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专题6.4 线段的和差
模块一：知识清单
1.线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.
2.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．
如下图，有：.
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）已知点M在线段AB上，在①AB＝2AM；②BM＝AB；③AM＝BM；④AM+BM＝AB四个式子中，能说明M是线段AB的中点的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义，借助图形逐一判断即可．
【详解】解：如图：
∵AB=2AM，∴点M是线段AB的中点，
∵BM=AB，∴点M是线段AB的中点，
∵AM=BM，∴点M是线段AB的中点，
故①②③都能说明点M是线段AB的中点，
根据：④AM+BM=AB，不能判断点M是线段AB的中点，故选：C．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，借助图形分析是解题的关键．
2．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，已知线段AB＝4 cm，延长AB至点C，使AC＝11 cm．点D是AB的中点，点E是AC的中点，则DE的长为（ ）
A．3 cm B．3.5 cm C．4 cm D．4.5 cm
【答案】B
【分析】根据线段中点得出AD＝2cm，AE＝5.5cm，结合图形即可得出结果．
【详解】解：∵AB＝4 cm，点D是AB的中点，∴AD＝AB＝2cm．
∵AC＝11cm，点E是AC的中点，∴AE＝AC＝5.5 cm．
∴DE＝AE－AD＝5.5－2＝3.5cm故选：B．
【点睛】题目主要考查线段中点的计算，找准线段间的数量关系是解题关键．
3．（2022·浙江·七年级期末）如图，已知五点在同一直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点，若线段，则线段等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】首先根据D点是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，可得AD=BD，BE=CE；然后根据线段AC=12，可得BD+CD=12，据此求出CE+CD=6，即可判断出线段DE等于6．
【详解】解：∵D点是线段AB的中点，∴AD=BD，∵点E是线段BC的中点，∴BE=CE，
∵AC=12，∴AD+CD=12，∴BD+CD=12，又∵BD=2CE+CD，∴2CE+CD+CD=12，即2（CE+CD）=12，∴CE+CD=6，即线段DE等于6．故选：A．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确线段的中点的性质，并能推得AD=BD，BE=CE．
4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（ ）
A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
【答案】C
【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出、的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果．
【详解】解：如图，∵cm，
又∵的中点为，∴，
∵cm，∵的中点为，
∴，∴．
故选：C
【点睛】本题考查中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题．
5．（2022·浙江·七年级期中）如图，点为线段的中点，为线段上的任意一点（不与点，重合）．在同一直线上有一点，若，则（ ）
A．点不能在射线上 B．点不能在线段上
C．点不能在线段上 D．点不能在射线上
【答案】A
【分析】当在点的左侧时，根据题意，可知，结合图排除B，
当在点的右侧时，当点接近点时，,可排除C；
当点接近点时，，则可排除D．
【详解】，，
①当在点的左侧时，结合图则，点不能在射线上，故A符合题意；
在线段上，故B错误；
②当在点的右侧时，当点接近点时，,此时点在线段上；故C错误；
当点接近点时，，此时点在射线上，故D错误故选A．
【点睛】本题考查了线段的和差关系，比例关系，根据是动点，分情况讨论是解题的关键．
6．（2022·河北唐山·七年级期末）如图所示，长为的线段的中点为M，C将线段分为和，且，则线段的长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】根据中点的定义，可求出AM和BM的长度，根据MC和MB的比例关系，可求出MC的长度，最后用AM加上CM即可求出AC的长．
【详解】∵点M为AB中点，∴AM=BM==6cm，
∵，∴=2cm，∴AC=AM+MC=8cm；故选：C
【点睛】本题主要考查了中点的定义和成比例线段，熟练地根据中点的定义和线段间的比例关系求出需要线段的长度是解题的关键．
7．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长（ ）
A．7 B． C．6 D．5
【答案】C
【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，
∵AD＝AE＋DE，DE＝AE，
∴AE＋AE＝8，∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，∴CD＝BD＝×8＝4，
∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，故选：C．
【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
8．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作．甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则．
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则
关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论．
【详解】解：甲同学：点C在线段AB上，且，
，，甲同学正确．
乙同学：点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点，有两种情况，
①当时，，②当时，，乙同学错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可．
9．（2022·绍兴市柯桥区七年级开学考试）如图，线段 CD在线段 AB上，且 CD=1，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD=1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：
AC+CD+DB+AD+CB+AB=(AC+CD+DB)+(AD+CB)+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD，
∵CD=1，线段AB的长度是一个正整数，AB＞CD，∴长度之和减1是3的倍数，而只有4-1=3是3的倍数，故选A．
【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差，解题的关键是数形结合，找出所求问题需要的条件．
10．（2022 松江区期末）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）
A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CD
C．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD
【思路点拨】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD、BD、AD进行和、差转化，即可发现错误选项．
【答案】解：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC，
∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD＝AC﹣BD；
∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD；
∵CD＝AD﹣AC，
∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB；
∴选项A、B、C均正确．
而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD；
∴答案D错误符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分计算是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）是线段上一点，是的中点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，先求出，再根据线段中点的定义详解．
【详解】解：如图，，，．
是的中点，．故答案是：．
【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，熟记概念是解题的关键，作出图形更形象直观．
12．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，P是线段MN上一点，Q是线段PN的中点．若MN=10，MP=6，则MQ的长是____．
【答案】8
【分析】首先求得NP=4，根据点Q为NP中点得出PQ=2，据此即可得出MQ的长．
【详解】解：∵MN=10，MP=6，∴NP= MN- MP=4，
∵点Q为NP中点，∴PQ=QN=NP=2，
∴MQ=MP+PQ=6+2=8，故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了两点之间的距离，根据中点的定义得出PQ=2是解题关键．
13．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）如图，点C为线段AB的中点，点D在线段CB上，AB＝10，DB＝4，则CD＝________．
【答案】1
【分析】先根据线段中点的定义可得，再根据即可得．
【详解】解：点为线段的中点，且，，
，，故答案为：1．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．
14．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，AD=BD，E是BC的中点，BE=AC=2cm，则线段DB的长为_______．
【答案】4
【分析】根据BE=AC=2cm可以求得AC长，进而得出AB、BC的长，即可求得DB的长．
【详解】解：∵BE=AC=2(cm)，∴AC=5BE=10(cm)，
∵E是BC的中点，∴BC=2BE=2×2=4(cm)，∴AB=AC-BC=10-4=6(cm)，
∵AD=DB，∴AD+DB=AD+2AD=6(cm)，
∴AD=2cm，∴DB=4cm，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查的是线段的和差倍分计算和线段中点的概念，找出线段间的数量关系是解决此类问题的关键．
15．（2022·山东威海·期末）如图，点，点在线段上，点，点分别为，的中点．若，，则的长为________．
【答案】m+n
【分析】先根据中点的定义可得EC=AC、DF=BD，再根据线段的和差可得AC+BD=AB-CD=m-n，最后根据=EC+CD+DF求解即可．
【详解】解：∵点、点分别为、的中点∴EC=AC,DF=BD
∵，∴AC+BD=AB-CD=m-n
∴=EC+CD+DF=AC+CD+BD=(AC+BD)+CD=( m-n)+n=m+n．故答案为m+n．
【点睛】本题主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，通过识图、明确线段间的关系成为解答本题的关键．
16．（2022·浙江·）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
【答案】或
【分析】根据中点定义求出BD、BE的长度，然后分①点C在AB的延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解；②点C在AB的反向延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：、分别是线段、的中点，，，
，，
①如图1，点在的延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，；
②如图2，点在的反向延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，，
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
17．（2022 和平区期末）已知线段AB＝12，M是AB的中点，点C是直线AB上一点，且AC＝5BC，则C、M两点间的距离为 ．
【思路点拨】根据线段中点的性质推出AM＝BM＝AB＝×12＝6，并分点C在点B左侧和点C在点B左侧两种情况进行讨论，由题意作出相关的图形，结合图形当点C在点B左侧时，MC＝BM﹣BC；当点C在点B右侧时，MC＝BM+BC，利用线段之间的和差关系进行求解即可．
【答案】解：∵AB＝12，M是AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝×12＝6，
当点C在点B左侧时，如图1，
∵AC＝5BC，
∴AB＝AC+BC＝6BC，
∴MC＝BM﹣BC＝AB﹣AB＝AB＝×12＝4；
当点C在点B右侧时，如图2，
∵AC＝5BC，
∴AB＝AC﹣BC＝4BC＝12，
∴BC＝3，
∴MC＝BM+BC＝6+3＝9，
综上所述，C、M两点间的距离为4或9．
故答案为：4或9．
【点睛】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据题意进行分类讨论（点C在点B左侧时和点C在点B左侧时），注意结合图形联系线段中点的性质和线段之间的和差关系进行求解．
18．（2022·北京海淀区·七年级期末）已知线段，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为________．
【答案】1cm或2cm
【分析】分两种情况考虑点M是AB的三等分点，求出AM的长，由中点定义求出MN即可．
【详解】当M是AB的左三等分点，∵AB=6cm，∴AM=cm，
∵N是AM的中点，∴AN=NM=，
当M是AB的右三等分点，∵AB=6cm，∴AM=cm，
∵N是AM的中点，∴AN=NM=，
线段MN的长度为1cm或2cm．故答案为：1cm或2cm．
【点睛】本题考查线段的三等分点，线段的中点计算，掌握线段三等分的性质，线段的中点的性质，会利用分类思想求线段AM是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从市到市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到地），过了小镇，汽车赶了千米，傍晚才停下来休息（休息处），司机说：再走从地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：，两市相距多少千米．
【答案】A，B两市相距600千米．
【分析】根据题意可知DE的距离且可以得到，，，由计算即可得出结果．
【详解】如图，由题意可知，千米，，，
∴ （千米）
∴ （千米）
答：A，B两市相距600千米．
【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键．
20．（2022·辽宁大连市·）已知点D为线段的中点，点C在线段上．
（1）如图1，若，求线段的长；
（2）如图2，若，点E为中点，，求线段的长．
【答案】（1）1cm；（2）24cm
【分析】（1）先求出AB的长，再根据中点定义求出BD的长，进而可求CD的长；
（2）设，用含x的代数式表示出AE，然后列方程求出x，进而可求AB的长．
【详解】解：（1）∵，∴，
∵点D为线段的中点，∴．
∵，∴．∴线段的长为．
（2）设．∵，∴
∵，∴．∵E为中点，∴．
又∵D为中点，∴．∵，∴．
∵，∴，∴，∴线段的长为．
【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，如果点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，那么点C叫做线段AB的中点，这时AC=BC=，或AB=2AC=2BC．
21．（2022·浙江·七年级期末）如图，线段是线段上一点，M是的中点，N是的中点．（1），求线段的长；（2）若线段，线段，求的长度（用含的代数式表示）．
【答案】（1）CM=1cm，NM=2.5cm；（2）
【分析】（1）求出AM长，代入CM=AM-AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN=AM-AN求出即可；
（2）分别求出AM和AN，利用AM-AN可得MN．
【详解】解：（1），是的中点，，
，；
，，是的中点，是的中点，
，，；
（2），，，
是的中点，是的中点，，，
．
【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM、AN的长．
22.（2022·平山县七年级期末）已知点A，B，C在同一条直线上，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）如图1，若点C在线段AB上，AC=6cm，CB=4cm，则线段MN的长为 cm；
（2）若点C在线段AB上，且AC+CB=acm，则线段MN的长度为 cm；
（3）如图2，若点C在线段AB的延长线上，且AC-BC=bcm，猜测MN的长度，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）5，（2）a，（3）MN=b．理由见解析．
【分析】（1）根据中点的定义求解；（2）与（1）同理，根据中点的定义求解；（3）根据MN=CM-CN求解．
【详解】解：（1）由题意可得：，∴MN=MC+CN=3+2=5，故答案为5；
（2）与（1）同理有：，∴，
故答案为，
（3）结论为：MN=b，理由如下：
当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC＞BC，
因为M是AC的中点，所以CM=AC，
因为点N是BC的中点，所以CN=BC，
所以MN=CM-CN=（AC-BC）=b．
【点睛】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义、线段的四则运算及准确画图是解题关键．
23．（2022·杭州市七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝或CE＝DE＝，则CD＝或，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，∴CD＝或CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述的值为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．
24．（2022·浙江·七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
【答案】(1)6
(2)①；②；③
【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6；
（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a；
②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a；
③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a．
（1）
解：∵AB=12，AC=8，
∴BC=AB-AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC=4，CN=BC=2，
∴MN=CM+CN=6；
故答案为：6；
（2）
解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a；
故答案为：a；
②∵AM=AC，BN=BC，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a；
③∵AM=AC，BN=BC，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a，
故答案为：a．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
25．（2022·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.
（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.
【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm
分析：(1) 观察图形可以看出，图中的线段PC和线段BD的长分别代表动点C和D的运动路程. 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可以得到线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 结合条件PD=2AC，可以得到PB=2AP. 根据上述关系以及线段AB的长，可以求得线段AP的长.
(2) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系结合题目中给出的运动时间，可以求得线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 根据BD=2PC和PD=2AC的关系，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP的长.
(3) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可知，只要运动时间一致，点C与点D运动路程的关系与它们运动速度的关系一致. 根据题目中给出的运动速度的关系，可以得到BD=2PC. 这样，本小题的思路就与前两个小题的思路一致了. 于是，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP的长.
(4) 由于题目中没有指明点Q与线段AB的位置关系，所以应该按照点Q在线段AB上以及点Q在线段AB的延长线上两种情况分别进行求解. 首先，根据题意和相关的条件画出相应的示意图. 根据图中各线段之间的关系并结合条件AQ-BQ=PQ，得到AP和BQ之间的关系，借助前面几个小题的结论，即可求得线段PQ的长.
【解析】(1) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(2) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(3) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.
(i) 点Q在线段AB上(如图①).因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.因为，所以.
故.因为AB=12cm，所以(cm).
(ii) 点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图②).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为，所以.故.
因为AB=12cm，所以(cm).
综上所述，PQ的长为4cm或12cm.
点睛：本题是一道几何动点问题. 分析图形和题意，找到代表动点运动路程的线段是解决动点问题的重要环节. 利用速度、时间和路程的关系，常常可以将几何问题与代数运算结合起来，通过运算获得更多的线段之间的关系，从而为解决问题提供有利条件. 另外，分情况讨论的思想也是非常重要的，在思考问题时要注意体会和运用.
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专题6.4 线段的和差
模块一：知识清单
1.线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.
2.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．
如下图，有：.
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）已知点M在线段AB上，在①AB＝2AM；②BM＝AB；③AM＝BM；④AM+BM＝AB四个式子中，能说明M是线段AB的中点的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，已知线段AB＝4 cm，延长AB至点C，使AC＝11 cm．点D是AB的中点，点E是AC的中点，则DE的长为（ ）
A．3 cm B．3.5 cm C．4 cm D．4.5 cm
3．（2022·浙江·七年级期末）如图，已知五点在同一直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点，若线段，则线段等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（ ）
A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
5．（2022·浙江·七年级期中）如图，点为线段的中点，为线段上的任意一点（不与点，重合）．在同一直线上有一点，若，则（ ）
A．点不能在射线上 B．点不能在线段上
C．点不能在线段上 D．点不能在射线上
6．（2022·河北唐山·七年级期末）如图所示，长为的线段的中点为M，C将线段分为和，且，则线段的长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
7．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长（ ）
A．7 B． C．6 D．5
8．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作．甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则．
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则
关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
9．（2022·绍兴市柯桥区七年级开学考试）如图，线段 CD在线段 AB上，且 CD=1，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2022 松江区期末）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）
A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CD
C．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）是线段上一点，是的中点，若，，则的长为______．
12．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，P是线段MN上一点，Q是线段PN的中点．若MN=10，MP=6，则MQ的长是____．
13．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）如图，点C为线段AB的中点，点D在线段CB上，AB＝10，DB＝4，则CD＝________．
14．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，AD=BD，E是BC的中点，BE=AC=2cm，则线段DB的长为_______．
15．（2022·山东威海·期末）如图，点，点在线段上，点，点分别为，的中点．若，，则的长为________．
16．（2022·浙江·）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
17．（2022 和平区期末）已知线段AB＝12，M是AB的中点，点C是直线AB上一点，且AC＝5BC，则C、M两点间的距离为 ．
18．（2022·北京海淀区·七年级期末）已知线段，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从市到市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到地），过了小镇，汽车赶了千米，傍晚才停下来休息（休息处），司机说：再走从地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：，两市相距多少千米．
20．（2022·辽宁大连市·）已知点D为线段的中点，点C在线段上．
（1）如图1，若，求线段的长；
（2）如图2，若，点E为中点，，求线段的长．
21．（2022·浙江·七年级期末）如图，线段是线段上一点，M是的中点，N是的中点．（1），求线段的长；（2）若线段，线段，求的长度（用含的代数式表示）．
22.（2022·平山县七年级期末）已知点A，B，C在同一条直线上，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）如图1，若点C在线段AB上，AC=6cm，CB=4cm，则线段MN的长为 cm；
（2）若点C在线段AB上，且AC+CB=acm，则线段MN的长度为 cm；
（3）如图2，若点C在线段AB的延长线上，且AC-BC=bcm，猜测MN的长度，写出你的结论，并说明理由．
23．（2022·杭州市七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
24．（2022·浙江·七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
25．（2022·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.
（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.
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