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专题6.10 图形的初步知识 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江台州市·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据线段的性质即可求解．
【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A．
【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·期中）下列语句中：（1）角平分线是一条直线；（2）若，则是的平分线；（3）两条射线组成的图形叫角；（4）A、B两点之间的距离，就是点A与点B之间线段的长度．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据相关的知识具体判断即可．
【详解】（1）角平分线是一条射线，本语句错误；
（2）若，但这两个角不一定相等，则不一定是的平分线，
本语句错误；（3）有公共顶点的两条射线组成的图形叫角，本语句错误；
（4）A、B两点之间的距离，就是点A与点B之间线段的长度，
本语句正确，共有1个语句正确，故选B．
【点睛】本题考查了角的平分线的属性，角即有公共顶点的两条射线围成的图形，两点间的距离即两点之间线段的长度，熟练掌握各自的定义或性质是解题的关键．
3．（2022·浙江·七年级期末）如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB＝a，CD＝b，则AC的取值范围是（ ）
A．大于 b B．小于a C．大于b且小于a D．无法确定
【答案】C
【分析】根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．
【详解】解：∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，∴CD＜AC＜AB，即b＜AC＜a．故选：C．
【点睛】此题考查了垂线段最短的性质，属于基础题．
4．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作．
甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则．
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则
关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论．
【详解】解：甲同学：点C在线段AB上，且，
，，甲同学正确．
乙同学：点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点，有两种情况，
①当时，，②当时，，乙同学错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可．
5．（2022·福建宁德·七年级期末）七巧板是中国传统数学文化的重要载体．将一块正方形木板制成如图1所示的一副七巧板，小明选择该副七巧板中的若干块拼成了如图2所示的“帆船”图案，其中已经用上编号为①和③的两块，则拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是（ ）
A．②⑥ B．④⑥⑦ C．⑤⑥⑦ D．④⑤⑥
【答案】A
【分析】根据七巧板拼凑的方法及拼图的线条即可求解．
【详解】解：图2中“帆”的部分由两块大三角形组成，即图1中的①③④，左侧船体是一块小三角形，即③，右侧船体由于帆有一些重合，但根据线条形状不难看出是一个平行四边形，即⑥⑦，所以拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是④、⑥和⑦，故选：A．
【点睛】本题考查了七巧板的运用，熟练掌握七巧板的拼凑方法是解题的关键．
6．（2022·江苏·七年级期末）如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．4
【答案】B
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：（个）；∴（棱块数）+（角块数）（中心块数）=；
故选：B．
【点睛】本题考查了三阶魔方的特征，认识立体图形，图形的规律；解题的关键是正确的认识三阶魔方的特征，从而进行解题．
7．（2022·山东乳山市·期末）将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于与之间的等量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平角性质和余角、补角解得角之间的关系．
【详解】解：∵直尺一边是平角为180°，三角尺的顶角为90°，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了平角性质和余角、补角之间的计算，比较简单，属于基础题型．
8．（2022·江苏·七年级期中）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
【答案】B
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【详解】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）＝37a+5200（m），
因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝98a+7000（m），
因为36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜98a+7000，
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
9．（2022·四川成都市·成都实外）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】D
【分析】根据折叠求出∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，根据∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，即可求出∠GFH＝∠GFE+∠HFE的度数．
【详解】解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，使点C落在长方形内部点E处，∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，
∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFE＝120°，∴∠GFE＝60°，
∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，∴∠EFH＝＝40°，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，角度的倍数关系，主要考查学生的推理和计算能力．
10．（2022·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．
【解析】解：分两种情况：
①如图平分时，，即，解得；
②如图平分时，，即，解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：．
【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·甘肃·七年级期末）王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理：_____．
【答案】两点确定一条直线
【分析】由题知，将教室座位看作一个个点，座位整齐否，只需要观察每个点是否在同一条直线即可，根据直线的性质解答．
【详解】王小毛利用的数学原理：两点确定一条直线；故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查直线的性质及定义，难点在于对实际问题数学模型化，寻找对应的原理．
12．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）计算：_________.
【答案】
【分析】度分秒的计算，分别对度、分进行减法运算即可．
【详解】解答：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了角度制的计算，熟知角度制的运算法则是解题关键．
13．（2022 河南模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠DOB＝34°，则∠COE＝ 56 °．
【思路点拨】根据垂直定义求出∠AOE的度数，然后根据对顶角相等求出∠AOC的度数，最后得出答案即可．
【答案】解：∵OE⊥AB于O，∴∠AOE＝90°，
∵∠DOB＝24°，∴∠AOC＝∠BOD＝34°（对顶角相等）．
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣34°＝56°，故答案为：56．
【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，先根据垂线的定义求出∠AOC的度数是解题的关键．
14．（2022·河北滦州·七年级期中）如图所示，，点B，O，D在同一直线上，若，则的度数为______．
【答案】116°
【分析】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．
【详解】解：∵，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝64°，
∵∠2＋∠BOC＝180°，∴∠2＝116°．故答案为：116°．
【点睛】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
15．（2022·浙江·）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
【答案】或
【分析】根据中点定义求出BD、BE的长度，然后分①点C在AB的延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解；②点C在AB的反向延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：、分别是线段、的中点，，，
，，
①如图1，点在的延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，；
②如图2，点在的反向延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，，
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
16．（2022·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
【答案】C C与D之间
【分析】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A与B之间，在B与C之间，在C与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论．
【详解】解：如图，
∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB；
若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB；
若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB，
∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短．
如果工作台由5个改为6个，如图，
位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE；
位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE；
位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD；
位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD；
位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE；
∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
17．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【答案】6或
【分析】分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线进行计算即可．
【详解】设时针为OB，分针为OA． 当时针为OB为角平分线时，如图1所示：
设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+，∠BOC=30゜－，
依题意得：60-6x+＝30－解得x=6；
当时针为OC为角平分线时，如图2所示：
设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－，
依题意得：6x-90＝30－解得x=；
综合上述可得：经过6分钟或分钟时，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．故答案为：6或．
【点睛】考查了一元一次方程的应用和角平分线的性质，解题关键是分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线和利用方程求得其角度．
18．（2022·沙坪坝区·重庆南开中学七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·北京房山区·七年级期末）如图，平面上四个点，，，．按要求完成下列问题：
（1）画线段，连接；（2）画直线与射线相交于点；
（3）用量角器度量的大小为________（精确到度）．
【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解；（3）31°
【分析】（1）画线段AC、BD即可；（2）画射线DC、直线AB即可，交点记为E；
（3）用量角器测量出的大小即可．
【详解】解：（1）（2）如图所示：
（3）测量可得∠AED=31°．故答案为：31°．
【点睛】本题考查的是射线、直线、线段以及角，关键是掌握射线、直线、线段的性质．
20．（2021·浙江衢州·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE．（1）若∠DOE＝50°，求∠BOF的度数．
（2）设∠DOE＝α，∠BOF＝β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）．
【答案】（1）25°；（2）α=2β
【分析】（1）先根据平角的定义得：∠COE=130°，由角平分线的定义和垂线的定义可得∠BOF的度数；
（2）根据（1）中的过程可得结论．
【详解】解：（1）∵∠DOE=50°，∴∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°，
∵OA平分∠COE，∴∠AOE=∠COE=×130°=65°，
∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°；
（2）∵∠DOE=α，∴∠COE=180°-∠DOE=180°-α，
∵OA平分∠COE，∴∠AOE=∠COE=（180°-α）=90°-α，
∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠BOF=β=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（90°-α）-90°=α，即α=2β．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及邻补角的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义是关键．
21．（2020·山东枣庄市·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
【答案】（1）表格详见解析；（2）
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；（2）从特殊到一般探究规律即可．
【详解】解：（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
22．（2022·江苏·南京七年级期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索.
（回顾）（1）如图①，、是公路两侧的两个村庄.现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由
（探索）（2）如图②，在村庄附件有一个生态保护区，现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，从村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点的位置
（3）如图③，、是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且村到村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）连接AB交直线l于点C，点C即为所求作．（2）根据两点之间线段最短解决问题．
（3）作AA′CD，且AA′＝1，连接BA′得到点C，作线段CD⊥河岸即可．
【详解】（1）如图，点C即为所求作．理由：两点之间，线段最短.
（2）如图，点C即为所求作．
（3）如图，线段CD可即为所求作．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2022·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）或24
【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；
（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；
（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．
【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=BN，∴点B是点M，N的“倍分点”；
（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，
①当DM=AM时，DM=1，∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，
②当AM=DM时，DM=2AM=4，∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，
综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；
（3）MN=6-（-3）=9，当PN=MN时，PN=×9=，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，
当MN=PN时，PN=2MN=2×9=18，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，
综上所述，点P表示的数为或24．
【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．
24．（2022·辽宁西丰县·七年级期末）利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°
【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；
②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．
【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°；
（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，
理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，
由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，
∵点B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；
②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，
∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，
∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度数为30°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
25．（2022·成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值； （3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或
【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算；
（2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算；
（3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：；
时针每分钟转动：.故答案为：6，0．5.
（2）当与在同一直线上时，时针转了度，即
分针转了度，即 ∴ 解得， ∴的值为．
（3）①当时， ∵ ∴∴；
②当时，∵
∴∴；∴综上所述，符合条件的的值为或.
【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键.
26．（2022·杭州市七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝或CE＝DE＝，则CD＝或，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，∴CD＝或CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述的值为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．
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专题6.10 图形的初步知识 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江台州市·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
2．（2022·山东烟台·期中）下列语句中：（1）角平分线是一条直线；（2）若，则是的平分线；（3）两条射线组成的图形叫角；（4）A、B两点之间的距离，就是点A与点B之间线段的长度．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2022·浙江·七年级期末）如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB＝a，CD＝b，则AC的取值范围是（ ）
A．大于 b B．小于a C．大于b且小于a D．无法确定
4．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作．
甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则．
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则
关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
5．（2022·福建宁德·七年级期末）七巧板是中国传统数学文化的重要载体．将一块正方形木板制成如图1所示的一副七巧板，小明选择该副七巧板中的若干块拼成了如图2所示的“帆船”图案，其中已经用上编号为①和③的两块，则拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是（ ）
A．②⑥ B．④⑥⑦ C．⑤⑥⑦ D．④⑤⑥
6．（2022·江苏·七年级期末）如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．4
7．（2022·山东乳山市·期末）将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于与之间的等量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·七年级期中）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
9．（2022·四川成都市·成都实外）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
10．（2022·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·甘肃·七年级期末）王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理：_____．
12．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）计算：_________.
13．（2022 河南模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠DOB＝34°，则∠COE＝ °．
14．（2022·河北滦州·七年级期中）如图所示，，点B，O，D在同一直线上，若，则的度数为______．
15．（2022·浙江·）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
16．（2022·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
17．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
18．（2022·沙坪坝区·重庆南开中学七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·北京房山区·七年级期末）如图，平面上四个点，，，．按要求完成下列问题：
（1）画线段，连接；（2）画直线与射线相交于点；
（3）用量角器度量的大小为________（精确到度）．
20．（2021·浙江衢州·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE．（1）若∠DOE＝50°，求∠BOF的度数．（2）设∠DOE＝α，∠BOF＝β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）．
21．（2020·山东枣庄市·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：______________．
22．（2022·江苏·南京七年级期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索.
（回顾）（1）如图①，、是公路两侧的两个村庄.现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由
（探索）（2）如图②，在村庄附件有一个生态保护区，现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，从村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点的位置
（3）如图③，、是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且村到村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）
23．（2022·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
24．（2022·辽宁西丰县·七年级期末）利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
25．（2022·成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值； （3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
26．（2022·杭州市七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
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