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浙教版相似三角形模型一———A字型&8字型
参考答案与试题解析
例1、如图，在△ADE中，BC∥DE，AB＝3，BD＝DE＝6，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例即可解答．
【解答】解：∵BC∥DE，AB＝3，BD＝DE＝6，
∴，
即，
∴BC＝．
故选：A．
变式1、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且AD＝3BD，若S△ABC＝16，则S△ADE＝（ ）
A． B．9 C． D．12
【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质得到＝（）2，从而可求出S△ADE．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，即＝（）2，
∴S△ADE＝9．
故选：B．
变式2、如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若△ABC与△DEC的周长比为3：2，AC＝6，则DC＝ 4 ．
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比即可解决问题．
【解答】解：∵ED∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝＝，
∵AC＝6，
∴CD＝4，
故答案为4．
变式3、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB＝15，则EF＝ ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝15，
∴AE＝10，
∵DF∥CE，
∴＝，即＝，
解得：AF＝，
则EF＝AE﹣AF＝10﹣＝，
故答案为：
例2、如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（ ）
A．3：5 B．4：9 C．3：4 D．2：3
【分析】由题意可知：DE∥FG∥BC，推出△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．求出S1，S2即可．
【解答】解：∵点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，
∴DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．
∴＝（）2＝，
∴S△AFG＝4m，同法可得：S△ABC＝9m，
∴S1＝3m，S2＝5m，
∴S1：S2＝3：5，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
变式1、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质得到DE＝CF，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝，求得＝，设DE＝k，BC＝2k，得到BF＝2k﹣k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
设DE＝k，BC＝2k，
∴BF＝2k﹣k，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴△DBF∽△ADE，
∴＝（）2＝（）2＝3﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式2、如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝ 4：9 ，S1：S2：S3＝ 16：81：36 ．
【分析】由AE：ED＝5：4，得到DE：AD＝4：9，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AE：ED＝5：4，
∴DE：AD＝4：9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∴S1：S2：S3＝16：81：36，
故答案为：4：9，16：81：36．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
例3、如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∵AB＝6，CD＝9，AD＝10，
∴＝，
∴OD＝6，
故选：C．
变式1、在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则S△EDF：S△CBF等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，BC＝AD，得出△EDF∽△CBF，由相似三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AE＝2ED，∴＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，＝＝，
∴S△EDF：S△CBF＝（）2＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．
变式2、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，若DE＝12，则DF等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE＝AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，
∴CE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，∠AFD＝∠EFC，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝，
解得DF＝8，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．
变式3、如图，已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点，线段CM交BD于点E，S△BEM＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
【分析】利用等高模型证明S△DMB＝S△CBM，推出S△DEM＝S△CEB，求出△CEB的面积即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴S△DMB＝S△CBM，
∴S△DEM＝S△CEB，
∵AM＝BM＝AB＝CD，
∴＝＝2，
∴S△CEB＝2S△BME＝4，
∴S阴＝4+4＝8，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等高模型，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式4、如图，在矩形ABCD中，AB＝，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F．
（1）求BE的长；
（2）延长FE交DC的延长线于点G，求证：．
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE＝∠BAD＝90°，根据余角的性质得到∠BAE＝∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE＝1；
（2）通过证明△ADF∽△EBF，△ABF∽△GDF，可得＝＝．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABD＝∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴＝，
∵E是BC的中点，
∴BC＝AD＝2BE，
∴2BE2＝AB2＝2，
∴BE＝1；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△GDF，
∴，
∴＝＝，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
例4、如图 ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF交于点G，延长BE交CD的延长线于H，下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】利用平行四边形的性质以及相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CH，AB＝CD，
∴△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，
∴＝，＝＝，＝，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式1、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．16
【分析】根据相似三角形的判定和性质两次相似，然后找中间量等量代换即可求解．
【解答】解：AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABE，∠CDE＝∠A，
∴△ABE∽△DCE，
∴，AB＝4，
∴BE CD＝4EC
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，EF＝3，
∴BE CD＝3BC＝3（BE+EC），
∴4EC＝3BE+3EC，
∴EC＝3BE，
∴BC＝4BE，
，
∴CD＝12．
答：CD的长为12．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
变式2、如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为 ．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得＝＝3，可得BE＝3CE，即可求CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，
∴△ABE∽△FCE
∴＝＝3
∴BE＝3CE
∵BC＝BE+CE＝5
∴CE＝
故答案为：
变式3、如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝ 2 ．
【分析】根据平行四边形ABCD中，AB∥CD可得，△AOB∽△COE，再根据＝，得出，从而得出，再利用△ABF∽△DEF，求出的值．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∴∠ABO＝∠E，∠BAO＝∠ECO，
∴△ABO∽△CEO，
∴，
∴，
∵CE＝CD+DE＝AB+DE，
∴＝2，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴△AFB∽△DFE，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
例5、如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且，则＝ ．
【解答】解：过B作BF∥AC，交DE于点F，
∵BF∥AC，
∴∠FBO＝∠C，∠BFO＝∠CEO，
又O为BC的中点，∴BO＝CO，
在△OBF和△OCE中，
，
∴△OBF≌△OCE（AAS），
∴BF＝CE，
∵＝，∴＝，
又∵BF∥AE，∴＝＝，
∴＝，
则＝＝．
故答案为：．
变式1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为 ．
【分析】作BH⊥OA于H，如图，利用矩形的性质得OA＝OC＝OB，∠ABC＝90°，则根据勾股定理可计算出AC＝5，AO＝OB＝，接着利用面积法计算出BH＝，于是利用勾股定理可计算出OH＝，然后证明△OBH∽△OEA，最后利用相似比可求出的值．
【解答】解：作BH⊥OA于H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC＝OB，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∴AO＝OB＝，
∵BH AC＝AB BC，
∴BH＝＝，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝，
∵EA⊥CA，
∴BH∥AE，
∴△OBH∽△OEA，
∴＝，
∴＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了矩形的性质．
变式2、如图，在正方形AOCB中，AB＝3，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点P在边AB上，且OP交AC于点Q，函数y＝（x＜0）的图象经过点Q．若S△APQ＝S△OCQ，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．
【分析】如图，作QH⊥OA于H．证明△AQP∽△CQO，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，作QH⊥OA于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝OA＝OC＝BC＝3，AB∥OC，
∴△AQP∽△CQO，
∴＝（）2＝，
∴AP＝OC，
∴＝＝，
∵QH∥OC，
∴＝＝＝，
∴QH＝AH＝1，
∴Q（﹣2，1），
∵Q（﹣2，1）在y＝的图象上，
∴k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，正方形的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
例6、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AF：EF的值为（ ）
A．3：2 B．4：3 C．5：3 D．5：4
【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到，由于AD＝CD，则，然后利用EH∥AD，根据平行线分线段成比例定理得的值．
【解答】解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，
∵EH∥CD，
∴，
∵BE＝3EC，
∴，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴，
∵EH∥AD，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
变式1、在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AC＝2EC，连结AD，BE，交于点F．设x＝CD：BD，y＝AF：FD，则（ ）
A．y＝x+1 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝
【分析】如图，过D作DG∥AC交BE于G，根据相似三角形的性质得到，，求得＝，由于x＝CD：BD，y＝AF：FD，于是得到结论．
【解答】解：如图，过D作DG∥AC交BE于G，
∴△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF，
∴，，
∵AC＝2EC，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴＝，
∵x＝CD：BD，y＝AF：FD，
∴1+x＝y，
∴y＝x+1，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式2、如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝ 10 cm．
【分析】过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到＝＝，进而得出BF＝4AF＝8cm，可得AB的长度．
【解答】解：如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，
∵AE＝AD，AG∥BC，
∴△AEG∽△DEC，
∴＝＝，
又∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2CD，
∴＝，
∵AG∥BC，
∴△AFG∽△BFC，
∴＝＝，
∴BF＝4AF＝8cm，
∴AB＝AF+BF＝10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，过A作AG∥BC，构造相似三角形是解决此题的关键．
例7、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由△ADF∽△BDA，推出AD2＝DF DB，由BF＝1.25DF，可以假设DF＝4m，则BF＝5m，BD＝9m，可得AD＝6m，即可计算．
【解答】解：∵＝，
∴∠DAF＝∠DBA，
∵∠ADF＝∠ADB，
∴△ADF∽△BDA，
∴＝，
∴AD2＝DF DB，
∵BF＝1.25DF，
∴可以假设DF＝4m，则BF＝5m，BD＝9m，
∴AD2＝36m2，
∵AD＞0，
∴AD＝6m，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
变式1、如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝ ．
【分析】由AB是直径，推出∠ADG＝∠GCB＝90°，根据相似，可得＝，设EF＝3k，AE＝4k，则AF＝DF＝FG＝5k，DE＝8k，想办法求出DG、AG即可解决问题；
【解答】解：连接AD，BC．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，又DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
∵D是 的中点，
∴∠DAC＝∠ABD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴FA＝FD；
∵∠ADE＝∠DBC，∠ADE+∠EDB＝90°，∠DBC+∠CGB＝90°，
∴∠EDB＝∠CGB，又∠DGF＝∠CGB，
∴∠EDB＝∠DGF，
∴FA＝FG，
∵＝，设EF＝3k，AE＝4k，则AF＝DF＝FG＝5k，DE＝8k，
在Rt△ADE中，AD＝＝4k，
∵AB是直径，
∴∠ADG＝∠GCB＝90°，
∵∠AGD＝∠CGB，
∴＝，
在Rt△ADG中，DG＝＝2k，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
变式2、已知⊙O的直径AB＝8，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为F．
（1）如图（1），若∠ABD＝30°，求弦AC的长；
（2）如图（2），若＝，求弦BD的长．
【分析】（1）利用圆周角定理求出∠DOA的度数，再求出∠CAO的度数，解直角三角形即可求出弦AC的长；
（2）先证OD与BC平行，再证出线段OF，BC，DF之间的比，设未知数结合径的长度即可求出此三条线段的长度，再通过三次勾股定理即可求出BD的长．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，
∵∠ABD＝30°，
∴∠AOD＝60°
∵OD⊥AC，垂足为F，
∴∠AFO＝90°，AF＝FC，
∴∠FAO＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，
∠FAO＝30°，AB＝8，
AC＝8×＝4；
（2）∵OD⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠AFO＝∠ACB，
∴OD∥BC，
∴△BCE∽△DFE，
∴＝＝，
∵OF＝BC，
∴设OF＝x，则BC＝2x，DF＝3x，
∵OD＝AB＝4，
∴FO＝1，FD＝3，
在Rt△AFO中，
AF＝＝，
∴在Rt△AFD中，
AD＝＝2，
∴在Rt△ABD中，DB＝＝2．
例8、如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②S ABCD＝AC BC；③OE：AC＝：6； ④S OEF＝S ABCD，成立的是 ①②③ ．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，根据角平分线的定义得到∠DCE＝∠BCE＝60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB＝90°，求出∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S ABCD＝AC BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC＝BC，根据三角形的中位线的性质得到OE＝BC，于是得到OE：AC＝；故③正确；根据相似三角形的性质得到，求得S△OCF＝2S△OEF；则S△OCE＝3S△OEF，S△ACE＝6S△OEF，S△ABC＝12S△OEF，；故④不正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE＝∠BCE＝60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE＝BC＝CE，
∵AB＝2BC，
∴AE＝BC＝CE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴S ABCD＝AC BC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴AC＝BC，
∵AO＝OC，AE＝BE，
OE＝BC，
∴OE：AC＝，故③正确；
∵AO＝OC，AE＝BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴，
∴S△OCF＝2S△OEF，
∴S△OCE＝3S△OEF，
∴S△ACE＝6S△OEF，
∴S△ABC＝12S△OEF，
∴；故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
变式、如图，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，且AD⊥BD，一动点P在AB上方，且∠APB＝60°，AP与BD交于点E，则的最大值为
【分析】由∠APB＝60°知点P在以O为圆心，OA为半径的圆上，作PF⊥BD于点F，由△PEF∽△AED得＝，据此知当PF最大时，最大，在⊙O上，当点F与点O重合时，PF取得最大值，即为圆的半径，再进一步求出圆的半径可得答案．
【解答】解：∵AB＝2AD＝2，AD⊥BD，
∴AD＝1，∠ABD＝30°，∠ADB＝90°，∠BAD＝60°，
如图所示，作∠BAD的平分线，交BD于点O，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∵∠APB＝∠AOB＝60°，
∴点P在以O为圆心，OA为半径的圆上，
作PF⊥BD于点F，
则∠PFE＝∠ADE＝90°，∠PEF＝∠AED，
∴△PEF∽△AED，
∴＝，即＝PF，
∴当PF最大时，最大，
在⊙O上，当点F与点O重合时，PF取得最大值，即为圆的半径，
连接AO，
在Rt△ADO中，∠DAO＝30°，AD＝1，
∴AO＝＝，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点．
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浙教版相似三角形模型一———A字型&8字型
例1、如图，在△ADE中，BC∥DE，AB＝3，BD＝DE＝6，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
变式1、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且AD＝3BD，若S△ABC＝16，则S△ADE＝（ ）
A． B．9 C． D．12
变式2、如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若△ABC与△DEC的周长比为3：2，AC＝6，则DC＝ ．
变式3、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB＝15，则EF＝ ．
例2、如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（ ）
A．3：5 B．4：9 C．3：4 D．2：3
变式1、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
变式2、如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝ ，S1：S2：S3＝ ．
例3、如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式1、在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则S△EDF：S△CBF等于（ ）
A． B． C． D．
变式2、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，若DE＝12，则DF等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
变式3、如图，已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点，线段CM交BD于点E，S△BEM＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
变式4、如图，在矩形ABCD中，AB＝，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F．
（1）求BE的长；
（2）延长FE交DC的延长线于点G，求证：．
例4、如图 ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF交于点G，延长BE交CD的延长线于H，下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
变式1、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．16
变式2、如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为 ．
变式3、如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝ ．
例5、如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且，则＝ ．
变式1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为 ．
变式2、如图，在正方形AOCB中，AB＝3，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点P在边AB上，且OP交AC于点Q，函数y＝（x＜0）的图象经过点Q．若S△APQ＝S△OCQ，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．
例6、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AF：EF的值为（ ）
A．3：2 B．4：3 C．5：3 D．5：4
变式1、在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AC＝2EC，连结AD，BE，交于点F．设x＝CD：BD，y＝AF：FD，则（ ）
A．y＝x+1 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝
变式2、如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝ cm．
例7、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1、如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝ ．
变式2、已知⊙O的直径AB＝8，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为F．
（1）如图（1），若∠ABD＝30°，求弦AC的长；
（2）如图（2），若＝，求弦BD的长．
例8、如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②S ABCD＝AC BC；③OE：AC＝：6； ④S OEF＝S ABCD，成立的是 ．
变式、如图，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，且AD⊥BD，一动点P在AB上方，且∠APB＝60°，AP与BD交于点E，则的最大值为 .
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