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专题5.5 一次函数的简单应用
模块一：知识清单
1. 一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
2.一次不等式与一次函数的关系
1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0）
2）从函数的角度看，即寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，即确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为y1图象在y2的图象上面部分x的取值范围。
3.一次函数中的实际问题
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山东邹平·初二期末）方程的解就是直线与（ ）．
A．轴交点的横坐标 B．轴交点的纵坐标 C．轴交点的横坐标 D．轴交点的纵坐标
【答案】A
【分析】先把方程化为2x-3=0，利用一次函数与一元一次方程的关系可判断方程2x-3=0的解就是直线与x轴的交点的横坐标．
【解析】解：由得2x-3=0，
所以一元一次方程2x-3=0的解就是直线与x轴的交点的横坐标．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：对于一次函数y=kx+b（k≠0），把求它与x轴的交点的横坐标转化为解一元一次方程kx+b=0．
2．（2022·河南沈丘·八年级期末）如图所示，直线 与直线 都经过点 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两直线解析式组成的方程组的解即为两直线图象的交点坐标，据此即可解题．
【详解】解：∵直线 与直线 都经过点A（-1，-2），
∴方程组 的解为 ，故答案为：B．
【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
4．（2022·广东黄埔·八年级期末）若一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx＋b＜1的解为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
【答案】C
【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
【详解】解：如图所示：不等式kx+b＜1的解集为：x＜1．故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题关键．
4．（2022·河南安阳·八年级期末）在同一个平面直角坐标系中，下列一次函数的对应图象与一次函数y＝3x+2的图象没有交点的是（ ）
A．y＝5x﹣3 B．y＝﹣0.5x+1 C．y＝3（x﹣2） D．y＝4（x﹣5）
【答案】C
【分析】逐项判断各选项的比例系数是否等于3，即可判断与一次函数y＝3x+2的图象是否有交点．
【详解】解：A. y＝5x﹣3，比例系数为5≠3，所以直线y＝5x﹣3与直线y＝3x+2相交，有交点，不合题意；
B. y＝﹣0.5x+1，比例系数为-0.5≠3，所以直线y＝﹣0.5x+1与直线y＝3x+2相交，有交点，不合题意；
C. y＝3（x﹣2）=3x-6，比例系数为3，所以直线y＝3（x﹣2）与直线y＝3x+2平行，没有交点，符合题意；
D. y＝4（x﹣5）=4x-20，比例系数为4≠3，所以直线y＝4（x﹣5）与直线y＝3x+2相交，有交点，不合题意．故选：C
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两条直线平行的条件，当两条直线的的函数解析式中比例系数相等时，两条直线平行，否则相交．
5．（2022·河北承德·八年级期末）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可．
【详解】根据题意，联立方程组，解得：，则两直线交点坐标为，，
两直线交点在第一象限，，解得：,故选：C．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，解二元一次方程组和一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法．
6．（2022·安新县八年级期末）将直线y＝2x+2向上平移4个单位长度后，直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了（ ）
A．9 B．2 C．14 D．8
【答案】D
【分析】求得平移前后直线与坐标轴围成的三角形的面积，即可求得结论．
【详解】解：在y＝2x+2中，令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝﹣1，
∵直线y＝2x+2与y轴的交点为（0，2），与x轴的交点为（﹣1，0），
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：＝1，
将直线y＝2x+2向上平移4个单位长度后得到直线y＝2x+6，令x＝0，则y＝6；令y＝0，则x＝﹣3，
∵直线y＝2x+2与y轴的交点为（0，6），与x轴的交点为（﹣3，0），
直线与坐标轴围成的三角形的面积为：＝9，
∵9﹣1＝8，∴将直线y＝2x+2向上平移4个单位长度后，直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了8，故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的直线解析式是解题的关键．
7．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，直线y=2x+1和直线y=kx+3相交于点A(，y)，则关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点A的坐标结合两条函数图像的位置直接写出答案即可．
【详解】解：由函数图象可知，当x≥时，直线y=kx+3的图象在直线y=2x+1的图象的下方，
∵当x≥时，kx+3≤2x+1，故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
8．（2022·浙江八年级课时练习）直线和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分（包括边界在内，如图），则满足且的点必在（ ）．
A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分
【答案】B
【分析】y=x和y=-x+1把平面分成 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，满足的点都在直线的下方，满足的点都在直线的上方，由图即可得出答案．
【详解】由图可知，满足的点都在直线的下方，满足的点都在直线的上方，
故同时满足且的点为两者的重合部分，由图知，点必定在第Ⅱ部分，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握数形结合的数学思想，即利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．
9．（2022·福建省宁化县八年级月考）已知直线y= x+1与直线y=2x+5相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D(a，a+2)落在△ABC内部（（不含边界）），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用一次函数函数图象的性质可以得两个函数的图象示意图，从而得到△ABC的位置，若点D（a，a+2）落在△ABC内，则D点在两条直线的下方同时在x轴上方，可列出不等式组求解．
【详解】解：已知直线y=-x+1与直线y=2x+5相交于点A，与x轴分别交于B，C两点．
根据一次函数图象的性质，可以得到示意图，如图．
∵点D（a，a+2）落在△ABC内部（不含边界）
∴列不等式组，解得：-2＜a＜-，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，利用图象求解的问题，根据题意得出图形示意图对于解题有帮助，能将其转化为不等式组来解是本题的关键．
10．（2022 北碚区校级模拟）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为90千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【思路点拨】由图象可知，甲乙两地的距离为450千米；设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为V1千米/小时，V2千米/小时，根据相遇时：轿车路程+货车路程＝甲乙两地距离，轿车路程﹣货车路程＝90，列方程组求解即可求出两车的速度；根据两车相遇后继续前行，轿车到达乙地时，两车之间的距离为y（千米），即可得出点C的实际意义．
【答案】解：由图象可知，甲乙两地的距离为450千米，故①说法正确；
设轿车和货车的速度分别为V1千米/小时，V2千米/小时．
根据题意得3V1+3V2＝450.3V1﹣3V2＝90．解得：V1＝90，V2＝60，
故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时；
故②③说法正确；
轿车到达乙地的时间为450÷90＝5（小时），
此时两车间的距离为（90+60）×（5﹣3）＝300（千米），
故点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．故④说法正确．
所以说法正确的是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的运用．关键是通过图象，求出直线解析式，利用直线解析式求A点坐标，得出甲乙两地距离，再根据路程、速度、时间的关系解题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·辽宁北镇·八年级期中）已知一次函数（，为常数，且），与的部分对应值如下表所示：
那么不等式的解集是_______________________．
【答案】x＞1
【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y＝0时，对应的x的值即可．
【详解】解：由表格可知：函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，y＝0，
故不等式kx+b＜0的解集是x＞1．故答案为：x＞1．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
12．（2022·浙江八年级课时练习）已知直线y＝﹣3x+b与直线y＝﹣kx+1在同一坐标系中交于点（3，），则关于x的方程﹣3x+b＝﹣kx+1的解为x＝ ．
【思路点拨】根据两个一次函数组成的方程的解就是两函数图象的交点可得答案．
【答案】解：∵直线y＝﹣3x+b与直线y＝﹣kx+1在同一坐标系中交于点（3，），
∴关于x的方程﹣3x+b＝﹣kx+1的解为x＝3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
13．（2022·河南新野·八年级期中）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b，其中正确的是_____（只填序号）
【答案】①③
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵直线y1＝kx经过第一、三象限，∴k＞0，故①正确；
∵y2＝﹣x+b与y轴交点在负半轴，∴b＜0，故②错误；∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，∴当x＞0时，y1＞0；故③正确；当x＜﹣2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象的下方，即kx＜﹣x+b，故④错误．故答案为①③．
【点睛】此题考查一次函数图象的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是树立数形结合思想，准确理解图象所提供的信息，正确进行判断．
14．（2022·山东泰安·七年级期中）已知一次函数和一次函数的自变量x与因变量，的部分对应数值如表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
… -1 0 1 2 3 …
… -5 -3 -1 1 3 …
则关于x，y的二元一次方程组的解为____________．
【答案】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点（2，3），
∴一次函数y1=k1x与y=k2x+b的图象的交点坐标为（2，3），
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
15．（2022·清涧县八年级期末）一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据题意，先把向右平移1个单位，得到，则结合图象可确定时，图象所在位置，进而可得答案．
【详解】解：根据题意，∵一次函数的图象与x轴的交点为（2，0），
把向右平移1个单位，得，
∴与x轴的交点为（3，0），
∴关于的不等式的解集为；故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的平移，一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想进行分析．
16．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．
【答案】
【分析】当时，设，把（2，6）代入计算即可得，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得，把代入中得，把代入中得，进行计算即可得．
【详解】解：当时，设，把（2，6）代入得，
，解得，，∴当，，
当时，设，把点（2，6），（10，3）代入得，
解得，，
∴当时，，把代入中，得，
把代入中，得，则（小时），
即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．
17．（2022·青岛市八年级开学考试）正方形，正方形，正方形，…按如图所示放置，点，，，…在直线上，，，，…在轴上，已知，，则的坐标为______．
【答案】
【分析】首先利用待定系数法求得直线A1A2的解析式，然后分别求得B1，B2，B3...的坐标，可以得到规律：Bn(2n-1，2n-1)，据此即可求解.
【详解】B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，..正方形边长为1，正方形边长为2，
A1的坐标是(0，1)，A2的坐标是 (1，2)，代入得：，解得：，
则直线A1A2的解析式是：，
A1B1= 1，点B2的坐标为(3，2)，点A3的坐标为(3，4)，A3C2= A3 B3 = B3C3= 4，
点B3的坐标为(7，4)，B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1 =21 -1，
B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3 =22-1，B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是7 =23-1，
Bn的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n -1，则Bn：( 2n -1 ，2n-1)，故答案为：( 2n -1 ，2n-1)
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律． 此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键.
18．（2022 福田区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若S△ACD＝5，则m的值为 ．
【思路点拨】联立直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x求出A点的坐标，根据B（m，0），求出C点和D点的坐标，得出CD的长度，再根据S△ACD＝5，得出关于m的方程，求出m的值即可．
【答案】解：联立直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x，
解得，
∴A（﹣1，2），
∵点B（m，0），过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，
∴C（m，﹣m+1），D（m，﹣2m），
∴|CD|＝|﹣2m+m﹣1|＝|﹣m﹣1|，
∵点A到BD的距离为|m+1|，S△ACD＝5，
∴×|m+1|×|﹣m﹣1|＝5，
即（m+1）2＝10，
解得m＝﹣1±，
故答案为：﹣1±．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 宁波模拟）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
（3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？
【思路点拨】（1）首先设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据图象可得直线经过（1.5，90），（3，0），利用待定系数法把此两点坐标代入y＝kx+b，即可求出一次函数关系式；
（2）利用甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式算出y的值，即可得到108分钟时骑电动车所行驶的路程，再根据路程与时间算出电动车的速度，再用总路程90千米÷电动车的速度可得乙从A地到B地用了多长时间；
（3）根据题意列出方程解答即可．
【答案】解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）；
（2）∵当x＝时，y＝﹣60×1.8+180＝72，
∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时），
∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟．
答：乙从A地到B地用了135分钟．
（3）根据题意得：90x﹣40x＝20或60（x﹣1.5）+40x＝90﹣20或60（x﹣1.5）+40x＝90+20，
解得x＝或x＝或x＝2，
答：经过时或时或2时，他们相距20千米．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，关键是看懂图象所表示的意义，利用待定系数法求出甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式
20．（2022 天河区期中）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．
【思路点拨】（1）解两函数的解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出答案；
（2）求出B、C的坐标，再根据三角形的面积公式求出即可；
（3）根据函数的图象和A点的坐标得出即可．
【答案】解：（1）解方程组得：，
所以A点的坐标是（1，﹣3）；
（2）函数y＝﹣x﹣2中当y＝0时，x＝﹣2，
函数y＝x﹣4中，当y＝0时，x＝4，
即OB＝2，OC＝4，
所以BC＝2+4＝6，
∵A（1，﹣3），
∴△ABC的面积是＝9；
（3）y1＞y2时x的取值范围是x＜1．
【点睛】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．
21．（2022 锦江区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C（﹣1，4），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点D、E，连接AE．在直线l上有一动点P．（1）求直线l的解析式；（2）若S△PCE＝S△ACE，求满足条件的点P坐标．
【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当点P在直线CD的上方时，过点A作直线k∥CD交y轴于点H，作直线m∥CD交y轴于点M，S△PCE＝S△ACE，则直线m与直线CD之间的距离和直线k与直线CD之间的距离为3：2，则ME＝EH，即可求解；当点P在直线CD的下方时，同理可解．
【答案】解：（1）直线l过点B，则设直线l的表达式为y＝kx+6，
将点C的坐标代入上式得：4＝﹣k+6，解得k＝2，
故直线l的表达式为y＝2x+6；
（2）对于y＝2x+6，令y＝2x+6＝0，解得x＝﹣3，故点A（﹣3，0），
对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点E（0，3），
①当点P在直线CD的上方时，
过点A作直线k∥CD交y轴于点H，作直线m∥CD交y轴于点M，
∵S△PCE＝S△ACE，则直线m与直线CD之间的距离和直线k与直线CD之间的距离为3：2，
则ME＝EH，
∵直线k∥CD，设直线k的表达式为y＝﹣x+b，将点A的坐标代入上式得：0＝3+b，解得b＝﹣3，
故点H（0，﹣3），
∵ME＝EH＝×（3+3）＝9，
故点M的坐标为（0，12），
同理可得，直线m的表达式为y＝﹣x+12，
解得，
故点P（2，10）；
②当点P在直线CD的下方时，
同理可得，点P（﹣4，﹣2）；
综上，点P的坐标为（2，10）或（﹣4，﹣2）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、三角形的吗等，求得交点坐标是解题的关键．
22．（2022·河南平顶山市·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
【答案】（1）y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
【分析】（1）根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式；（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）由题意可得，y甲＝2000x×0.8＝1600x，y乙＝2000（x+1）×0.75＝1500x+1500，
即y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；
（2）当x＝10时，y甲＝1600×10＝16000，y乙＝1500×10+1500＝16500，
∵16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；
（3）由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15，
即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键．
23．（2022·广东佛山市·八年级期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了人，这个团一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
【答案】（1）租住了三人间8间，双人间13间；（2）；（3）一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间
【分析】（1）设三人间有间，双人间有间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据①客房人数；②住宿费6300列方程组求解；（2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人．住宿费三人间的人数双人间的人数；（3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的增减性质解答．
【详解】解：（1）设三人间有间，双人间有间，
根据题意得：，解得：，答：租住了三人间8间，双人间13间；
（2）根据题意得：，
（3）因为，所以随的增大而减小，故当满足、为整数，且最大时，
即时，住宿费用最低，此时，
答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．
所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．
24．（2022·浙江杭州市·八年级期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；（2）①y＝ 50x＋20000，②商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；（3）①0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大，②m＝50时，商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润，③当50＜m＜100时，商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解；（2）①据题意得，y＝ 50x＋20000；②利用不等式求出x的范围，再根据y＝ 50x＋20000的增减性，即可得到答案；（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80 x），即y＝（m 50）x＋20000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m 50＝0，y＝20000，③当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得，
答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；
（2）①据题意得，y＝200x＋250（80 x），即y＝ 50x＋20000，
②据题意得，80 x≤2x，解得x≥26，∵y＝ 50x＋20000， 50＜0，∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，∴当x＝27时，y取最大值，则80 x＝53，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80 x），即y＝（m 50）x＋20000，
∵250（80 x）≥10000，解得：x≤40， 26≤x≤40，且为正整数，
①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m 50＝0，，
即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．
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专题5.5 一次函数的简单应用
模块一：知识清单
1. 一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
2.一次不等式与一次函数的关系
1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0）
2）从函数的角度看，即寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，即确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为y1图象在y2的图象上面部分x的取值范围。
3.一次函数中的实际问题
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山东邹平·初二期末）方程的解就是直线与（ ）．
A．轴交点的横坐标 B．轴交点的纵坐标 C．轴交点的横坐标 D．轴交点的纵坐标
2．（2022·河南沈丘·八年级期末）如图所示，直线 与直线 都经过点 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东黄埔·八年级期末）若一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx＋b＜1的解为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
4．（2022·河南安阳·八年级期末）在同一个平面直角坐标系中，下列一次函数的对应图象与一次函数y＝3x+2的图象没有交点的是（ ）
A．y＝5x﹣3 B．y＝﹣0.5x+1 C．y＝3（x﹣2） D．y＝4（x﹣5）
5．（2022·河北承德·八年级期末）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·安新县八年级期末）将直线y＝2x+2向上平移4个单位长度后，直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了（ ）
A．9 B．2 C．14 D．8
7．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，直线y=2x+1和直线y=kx+3相交于点A(，y)，则关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江八年级课时练习）直线和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分（包括边界在内，如图），则满足且的点必在（ ）．
A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分
9．（2022·福建省宁化县八年级月考）已知直线y= x+1与直线y=2x+5相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D(a，a+2)落在△ABC内部（（不含边界）），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022 北碚区校级模拟）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为90千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·辽宁北镇·八年级期中）已知一次函数（，为常数，且），与的部分对应值如下表所示：
那么不等式的解集是_______________________．
12．（2022·浙江八年级课时练习）已知直线y＝﹣3x+b与直线y＝﹣kx+1在同一坐标系中交于点（3，），则关于x的方程﹣3x+b＝﹣kx+1的解为x＝ ．
13．（2022·河南新野·八年级期中）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b，其中正确的是_____（只填序号）
14．（2022·山东泰安·七年级期中）已知一次函数和一次函数的自变量x与因变量，的部分对应数值如表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
… -1 0 1 2 3 …
… -5 -3 -1 1 3 …
则关于x，y的二元一次方程组的解为____________．
15．（2022·清涧县八年级期末）一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
16．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．
17．（2022·青岛市八年级开学考试）正方形，正方形，正方形，…按如图所示放置，点，，，…在直线上，，，，…在轴上，已知，，则的坐标为______．
18．（2022 福田区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若S△ACD＝5，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 宁波模拟）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
（3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？
20．（2022 天河区期中）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．（3）结合图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．
21．（2022 锦江区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C（﹣1，4），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点D、E，连接AE．在直线l上有一动点P．（1）求直线l的解析式；（2）若S△PCE＝S△ACE，求满足条件的点P坐标．
22．（2022·河南平顶山市·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
23．（2022·广东佛山市·八年级期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了人，这个团一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
24．（2022·浙江杭州市·八年级期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
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