二次根式全章教案及同步作业练习

二次根式
教学目标
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．
（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·；
=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．
（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
2．过程与方法
（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．
（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．
（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点
1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用．
3．最简二次根式的概念．
4．二次根式的加减运算．
教学难点
1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．
2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
1.1 二次根式
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
教学重难点关键
1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．
知识回顾：
1、什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
2、什么叫算术平方根
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。
用表示
很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
想一想：
1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
3．当a<0，有意义吗？
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义．
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)
(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)
同步练习：
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
（1） （2） （3）
（4） （5）
2、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) ; （2）
（3） （4）
3、当x分别取下列值时，求二次根式 的值：
(1) x=0 (2) x=2 (3) x=‐1
4、若二次根式的值为3，求x的值.
第一课时作业
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
3．若+有意义，则=_______．
4.使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
1.2 二次根式的性质（1）
教学内容
1．（a≥0）是一个非负数；
2．（）2=a（a≥0）．
教学目标
理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
教学重难点关键
1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．
复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
探究新知
议一议： （a≥0）是一个什么数呢？
我们可以得出
（a≥0）是一个非负数．
做一做：根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；
（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．
同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以
（）2=a（a≥0）
例1 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（）2 =，（3）2 =32·（）2=32·5=45，
（）2=，（）2=．
巩固练习
计算下列各式的值：
（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2
应用拓展
例2 计算
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2
4．（）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
（）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9
例3 在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
例4 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1）因为=a，所以a≥0；
（2）因为=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0
例5当x>2，化简-．
第二课时作业
一、选择题
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．
A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
3．的值是（ ）．
A．0 B． C．4 D．以上都不对
4．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=
二、填空题
1．（-）2=________．
2．已知有意义，那么是一个_______数．
3．-=________．
4．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．计算
（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2
(5)
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
已知+=0，求xy的值．
4．在实数范围内分解下列因式:
x2-2 （2）x4-9 3x2-5
5．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
6．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
7. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
二次根式的运算
二次根式的乘除
教学内容
·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．
=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
教学目标
理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
教学重难点关键
重点：1. ·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．
2. 理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
3. 最简二次根式的运用．
难点：1. 发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或==×．
2. 会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
复习引入
完成下列各题．
1．填空
（1）×=_______，=______；
（2）×=_______，=________．
（3）=________，=_________；
（4）=________，=________．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____，
_______； _______．
2．计算填空
（1）×______，（2）×______，
（3）=______， （4）=________．
探索新知
两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘除法规定为
·＝．（a≥0，b≥0）
=（a≥0，b>0），
反过来: =·（a≥0，b≥0） =（a≥0，b>0）
例1．计算
（1）× （2）× （3） （4）
例2 化简
（1） （2） （3） （4）
(5) (6)
巩固练习
（1）
① × ②3×2 ③·
化简: ; ; ; ;
例3．（1）判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（i）
（ii）×=4××=4×=4=8
解：（i）不正确．
改正：=＝×=2×3=6
（ii）不正确．
改正：×=×===＝4
(2) 已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6解：由题意得，即
∴6∵x为偶数
∴x=8
∴原式=（1+x）
=（1+x）
=（1+x）=
∴当x=8时，原式的值==6．
(3)观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）
=（-1）（+1）
=2002-1=2001
课时作业
一、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．
A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
5．计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
6．阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）．
A．2 B．6 C． D．
7．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
8．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A． B． C．- D．-
9．在下列各式中，化简正确的是（ ）
A．=3 B．=±
C．=a2 D． =x
10．化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
二、填空题
1．=_______．
2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．
3．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.
4．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．
5．化简=_________．（x≥0）
6．a化简二次根式号后的结果是_________．
三、综合提高题
1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）2=
验证：2=×==
==
（2）3=
验证：3=×==
==
同理可得：4
5，……
通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．
3．计算
（1）·（-）÷（m>0，n>0）
（2）-3÷（）× （a>0）
4．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：
解：-a=a-a·=（a-1）
5．若x、y为实数，且y=，求的值．
二次根式的加减
教学内容
二次根式的加减(二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．)
教学目标
理解和掌握二次根式加减的方法．
先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
重难点关键
1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
例1．计算
（1）+ （2）+
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）+=2+3=（2+3）=5
（2）+=4+8=（4+8）=12
例2．计算
（1）3-9+3
（2）（4-3）÷2
（3）（+）+（-）
（4）（+）×
（5）（+6）（3-） （6）（+）（-）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0
∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2=0
∴x=，y=3
原式=+y2-x2+5x
=2x+-x+5
=x+6
当x=，y=3时，
原式=×+6=+3
例4．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式化为最简二次根式：
==|b|·
由题意得
∴
∴a=1，b=1
例5．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+，并求值．
分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式=+
=+
=（x+1）+x-2+x+2
=4x+2
∵=2-
∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2
∴（a+b）x=（a+b）2
∵a+b≠0
∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
课时作业
一、选择题
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（结果用最简二次根式）
A．5 B． C．2 D．以上都不对
4．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）
A．13 B． C．10 D．5
5．（-3+2）×的值是（ ）．
A．-3 B．3-
C．2- D．-
6．计算（+）（-）的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
3．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）
4．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
5．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
6．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
7．若x=-1，则x2+2x+1=________．
8．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
三、综合提高题
1．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）
2．先化简，再求值．
（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．
3．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
4．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2
反之，3-2=2-2+1=（-1）2
∴3-2=（-1）2
∴=-1
求：（1）；
（2）；
（3）你会算吗？
（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
5．化简
6．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）
课外知识
1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．与 B．与
C．与 D．与
2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式．
练习：+的有理化因式是________；
x-的有理化因式是_________．
--的有理化因式是_______．
3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
练习：把下列各式的分母有理化
（1）； （2）； （3）； （4）．
4．其它材料：如果n是任意正整数，那么=n
理由：==n
练习：填空=_______；=________；=_______．