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专题6.9 直线的相交
模块一：知识清单
1.如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做这两条直线的交点。
2.对顶角的定义：一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。
注：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。
3.对顶角的性质：对顶角相等。
说明：如图，∠1和∠4是对顶角，∠2和∠3是对顶角，即∠1=∠4，∠2=∠3
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·河北·平泉市七年级期末）如图，对顶角量角器中的度数为（ ）
A．120° B．60° C．90° D．50°
【答案】B
【分析】根据量角器的读数以及的对顶角相等即可求得的度数．
【详解】由图可知的对顶角为，根据对顶角相等，则的度数为，故选B．
【点睛】本题考查了量角器的使用，对顶角相等，理解对顶角相等是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市七年级月考）下图中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义解答即可．
【详解】解：A. 和的某一边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；
B. 和没有公共顶点，不是对顶角，故不符合题意；C. 和是对顶角，符合题意；
D. 和的某一边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意．故选C．
【点睛】本题考查了对顶角，熟记对顶角的定义是解题的关键．对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
3．（2022 铁岭月考）如图，已知AO⊥BO，∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【思路点拨】根据垂线的定义、角的和差计算即可．
【答案】解：因为AO⊥BO，所以∠AOB＝90°．
因为∠1＝35°，所以∠2＝∠AOB﹣∠1＝90°﹣35°＝55°．故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义．解题的关键是熟练掌握垂线的定义，明确角的和差关系．
4．（2022 甘孜州期末）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【思路点拨】根据垂线段的性质，可得答案．
【答案】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；
故选：D．
【点睛】本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，点到直线的距离等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
5．（2022 满洲里市期末）如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，其中线段长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．5条
【思路点拨】直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．
【答案】解：如图所示：线段BC的长是点B到AC的距离，
线段AC的长是点A到BC的距离，线段CD的长是点C到AB的距离，
线段BD的长是点B到CD的距离，线段AD的长是点A到CD的距离，
故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．故选：D．
【点睛】此题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
6．（2022 绥滨县期末）如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1＝34°，则∠2等于（ ）
A．34° B．45° C．56° D．60°
【思路点拨】利用垂直定义和平角定义计算即可．
【答案】解：∵CO⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠1＝34°，∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°，故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
7．（2022 凤凰县月考）下列语句中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．三个锐角的和一定大于直角
C．过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
D．如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么一定有∠2＝∠3
【思路点拨】根据角、对顶角、余角的定义，垂线的性质分析得出答案．
【答案】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、三个锐角的和不一定大于直角，如三个锐角分别是10°、20°、30°，它们的和就不大于直角，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么一定有∠2＝∠3，根据是同角的余角相等，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线的性质和角、对顶角、余角的定义，正确把握定义和性质是解题的关键．
8．（2022 福州期中）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【思路点拨】根据垂线的概念，对顶角相等及三角形内角和定理分析求解．
【答案】解：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝∠A＝50°，故选：B．
【点睛】本题考查垂线的概念，掌握对顶角相等和三角形内角和定理是解题关键．
9．（2022 许昌二模）如图，直线a与b相交，∠1+∠2＝240°，∠3＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【思路点拨】根据对顶角相等可得∠1的度数，再利用邻补角互补可得答案．
【答案】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝240°，∴∠1＝∠2＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°．故选：C．
【点睛】此题主要考查了对顶角和邻补角，解题的关键是掌握对顶角相等，邻补角互补．
10．（2022 韩城市模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠AOC+∠BOD的度数为（ ）
A．100° B．80° C．90° D．70°
【思路点拨】直接利用垂直的定义结合互余以及对顶角相等分析得出答案．
【答案】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∴∠EOB＝90°，
∵∠EOD＝50°，∴∠BOD＝40°，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝40°，
∴∠AOC+∠BOD＝40°+40°＝80°．故选：B．
【点睛】此题主要考查了垂直的定义、互余以及对顶角相等，正确把握相关定义是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江·七年级月考）如图，三条直线、、相交于一点O，则___度．
【答案】180
【分析】根据对顶角相等得到∠1=∠4，再根据平角的定义即可得到结果．
【详解】∵∠1=∠4，∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠2+∠3=180°．故答案为：180．
【点睛】本题考查了对顶角的性质及平角，熟记对顶角相等是解题的关键．
12．（2022·滨海县七年级月考）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_____度．
【答案】75
【分析】根据特殊三角形的性质、对顶角的性质及三角形三内角和等于180°求解即可．
【详解】解：如图所示：
∵，，∴．故答案为：75．
【点睛】题目主要考查特殊三角形的角度、对顶角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理及各角之间的关系是解题关键．
13．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）已知，如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝50°，则∠BOD＝______．
【答案】40°
【分析】运用对顶角的定义如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角、邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，求解即可．
【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠COE＝50°，∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°．故答案为：40°．
【点睛】本题考查了对顶角和邻补角的定义，熟知定义是解题的关键．
14．（2022 亳州期末）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝37°，则∠2的度数是 ．
【思路点拨】由垂线的性质可得∠ACB＝90°，由平角的性质可求解．
【答案】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣37°＝53°，
故答案为：53°．
【点睛】本题考查了垂线的性质，平角的性质，是基础题．
15．（2022 南岗区校级月考）如图，口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是 ．
【思路点拨】垂线段的性质：垂线段最短．据此判断即可．
【答案】解：口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．
16．（2022 柳南区校级模拟）如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为 ．
【思路点拨】根据垂直的定义，可得∠DOE的度数，根据角的和差，可得∠DOF的度数，根据角的倍分关系，可得∠BOF的度数，根据∠BOF与∠AOF是邻补角，可得答案．
【答案】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠EOF＝142°，
∴∠DOF＝142°﹣90°＝52°，
∵∠BOD：∠BOF＝1：3，
∴∠BOD＝∠DOF＝26°，
∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝78°，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣78°＝102°．
故答案为：102°．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角的计算．解题的关键是掌握垂直的定义，角的计算方法，先求出∠DOF，再求出∠BOF，最后得出答案．
17．（2022 番禺区校级期中）如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝ °．
【思路点拨】根据AB⊥CD，可得∠1与∠2互余，再根据∠2＝2∠1，可求出∠1，最后根据对顶角相等得出答案．
【答案】解：∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2＝2∠1，
∴3∠1＝90°，
∴∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查垂线的意义，掌握垂直的意义和对顶角相等的性质是解决问题的前提．
18．（2022 河南模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠DOB＝34°，则∠COE＝ 56 °．
【思路点拨】根据垂直定义求出∠AOE的度数，然后根据对顶角相等求出∠AOC的度数，最后得出答案即可．
【答案】解：∵OE⊥AB于O，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DOB＝24°，
∴∠AOC＝∠BOD＝34°（对顶角相等）．
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣34°＝56°，
故答案为：56．
【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，先根据垂线的定义求出∠AOC的度数是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 海珠区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOC的度数；（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC的度数．
【思路点拨】（1）根据等量代换和垂直的定义可得结论；
（2）根据对顶角和垂直的定义可得结论．
【答案】解：（1）∵OM⊥AB于点O，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠2＝∠1，
∴∠2+∠AOC＝90°，
∴∠NOC＝90°；
（2）∵OM⊥AB于点O，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∵∠BOC＝4∠1，
∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝90°，
∴∠1＝30°，
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．
【点睛】本题考查了对顶角、垂线性质、余角等基本几何知识，属于基础题．熟练掌握基本几何公理、基本几何概念是关键．
20．（2022·河南省淮滨县七年级期末）如图，直线、相交于点O，已知，射线 把分成两个角，且：．（1）求的度数；（2）过点O作射线，求的度数．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据对顶角可得，然后根据比例计算即可得出答案；
（2）先求出，再分OF在的内部时，和OF在的内部时，，两种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∴
又∵∴
（2）如图
∵ ∴
当OF在的内部时，；
当OF在的内部时，；综上所述，或．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质、角的计算，熟练掌握概念并准确识图是解决本题的关键．
22．（2022 青山区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
（1）直接写出图中∠AOD的对顶角为 ，∠DOE的邻补角为 ．
（2）若∠AOC＝90°，且∠BOE：∠EOD＝2：3．求∠EOC的度数．
【思路点拨】（1）利用对顶角、邻补角的定义直接回答即可；
（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠DOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠COE的度数．
【答案】解：（1）∠AOD的对顶角为∠BOC，∠DOE的邻补角为∠COE；
故答案为：∠BOC，∠COE；
（2）∵∠DOB＝∠AOC＝90°，∠DOB＝∠BOE+∠EOD，∠BOE：∠EOD＝2：3，
∴∠EOD＝∠BOE，
∴∠BOE+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝36°，
∴∠DOE＝54°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝126°．
【点睛】本题主要考查了对顶角，邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解．
22．（2022 恩施市月考）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．（1）求∠EOB的度数．（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数．
【思路点拨】（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝80°，然后根据比例求解即可；
（2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的内部时，∠BOF＝∠EOF+∠BOE，OF在∠BOC的内部时，∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE进行计算即可得解．
【答案】解：（1）∵∠AOC＝80°，∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝80°，
∵∠BOE：∠EOD＝3：5，
∴∠EOB＝80°×＝30°；
（2）如图：
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
当OF在∠AOD的内部时，
∠BOF＝∠EOF+∠BOE
＝90°+30°
＝120°，
当OF在∠BOC的内部时，
∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE
＝90°﹣30°
＝60°，
综上所述∠BOF＝60°或120°．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．
23．（2022 门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．
（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，
①依题意补全图1；
②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；
（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）
【思路点拨】（1）①依据OD平分∠BOC，射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O，进行画图即可．
②依据角平分线的定义以及垂线的的定义，即可得出∠AOE的度数；
（2）分两种情况讨论：点C在直线AB上方，点C在直线AB下方，分别依据角平分线的定义以及垂线的的定义，进行计算即可．
【答案】解：（1）①如图所示：
②∵∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝15°，
∵OD⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE＝180°﹣90°﹣15°＝75°；
（2）分两种情况：
①当点C在直线AB上方时，如图1，
同理可得，∠BOD＝，∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣90°﹣＝90°﹣；
②当点C在直线AB下方时，如图2，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝α，
∵OD⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣α，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．
综上所述，∠AOE的度数为90°﹣或90°+α．
【点睛】本题主要考查了角的计算，垂线以及角平分线的定义的运用．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
24．（2022·山东高青县·八年级期中）如图(1), 点为直线上一点，过点作射线, 将一直角的直角项点放在点处，即反向延长射线,得到射线.
(1)当的位置如图(1)所示时，使，若，求的度数.
(2)当的位置如图(2)所示时，使一边在的内部，且恰好平分,
问:射线的反向延长线是否平分请说明理由：注意:不能用问题中的条件
(3)当的位置如图所示时，射线在的内部，若.试探究与之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论.
【答案】为；平分，理由见解析；
【分析】(1)∠NOB+∠BOC+∠COD=180°，根据题目已知条件代入即可求解；
(2) ∠MON=∠MOD=90°，利用互余的性质可以得出∠DOC=∠BON，由对顶角的性质得出∠BON=∠AOD，即可得出结果；(3)根据∠BOC=120°，得出∠AOC=60°，再利用∠MON-∠AOC=30°即可得出结论.
【详解】解：(1)∵∠NOB=20°，∠BOC=120° ∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
(2)OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC∴∠COM=∠MOB∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（对顶角相等）∴∠AOD=∠DOC∴OD平分∠AOC
(3)∵∠BOC=120°∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°∴∠AOM-∠NOC=30°
【点睛】本题主要考查的是角的计算，其中包含平角，直角定义以及角平分线的定义等知识点，掌握这几个知识点是解题的关键.
25．（2022·江苏洪泽区·七年级期末）（问题情境）
苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
（变式探究）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
（变式拓展）小明继续探究：（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
【答案】（1）45°；（2）；（3）
【分析】（1）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；（2）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，
【详解】解：（1）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+90°）﹣a°＝＝45°；
（2）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+m°）﹣a°＝，故答案为：；
（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+m°）﹣a°＝；
②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝m°，
∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；
③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，
由②得，∠BOC＝m°，∠DOE＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；
综上所述，∠DOE＝．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是引入参数a，即设∠AOC=a°，然后在计算中消掉a．
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专题6.9 直线的相交
模块一：知识清单
1.如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做这两条直线的交点。
2.对顶角的定义：一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。
注：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。
3.对顶角的性质：对顶角相等。
说明：如图，∠1和∠4是对顶角，∠2和∠3是对顶角，即∠1=∠4，∠2=∠3
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·河北·平泉市七年级期末）如图，对顶角量角器中的度数为（ ）
A．120° B．60° C．90° D．50°
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市七年级月考）下图中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022 铁岭月考）如图，已知AO⊥BO，∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
4．（2022 甘孜州期末）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
5．（2022 满洲里市期末）如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，其中线段长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．5条
6．（2022 绥滨县期末）如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1＝34°，则∠2等于（ ）
A．34° B．45° C．56° D．60°
7．（2022 凤凰县月考）下列语句中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．三个锐角的和一定大于直角
C．过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
D．如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么一定有∠2＝∠3
8．（2022 福州期中）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．（2022 许昌二模）如图，直线a与b相交，∠1+∠2＝240°，∠3＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（2022 韩城市模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠AOC+∠BOD的度数为（ ）
A．100° B．80° C．90° D．70°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江·七年级月考）如图，三条直线、、相交于一点O，则___度．
12．（2022·滨海县七年级月考）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_____度．
13．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）已知，如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝50°，则∠BOD＝______．
14．（2022 亳州期末）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝37°，则∠2的度数是 ．
15．（2022 南岗区校级月考）如图，口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是 ．
16．（2022 柳南区校级模拟）如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为 ．
17．（2022 番禺区校级期中）如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝ °．
18．（2022 河南模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠DOB＝34°，则∠COE＝ 56 °．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 海珠区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOC的度数；（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC的度数．
20．（2022·河南省淮滨县七年级期末）如图，直线、相交于点O，已知，射线 把分成两个角，且：．（1）求的度数；（2）过点O作射线，求的度数．
22．（2022 青山区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
（1）直接写出图中∠AOD的对顶角为 ，∠DOE的邻补角为 ．
（2）若∠AOC＝90°，且∠BOE：∠EOD＝2：3．求∠EOC的度数．
22．（2022 恩施市月考）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．（1）求∠EOB的度数．（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数．
23．（2022 门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．
（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，
①依题意补全图1；
②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；
（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）
24．（2022·山东高青县·八年级期中）如图(1), 点为直线上一点，过点作射线, 将一直角的直角项点放在点处，即反向延长射线,得到射线.
(1)当的位置如图(1)所示时，使，若，求的度数.
(2)当的位置如图(2)所示时，使一边在的内部，且恰好平分,
问:射线的反向延长线是否平分请说明理由：注意:不能用问题中的条件
(3)当的位置如图所示时，射线在的内部，若.试探究与之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论.
25．（2022·江苏洪泽区·七年级期末）（问题情境）
苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
（变式探究）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
（变式拓展）小明继续探究：（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
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