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专题5.6 一次函数 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是( )．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
售票量x(张) 31542 22452 3850 48746 56426 27615 12714
售票收入y(元) 3154200 2245200 3854000 4874600 5642600 2761500 1271400
A．票价 B．售票量 C．日期 D．售票收入
【答案】A
【分析】结合题意，根据变量和常量的定义分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，10月1日到10月7日的数据计算，得票价均为100元∴常量是票价，故选：A．
【点睛】本题考查了函数的基础知识；解题的关键是熟练掌握变量和常量的性质，从而完成求解．
2．（2022·河北遵化·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（ ）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式，判断即可．
【详解】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
B、y＝，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意；
C、y＝，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
D、y＝，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
3．（2022·浙江杭州市·八年级期末）下面四个关系式：①；②；③；④．其中是的函数的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴①；③；④．当x取值时，y有唯一的值对应；故选：D．
【点睛】此题考查了函数的定义，掌握函数的定义并准确理解其含义是解题的关键．
4．（2022·辽宁兴城·八年级期末）一次函数的部分x和y的部分对应值如下表所示，下列结论正确的是（ ）
x …… 0 1 2 ……
y …… 5 2 ……
A．y随x的增大而增大 B．是方程的解
C．此函数图象不经过第三象限 D．此函数图象与x轴交于点
【答案】C
【分析】根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可．
【详解】解：由题意得，当x＝1时，y＝ 1，当x＝0时，y＝2，
则，解得：，函数解析式为：y＝ 3x＋2，
A、∵k＝ 3＜0，∴y随x的增大而减小，故错误；
B、当x＝2时，y＝ 3×2＋2＝ 4，∴x＝2是方程kx＋b＝4的解，故错误；
C、∵k＝ 3＜0，b＝2＞0，∴一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，故正确；
D、令y＝0，则 3x＋2＝0，解得x＝，
∴一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点为（，0），故错误；故选：C．
【点睛】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
5．（2022·浙江杭州市·八年级期中）一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：①当mn＞0，m，n同号，m，n同正时y＝mx＋n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx过原点，一、三象限； ②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx＋n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限．故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限．
6．（2022·山东青州·八年级期末）设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6，∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）；
当y=0时，5x+6=0，解得：x=，∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（，0），
当x=0时，y=6×0+6=6，∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）；
当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1，∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）．
∴S5=BD OA=×|-1-（）|×6=，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
7．（2022·浙江八年级期中）如图1为某立交桥示意图（道路宽度忽略不计），为高架，以O为圆心的圆盛位于高架下方，其中为直行道，且，弯道是以点O为圆心的圆上的一段弧（立交桥的上下高度差忽略不计），点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，有甲、乙、丙、丁四车均以的速度由A口驶入立交桥，并分别从各出口驶出，若各车到圆心O的距离与从A口进入立交后的时间的对应关系如图2所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲车在立交桥上共行驶 B．从J口出的两车在立交桥上行驶的时间相差
C．丙、丁两车均从J口出立交 D．从I口出的车比从H口出的车在立交桥上多行驶
【答案】D
【分析】根据题意、结合图象可得：甲的行驶路线为ABCH，乙的行驶路线为ABCDI，丙的行驶路线为ABCDEJ，丁的行驶路线为AFGJ，进而即可求解．
【详解】解：由图象可得， 甲车在立交桥上共行驶7＋3＝10s，10×10=100m，故选项A正确，
从J口出立交的两辆车为丙、丁，而丙的时间是：3×2＋4×3=18（s），丁的时间是：17＋7＝24（s），
∴从J口出的两车在立交桥上行驶的时间相差，故选项B正确；
甲的行驶路线为ABCH，乙的行驶路线为ABCDI，丙的行驶路线为ABCDEJ，丁的行驶路线为AFGJ，
∴甲从H口出立交、乙从I口出立交，则丙、丁两车均从J口出立交，故选项C正确，
从I口出立交的车比从H口出立交的车多行驶：7 3＝4s，故选项D错误，故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合，弄清甲，乙，丙，丁的行驶路线，是解题的关键．
8．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】满足关于x的不等式nx＋4n＞ x＋m＞0就是在x轴的上方且直线y＝nx＋4n位于直线y＝ x＋m的上方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．
【详解】解：∵直线y＝ x＋m与y＝nx＋4n的交点的横坐标为 2，
∴关于x的不等式nx＋4n＞ x＋m的解集为x＞ 2，
∵ x＋m＞0∴由图象可知，x＜m又∵ 2＜m＜0，∴ 2＜x＜0，∴整数解可能是 1．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．
9．（2022·福建八年级月考）已知直线y= x+1与直线y=2x+5相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D(a，a+2)落在△ABC内部（（不含边界）），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用一次函数函数图象的性质可以得两个函数的图象示意图，从而得到△ABC的位置，若点D（a，a+2）落在△ABC内，则D点在两条直线的下方同时在x轴上方，可列出不等式组求解．
【详解】解：已知直线y=-x+1与直线y=2x+5相交于点A，与x轴分别交于B，C两点．
根据一次函数图象的性质，可以得到示意图，如图．
∵点D（a，a+2）落在△ABC内部（不含边界）
∴列不等式组，解得：-2＜a＜-，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，利用图象求解的问题，根据题意得出图形示意图对于解题有帮助，能将其转化为不等式组来解是本题的关键．
10．（2021·东北育才双语学校八年级期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最大时点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点B关于直线对称点C（2，-），当点P在AC直线上时，最大，点C与点B关于对称，可得PC=PB，由，根据两点之间线段最短最大值为|AC|，求出AC的解析式为，点在直线与直线的交点时，即，解方程组即可．
【详解】解： 作点B关于直线对称点C（2，-），当点P在AC直线上时，最大，
∵点C与点B关于对称，∴PC=PB，，
根据两点之间线段最短最大值为|AC|，
设AC的解析式为代入坐标得：，解得，AC的解析式为，
点在直线与直线的交点时，即，解得，∴点P（4，-4）．故选择B．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，两直线组成方程组的解法，掌握待定系数法求一次函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，两直线组成方程组的解法是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·西安市八年级期末）已知是一次函数，则__________．
【答案】2
【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：∵是一次函数，
∴ 解得：m=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键．
12．（2022·山东烟台·七年级期中）两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两条直线的图象的交点来求解．
【详解】解：∵两直线和的图象相交于点，，，
∴，∴，
∴的解是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了两条直线的交点，观察图象得到交点的坐标是解答关键．
13．（2022·深圳市龙岗区七年级期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为_____．
【答案】42
【分析】把x＝6代入x（x+1），如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次．
【详解】解：当x＝6时，x（x+1）＝6×（6+1）＝6×7＝42＞15，
∴输出因变量y＝42．故答案为：42．
【点评】本题主要考查了求函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，解决本题的关键是要看懂题意代入求值．
14．（2022·江苏南京市·中考模拟）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
【答案】
【分析】根据原一次函数与x,y轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.
【详解】∵一次函数的解析式为，∴设与x轴、y轴的交点坐标为、，
∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，
令，代入点得，，∴旋转后一次函数解析式为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．
15．（2022·浙江八年级专题练习）甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨，A、B两市分别用粮1200吨、800吨，需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A、B两市的运费分别为6元/吨、5元/吨；由乙库到A、B两市的运费分别是9元/吨、6元/吨，则总运费最少需______元．
【答案】13800
【分析】可以先设甲库调运x吨粮食到B市，则甲库调运600-x吨粮食到A市，乙库调运A市600+x吨，乙库调运B市800-x吨．从而列出总运费与x的关系式，进而求出最少值．
【详解】解：设由甲库调运吨粮食到B市，总运费为，
则＝5＋6（600－）＋6（800－）＋9（600＋）＝13800＋2（0≤≤600），
当＝0时，最小，故答案为：13800．
【点睛】本题考查了函数的多变量问题，解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
16．（2022·山东阳信·八年级期末）如图，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的面积是__________．
【答案】10
【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，根据三角形的面积公式得出△ABC的面积．
【详解】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9-4=5，∴AB=5，BC=4，∴△ABC的面积是：×4×5=10．故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出三角形的面积是本题的关键．
17．（2022·安徽亳州·八年级月考）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是________．（把你认为正确说法的序号都填上）
【答案】①②
【分析】通过认真分析函数图象就可以就可以得出龟兔赛跑的路程，各自出发的时间等，由图象的数据分析就可以得出结论．
【详解】由图像可得，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米，故①正确；
由图像可得，乌龟在60分的时候到达终点，兔子在50分的时候到达终点，∴兔子先到达终点，故②正确；
由图像可得，乌龟0分的时候出发，兔子40分的时候出发，∴兔子比乌龟晚出发40分钟，∴③错误；
设y1=k1x+b（k1≠0）（40≤x≤60）．根据图示知，该直线经过点（40，600），（60，1000），
则，解得，所以该函数解析式为y1=20x-200（40≤x≤60），
同理，y2=100x-4000（40≤x≤50），当y1=y2时，兔子追上乌龟，此时20x-200=100x-4000，解得：x=47.5，
∴y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟．故④错误．∴正确的说法是①②．故答案为：①②．
【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，由一次函数的图象的数据分析就可以就可以得出相应的结论．理解清楚函数的图象的含义是关键．
18．（2022·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为_______；点的坐标为_______ ．
【答案】（8，0）； （22020，22021）．
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A4、B2021的坐标．
【详解】解：∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，点B1在上，y=2×1=2，B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，∴OA1=A1A2=1，∴OA2=1+1=2，
∴点A2的坐标为（2，0），点B2在上，y=2×2=4，B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），点B3在上，y=2×4=8，B3的坐标为（4，8），此类推便可求出点An的坐标为（2n-1，0），点Bn在上，y=2×2n-1=2n，
点Bn的坐标为（2n-1，2n）．所以点A4的坐标为（8，0），点的坐标为（8，16）
所以点A2021的坐标为（22020，0），点的坐标为（22020，22021）故答案为（8，0），（22020，22021）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北古冶·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，求函数y的值；（3）当时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）设，根据点的坐标利用待定系数法求解即可；（2）将代入一次函数解析式，即可求解；（3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解．
【详解】解：（1）设，将点，代入得：，解得函数解析式为
（2）将代入得，
（3）∵∴随的增大而减小,将和代入得，解得，
∴当时，自变量x的取值范围为
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质，关键是计算出一次函数的解析式．
20．（2022·山西八年级期末）某水果批发商以4元斤的价格对外销售芒果，为了减少库存，尽快回笼资金，推出两种批发方案
方案一：每斤打9.5折；
方案二：不超过200斤的部分按原价销售，超过200斤的部分打7.5折．
某超市计划从该水果批发商处购进x斤芒果，按方案一购买需支付费用元，按方案购买需支付费用元，则该超市选择哪种方案（只能选择一种方案）更合算，请说明理由．
【答案】当超市计算从该水果批发商处购进芒果少于250斤时，方案一合算；当超市计算从该水果批发商处购进芒果等于250斤时，方案一和方案二费用相同；当超市计算从该水果批发商处购进芒果多于250斤时，方案二合算
【分析】先根据方案分别求出和，再分三种情况分别计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：；，
当时，，解得x>250；当时，，解得x=250；
当时，，解得x<250；
答：当超市计算从该水果批发商处购进芒果少于250斤时，方案一合算；当超市计算从该水果批发商处购进芒果等于250斤时，方案一和方案二费用相同；当超市计算从该水果批发商处购进芒果多于250斤时，方案二合算．
【点睛】此题考查方案选择问题，解一元一次方程及一元一次不等式，正确求出和是解题关键．
21．（2022·北京九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
（1）直接写出该函数的解析式为_______；写出内（不含边界）的整点个数为__；
（2）将直线平移，若内（不含边界）恰有3个整点时，的范围是__．
【答案】（1），1；（2）或
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，（2）根据图象即可求得．
【详解】解：（1）把，代入得
，解得．一次函数的解析式为：；
画出图形，如图所示．
在内部（不包括边界）的整点的坐标是：一个，故答案为；1；
（2）由图象可知，将直线平移，若内（不含边界）恰有3个整点时，的范围是或，故答案为或．
【点睛】本题考查了两条直线平行问题以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
22．（2022·浙江杭州市·八年级期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；（2）①y＝ 50x＋20000，②商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；（3）①0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大，②m＝50时，商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润，③当50＜m＜100时，商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解；（2）①据题意得，y＝ 50x＋20000；②利用不等式求出x的范围，再根据y＝ 50x＋20000的增减性，即可得到答案；（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80 x），即y＝（m 50）x＋20000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m 50＝0，y＝20000，③当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得，
答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；
（2）①据题意得，y＝200x＋250（80 x），即y＝ 50x＋20000，
②据题意得，80 x≤2x，解得x≥26，
∵y＝ 50x＋20000， 50＜0，∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，∴当x＝27时，y取最大值，则80 x＝53，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80 x），即y＝（m 50）x＋20000，
∵250（80 x）≥10000，解得：x≤40， 26≤x≤40，且为正整数，
①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m 50＝0，，
即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．
23．（2022·辽宁中山·八年级期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数，它的相关函数为
（1）已知点在一次函数的相关函数的图象上，则的值为______；（2）已知一次函数．①这个函数的相关函数为______；②若点在这个函数的相关函数的图象上，求的值；③当时，这个函数的相关函数的取值范围是，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）①；②或2；③．
【分析】（1）将该点的横坐标代入一次函数y= x+2的相关函数即可求值；（2）①根据题意列出函数式即可，②根据题意把点N的坐标代入函数式求解即可，③分别讨论n和n+1与0的关系代入不同函数式求解即可；
【详解】由题意知：一次函数，它的相关函数为，
把x=-1代入 y= x+2 的相关函数得：y=-3，故答案为：；
（2）①；②的相关函数是，
当时，，解得；当时，，解得；∴或2；
③当n≥0时，x=n代入函数则：y=2n-1，x=n+1代入函数则：y=2（n+1）-1=2n+1，
∵2n-1<2n+1，∴-2n+1=-1，2n+1=3，∴n=1，则
当n+1<0时，x=n代入函数则：y=-2n+1，x=n+1代入函数则：y=-2（n+1）+1=-2n-1，
∵-2n+1>-2n-1，∴-2n+1=3，则n=-1（舍去）；
当n+1≥0，n<0，即-1≤n<0时，x=n代入函数则：y=-2n+1，x=n+1代入函数则：y=2（n+1）-1=2n+1，
∵-2n+1>2n+1,∴-2n+1=3，2n+1=-1，∴n=-1，则 综上所述：．
【点睛】此题考查一次函数相关知识，利用相反数引入相关函数的定义，对题意理解是关键．
24．（2022·湖南永兴·八年级期末）如图所示，直线l1：y＝﹣x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C，已知直线l3：y＝x＋c经过点C且与直线l1交于点D，连接AC．（1）直接写出A、B、C三点的坐标；（2）求直线l3的解析式；（3）求△ACD的面积．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，2）；（2）y＝x＋2；（3）
【分析】（1）根据的解析式，令y＝0，x＝0，即可求得,的坐标，根据将直线l1向上平移6个单位长度，得直线l2，令x＝0，即可求得的坐标；
（2）根据的坐标代入直线l3：y＝x＋c即可直线l3的解析式；
（3）联立和 l3的解析式即可求得点的坐标，进而根据S△ACD＝S△ABC﹣S△BCD即可求得△ACD的面积．
【详解】解：（1）在y＝﹣x﹣4中，令y＝0，则0＝﹣x﹣4，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），
令x＝0，则y＝﹣4，∴B（0，﹣4），
将直线l1向上平移6个单位长度，得直线l2：y＝﹣x＋2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2）；
（2）∵点C在直线l3：y＝x＋c上，∴c＝2，∴直线l3的解析式为y＝x＋2；
（3）解得，∴D（﹣，﹣2），
∵BC＝OB＋OC＝6，∴S△ACD＝S△ABC﹣S△BCD＝﹣＝．
【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点问题，一次函数平移问题，直线围成的三角形面积问题，利用二元一次方程组求两直线交点问题，掌握一次函数的性质与相关计算是解题的关键．
25．（2022·北京市九年级开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差．若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点，点，点，则A、B、C三点的“横长”，，A、B、C三点的“纵长”．因为，所以A、B、C三点为正方点．（1）在点，，中，与点A、B为正方点的是 ；
（2）点为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为 ；
（3）已知点．①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；②若直线l：上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）-2或3；（3）①见解析；② 或．
【分析】（1）求出点A、B与点，，的横长和纵长，再分析即可；
（2）分和 两种情况分析，求出t的值即可；（3）①设点 的坐标为 ，分当 时；当 时；当 时，三种情况分析得出关系式，再画出函数图象即可；
②根据可得直线l：与①中的图象有交点，然后根据当直线l：经过图中 时；当直线l：经过图中 时，可得到m的取值范围，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴，，三点的横长与纵长相等，∴与点A、B为正方点；
∵ ， ，∴，，三点的横长与纵长不相等，
∴与点A、B不为正方点；∵ ， ，
∴，，三点的横长与纵长不相等，∴与点A、B不为正方点；
∴与点A、B为正方点的是；
（2）∵点为y轴上一动点， A，B，P三点为正方点，
∴当 时，有 ，解得： ，
当 时，有 ，解得： ，
∴点为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为-2或3；
（3）①设点 的坐标为 ，因为点A，D，E三点为正方点，
当 时，有 ，即 或 ；
当 时，有 ，即 ；
当 时，有 ，即 或 ；
所以 与 的关系式是 ，画出如图所示：
②∵直线l：上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，
∴直线l：与①中的图象有交点，
如图，当直线l：与①中的图象有交点时满足条件：
当直线l：经过图中 时， ，解得：；
当直线l：经过图中 时， ，解得： ，
观察图象可知：当 或 时，当直线l：与①中的图象有交点，
即若直线l：上存在点N，使得A，D，N三点为正方点， m的取值范围为 或．
【点睛】本题主要考查函数图象，以及点的坐标的确定，根据题意，理解题目给出的新定义是解题的关键．
26．（2022·深圳市八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为 ；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
【答案】（1）y＝x+2；（2）点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4
【分析】（1）先求出点A，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）设点P（m，m+2），分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求m的值，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由“ASA”可证△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求点H坐标，利用待定系数法可求CH解析式，联立方程组可求点P坐标，由两点距离公式可求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；
（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，
设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，
∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；
当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，
∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），
综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，
在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），
∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），
设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，
联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴，
当点P'在AB延长线上时，设 CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，
联立方程组，∴点P（4，4），∴，
综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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专题5.6 一次函数 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是( )．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
售票量x(张) 31542 22452 3850 48746 56426 27615 12714
售票收入y(元) 3154200 2245200 3854000 4874600 5642600 2761500 1271400
A．票价 B．售票量 C．日期 D．售票收入
2．（2022·河北遵化·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（ ）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
3．（2022·浙江杭州市·八年级期末）下面四个关系式：①；②；③；④．其中是的函数的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
4．（2022·辽宁兴城·八年级期末）一次函数的部分x和y的部分对应值如下表所示，下列结论正确的是（ ）
x …… 0 1 2 ……
y …… 5 2 ……
A．y随x的增大而增大 B．是方程的解
C．此函数图象不经过第三象限 D．此函数图象与x轴交于点
5．（2022·浙江杭州市·八年级期中）一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东青州·八年级期末）设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（ ）
A． B． C．1 D．3
7．（2022·浙江八年级期中）如图1为某立交桥示意图（道路宽度忽略不计），为高架，以O为圆心的圆盛位于高架下方，其中为直行道，且，弯道是以点O为圆心的圆上的一段弧（立交桥的上下高度差忽略不计），点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，有甲、乙、丙、丁四车均以的速度由A口驶入立交桥，并分别从各出口驶出，若各车到圆心O的距离与从A口进入立交后的时间的对应关系如图2所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲车在立交桥上共行驶 B．从J口出的两车在立交桥上行驶的时间相差
C．丙、丁两车均从J口出立交 D．从I口出的车比从H口出的车在立交桥上多行驶
8．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解可能是（ ）
A． B． C． D．1
9．（2022·福建八年级月考）已知直线y= x+1与直线y=2x+5相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D(a，a+2)落在△ABC内部（（不含边界）），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·东北育才双语学校八年级期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最大时点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·西安市八年级期末）已知是一次函数，则__________．
12．（2022·山东烟台·七年级期中）两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．
13．（2022·深圳市龙岗区七年级期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为_____．
14．（2022·江苏南京市·中考模拟）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
15．（2022·浙江八年级专题练习）甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨，A、B两市分别用粮1200吨、800吨，需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A、B两市的运费分别为6元/吨、5元/吨；由乙库到A、B两市的运费分别是9元/吨、6元/吨，则总运费最少需______元．
16．（2022·山东阳信·八年级期末）如图，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的面积是__________．
17．（2022·安徽亳州·八年级月考）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是________．（把你认为正确说法的序号都填上）
18．（2022·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为_______；点的坐标为_______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北古冶·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，求函数y的值；（3）当时，求自变量x的取值范围．
20．（2022·山西八年级期末）某水果批发商以4元斤的价格对外销售芒果，为了减少库存，尽快回笼资金，推出两种批发方案
方案一：每斤打9.5折；
方案二：不超过200斤的部分按原价销售，超过200斤的部分打7.5折．
某超市计划从该水果批发商处购进x斤芒果，按方案一购买需支付费用元，按方案购买需支付费用元，则该超市选择哪种方案（只能选择一种方案）更合算，请说明理由．
21．（2022·北京九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
（1）直接写出该函数的解析式为_______；写出内（不含边界）的整点个数为__；
（2）将直线平移，若内（不含边界）恰有3个整点时，的范围是__．
22．（2022·浙江杭州市·八年级期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
23．（2022·辽宁中山·八年级期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数，它的相关函数为
（1）已知点在一次函数的相关函数的图象上，则的值为______；（2）已知一次函数．①这个函数的相关函数为______；②若点在这个函数的相关函数的图象上，求的值；③当时，这个函数的相关函数的取值范围是，直接写出的取值范围．
24．（2022·湖南永兴·八年级期末）如图所示，直线l1：y＝﹣x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C，已知直线l3：y＝x＋c经过点C且与直线l1交于点D，连接AC．（1）直接写出A、B、C三点的坐标；（2）求直线l3的解析式；（3）求△ACD的面积．
25．（2022·北京市九年级开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差．若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点，点，点，则A、B、C三点的“横长”，，A、B、C三点的“纵长”．因为，所以A、B、C三点为正方点．（1）在点，，中，与点A、B为正方点的是 ；
（2）点为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为 ；
（3）已知点．①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；②若直线l：上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围．
26．（2022·深圳市八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为 ；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
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