠E+∠CAE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠ACE=90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2=AD×AE，
设DE=a，则AC=2a，
∴20a2=AD(AD+a)，
解得AD=4a或-5a（舍去），
∵DC2=AC2-AD2=，
∴DC=2a(负值舍去)，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，直接利用直角三角形斜边中线的性质得出DF=FC，OD=OC，则∠ODC=∠OCD，∠FDC=∠FCD，从而可得∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可证得结论；
（2）证明△ACE∽△ADC，利用相似三角形的性质，结合勾股定理表示出AD， DC的长，再根据正切的定义和利用圆周角定理求出tan∠ABD的值即可.
22．（2022九下·长沙月考）如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）证明：如下图，连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∴∠ODE＋∠AED＝180°，
∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如下图，连接DB，CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠B＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EAD＋∠EDA＝90°，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴∠B＝∠EDA，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD＋∠B＝180°，
∵∠ACD＋∠ECD＝180°，
∴∠B＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠EDA，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴ ，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂直的概念可得∠DEA＝90°，根据角平分线的概念可得∠EAD＝∠DAB，由等腰三角形的性质可得∠OAD＝∠ODA，推出AE∥OD，根据平行线的性质可得∠ODE＝180°-∠AED＝90°，据此证明；
（2）连接DB，CD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等角的余角相等可得∠B＝∠EDA，根据圆内接四边形的性质解答∠ACD＋∠B＝180°，结合邻补角的性质可得∠B＝∠ECD，证明△ECD∽△EDA，根据相似三角形的性质求出AE，然后利用勾股定理进行计算.
23．（2022九下·长沙月考）如图⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF.
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：AC2=4OD·OP；
（3）若BC=6，，求AC的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OB.
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形.
∵BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA为⊙O的切线.
（2）证明：∵直线PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°.
∵BA⊥PO于D，
∴∠PDA=∠ODA =90°，
∴∠PAO=∠ODA，
∵∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴.
∴OA2=OD OP.
又∵AC=2OA，
∴AC2=4OD OP；
（3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3.
设AD=x，
∵tan∠F==，
∴FD=2x，
∴OA=OF=FD-OD=2x-3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）2=x2+32，
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=2x-3=5，
∵AC是⊙O的直径，
∴AC=2OA=10，
∴AC的长为10.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO=90°，易得△AOB是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得AD=BD，∠POA=∠POB，证明△PAO≌△PBO，得到∠PAO=∠PBO=90°，据此证明；
（2）根据切线的性质可得∠PAO=90°，根据同角的余角相等可得∠PAO=∠ODA，证明△OAD∽△OPA，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）易得OD为△ABC的中位线，则OD=BC=3，设AD=x，根据三角函数的概念可得FD=2x，则OA=OF=2x-3，利用勾股定理可得x，然后求出AD、OA，进而可得AC的长.
24．（2022九下·长沙月考）如图，四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，AC=AD，点B为的中点，点E为AC上一点，且，F为直径AG的延长线上一点，且∠FDG=∠FAD.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若∠BCA=55°，∠BAC=15°，求∠F的度数；
（3）若AC=AD=a，求的最大值（用含a的式子表示）.
【答案】（1）证明：连接OD
∵AG为⊙O的直径
∴∠ADG=90°
∴∠OGD+∠GAD=90°
又∵OG=OD，
∴∠OGD=∠GDO
又∵∠FDG=∠FAD
∴∠ODG+∠FDG=90°
即∠FDO=90°
又∵OD为⊙O的半径
∴DF是⊙O的切线
（2）解：连接BD，OD，
∠BCA=55°，则∠BDA=55°，
点B为的中点，则∠BDA=∠BAD=55°，
四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，则∠CDA=180°－∠CBA=∠BCA＋∠BAC=70°，
∠CAG=∠CDG=∠GDA－∠CDA=90°－70°=20°，
∴∠GAD=∠BAD－∠BAC－∠CAG=55°－15°－20°=20°，
∴∠FOD=40°，
由（1）知OD⊥FD，
∴∠F=90°－∠FOD=50°；
（3）解：延长DE交圆于点M，连接AM，BM，BD，
点B为的中点，则∠BMD=∠BCA，
BC∥DE，则∠BCA=∠CED，
∴∠BMD=∠CED，
∴BM∥CE，
BC∥ME，
∴四边形BCEM是平行四边形，
∴BC=ME，
△EMA和△ECD中，∠EMA=∠ECD，∠EAM=∠EDC，
∴△EMA∽△ECD，
∴，即ME×DE=AE×CE=BC×DE，
AC=a，设AE=x，则CE=a－x，
BC×DE=x（a－x）=﹣（x－）2＋
∴的最大值为：
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADG=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OGD=∠GDO，由已知条件知 ∠FDG=∠FAD ，结合∠OGD+∠GAD=90°可得∠FDO=90°，据此证明；
（2）连接BD，OD，根据圆周角定理可得∠BCA=∠BDA=55°，根据圆内接四边形的性质可得∠CDA+∠CBA=180°，求出∠CDA的度数，然后求出∠CAG、∠GAD、∠FOD的度数，接下来根据∠F=90°-∠FOD进行计算；
（3）延长DE交圆于点M，连接AM，BM，BD，易得∠BMD=∠BCA，∠BCA=∠CED，推出BM∥CE，进而得到四边形BCEM是平行四边形，则BC=ME，证明△EMA∽△ECD，设AC=a，设AE=x，则CE=a-x，根据相似三角形的性质表示出BC×DE，然后根据二次函数的性质可得最大值.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册第2章 直线与圆的位置关系 单元检测
一、单选题
1．（2022九下·重庆开学考）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（ ）
A．70° B．60° C．55° D．35°
2．（2022九下·长兴开学考）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
3．（2022九下·蓬安开学考）在同一平面内，有一半径为6的 和直线 ，直线 上有一点 ，且 ；则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
4．（2022九下·舟山月考）如图，AB是⊙0的直径，点C为⊙0外一点，CA，CD分别与⊙0相切于点A，点D，连结BD，AD，若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（ ）
A．15° B．35° C．65° D．75°
5．（2022九下·温州开学考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．（2022九下·义乌开学考）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是
上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．60° B．65° C．68° D．70°
7．（2021九下·兴业期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（2021九下·容县期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
9．（2021九下·江北期中）如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．65° C．60° D．70°
10．（2021九下·盐城期中）若⊙O半径是2，点A在直线l上，且OA=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
二、填空题
11．（2022九下·汕头期末）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2-2x-15=0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是
12．（2022九下·虹口期中）已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．
13．（2021九下·咸宁月考）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， cos∠OAB= ，则AB的长是 .
14．（2021九下·鄞州月考）如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是 .
15．（2021九下·哈尔滨开学考）如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．AC是⊙O 的直径，若∠P=80°，则∠BAC的度数为 ．
16．（2021九下·福州开学考）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为 .
三、解答题
17．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
18．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
19．如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
求证：AE平分∠CAB；
20．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
21．（2022九下·雨花期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC=DE，求tan∠ABD的值.
22．（2022九下·长沙月考）如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求AD的长．
23．（2022九下·长沙月考）如图⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF.
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：AC2=4OD·OP；
（3）若BC=6，，求AC的长.
24．（2022九下·长沙月考）如图，四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，AC=AD，点B为的中点，点E为AC上一点，且，F为直径AG的延长线上一点，且∠FDG=∠FAD.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若∠BCA=55°，∠BAC=15°，求∠F的度数；
（3）若AC=AD=a，求的最大值（用含a的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AC为切线，OC为半径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=55°，
∴∠B=90°－55°=35°，
∵∠COD和∠B是 所对的圆心角和圆周角，
∴∠DOC=2∠B=35°×2=70°.
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质可得∠ACB=90°，根据余角的性质可得∠B的度数，然后根据圆周角定理进行解答.
2．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆心O到直线a的距离为d，则d=6 cm
∵⊙O的半径为6 cm，
即半径=d=6 cm，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切.
故答案为：B.
【分析】由⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离d=6cm，根据直线与圆的位置关系判定方法：当d＞r时，直线与圆相离，当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，即可判断.
3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为6.直线m上有一点P，OP=4，4＜6，
∴直线与圆O相交.
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系判断，即：d＞r，相离；d=r，相切；d＜r，相交.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，
∴CA=CD，∠CAB=90°，
又∵∠ACD=50°，
∴∠CAD=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠DAB=90°-65°=25°，
∵AB是⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=90°-25°=65°.
故答案为：C.
【分析】由切线长性质得CA=CD，∠CAB=90°，从而求得∠CAD的度数，进而求得∠DAB的度数，再根据直径所对的圆周角为90°，即∠ADB=90°，进而求得∠DBA度数.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝25°，
∴∠CAB＝∠OCA＝25°，
∴∠COD＝∠CAB+∠OCA＝50°，
∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案为：D.
【分析】连接OC，由OA＝OC，∠CAB＝25°，得∠CAB＝∠OCA＝25°，根据外角定理求得∠COD＝50°，由切线的性质得∠OCD＝90°，在根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F是切点
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，又∠B=60°
∴∠EOF=120°
∴∠EPF= ∠EOF=60°
故答案为：A.
【分析】连接OE、OF，根据切线的性质及四边形的内角和定理得到∠EOF的度数，之后再运用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=140°，
∴∠AOP=40°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=90°-40°=50°，
故答案为：C．
【分析】根据题意，连接OA，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C=140°，再根据切线的性质及三角形内角和定理即可得到∠P的度数．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，
由圆周角定理得，
，
∴，
∵AP是⊙O的切线，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOB的度数，根据邻补角的性质求出∠AOP的度数，由切线的性质得出∠OAP=90°，最后根据直角三角形的性质求∠P即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝15°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝30°，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠COD＝60°.
故答案为：C.
【分析】连接OD，由等腰三角形的性质可得∠ODA＝∠A＝15°，然后根据外角的性质可得∠COD的度数，由切线的概念可得∠CDO＝90°，据此求解.
10．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=r=2，
∴当OA⊥l时，l和 ⊙O 相切，
当OA与l不垂直时，直线l与⊙O 相交，
故答案为：D.
【分析】因为OA=r=2，分两种情况讨论，即当OA⊥l时，l和 ⊙O 相切；当OA与l不垂直时，直线l与⊙O 相交.
11．【答案】相切
【知识点】因式分解法解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵x2-2x-15=0，
∴（x-5）（x+3）=0，
∴x=5或x=-3（不符合题意，舍去），
∴圆的半径为5，
∵⊙A的圆心坐标为（3，5），
∴点A到x轴的距离=5，
∴⊙A与x轴的位置关系是相切.
故答案为：相切.
【分析】先求出方程的解，得出圆的半径为5，再根据点A到x轴的距离=半径，即可得出⊙A与x轴的位置关系是相切.
12．【答案】3或7
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆的半径为rcm
如图一所示，
r-5=2，得r=7cm，
如图二所示，
r+2=5，得r=3cm，
故答案为：3或7．
【分析】分类讨论平行线的位置，就可算出
13．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC.
∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，AC=BC，
∵cos∠OAB= ，
∴设
根据勾股定理得，
.
故答案为： .
【分析】连接OC，由切线的性质可得OC⊥AB，AC=BC，设AC=2x，则OA=3x，然后在Rt△OAC中利用勾股定理表示出OC，由OC=OD=2可求得x的值，进而得到AC、AB的值.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OD
∵CE是切线，
∴OD⊥EC，
∴∠EDO=90°，
∵点A为OE的中点，
∴AE=OE=OB=4
∴BE=12，OE=8,
在Rt△EOD中
;
∵∠E=∠E，∠EDO=∠B=90°，
∴△EOD∽△EBC
∴
∴
解之：.
在Rt△ABC中
.
故答案为：.
【分析】连接OD，利用切线的性质可证得∠EDO=90°，利用线段中点的定义求出BE，AB，OE的长；在Rt△EOD中，利用勾股定理求出ED的长；再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△EOD∽△EBC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BC的长；然后利用勾股定理求出AC的长.
15．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA．
∵∠P=80°，
∴∠PAB=（180°-80°）÷2=50°．
∵AC是⊙O 的直径，A为切点，
∴∠PAC=90°，
∴∠BAC=90°－50°=40°．
故答案为40°．
【分析】先根据切线长定理得出PA=PB，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠PAB=（180°-80°）÷2=50°．再根据切线的性质得出∠PAC=90°，在计算即可得出∠BAC。
16．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如题所示，连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝1，
∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：
故答案为：.
【分析】连接OC、OD，由圆的切线的性质可得OC⊥AC，OD⊥BD，结合已知可得AC=OC，由计算可得OD=BD，于是由等腰直角三角形的性质可得∠BOD=45°，再根据平角定义可求得∠COD的度数，然后根据弧长公式l=可求解.
17．【答案】解：∵，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F
∴AD=AE=20，DB=BF，FC=EC
∵△ABC的周长为：AB+BF+CF+AC
∴△ABC的周长为：AB+DB+CE+AC=AD+AE=20+20=40.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】利用切线长定理可得出AD=AE=20，DB=BF，FC=EC，将△ABC的周长转化为AD+AE，代入计算可得出答案。
18．【答案】证明：连接OA
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AB⊥PO
∴∠AEC=90°
∴∠OCA+∠BAC=90°
∵∠EAC=∠CAP
∴∠OAC+∠CAP=90°
∴OA⊥AP
∴PA是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】要证PA是⊙O的切线，就需连接OA，证明OA⊥AP。利用等腰三角形的性质证明∠OCA=∠OAC，再根据垂直的定义及∠EAC=∠CAP，去证明∠OAC+∠CAP=90°，即可证得结论。
19．【答案】证明：连接OE
∵OE=OA
∴∠1=∠OEA
∵BC是圆O的切线
∴OE⊥BC
∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∴OE∥AB
∴∠OEA=∠BAE
∴∠1=∠BAE
∴AE平分∠CAB。
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】利用切线的性质可得出OE⊥BC，再由已知Rt△ABC，去证明OE∥AB，由平行线的性质及等腰三角形的性质，再证明∠OEA=∠BAE，∠1=∠OEA，就可证得结论。
20．【答案】（1）解：∵MA、MB分别切⊙O于点A、B．
∴AM=BM，OA⊥AM
∴∠MBA=∠MAB
∴∠BAC+∠MAB=90°
∵∠BAC=23°
∴∠MBA=∠MAB=90°-23°=67°
∴∠AMB=180°-2×67°=46°
（2）解：连接AB、AD
BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∴BE=DE，
∴AC垂直平分BD
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）利用切线长定理及切线的性质，可得出AM=BM，OA⊥AM，可推出∠MBA=∠MAB，∠BAC+∠MAB=90°，结合已知求出∠BAM的度数，从而求出∠AMB的度数。
（2）由BD∥AM，DB=AM，证明四边形BMAD是平行四边形，再利用垂径定理证明AB=AD=BM，然后证明△BMA是等边三角形，就可求得结果。
21．【答案】（1）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠E+∠CAE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠ACE=90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2=AD×AE，
设DE=a，则AC=2a，
∴20a2=AD(AD+a)，
解得AD=4a或-5a（舍去），
∵DC2=AC2-AD2=，
∴DC=2a(负值舍去)，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，直接利用直角三角形斜边中线的性质得出DF=FC，OD=OC，则∠ODC=∠OCD，∠FDC=∠FCD，从而可得∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可证得结论；
（2）证明△ACE∽△ADC，利用相似三角形的性质，结合勾股定理表示出AD， DC的长，再根据正切的定义和利用圆周角定理求出tan∠ABD的值即可.
22．【答案】（1）证明：如下图，连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∴∠ODE＋∠AED＝180°，
∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如下图，连接DB，CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠B＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EAD＋∠EDA＝90°，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴∠B＝∠EDA，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD＋∠B＝180°，
∵∠ACD＋∠ECD＝180°，
∴∠B＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠EDA，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴ ，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂直的概念可得∠DEA＝90°，根据角平分线的概念可得∠EAD＝∠DAB，由等腰三角形的性质可得∠OAD＝∠ODA，推出AE∥OD，根据平行线的性质可得∠ODE＝180°-∠AED＝90°，据此证明；
（2）连接DB，CD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等角的余角相等可得∠B＝∠EDA，根据圆内接四边形的性质解答∠ACD＋∠B＝180°，结合邻补角的性质可得∠B＝∠ECD，证明△ECD∽△EDA，根据相似三角形的性质求出AE，然后利用勾股定理进行计算.
23．【答案】（1）证明：如图，连接OB.
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形.
∵BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA为⊙O的切线.
（2）证明：∵直线PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°.
∵BA⊥PO于D，
∴∠PDA=∠ODA =90°，
∴∠PAO=∠ODA，
∵∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴.
∴OA2=OD OP.
又∵AC=2OA，
∴AC2=4OD OP；
（3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3.
设AD=x，
∵tan∠F==，
∴FD=2x，
∴OA=OF=FD-OD=2x-3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）2=x2+32，
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=2x-3=5，
∵AC是⊙O的直径，
∴AC=2OA=10，
∴AC的长为10.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO=90°，易得△AOB是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得AD=BD，∠POA=∠POB，证明△PAO≌△PBO，得到∠PAO=∠PBO=90°，据此证明；
（2）根据切线的性质可得∠PAO=90°，根据同角的余角相等可得∠PAO=∠ODA，证明△OAD∽△OPA，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）易得OD为△ABC的中位线，则OD=BC=3，设AD=x，根据三角函数的概念可得FD=2x，则OA=OF=2x-3，利用勾股定理可得x，然后求出AD、OA，进而可得AC的长.
24．【答案】（1）证明：连接OD
∵AG为⊙O的直径
∴∠ADG=90°
∴∠OGD+∠GAD=90°
又∵OG=OD，
∴∠OGD=∠GDO
又∵∠FDG=∠FAD
∴∠ODG+∠FDG=90°
即∠FDO=90°
又∵OD为⊙O的半径
∴DF是⊙O的切线
（2）解：连接BD，OD，
∠BCA=55°，则∠BDA=55°，
点B为的中点，则∠BDA=∠BAD=55°，
四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，则∠CDA=180°－∠CBA=∠BCA＋∠BAC=70°，
∠CAG=∠CDG=∠GDA－∠CDA=90°－70°=20°，
∴∠GAD=∠BAD－∠BAC－∠CAG=55°－15°－20°=20°，
∴∠FOD=40°，
由（1）知OD⊥FD，
∴∠F=90°－∠FOD=50°；
（3）解：延长DE交圆于点M，连接AM，BM，BD，
点B为的中点，则∠BMD=∠BCA，
BC∥DE，则∠BCA=∠CED，
∴∠BMD=∠CED，
∴BM∥CE，
BC∥ME，
∴四边形BCEM是平行四边形，
∴BC=ME，
△EMA和△ECD中，∠EMA=∠ECD，∠EAM=∠EDC，
∴△EMA∽△ECD，
∴，即ME×DE=AE×CE=BC×DE，
AC=a，设AE=x，则CE=a－x，
BC×DE=x（a－x）=﹣（x－）2＋
∴的最大值为：
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADG=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OGD=∠GDO，由已知条件知 ∠FDG=∠FAD ，结合∠OGD+∠GAD=90°可得∠FDO=90°，据此证明；
（2）连接BD，OD，根据圆周角定理可得∠BCA=∠BDA=55°，根据圆内接四边形的性质可得∠CDA+∠CBA=180°，求出∠CDA的度数，然后求出∠CAG、∠GAD、∠FOD的度数，接下来根据∠F=90°-∠FOD进行计算；
（3）延长DE交圆于点M，连接AM，BM，BD，易得∠BMD=∠BCA，∠BCA=∠CED，推出BM∥CE，进而得到四边形BCEM是平行四边形，则BC=ME，证明△EMA∽△ECD，设AC=a，设AE=x，则CE=a-x，根据相似三角形的性质表示出BC×DE，然后根据二次函数的性质可得最大值.
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